離散数学
電気通信大学情報理工学域I類 (情報系)
2016年度後学期
月曜1限 (9:00-10:30)
教室：西2-101
岡本 吉央
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講義資料 |
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スケジュール |
過去の講義 |
過去の試験問題
講義資料
- 2/13 (14) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- 2/8 (13) 証明法 (4)：数学的帰納法
- 2/6 (12) 関係 (3)：順序関係
- 1/30 (11) 関係 (2)：同値関係
- 1/23 (10) 関係 (1)：関係
- 1/16 (9) 写像 (2)：全射と単射
- 12/19 (8) 写像 (1)：像と逆像
- 12/5 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- 11/21 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- 11/14 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- 10/31 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- 10/24 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- 10/17 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- 10/3 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
コメント
- 2/13 (14) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- コメントありがとうございました．
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寒いですね。
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そうですね．
-
おつかれさまです。
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おつかれさまです．
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世の中ね、顔かお金なのよ
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達観してますね :-)
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2月15日に今回の授業のレポートだけでなく，前の授業のレポートを提出してもいいですか？
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再提出なら問題ないです．その際は，以前提出したレポートも付けて下さい．
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とてもわかりやすい授業を今までありがとうございました。また機会があれば岡本先生の授業を受けたいです。その時はよろしくお願いします。
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そのときはよろしくお願いします．
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短い間でしたがありがとうございました。大好きです．
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突然告白された (^^;
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半年間色々な格言を教えていただきありがとうございました。
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半年間お付き合いいただきありがとうございました．
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14回の授業ありがとうございました。たくさんのことを学べました。
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たくさんのことを学べたのでしたら，よかったです．今後に活かしていって下さい．
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レジュメがあってとてもわかりやすかった。
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残念ながらそれはレジュメではありません…．
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演習問題が文字化けしました。そろそろパソコン買い換え時かもしれません。
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文字化けとパソコン買い換え時はあまり関係ないと思います…
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半年 (半学期間) ありがとうございました。授業が分かり易かったです。
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こちらこそありがとうございました．
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徐々に難しくなっていき、大変でした。でも先生の説明は分かりやすかったです。ありがとうございました。
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難しくなっていくのは当然なので，しっかりと勉強をして下さい．ありがとうございました．
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記号が多くなってきて分からなくなりそう…。
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記号に慣れるのはとても重要です．記号の羅列があっても，その構造を読み解くようにして下さい．
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来週の期末試験頑張ります
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はい，しっかりと準備をしてきてください．
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テスト、秀とれるよう、がんばります．(定型文)
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是非お願いします．
- 2/8 (13) 証明法 (4)：数学的帰納法
- コメントありがとうございました．
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今回と次回の分のレポートは提出して返却されますか．
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されます．授業中に返却方法を連絡します．
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ここまでのところを早急に復習しないと全然わからない...
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はい，しっかりと復習をして下さい．
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証明問題は問題を多く答えて解答の型を身に付けていきたいです．
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なにか，空手に対する意気込みを聞いているようです ;-)
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授業などで出てくる $\preceq$ は $\leq$ と同じ扱いでいいのでしょうか。
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何をもって同じ扱いとするのか誤解があるといけないので，うかつには答えられませんが，$\preceq$ は順序関係を表すために使っています．
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証明問題は試験に多めに出す予定ですか？
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何をもって「証明問題」だと思われているのか分からないので，何とも言い難いですが，例えば「$\int_0^{2\pi} \sin x dx = 0$ であることを証明せよ」は証明問題で，「$\int_0^{2\pi} \sin x dx$ を計算せよ」という問題は計算問題でしょうか．問われ方は違いますが，私にとってはどちらも証明問題です．すべての問題は証明問題です．そう思っておいて下さい．
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1日4科目試験のある日の乗り切り方を教えて下さい (泣)
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試験のない日を有効に使うように考えて下さい．何かが多くある日があるならば，それが少ない日もあるはずです．
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線形代数学が難しすぎて理解できません。
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後で大変なことになるので，しっかりと理解して下さい．
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線形代数学でフィボナッチ数列の一般項の導出をやったのですがとても難しかったです。。。
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慣れれば難しくないので，しっかりと勉強して下さい．
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帰納法好き。
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でも，ゾウさんの方がもっと好きです．
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階乗を表す数列がおもしろい。
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すみませんが，尻尾は生えていません．
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フィボナッチ数列はフリークが一定数存在しますが何が彼らをそれほどまで駆りたてるのでしょう？
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再帰的定義がとても単純であるにも関わらず，様々な性質を持つからだと思います．The Fibonacci Quarterlyというフィボナッチ数専門誌もありますね．
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フィボナッチ数列よくわかんない
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しっかりと復習をして下さい．
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高校生以来の帰納法なので約1年ぶり．昔はn=1,k,k+1のときを考えて、ただ式を変形するだけだったけど、理論がちゃんとあるんだと分かった。
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そうですね．しっかりと復習をする，という意味でも大切なので，演習問題にも取り組んで下さい．
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数学的帰納法は受験の頃を思い出してなつかしかった。
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油断しているとできなくなるので，気をつけて下さい ;-)
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等比数列という懐かしい響きを思い出す内容だった
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解析学に出席して級数の勉強もして下さい．
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- 髪の毛が1本しかない人はハゲである
- 髪の毛がk本しかないハゲに更に1本植毛してもハゲである
- ∴すべての人間はハゲである
この証明はハゲであることとハゲでないことの定義があいまいなので (以下略)
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略さなくてもよいです ;-)
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前の日の番組で調布駅周辺の飲食店が取り上げられていたようですが、先生のオススメの店はありますか？
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電通大の近く，西門から出て少し歩いていくとル・プティボヌールという喫茶店があり，最近よく行っています．
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先生が今はまっていることは何ですか？
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大戸屋のばくだん小鉢です．
- 2/6 (12) 関係 (3)：順序関係
- コメントありがとうございました．
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解答がないからとかいって解答載せないならレポート提出期限を設けるべきではないと思います。
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私の時間は限られています．1日には24時間しかありません．それを総合して，何が現実的なのかを考えて頂けるとありがたいです．
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演習問題に具体的な添削が欲しいです。
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私に直接聞いて下さい．そうすればよいだけのことです．
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最後の方の講義は復習必要だと思った。
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最後の方だけではなく，すべて復習して下さい ;-)
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身の周りの半順序が気になってしまう (のとテスト勉強の) ため夜も眠れません。どうすればいいでしょうか。
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夜眠れないなら，昼に眠ればよいと思います．
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ねないとねむいですねやはり！！
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そうですよね！！
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最近寝ても寝ても眠いし何もかもやる気が出なくて辛い
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学生何でも相談室というのがあります．お茶を飲みに行くぐらいの気持ちでいってみてもよいかもしれません．
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関係 R が対称性などの性質をもつためにはその関係の中で一部がその性質を満たしていれば良いんですか？
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対称性は「任意の○○に対して〜」といっているので，任意の○○に対して何かが成り立っていなくてはなりません．
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(厳密にはそうじゃない気がする．むしろ欠陥ばかりな気が…)
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厳密にはそうじゃない，というのは確かです．うまい絵を描くことができれば，理解が深まってることになると思うので，挑戦してみて下さい．
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上・下・大・小 こんがらかりそうです．
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定義を覚えようとせず，見直したときに理解できるようにしておいて下さい．それで十分です．
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区別がややこしくなってきた。テスト難しそう…胃が痛くなります。
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確かにややこしいので，演習問題を通して理解して下さい．
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ハッセ図を不足なく描くコツはありますか
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注意深く行う，しかないと思います．
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ハッセ図をかくときは要素の配置には気をつけないといけませんよね？
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きれいに描こうと思うときは配置に気をつけないといけません．まず下書きをして，その後で，どのようにすればきれいになるのか，考えてみるとよいと思います．
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試験で冷静にハッセ図を書けるようにしたいです．
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はい，よろしくお願いします．
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今日のところはなんだか面白かった。
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それはよかったです ;-)
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私はパクチー嫌いです。
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それは残念です (-_-;
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今更ながら月曜1限つらすぎます。
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Blue Mondayですね．
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20日期末試験4連続でつらいです
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しっかりと計画を立てて準備して下さい．
- 1/30 (11) 関係 (2)：同値関係
- コメントありがとうございました．
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どんどん証明が難しくなってきてしまった。
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いままでやってきたことの上に成り立っていますので，しっかりと復習をして下さい．
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全順序と半順序と同値 どれがどの性質をもっていたか忘れてしまうのですがイメージとかありますか？
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とりあえず全順序は忘れて，半順序と同値関係はどちらも反射性と推移性を持っています．その中で，対称性を持つのが同値関係，反対称性を持つのが半順序です．半順序に，完全性を持たせたものが全順序です．
例を1つ心に留めておくとよいかもしれません．同値関係は等しいという関係「$=$」，半順序は集合の包含関係「$\subseteq$」，全順序は実数の大小関係「$\leq$」が例です．
-
商集合について、もしRが=だったらA/= = {...} みたいに書くんですか？ややこしくないですか？
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そのように書きます．確かにややこしいので，カッコを使って，(A/=) = {...} と書いてもよいです．
-
J={グー，チョキ，パー}
集合J上の関係>を "xやyに勝つ" のとき x>y と定義する
この関係は推移性をもたない．
即ち，"グーはチョキに勝ち，チョキはパーに勝つ，故にグーはパーに勝つ" は成立しない
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その通りですね．このようにして関係を使うことで，いろんな事柄の整理ができるようになってきます．
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今までに受けた授業の中で岡本先生の授業が一番わかりやすいです。
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ありがとうございます．分からない所はどしどし質問して下さい．
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今日も分かりやすかったです。
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いつまでも分かりやすいかどうかは分からないので，油断しないようにして下さい．
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分割から同値関係への証明が難しそうです。。
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いままでの内容が理解できていれば，それほど難しくはないので，自習してみて下さい．
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$\mathbb{Z}_+$ と $\mathbb{N}$ は何が違うのか、同じではないのかと思っていたが、今日の授業で違いを理解した。
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お役に立ててよかったです．
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どうしても1限だけは眠くなってしまうのですがどうしたらいいですかね？
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充分に寝てきてください．
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演習問題のレポートが返ってきた後の解き直しの添削はしてもらえますか？
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再提出は何度でも可能です．
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提出締切が過ぎてしまったものを出すのはやはりダメですよね？
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はい，ダメです．
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提出終わったものを復習するために答えがほしいです。
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「提出終わったもの」はない，というのが以前の回答です．
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連続でテストが3時間続くのがつらい
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そういうものです．諦めて下さい．
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実験が終わっても生活習慣が戻りません．
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実験があるときの生活が普通の生活になるように，普通の生活を見直して下さい．(^^)
- 1/23 (10) 関係 (1)：関係
- コメントありがとうございました．
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元気になる一言ください。
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こちらをどうぞ
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最寄り駅に着いたときに定期を忘れたことに気付いて、取りに帰ったので授業に遅れてしまいました。。。
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どんまいです ;-)
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夜の睡眠時間が長いほど授業中眠くなってしまうのはなぜでしょうか。
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ここら辺をみていただいて参考にして下さい．
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どの条件にあてはまるか見わけるまで時間かかりそう。でもがんばるマン。
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まずは時間がかかってもよいので，正確にできるようにして下さい．
-
グラフは分かってしまえば関係の判別がしやすくていいですね．
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そうですね．図は考えをまとめてくれるので，偉大です．
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新しいことが多く出てきて大変でした．
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授業中にもいいましたが，覚えようとはしないようにして下さい．
-
例4の推移性について、x=y=z で推移性の条件を満たしていると考えてよいのでしょうか？
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x=y=zのとき，推移性の条件は「xRx かつ xRx ならば xRx」となるので，これ必ず真になります．つまり，自分自身に戻ってくる矢印はあってもなくてもよいことになります．例4が推移性を持つのは，推移性の条件における「ならば」の前にある前提の部分が (xとyが異なる場合に) 必ず偽となるからです．つまり，条件自体は必ず真になります．
-
$\mathbb{Z}_+$ と $\mathbb{N}$ (自然数) は同じ意味ですか？
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$\mathbb{N}$ は文脈によって，「1以上の整数全体の集合」を表すこともあり，また，「0以上の整数全体の集合」を表すこともあるので，気をつける必要があります．
-
2x2の正方形を作らないようなタイル貼りって存在するのでしょうか．
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講義で述べた性質から，タイル貼りの方法が複数存在する場合は，必ず2x2の正方形が作られることになります．一方，タイル貼りの方法が1通りしかない場合は，2x2の正方形ができないことになります．
- 1/16 (9) 写像 (2)：全射と単射
- コメントありがとうございました．
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全然雪が降らなくてさびしいです。
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雪が降ると大変なことになるので，できれば降らない方がよいと思います．
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線形よりもわかりやすい。もっと詳しく教えてほしい．
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『線形代数学』でやるべきことと，『離散数学』でやるべきことは違うので，線形代数学のことは線形代数学で解決して下さい．
-
逆関数は逆写像と考えてよいのですか．
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よいです．「写像のことを関数ともいう」ということを認めれば，「逆写像のことを逆関数ともいう」ということになります．
-
逆写像が難しいので要復習。
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そうですね．しっかりと復習をしてください．
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一つ一つの条件を入れ子にして、対応する方法で証明していくのがおもしろかったです．
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いままでの証明もその形式になっていますので，見直して下さい．
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先を見通すことが証明では大事だと思った
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そうですね．証明という文章の構造を常に意識して下さい．
-
いつも学校で印刷しているので授業のプリントをもう少し早めにアップしていただけると嬉しいです。
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善処しますが，無理な場合もありますので，ご了承下さい．
-
終わったレポートの答えはさすがに欲しい．分からなかったところが分からないままである．
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終わったレポートはありません．レポートは何度でも再提出ができることになっているので，終わりはないのです．
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1年が早く感じる。
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ジャネの法則，と呼ぶらしいです．
-
大学1年生もあと1か月程となりましたね．テストが増えてきてますが頑張ります．
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はい，しっかりと準備するようにして下さい．
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寒くて布団から出られないときはどうしたら出られるようになりますか．
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布団に入らなければ，出る必要がなくなります． ;-)
-
特にないです
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いま特になくても，またなにかありましたら，書いて下さい．;-)
-
離散数学とは関係ないのですが，プログラミングで
(a) if文で「任意の…」や「ある…」を表現するにはどうすればいいですか．
(b) switch文は範囲にも対応していますか？ (ex) aが10以上20未満なら…
if文でもできなくはないえすが，ゴチャゴチャとした複文は嫌いなので．
---
関係あるかどうかは私が判断することなので気にせず質問して下さい．
(a) についてですが，それを使って何を行いたいのか，ということに依存します．例えば，任意の i ∈ 0,\ldots,n-1 に対して関数 f(i) を実行する，ということをするならば，「for(i = 0; i < n; i++) f(i);」と書けばよいです．また「任意の…」といのは∧ (AND) をつないだもので，「ある…」というのは∨ (OR) をつないだものであったということを思い出せば，それを使って「任意の…」や「ある…」を表現できるかもしれません．
(b) についてですが，できないと思ってもらってよいです．ゴチャゴチャとさせないためには，関数をたくさん使うとよいです．すっきりします．
- 12/19 (8) 写像 (1)：像と逆像
- コメントありがとうございました．掲載が遅くなりすみません．
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良いお年を！！
---
良いお年を！！
-
今年一年お疲れさまでした．先生は実家はどこですか？地方なら帰省されるんですか？いずれにせよよいお年をお過ごしください．来年もよろしくお願いします．…後半年賀状みたいですね。
---
愛知県碧南市です．帰省しました．
-
先生は大晦日は何をしてらっしゃいますか？
---
神社にいます．
-
来年もよろしくお願いします
---
こちらこそよろしくお願いします．
-
来年もよろしくお願いします。
---
こちらこそよろしくお願いします．
-
1月4日から授業は早いと思います．
---
1月3日までが休みで1月4日から始まる，のは当然です．学生だけ特別扱いする理由はありません．
-
年明けの休み、もう少しほしい
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ありません．あしからず．
-
ねむいです．
---
ねてください．
-
逆像を考える時の「定義されない場合」というのがよくわかりません．
---
例えば，問題8.1の場合，$f^{-1}(\{a,b\})$ は定義されません．なぜならば，$\{a,b\}$ は終域 $B$ の部分集合ではないからです．
-
逆像の書換ができないのは，例えば
のとき f-1(ア)が定義されないという考えでいいですか？
---
はい，そのような雰囲気の理解でよいです．
-
反例を挙げるのが苦手です．
---
反例を挙げる部分には創造力が必要なので，考えている問題に向き合っていくことで慣れて下さい．
-
像の考え方と写像の考え方がごっちゃになりそうでこわい。
---
$f(.)$ の括弧の中が始域の要素の場合は写像の値であり，始域の部分集合の場合は像になります．しっかりと区別して下さい．
-
今日初めて写像というものが理解できた。
---
演習問題に取り組んで理解を深めて下さい．
-
今まで写像のことがよく分からず、線形代数学で苦労していたが、今回の講義で少し理解できた。
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少しでも理解が深まったのならよかったです．
-
線形でよく分からなかった写像が分かるようになってきました。
---
基本的なことを言いますが，講義で分からなかったことはその講義の中で解決する方がよいです．この場合は線形代数学の講義の中で解決する方がよい，ということです．ある講義で分からなかったことが他のところでカバーされる保証はありません．写像についてはこのような形で離散数学において補完することになりましたが，今後そのようなことが起きる保証はないので，その講義で解決するように「努力」して下さい．
-
前日，"演習問題，見事に撃墜された" と言っていたが，事実その時点で部分集合の証明法を使いこなせていた人はごく少数しかいなかったと担当から言われ，驚きを隠せなかった．…まぁ安心はできないが．
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他の人のことはどうでもよいので，自分ができるのかできないのか，ということだけ気にして下さい．それだけが重要です．「他の人ができないのだから，自分もできなくてよい」ということは，どのように考えてもありえません．
-
提出期限の終った演習問題は答えはないのですか。わからなかったところがいつまでも分からないままなのですが
---
断言します．「答え」と呼ばれるものを配布しても，勉強になりません．なお，「勉強をする」ということと「勉強になることをする」ということは明確に異なる概念なので注意して下さい．
これは前置きで，返答に移りますが，レポートを繰り返し提出して下さい．それだけです．それしか方法はないと思って下さい．
-
中間できたと思っていたのに悪かったです．どこがだめだった等の講評などはないんですか？
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中間試験に対して，個々人に対して講評をすることはありません．レポートではしていますが．
-
中間試験の答案はもらえますか？
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返却しません．保管しておく必要があるからです．
-
思ったよりも中間で点がとれていたのでよかった。
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期末試験もしっかりと準備をしてきてください．
-
中間試験中に、「この書き方で良いのか分からない」という場面に多々遭遇したので、問題を解いて添削を受けようと思った。
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はい，ぜひそうして下さい．そうしていないことは，自分からサービスを受ける機会を失っていると思って下さい．
- 12/5 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- コメントありがとうございました．来週は中間試験です．しっかりと準備をして臨んで下さい．
-
先週の情報演習，見事に撃墜されました．次からはしっかり復習します．
---
いまからしっかり復習して下さい ;-)
-
テストの勉強のために，今までの演習問題のこたえをサイトにアップしていただけないでしょうか．お願いします。レポートを提出して返ってきてときなおしても答えが合ってるか不安なことが多いです。
---
こたえはないので，掲載もできません．
-
演習問題の解答例はありますか？
---
ありません．
-
中間試験の勉強として演習問題を解きたいのですが、解答をいただく (アップロードしていただく) ことはできませんか？
---
解答はないので，掲載もできません．
-
演習問題で終わったものは答えが欲しい。
---
終わったものはありませんし，答えもありません．
-
いよいよテストです．耳よりな情報があれば教えて下さい
---
ありません．
-
中間テストで、持ち込み (A4) というのは、カンペアリということですか？
---
皆さんが「カンペアリ」と呼んでいるものの実体が何であるのか理解していないので，お答えできません．なお，行われるものは中間テストではなく中間試験です．
-
中間試験で高得点 (可能なら満点) を取り、期末試験を余裕を持って受けられるようにしたいです。
---
はい，しっかりと準備をしてきてください．
-
前回に比べてまた難しくなくて、理解しやすかった。
---
前回の内容も重要なので，ちゃんと復習をするようにして下さい．
-
12/12に離散，微積，解析と3つの数学の中間が重なっていてつらいです。
---
お大事に．
-
$A \times B = \{a, b\} \times \{c, d, e\}$ ← この書き方はアリですか？
---
アリです．好きなだけ使ってください．
-
$|X \times Y| = |X| \times |Y|$ は $X= \emptyset$ のときも成り立つ？ このとき $|X| = 0$ なので $|X\times Y|=0$？
---
はい，その通りです．正しく理解できています．
-
$\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$ は集合 $\mathbb{R}$ の直積であることが知れてよかった。
---
いままで何気なく使っていた数学的記法も，しっかりと集合の記法に従っているのだということですね．
-
ベキ集合はどのようなときに使いますか．
---
集合の集合を考えたいときに使います．例えば，A を日本の都道府県をすべて集めた集合だとして，B を日本の都道府県で同じ漢字を共有するものを集めた集合を集めた集合だとします．このとき，B={{宮城，宮崎}，{宮城，茨城}，{山形，富山，山梨，和歌山，岡山，山口}，{福島，福井，福岡}，{福島，島根，広島，徳島，鹿児島}，{東京，京都}，{神奈川，奈良}，{神奈川，石川，香川}，{長野，長崎}，{静岡，岡山，福岡}，{愛知，愛媛}，{愛知，高知}，{滋賀，佐賀}，{大阪，大分}，{長崎，宮崎}} となります (なるはずです) が，これは A の冪集合の部分集合になります．冪集合そのものを考えるよりも，羃集合の部分集合をよく使うかもしれません．
-
べき集合の証明はスライド27のものよりも難しくなりますか？
---
何をもって難しいと思うのかは人によって違うので，答えにくいです．とりあえず演習問題に取り組んで下さい．
-
証明が難しかったです。
---
訓練が必要なので，しっかりと演習問題に取り組んで下さい．
-
どんどんむずかしくなってきた。言葉での証明が多くなって式などをうまく使いこなせない．
---
まず，証明すべきことを論理式でしっかりと書き下し，問われている内容の構造を理解することが重要です．それが分かれば，証明の書き方は通り一辺倒です．
-
最近までテレビゲームやってなかったのに，やりはじめたら，またはまって中間がやばい．
---
最後に「チキショー」とつけてみてください．
-
好きな食べ物は何ですか？
---
コルドン・ブルーです．
- 11/21 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- コメントありがとうございました．来週は調布祭片付けのため休講です．
-
試験で出る3題の演習問題は、発展以外の授業内問題と復習問題と補足問題と追加問題の全ての中からどれか3題が出るのですか？
---
はい，その通りです．
-
テストの過去問はどこかにありますか。
---
「過去の試験問題」として，授業が始まったときからずっと掲載しています．参考にして下さい．
-
中間試験が近付いてきました
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そうですね．しっかりと準備して下さい．
-
中間試験とFFの発売が重なって辛いです．ずっと待ち続けているのでやってもいいですよね．
---
やってもいいですが，試験も合格するようにして下さい．
-
調布祭と物理、数学系の中間テストが近いのでつらい
---
なぜ情報系なのに物理をやらなければいけないのか，と思われているかもしれないですが，情報系だからこそ物理をやって下さい．現実世界のモデル化のうまい成功例が物理学にはたくさん見られます．ソフトウェア作成においても，現実世界のモデル化が必要になります (これは『ソフトウェア工学』の範疇であるとよく言われます)．成功例を知っていれば，いままでできなかったことに対するヒントが得られるわけです．
-
控えめに言ってよく分からなかった…
---
しっかりと復習をして下さい．質問も待っています．
-
分かりやすい証明を書くのは難しいです
---
そうですね．それだからこそ練習する必要があると思います．
-
(集合の) 授業問題むずかしいです．
---
授業内問題は簡単な問題にしているつもりなので，最低限それぐらいは解けるようにして下さい．
-
難しかったです。
---
どこが難しかったですか？ 質問という形で投げかけてもらえれば，答えやすいので，次回は試してみてください．
-
「(1)と集合差の定義より〜」の部分を「(1)より〜」とすることはできませんか？ 定義名を把握してません．
---
そのようにしてもよいですが，それで自分の思っていることが伝わらなければなりません．不安ならば付け加えた方がよいです．
-
証明のときの
〜と仮定する。…(1)
(1)より〜。 …(2)
のように改行していいのか
〜と仮定する…(1)。(1)より… …(2)
のように改行しないのかどっちですか？
---
改行した方が分かりやすいと思いますが，どちらでもよいです．
-
反例を考えるのが難しい
---
反例を考えるためには，いろいろな場合を思い浮かべる必要があり，そこには創造性が必要です．そのため難しいと思われるかもしれません．慣れも必要なので，演習問題を通して学習して下さい．
-
選言三段論法の一例：
- その力士は朝青龍か白鵬である．
- その力士は朝青龍でない．
- ∴ その力士は白鵬である．
---
そうですね．いい例ですね．
-
授業内6.1の問いについてですが，そもそもあの問1のオイラー図が勝手に条件を決めてしまっていませんか？もしかしたら $A\cap C = \emptyset$ という可能性もありますよね (任意の集合なので)．よって反例のあげ方も様々なものになりえるということでいいんですか？ → 先生の説明でなんとなく解決しました
---
はい，オイラー図が勝手に条件を決めてしまっているため，間違った図になっているわけです．勝手に条件を決めてしまっていないか，ということを確認するのは難しいので，図に対して過度な信頼を置くのはよくない，という教訓を示しているつもりです．
-
1限ってどうしてこんなに眠いのでしょう？
---
あのこがわたしをなやませて，わたしがあのこをなやませて，みんながみんなをなやませて，みんなが心を痛めてるからです．
-
研究室めぐろうと思います。
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はい，ぜひよろしくお願いします．
-
調布祭のオススメイベントを教えてください。
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調布祭としては，オープンキャンパスにしか関わらず，それ以外のイベントを何も見ていないので，わかりません．すみません．
- 11/14 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．
-
最近眠い
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最近だけでよかったです ;-)
-
1限眠いけどがんばって来ました。
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慣れてくれば，辛くはないはずです．9:00始業はむしろ遅い方だと思います．
-
徹夜レポ明けの一限がつらいです。
---
徹夜しなくてもよいように準備して下さい．
-
たくさん寝たのに眠たかったです。
---
眠りが浅いのかもしれません．運動してから寝ると効果があるようです．
-
やっぱり寝不足なのに「授業中、寝てしまうんですよ。どうしたらいいですか。」と尋ねるのがおかしいと思います．
---
でも寝不足なのだから仕方ありません ;-)
-
お疲れさまです。すっかり寒くなりましたね．家から出るのがイヤな季節になってきました．大学に来たくなる面白い一発かまして下さい．お願いします．□
---
残念ながら，そのようなものはありません ;-)
-
ベルの音にビビりました
---
私もビビりました
-
久しぶりに出たが，分かりやすかったので次回からも出たいと思った
---
では，そうして下さい．(^^)
-
毎週授業を楽しみにしています。ベルだとたたきおこされる感じなので萌えボイスの方が良いと思います。
---
個人個人の萌えポイントが違うので，萌えボイスは難しいです．;-)
-
∀x と ∃y が混在した命題をとくのに時間がかかってしまいます。
---
時間がかかってもよいです．できるようになって下さい．
-
先生は授業のスライドを作るのにどのくらい時間をかけていますか。また、わかりやすいスライドを作るコツなどを教えて下さい。
---
一から作る場合は10時間ぐらいかかってます．要領が悪いので．授業のスライドは昨年のものをもとにしているので，その場合は1時間から2時間ぐらいで済みます．コツは，例や図をたくさんいれることです．
-
証明の書き方をしっかりと身に付けたいです．
---
はい，それが授業の目標なので，しっかりと身に付けて下さい．
-
証明がややこしくなってきた
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そうですね．証明の書き方に従って順番にやっていけば難しくないと思うので，ひとつひとつ手順を踏んでいって下さい．
-
分かりやすかった．
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すぐに難しくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい :-)
-
あえてスライドを印刷せずにノートにメモを取るようにすると、眠くなりにくいと思います。
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提案，ありがとうございます．個人個人，眠くなりにくくする方法は違うと思いますが，皆さんも何かありましたら，お寄せ下さい．
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特になし
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なにかありましたら，よろしくお願いします．
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特になし
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同上です．
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授業内問題は深く考えないで解いた方がいいのですか？
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深く考えて，単純に解いて下さい．この授業で扱っているものはすべて単純だと思って下さい．
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直感的に正しいと思えてしまう証明はどう文章にしたら良いか迷いがちになる。
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たしかにそうですね．証明の書き方に沿おうとすれば，書き方が自然に浮かび上がると思います．
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背理法は「最初の命題の否定が成り立たない」なら「最初の命題が成り立つ」だと分かると同時に日本語って難しいな、と感じました。
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そうですね．日本語が難しいと感じると，様々な表現や言明に対して研ぎ澄まされた感覚が養われていくと思います．
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どれくらいできれば秀とれますか？ やはり演習問題の発展をさらさら解けるぐらいじゃないと秀とれませんか？
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成績の付け方は初回にアナウンスした通りです．スライドにも書いてありますので，ご覧ください．中間試験と期末試験，どちらも6題出題されます．それらは講義の演習問題と同じ形式で，3題は演習問題そのものです．発展問題は対象外です．1題10点として採点されます．計120点満点です．100点を超えた場合は100点となります．以上です．
-
$a=b+\varepsilon$ となる $\varepsilon$ が存在することは証明しなくて良いのですか？
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どの部分のことを指しているのか分かりませんが，$a \geq b+\varepsilon$ であることから，$a = b+\varepsilon$ となることは導けないので，$a = b+\varepsilon$ を満たす $\varepsilon$ が存在することは証明できません．
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お腹がすきました。先生はお昼は何を食べますか。
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生協食堂でごはんを食べました．
- 10/31 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．来週は休講です．お間違えのないように．
-
この紙は記名は要りますか？
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要りません．匿名推奨です．
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次回からレポートを提出してもいいですか？
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是非どうぞ (^^)
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レポート及びこの紙の書式指定はありますか？
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ありません．ただし，レポートについては，学籍番号と氏名を必ず記入し，複数枚に渡る場合はホチキスなどで留めて提出して下さい．
-
テストに出る問題のはんいはプリントのどこですか？ (忘れてしまってスミマセン)
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「発展問題以外のすべて」だと思って下さい．
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発展問題が解けなかったので、確認したい
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難しいかもしれないので，時間をかけて考えて下さい．
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先生は今日渋谷には行きますか？ 自分は行きません．活気に満ちすぎです．もうそんな気力も気概も失いました。
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私も行きません．危害を加えられなければ楽しいかもしれないですね．
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仮装しましたか．
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してません．衣装を貸そうともしていません．
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いつもおつかれ様です。お菓子下さい。
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「Trick or Treat」は「Treat or Trick」と同値で，つまり「(not Treat) → Trick」と同値なので，「お菓子をくれなきゃ，いたずらするぞ」という意味になるわけですね．
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mod という記号を初めて知りました。
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何の断りもなく使ってしまったのはよくなかったです．すみません．余りを表す記号です．
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証明の最後の「□」の位置は右端ですか，それともピリオドの直後ですか．
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どちらでもよいですが，右端に置かれることが多いです．
-
証明を行う際に論理式を用いてもよいですか。
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よいですが，あまりお勧めできません．人間が文章として理解できないからです．
-
証明をするときに改行はしてはいけないのですか？
---
Rule of thumbとしては，「改行してはいけない」と思っていて下さい．
-
証明する式がどんなに複雑だったり，長かったりしても改行してはいけないんですか？
---
普通の文章において，改行するのは段落を改めるときです．そうでないときに改行することは好まれません．それは証明でも同じです．その一方で，段落を改める必要があるほど証明が長くなる場合には，積極的に段落を改めて，その際に改行をして下さい．
-
「したがって、このような自然数は存在する」のように証明末尾を簡略化しても良いのでしょうか？
---
あいまいにならなければ，簡略化してもよいです．
-
$Q$ の中に変数がないとき
$\forall\ x\ (\not P(x) \lor Q) \Leftrightarrow \forall\ x (\not P(x)) \lor Q$
としていいのですか。
---
はい，よいです．今回のスライドでいえば，9ページ目にある分配法則にあてはまります．
-
集合 P(x) と P，Q(x) と Qなど，(x) が付く付かないでどのような違いがあるのでしょうか。
---
集合ではなく，命題ですね．P(x) と書く場合には，x が変数として P の中に現れていると思って下さい．例えば「x は素数である」というような命題 (命題関数) です
．その一方で，変数が現れない場合や変数を気にしない場合，単に P と書く，と思っていて下さい．
-
次は成立しますか？
\[
\forall\ x\ (\forall\ y\ (P(x,y))) \Leftrightarrow \forall\ x,y\ (P(x,y))
\]
\[
\exists\ x\ (\exists\ y\ (P(x,y))) \Leftrightarrow \exists\ x,y\ (P(x,y))
\]
---
短い答えは「そのように書き換えてもよい」です．成立するか，成立しないか，と言われると，まず，「$\forall\ x,y\ (...)$」という書き方がどういう意味なのか，ということをはっきりとさせる必要があります (その書き方を定義していないので)．
その観点からもう一度答えると，「⇔」の左側に書いてある論理式を「⇔」の右側に書いてあるもののように表してもよい，ということになります．あるいは，右側のように書いたら，それは左側にあるものを意味する，ということになります．
-
命題変数 P は ∀x (P)，∃x (P) の両方に変形できますか？ また、この命題 P には真偽などはありますか？
---
命題変数 P に対して，Pの中に x が自由変数として含まれなければ，P ⇔ ∀x (P) と P ⇔ ∃x (P) が成り立ちます．Pは命題変数なので真偽が定められます．
-
演習問題，補足3.8 がわかりません．謎が深まるばかりです．
---
ヒントです．D = {a, b} のとき，∀x∈D (P) は P∧P になります．
-
述語論理式の変形で変形するときの名前を書いて証明する必要はありますか？
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「必要」はありませんが，書くことをお薦めします．そうすれば，どの法則を使っているのか，自分自身で確認することができるからです．そうしない場合に，存在しない法則を勝手に使ってしまうおそれが出てきます．
-
かなり為になるのでもっと早くに学びたかった．
---
「語学としての数学」を扱っていて，数学は理工学の基礎ですから，為になるのは当然，といえば当然です．その意味で，この手の授業がI類 (情報系) でしか必修でないのは残念であるともいえますし，I類の皆さんは得をしているとも言えます．
-
証明は外国語と同じように，文法を頭に入れることが大切であると思った。下書きと清書を意識して分けるよう心がける。
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「語学としての数学」なので，ある程度のパターンを習得することは大事だと思います．徐々に慣れていって下さい．
-
同値変形から一転して急に証明が生々しくなったのでおもしろかったです。
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「生々しく」という表現が面白いですね．文章を書く，というのは，人間が行うことのできる重要な知的作業であって，それをうまくできることは重要な技術なので，しっかりと身につけて下さい．
-
論理的思考を是非とも体得したいと思った。
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「証明法」について今後2回，続けて扱いますので，是非体得して下さい．
-
だんだんむずかしくなってきた
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そうですね．授業は積み重ねで成り立っていますから，前の部分もしっかりと復習して下さい．
-
証明問題などで文章で読み手を理解させることは案外難しいです。日頃使っている日本語がいかに適当なものか考えさせられました (笑)
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日頃使っている日本語も見直していく必要があるのかもしれません．
- 以下，休憩からの復帰と関連する話題について
-
休憩を長くすればいいと思いました．
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それだと，もっと長く寝るだけになると思います ;-)
-
休憩を一口水を飲んでのびを数回といったものにする。
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勝手にのびてよいです ;-)
-
前日にしっかり寝る (重要)
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はい，私も重要だと思います．
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眠かった．
---
眠っていてもよいです．音を立てて周りをじゃましないのであれば．
-
電車で立ちながら寝たいです。良い方法はありますか。
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木の上で寝る動物もいるので，素晴らしいバランス感覚があれば寝られるのではないかと思います．私はやりませんが．
-
鐘を鳴らす。
---
ちょっと試してみます．不快かもしれませんが．;-)
-
眠気覚ましにお茶飲んでもいいですか？
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よいです．
- 10/24 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- コメントありがとうございました．今回，はじめてレポートを返却しました．再提出の際は，一度提出したレポートも付けて下さい (そうでないと，どの部分がどう改善されたのか分からないので)．
-
レポートの提出というのは毎回次回が締切ですか？
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経験上そうなることが多いですが，もしかしたらそうならないこともあるかもしれません．
-
レポートは答えが資料に載っている問題や真理値表などの簡単な問題などを省略して分からない問題のみ解いて提出しても良いですか？
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よいですし，それを推奨します．
-
レポートに正しいかどうかのみでなく，解答 (と言わないまでもヒント) を書いてくださるとうれしいです。
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第1回の問題はヒントを書くまでもない問題が多いので，ヒントすらない，という状況になっています．今後進んでいったとき，ヒントを与える場合もあります．ヒントがない場合は，「ヒントがなくても考えればわかるだろう」という私の見通しがあります．もし分からなければ，直接質問をして下さい．能動的に質問すること，そして，それができるようになることが重要です．
-
第2回レポートの同値変形 難しかったです．結合法則ってすごいなって思いました。
---
何気ない法則がとても強力だったりしますよね．そういう経験をいろいろなところで今後することになると思います．
-
命題と集合の区別が、演習問題の同値変形をやって理解できるようになってきました！
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それはよかったです．「できなかったことができるようになる」というのが勉強の上で重要なことなので，今後も心がけて下さい．
-
休憩で寝てしまうと起きられない
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では，次回，休憩から復活するためのアイディアを皆さんから募集します．
-
どうしても授業中眠くなってしまうので、眠気覚ましのアメなめてもいいですか。
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いいですよ．(^^)
-
おつかれさまです。
---
おつかれさまです．
-
先週の金曜日にスライドの印刷用を図書館で印刷したのですが，何度やっても1ページ目だけ上手くできませんでした。スライド4枚目の "今日の目標" の下から空白になってしまいます。
---
おそらく，情報基盤センターのプリンタそのもの，あるいは，プリンタドライバが古いため，印刷できないのだと思います．すみませんが，CEDで印刷するか，自宅，あるいは，コンビニで印刷して下さい．
-
授業前にスライドだけ見てピンと来なかった所も、授業で説明を聞くと分かるようになりました。
---
そのために授業があります．疑問点を解消していくことができるならば，授業に出席している意味はあるのかもしれません．
-
予習段階では $\forall\ x \in D\ (P(x))$，$\exists\ x \in D\ (P(x))$ の構造を
と解釈して混乱していたため、授業で理解できてよかったです．
---
構造を理解することは重要なので，そのつまづきポイントが除けてよかったです．
-
これまで数学の授業でよくわからなかった∀と∃がわかるようになった。
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もしかしたら，いままで「何となく」使っていたのかもしれませんが，これでしっかりと意味が分かるようになったと思うので，その視点でいままでの内容も見返してみると，理解が深まるかもしれません．
-
∀，∃をPCでうつときはどう入力するのか知りたい。
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私のIMEでは，「すべて」の変換候補に「∀」があり，「そんざい」の変換候補に「∃」があります．ちなみに，LaTeX では，∀を「\forall」と書き，∃を「\exists」と書きます．
-
文字だけでは分かりにくくても自分で分かりやすい例を挙げて言葉で置き換えると分かりやすかった．
---
「自分で例を作る」というのはとても重要です．それによって抽象的な概念が手に取るように理解できるようになっていくのです．
-
恒真式における名称を覚えないといけないのですか？
---
覚えなくてもよいです．
-
述語論理による恒真式の法則が複雑だった。
---
確かにそうですね．まず，「記号がただ並んでいる」と見えるものの構造をしっかりと見極めることが大事ですね．そうすると，論理式が何を意味しているのかわかりやすくなってくるので，そうすれば恒真式の適用もやりやすくなります．述語論理の同値変形は次回扱います．
-
「ある人は自転車に乗れない」というのは「自転車に乗れない人もいる (乗れる人も当然いる)」ということですよね？
---
「自転車に乗れない人もいる」というよりは「自転車に乗れない人がいる」の方がニュアンスとしては正しく，つまり，「乗れる人も当然いる」というのは正しくないです．誰も自転車に乗れない場合でも「ある人は自転車に乗れない」という命題は真になります．「ある人はUFOに乗ったことがない」というのは「UFOに乗ったことがない人がいる」という意味ですが，これは，誰もUFOに乗ったことがない場合でも真になります．
-
$\forall\ x \in D\ (P(x)) \lor Q\ \Leftrightarrow\ \forall\ x \in D\ (P(x) \land Q)$
なぜ成り立たないのか！
---
理解の仕方は人それぞれですが，2通りの説明を考えてみました．
1つは，記号のままで扱って，形式的に成り立たないことを説明する方法です．例として，$D=\{a\}$ の場合を考えます．そうすると，左側の $\forall\ x \in D\ (P(x)) \lor Q$ は $P(a) \lor Q$ と書けます．一方で，右側の $\forall\ x \in D\ (P(x) \land Q)$ は $P(a) \land Q$になります．つまり，違うわけです．
もう1つは，$P(x)$ と $Q$ を具体的な命題にして，考えてみる方法です．例えば，$D$ を実数全体の集合，$P(x)$ を「$x$ は正の数である」という命題関数，$Q$ を「$\sqrt{2}$ は無理数である」という正しい (真の) 命題であるとします．このとき，左側の $\forall\ x \in D\ (P(x)) \lor Q$ は「すべての実数 $x$ は正の数であり，かつ，$\sqrt{2}$ は無理数である」という命題となり，これは偽です．一方，右側の $\forall\ x \in D\ (P(x) \land Q)$ は「すべての実数$x$ に対して，『$x$は正であるか，そうでなければ，$\sqrt{2}$ は無理数である』」という命題になって，これは (よく考えれば) 真です．つまり，真理値が違うので，この2つの命題は同値ではありません．
2番目のように例を作るとき，分かりやすい例は個人個人違うので，自分が理解できる例を自分で考えてみるとよいと思います．
-
じゃんけんや○×ゲームのスライドがわかりやすいので理解しやすく、復習もしやすくて助かります．
---
はい，積極的に復習をして下さい．
-
ゲームとして考えるのはいいと思った．
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「使える視点」なので，使っていって下さい．
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相手と自分のゲームという視点がわかりやすかったです。
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この視点があるかないかで，述語論理に対する直感が大きく変わってきます．いろんなところに出てくるので，役立てて下さい．
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相手と自分の例えがわかりやすかった。
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自分でも例を作ってみてください．理解が深まると思います．
-
先生はゲームはしますか？ 自分は昨日やりすぎて今日眠いです。(寝てないですよ。)
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「寝てないですよ」が，ゲームをやりすぎて一睡もしていないことを意味しているのか，眠いけど授業中に寝てないことを意味しているのか，分かりませんでした ;-) ゲームはしますが，いわゆるアナログゲームの方が好きです．研究室にいくつか常駐させています．
-
今期の授業の中で一番楽しく、分かりやすいです。命題系は苦手ですががんばってついていきたいです。
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記号を処理していく，という手続きになるので，1つ1つの記号の意味をしっかりと捉えることと，構造がどうなっているのか確認していくことが重要ですね．
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前回，前々回にくらべてぐっと難しくなったと感じる。
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たしかにそうだと思います．毎回難しい内容が入ってくるので，しっかりと復習をして下さい．
-
いつもすばやいコメント対応ありがとうございます。今日はいつもより難しい内容だったのでしっかり復習しようと思います。
---
この欄は私の生きがいなので ;-)
-
来週は木分解をする気分かい？
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道分解をします．
-
閉論理式で何個もつながっているときは真理値表で今後解いていくのですか？
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真理値表はあまり使っていかないことになります．それよりは，同値変形，および，次回以降扱う「推論」を用いていきます．
- 10/17 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- コメントありがとうございました．この欄は私の生きがいなので，どしどしコメントをお寄せください :-)
-
webでコメント返ししてますね。ありがたいです。
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質問にもお答えしますので，積極的に活かして下さい．
-
電車が遅延してギリギリ間に合わなかった．
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お疲れ様です．資料は公開していますので，それを用いて復習をしておいて下さい．
-
実質含意の例を更新しといて下さい。
---
例を変えようと思ったのですが，うまい例が見つからなかったので，そのままにしておきます．すみません．
-
レポートには解答かいていただけますか。
---
書かれません．自分で考えることが重要なので，そのためのヒントしか書かれないでしょう．
-
前回も思いましたが，スライドとてもわかりやすくて，助かります。
---
スライドだけ見ても理解しづらい部分はあると思います．その点は講義に出てしっかりと理解するようにして下さい．質問があればいつでもどうぞ．
-
楽しいです。
---
よかったです．この後，もっと楽しくなります ;-)
-
証明のときに色分けされているのは分かりやすかったです。
---
どの部分に法則を適用しているのかを示しているつもりです．色に対する感覚が弱い方もいることは承知していますが，無視しているわけではないのでご了承ください．
-
分かりやすかった．良かった．
---
油断するとすぐにわからなくなるので，しっかりと復習をして下さい．
-
自然数全体を表す大文字エヌとかの書き方が分かりません。
---
$\mathbb{N}$ は「Iの右にN」を置くように書くことが多いと思います．
-
集合で∩キャップ∪カップと紹介したときに、先生の「式は読むものではない」という名言に少し感動した。
---
一歩間違えれば迷言ですが，本当にそう思っています．あるいは，日本語の読み順で理解しようとすると難しいことも多く，英語の読み順で理解した方がよいことも多いと思っています．
-
第1回の講義で命題でも∩，∪を使っていいと思っていたが，今回の講義で∧，∨との違いを理解できた。
---
明確な違いがあるので，今後も注意して下さい．
-
∩∪，∧∨の使う所をしっかり自分で見極められる自信がありません。
---
記号が出てきたとき，その記号が何を表しているのかを明確に意識することが重要です．何気なく A+B と書いたりしますが，このA, Bが実数なのか，ベクトルなのか，行列なのか，そして，行列ならばそのサイズは何なのか，といったようなことです．∩∪は集合に用いられ，∧∨は命題に用いられます．自分の書く文章において，一語一語に注意を払って下さい．
-
いままで論理と集合がごっちゃになっていたので今日学べてよかった。
---
実際，ごっちゃになっている人が多くいます．それが区別できるようになれば，ちゃんと成長できていることになります．定着できるようにしっかりと練習して下さい．
-
集合については「＝」を用いて，論理については「⇔」を用いるんですね？論理と集合の区別がつきません…
---
そうですね．「等しい」ということばは案外あいまいです．2つのものが等しいというとき，何をもって等しいと呼ぶのか，しっかりと定義をしないといけないのです．例えば，一卵性双生児は同じDNAを持っているそうなので，その意味では「等しい」のかもしれません．「等しい」ということばに対する考察は第11回「同値関係」のところで詳しく取り扱います．
-
証明：… □
↑これは論理の証明以外でも使えますか？
---
はい，使えます．今後の講義でも出てきますし，他の講義でも出てきます．
-
実際に問題を解いてみたら難しかった。
---
それだからこそ演習問題に取り組む価値があります．しっかりと復習して下さい．
-
実際に自分で同値変形をしようとすると、全くできなかった。
---
それに気づくことも重要です．できるように努力して下さい．
-
同値変形が上手にできると楽しいですね
---
そうですね．慣れてくると，ある程度機械的にできるようになります．
-
何回か練習問題を行って同値変形に慣れたい
---
はい，演習問題に取り組むことは重要なので，励行して下さい．
-
実質同値やド・モルガンの法則などはすぐに使えるように覚えた方がよいのでしょうか。真理値表を書けば明らかですが同値変形でよく使っているので…
---
覚える必要はないですし，覚えようと思わないでください．覚えようと思って覚えると，すぐに忘れます．それでは意味がありませんし，覚えることは記憶容量と時間の無駄遣いです．忘れたときに簡単に調べられるよう，まとめておくことが重要です．
-
同値変形、難しい。まあ法則を覚えるのが最善手か。
---
同上です．覚えようとするのはやめて下さい．無駄です．
-
定義が多く，ややこしく感じた。
---
たしかに多く，ややこしいです．しっかりと復習をして下さい．
-
法則が多く出てきて大変でした．
---
毎回，こんな感じで何かが多く出てきます．手に負えなくなる前にしっかりと復習をして下さい．
-
変形して証明することが難しかったです。
---
慣れが必要なので，演習問題に取り組んで理解を深めて下さい．
-
同値変形ができる気がしない
意味は分かった
？
定義による分解→分配，結合による形の整理→定義によるまとめ
---
そうですね．集合のことばで書かれたものを，一旦，論理のことばで書かれたものへ完全に翻訳することが重要ですね．
-
同値変形が難しそう！
---
次回も出てきます．;-)
-
だんだん難しく感じてきました
---
今後，もっと難しくなるので，しっかりと復習するようにして下さい．
-
わからないのでがんばらないと
---
質問はいつでもどうぞ．演習の時間でもよいですし，この紙でもよいので，質問をして下さい．一人で何もかもやろうと思わないことが大事だと思います．
- (1) 10/3 集合と論理 (1)：命題論理
- コメントありがとうございました．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
- まず，出席者数にくらべて，この紙を提出している人の数が少なすぎます．提出して下さい．宜しくお願いします．
-
レポートを提出したら返却は来週の授業になりますか？ (ノートにやってもよいかの確認です．)
---
来週であるとは限りませんが，次回の授業の演習の時間に返却します．ノートではないほうがよいと思います．
-
レポートはルーズリーフに解答のみかいて提出しても大丈夫ですか。
---
大丈夫です．氏名も必ず書いて下さい．複数枚に渡る場合は，ホチキスか紐で留めて下さい．
-
宜しくお願い致します．
---
こちらこそ，よろしくお願い致します．
-
これからよろしくお願いします
---
こちらこそ，よろしくお願い致します．
-
初回のわりには楽しかった
---
「初回のわりには」って面白いですね :-) 次回も，2回目のわりには楽しくなるように，頑張ってみます．
-
最初で眠たかった．
---
じゃあ，2回目はシャキっとして来てください．;-)
-
離散数学のイメージと違った．
---
そういう意味では，どんどん裏切っていくことになると思います．よろしくお願いします．
-
最初の授業だからというのもあるのでしょうか，なじみやすかったと思います。よろしくお願いします。
---
はい，よろしくお願いします．
-
不安でしたが，これから楽しく学んでいけそうです．
---
あまり不安になる必要はないですが，しっかりと勉強して下さい．
-
難しく感じました。
---
新しいことをやるわけですから，簡単ではないと思います．演習を通してしっかりと復習して下さい．質問についても，いつでもお待ちしています．
-
難しかったです。
---
演習に取り組むことが重要なので，励行して下さい．
-
部屋が暑い
---
そうでしたね．次回は気をつけます．
-
暑い
---
授業中に指摘してもらってもよいのです．そうでなければ，不快な環境の中で授業をやることになるわけですから．
-
すごく暑かったです。
---
窓を閉め切る必要はないので，暑い場合は開けて下さい．
-
室温が高かった．クーラーを付けて欲しかった
---
今回の場合はクーラーでなくても換気で十分だった気がします．次回は気をつけましょう．
-
覚えることが多そうだと感じた．
---
授業のときにも言いましたが，覚えようとしないでください．思い出せるようにまとめておくことが重要です．
-
楽しかったです。頑張って出席します
---
はい，よろしくお願いします．
-
難しかったけど楽しかったです．
---
大学の授業なので，難しいことは，ある程度覚悟して下さい．楽しくなるようには努力します．
-
わかりやすかった
---
今後，だんだんと難しくなっていくので，気持ちを緩め過ぎないようにして下さい．
-
具体例があり分かりやすかったです．
---
イメージを湧きやすくするために，具体例を重視しています．イメージが湧きにくい部分がでてきたら，いろいろな例を考えるようにしてみてください．
-
王さまのパズルの問題になると、よく分からなくなった
---
たしかにこの部分は難しいと思います．演習問題にも似たものがあるので，チャレンジしてみてください．
-
論理パズルは面白くてよかったです．ありがとうございました．
---
「学んだことが，どのように使えるのか」ということも重視しているので，そのような例として論理パズルを出してみました．
-
今いちよく分からないがそういうものなんだとして受け入れるべきですか？
---
まずは，「そういうものなんだ」として受け入れてみてください．はじめはそれでよいと思います．そのうち，だんだんと，その考え方が自然なんだ，と思えるようになってくると思います．別の言い方をすれば，それが自然なんだと思えるぐらい，勉強して下さい．
-
真理表を十分に使いこなせるように頑張りたいです．
---
真理値表ですね．今後の基礎になるので，しっかりと身につけて下さい．
-
P「バットを振る」
Q「ヒットが出る」
P→Qについて，PがF，QがTのときの考え方．→
「別にバットを振んなくても傘を振ってヒットが出ればそれでいいじゃん。」
---
そういう考え方もありますね．ありがとうございます．
-
欠席したら落第する，という例はわかりやすくてよかったです．
---
あまりよい例ではなかったかもしれませんが，それでイメージがつかめたのなら，よかったです．:-)
-
質問：真偽を定められる文は命題なんですが、事実が分からないから真偽が定められrない場合もあると思います。例えば、「UFOは未来人が作ったものである」は正しいかどうかまだ誰でも分からない。真偽を定めるのは難しいです。これも命題ですか。
---
それも命題です．原理上，真か偽のどちらかでしかありえないものは命題です．「定められる」という部分は原理上の話を指しています．一方，「定める」ことは手続きを指しています．真偽を定めるための手続きが存在していなくても，原理上定められれば，それは命題です．
-
演習1.8において，$\mathbb{N}$ は自然数全体の集合であると書かれているが0が含まれている．自然数に0は含まれていないのではないでしょうか？
---
これは難しい話で，短い答えは「場合によります」になります．0が自然数であるかどうか，というのは数学の中の分野によって異なります．そんなことを言われると驚くかもしれませんが，そういうことはよくあります．そのため，私は「自然数」というとき，0の扱いを常に述べるようにしています．そうすれば誤解が生まれなくなるからです．
試験・成績
- 中間試験と期末試験を行います．
- 注意：他のクラスとの得点調整はありませんし，このクラスの中でも得点調整はありません．素点がそのまま成績として報告されます．
- 全体の成績
- 成績 = min{100, 中間試験の素点+期末試験の素点} (小数点以下切り上げ)
つまり，中間試験の素点+期末試験の素点が59.5点の人の成績は60点で，合格になります．
- 得点分布 (受験していない人も含む)：小数点以下を切り上げたものが示されています．
- 受講者数 (履修登録者数相当) は74で，
90点以上 (S) が5人 (約7%)，
90点未満80点以上 (A) が12人 (約16%)，
80点未満70点以上 (B) が15人 (約20%)，
70点未満60点以上 (C) が15人 (約20%)，
60点未満 (D) が27人 (約36%) です．
- 中間試験と期末試験の素点の関係 (散布図)
- 読み方：
1つの点が1人の受講者を表します．
1か所に何点かが重なってる場合もあり，その場合，点が濃くなっています．
横軸が中間試験の素点，縦軸が期末試験の素点．
左下から右上にひかれている赤い点線よりも左上にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも高い人．
右下にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも低い人．
左上から右下にひかれている点線は右上から順に，成績がS，A，B，Cとなる境界を表していて，
右上にいけばいくほど成績がよくなります．
- 期末試験の素点が0点になっている人は，期末試験を受けていません．
- 図を見て分かる通り，期末試験で挽回することは難しそうに見えますが，可能ではあります．一方が20点台であっても合格している人はいます．また，中間試験で50点以上をとった人は，期末試験のできが中間試験を上回れていません．
- 合計得点が50〜59の人が多いですが，その人々がもう少し点を取れれば，全体的な傾向も違って見えたと思います．その意味では残念です．
- 期末試験 (2/20実施)
- 試験問題
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 受験した人の数は71で，
平均点は28.92 (60点満点)．
45点以上 (S相当) が1人 (約1％)，
45点未満40点以上 (A相当) が9人 (約13％)，
40点未満35点以上 (B相当) が6人 (約8％)，
35点未満30点以上 (C相当) が17人 (約24％)，
30点未満 (D相当) が38人 (約53％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| 07N8B | 35 |
| 10289 | 21.5 |
| 11100 | 25 |
| 114514 | 38.5 |
| 1357 | 40 |
| 157584 | 34.5 |
| 2d1c9 | 28.5 |
| 30plus | 23.5 |
| 34567 | 40.5 |
| 63916 | 23 |
| 82546 | 27.5 |
| 85315b | 44.5 |
| 89020 | 25 |
| 98129 | 15 |
| 9nn1a | 30 |
| a4k8b | 24.5 |
| abcde | 21.5 |
| abcxy | 31 |
| aksry | 13.5 |
| amyt3 | 23.5 |
| AOTRS | 38.5 |
| asdfh | 33.5 |
| AYCMT | 19.5 |
| bbsy40 | 30.5 |
| CUNYA | 23.5 |
| Febtw | 34.5 |
| frkgs | 51.5 |
| ftezk | 26 |
| gigir | 26.5 |
| gklsn | 32.5 |
| GrFRk | 30.5 |
| HE4VEN | 24 |
| icddk | 27.5 |
| KS65i | 44.5 |
| Lapis | 41 |
| lbsky | 24 |
| maima | 32 |
| mesut | 33.5 |
| MURKMR | 33.5 |
| NIGHT | 21 |
| Osaka | 41.5 |
| OTMTT | 28.5 |
| Papico | 20.5 |
| PPPPP | 22 |
| QB | 35.5 |
| R1004 | 34.5 |
| R6317S | 17.5 |
| rain6 | 32.5 |
| rmk11 | 32.5 |
| Rof54 | 34.5 |
| rrrsn | 24 |
| score | 33 |
| SM225 | 39.5 |
| sskyo | 12.5 |
| stein | 41.5 |
| suke8 | 24.5 |
| suza22 | 30.5 |
| Thx73 | 41 |
| tpatq | 22 |
| Tuaai | 29.5 |
| Umimi | 36.5 |
| ycabpr | 22 |
| yjsnpy | 23.5 |
| Yt0839 | 27 |
| 単位ください | 19 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：驚くほどできていないです．中間試験の講評にて「期末試験で同じようにうまくいくとは限らないでしょう」と書いたことがそのまま起こりました．その点で私のよみは当たっていましたが，正直な話，こんなものは当たってほしくないわけです．
ここから説教が始まります．大学では高校までの勉強の仕方を捨てて下さい．それではダメです．勉強するために必要な情報がインターネットからすべて手に入るほど，簡単なことをやっているわけではないですし，学年が進めば，その状況がもっと顕著になります．仕事を始めるようになったら，誰かが教えてくれる，ということはなくなると思って下さい．そのためには，ひとりで勉強するというスタイルではなく，周りの人と協力や相談をしながら勉強することを薦めます．ひとりの力は限られますし，ひとりでやれるならば，大学にいる意味はありません．即刻退学して下さい．大学にいるだけの時間がもったいないです．大学にいる意味を見出して，周りの人と協力するためには，自分から動かなくてはダメです．待っていても誰も助けません．今の時点でそれに気付けるなら，まだ遅くはないと思います．
以下，各問題ごとの平均点も記載します．
- 問題1：平均点は3.56．
冪集合に関する性質を証明する問題．演習問題7.12と同じ問題．
ほとんどできていないです．これが10点満点の人は一人しかいません．$X \subseteq A$ を仮定して $X \subseteq B$ を導いたことから，$A \subseteq B$ であると結論づけている人がとても多くいますが，正しくありません．部分集合の定義を見直して下さい．「定義に立ち戻って証明する」という基本ができていないように思いました．
- 問題2：平均点は1.65．
像と逆像に関する性質を証明する問題．演習問題にはない問題．
ほとんどできていないです．これが10点満点の人は一人しかいません (問題1で10点満点だった人とは違う人です)．像と逆像の定義に基づいて証明して下さい．例えば，$f^{-1}(f(X))= f^{-1}\circ f(X) = X$ としている解答は0点です．そもそも，$f^{-1}(f(X))=X$ は成り立ちません (演習問題8.8参照)．像や逆像についてはD演習でもやっています (やっていることを私は知っています)．全く身についていないと思いました．皆さんのD演習の成績を私は知っていますが，D演習の成績において，皆さんはなめられ，あまやかされていると思って下さい．
- 問題3：平均点は7.00．
与えられた写像が全射か単射か判定する問題．演習問題にない問題．予想通りのできでした．答えは「全射でも単射でも全単射でもない」ですが，理由をしっかりと述べて下さい．全射であるかどうか，ということについては，$f(a) = a^3 - a = (a-1)a(a+1)$ と $f(a)$ は連続する3整数の積であることから，$f(a)$ は素数になれない，奇数になれない，6の倍数以外になれない，といったことに着目すればよいです．
- 問題4：平均点は4.34．
同値類に関する問題．演習問題11.8と同じ問題．
割とできていましたが，もう少しできてほしいとは思いました．
(1)の方は，反射性と対称性と推移性をちゃんと導いて下さい．(2)は同値類の定義に基づいて証明して下さい．それがあいまいでは証明が全く進みません．
- 問題5：平均点は7.48．
半順序に関する問題．授業内演習問題12.1と同じ問題．
これは授業でやって，解答まで示している問題なので，もっとできてほしかったです．なお，2016年度前学期にも同じような問題を出していますが，そちらは演習問題と違う内容であって，平均点は8.27です．いかにこのクラスができていないのかが分かります．
- 問題6：平均点は4.89．
再帰的定義に関する問題．演習問題にない問題．
(1)はよくできていましたが，(2)は壊滅的でした．(2)の方で証明すべきことと違うことを証明している (証明しようとしている) 答案がとても多かったです．それは「0以上の任意の整数 $m,n$ に対して，$y=7m+11n$ は $B$ の要素である」ということを証明しているものです．これは問われていることと違います．例えば，次のような証明を書いている人は基本的に点がないと思って下さい．「$m=n=0$ のとき，$7 \cdot 0 + 11 \cdot 0 = 0 \in B$．そして，任意の $m,n\geq 0$ に対して，$y=7m+11n \in B$ であると仮定し，$7(m+1)+11n$ と $7m+11(n+1)$ も $B$ の要素であることを証明する．．．」問われていることは，任意の $B$ の要素が $7m+11n$ という形で書けるということです．この違いが分からなければなりません．
- 中間試験 (12月12日実施)
- 試験問題
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 受験した人の数は74で，
平均点は37.30 (60点満点)．
45点以上 (S相当) が26人 (約35％)，
45点未満40点以上 (A相当) が8人 (約10％)，
40点未満35点以上 (B相当) が6人 (約8％)，
35点未満30点以上 (C相当) が16人 (約22％)，
30点未満 (D相当) が18人 (約24％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| 00829 | 25 |
| 07N8B | 46 |
| 10289 | 46 |
| 10406 | 32 |
| 11100 | 38 |
| 157584 | 50 |
| 18782 | 60 |
| 19980 | 50 |
| 33399 | 21 |
| 61212 | 17 |
| 63916 | 50 |
| 82323 | 33 |
| 82359 | 43 |
| 9nn1a | 51 |
| a4k8b | 31 |
| a78B | 33.5 |
| amjk3 | 34 |
| AOTRS | 60 |
| asbkr | 13 |
| AYCMT | 45 |
| bFgtX | 51.5 |
| c219d | 48 |
| choko | 19 |
| CRBYS | 33 |
| Dectw | 60 |
| EXFY2 | 36 |
| frkgs | 57 |
| ftekz | 39 |
| fwhsg | 39 |
| GFQMS | 24 |
| GRVAM | 40 |
| ikr3A | 43 |
| kai23 | 41 |
| La61s | 59 |
| lk8t | 34.5 |
| lpbsk | 43 |
| mesut | 45 |
| mfajd | 33 |
| piyo2 | 22 |
| pomus | 35 |
| prfml | 31 |
| R1004 | 53.5 |
| R6317S | 58 |
| ricky | 54 |
| rsuzu | 32 |
| Saitama | 43 |
| SBKR3 | 20 |
| score | 46 |
| skghti | 12 |
| SSPPR | 26 |
| stein | 56 |
| stsz6 | 38 |
| suke8 | 48 |
| Szk51 | 51 |
| TAIWA | 23 |
| tkg58 | 31 |
| TMWC5 | 23 |
| tomc4t | 30 |
| towky | 53 |
| tpana | 31 |
| ub0b1b | 30 |
| UECbc | 26 |
| ycabpr | 48 |
| yjsnpy | 33 |
| ymkymk | 7 |
| yt839 | 46 |
| 玉袋筋太郎 | 50 |
| 独眼龍政宗 | 29.5 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：できている人とできていない人の差が大きいです．また，できている人の答案を見ても，高校数学の経験に依拠したものが多く，その人たちは，期末試験で同じようにうまくいくとは限らないでしょう．しっかりと勉強しなければ，かなりまずい状況に陥ると思います．また，自分の書いていることを自分が分かっているのかどうか判断できないものも結構あります．適当なことを書けばよいというものではないので，注意して下さい．以下，各問題の平均点も記載します．
- 問題1：平均点は8.08．
(1) は集合を具体的に答える問題．演習問題1.8と同じ．
(2) は述語論理の同値変形に関する問題．演習問題4.12と同じ．
よくできていました．(1)の $C$ については，$\emptyset$ と $\{\emptyset\}$ の違いを分かっていない回答が多く見られました．
- 問題2：平均点は6.85．
同値変形により集合に関する等式を証明する問題．演習問題には無い問題．
もっとできていて欲しかったと思っています．途中の変形で何をしているのか私から見て明らかではないものは減点しています．ポイントは「私から見て明らかではない」ということです．証明はコミュニケーションなのですから，私が理解できるように書いて下さい．また，記号の使用法や区別に無頓着な回答も散見されました．そのような文章は私の中でコンパイルエラーを起こしますので，点数はほとんどないと思って下さい．例えば，「$(A-(B\cap C))\cap C \Leftrightarrow x \in (A-(B\cap C))\cap C$」という句は意味を成しません．「$\Leftrightarrow$」の左側が集合で，右側が命題だからです．また，集合 $B$ に対して，「$\neg B$」と書くこともダメです．「$\neg$」は命題に対して使われる記号だからです．
- 問題3：平均点は8.68．
例を挙げることにより証明する問題．演習問題4.16と同じ．
よくできていました．例を挙げていない解答は減点しています．
- 問題4：平均点は4.32．
背理法により証明を行う問題．演習問題5.19と同じ．
できが悪かったです．背理法のための仮定が間違っている場合，0点です (そこが背理法のキモなので)．そして，その通り，仮定が間違っている回答が多く見られました．「$P$ ならば $Q$」を背理法で証明するときに仮定することは「$P$ かつ $\neg Q$」であり，「$P$ ならば $\neg Q$」では決してありません．注意して下さい．
- 問題5：平均点は5.73．
集合に関する証明問題．演習問題には無い問題．
正答は「正しくない」です．正しくないことの証明は反例を挙げることで行って下さい．
- 問題6：平均点は3.63．
集合に関する証明問題．演習問題には無い問題．
正答は「正しい」です．仮定のある集合の包含関係の証明なので，同値変形で行なおうとはしないでください．同値変形のような形で正答にたどりついている回答もありますが，そのような回答は非常に読みづらいものが多く，減点したくなる気持ちに駆られました．正しいかどうか，という点だけではなく，読みやすいかどうか，という点にも気を配って下さい．
公式シラバス
こちらをご覧ください
スケジュール (予定)
- 10/3 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
- 10/10 体育の日
- 10/17 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- 10/24 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- 10/31 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- 11/7 休講 (海外出張)
- 11/14 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- 11/21 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- 11/28 調布祭片付け
- 12/5 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- 12/12 中間試験
- 12/19 (8) 写像 (1)：像と逆像
- 12/26 冬期休業
- 1/2 振替休日
- 1/9 成人の日
- 1/16 (9) 写像 (2)：全射と単射
- 1/23 (10) 関係 (1)：関係
- 1/30 (11) 関係 (2)：同値関係
- 2/6 (12) 関係 (3)：順序関係
- 2/8 (13) 証明法 (4)：数学的帰納法
- 2/13 (14) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- 2/20 期末試験
過去の講義
注意：内容や説明法は毎年変化しています．
過去の試験問題
注意：内容や説明法，試験範囲は毎年変化しています．
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