離散数学
電気通信大学情報理工学部情報・通信工学科 I3クラス
2015年度前学期
金曜3限 (13:00-14:30)
教室：西8-131
岡本 吉央
ショートカット：講義資料 | コメント | 試験・成績 | 公式シラバス | スケジュール | 過去の講義
期末試験
- 日時：8/7 (金) 第3時限 (13:00に開始するので，それまでに着席すること)
- 教室：西8号館 131教室 (いつもの講義室)
- 持ち込み：A4用紙1枚分 (裏表自筆書き込み) のみ可
- 出題範囲：第8回講義の最初から第15回講義の最後まで (補講は含まない)
- 形式：
- 演習問題と同じ形式の問題を6題出題する
- その中の3題は演習問題として提示されたものと同一である
(ただし，「発展」として提示された演習問題は出題されない)
- 配点：1題10点満点，計60点満点
レポートの返却
レポートの返却は以下のように行います．
- 7/24提出のレポート：7/31の補講のときに返却します
- 7/31提出のレポート：8/4の15:00以降，西4-206号室の前にある靴箱の上に「レポート返却箱」を置きますので，自分のものを持ち帰って下さい．
講義資料
新たに掲載したとき，つぶやきます
- (16) 7/31 補講：グラフ
- (15) 7/24 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- (14) 7/17 証明法 (4)：数学的帰納法
- (13) 7/10 関係 (4)：関係の閉包
- (12) 7/3 関係 (3)：順序関係
- (11) 6/26 関係 (2)：同値関係
- (10) 6/19 関係 (1)：関係
- (9) 6/5 写像 (2)：全射と単射
- (8) 5/29 写像 (1)：像と逆像
- (7) 5/22 証明法 (3)：集合に関する証明
- (6) 5/15 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- (5) 5/8 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- (4) 5/1 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- (3) 4/24 集合と論理 (3)：述語論理
-
スライド (4/24修正) |
印刷用スライド (行優先) (4/24修正) |
印刷用スライド (列優先) (4/24修正) |
演習問題 |
用語集
- 演習問題3.3, 3.4, 3.5の締切は延長．
- 印刷について：図書館の端末はうまくいかないようです (東3号館1階の演習室もうまくいきませんでした)．おそらくプリンタが古いのではないかと思います．西9号館2階の計算機室を使えるならば，そこのプリンタではうまく印刷できます．
- (2) 4/17 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- (1) 4/10 集合と論理 (1)：命題論理
コメント
- (16) 7/31 補講：グラフ
- コメントありがとうございました．通常回は今回が最後でした．次回は補講となります．
- 音楽について
-
先生とは音楽の趣味が合いそうです．
---
どの辺りでそのように感じましたか？
-
A. ドヴォルザーク作曲のスラヴ舞曲1番 吹いたことあります (Bass-Trombone)
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どれくらい知名度がある曲なんでしょうかね？ クラシック好きには知られていると思いますけど，テレビとかで頻繁に流れる曲でもないような気がしますし．
- 今回の講義内容について
-
再構成予想に関して私は真に驚くべき証明を見つけたがこのコメント用紙はそれを書くには狭すぎる．
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twitterで証明を書いて下さい．;-)
-
再構成問題を解決できたらどのくらいの功績になりますか。ノーベル賞ですか。
---
数学にはノーベル賞がなく，それに近いものがフィールズ賞であると言われています．離散数学に限ればファルカーソン賞というものもあります．
-
再構成にコツなどがあれば教えてください
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デッキを見れば頂点の総数が分かります．そして，注意深くデッキを見れば辺の総数も分かります．そこから取り掛かるとよいと思います．
-
頂点を2つ以上取り除いたものを再構成することはできますか？
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その問題も考えられていますが，答えはわかってないはずです．
-
---
この講義では1コマ分しかできませんでしたが，また別の機会に勉強して下さい．
- 1学期間終えて…
-
半年間ありがとうございました
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こちらこそありがとうございました
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楽しかったです
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楽しんでいただけてよかったです．
-
難しくてわからないところもありましたが、授業は楽しかったです。半年間ありがとうございました。
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試験までには理解して下さい．ありがとうございました．
-
面白かったです ありがとうございました
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こちらこそありがとうございました．
-
(^ω^)ノシ
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ヾ(^ω^)
-
期末はやさしくしてください
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ちゃんと準備してきてもらえれば，やさしく感じると思います．
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半年間ありがとうございました。また来年も3年次の講義でよろしくおねがいします。
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ありがとうございました．しっかりと進級できるようにして下さい．
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おれは修造のことが大好きだー！！
ついでに、岡本先生も。
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ついで，でも，ありがとうございます．
-
短い間でしたがとてもおもしろい授業でした。ありがとうございました。夏休み明けまで会えないと思うとさびしいです。
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夢に出てくるかもしれません．(^^; 悪夢でないことを祈りますが．
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今期の数学系授業の中でいちばんおもしろかったです
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他の授業もおもしろく感じて下さい ;-) ありがとうございました．
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前期あっという間でしたが楽しい講義をありがとうございました。離散数学に対する苦手意識をだいぶなくせたのではないかと思っております。試験満点目指す！
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あっという間でしたね．また機会がありましたらよろしくお願いします．
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期末試験は挽回します．今日までありがとうございました．岡本先生を見習って数学も将棋も頑張ります！
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私は将棋を頑張ってません (^^; こちらこそありがとうございました．
-
半年間ありがとうございました。確率統計の単位は死んでしまったので離散は頑張りたいです。
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死なないでください．(-_-;
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半年間ありがとうございました
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こちらこそありがとうございました．
- (15) 7/24 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- コメントありがとうございました．通常回は今回が最後でした．次回は補講となります．
- 突然の雷雨について
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雨が降るなんて聞いてない・・・・予報でも全く書いてない・・・・
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私も驚きました．これが「ゲリラ豪雨」なんでしょうね．
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雨が強い
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雷もすごかったですね．
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先生は雨のどんな所が苦手ですか
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濡れることです．濡れなければどれだけ降ってもらってもよいのですが．
-
私の自転車が雷雨によって雨ざらしになりました。悲しいです。
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それは悲しいですね．傘さし運転はしないようにして下さい．
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雷雨は嫌ですね。雷に打たれないでくださいね。
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幸い，打たれませんでした．よかったです．(^^)
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サヨナラ センタクモノ
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私はもっぱら乾燥機をつかってます．
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「たとえ大雨でも、カサが無くても、絶対に下を向くんじゃない。雨の中、楽しげにスキップして歩く自分をイメージするだ。大丈夫。雨は楽しくうれしいものなんだ。水なしでは、人間は生きられない。そう、君のために雨が降ったんだ！！」
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何かの歌詞かと思いましたが、よくわかりませんでした。(^^;
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暑い、今年も
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そうですね．
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僕傘もってくるの忘れました
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すぐやんだので，まぁ，よかったですよね．
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井上陽水・傘が無い
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きっと誰かがリンゴ売りのまねをしているだけです．
- 音楽について
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今日の流していた心地よい音楽は何ですか？
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DEPAPEPEです．
-
DEPAPEPE好きなので嬉しいです。
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それはよかったです．リラックスできますよね．
-
天気と音楽のミスマッチ感がいいですね。
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私のせいではありません (-_-;
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アコギ弾きですか？？
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残念ながら違います．
-
演習BGM、DEPAPEPEでしたっけ？
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はい，その通りです．
-
今日は音楽を聴くために授業に出向きました。
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そういう目的もありえるのですね．その目的が達成されたのならよかったです．(^^)
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アコギ、いい音だなあ。ユウウツになりそうなボクのココロをイヤしてくれるなあ。センタクモノはソトだけど…。
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軽く聞けるのがいいですね
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音楽っていいですね。
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次回で音楽も最終回です
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今日の音楽がとくに好きでした。
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こういう雰囲気のインストバンドをあまり知らないので，ご存知でしたら教えて下さい．
- 講義について
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先生のおかげで前より数学が好きになりました。半年間ありがとうございます
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それはよかったです．こちらこそありがとうございました．
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今まで楽しい授業をアラシャシャー。(ありがとうございました。)
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こちらこそアラシャシャー
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半年間面白かったです．離散数学について理解が深まりました．ありがとうございます．
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面白く感じてもらえたなら，何よりです．こちらこそありがとうございました．
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講義毎回分かりやすかったです。眠気に毎回打ち勝てなかったのが悔やまれます。テストがんばります。
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眠気に打ち勝てないのは，私の責任なので，すみません．試験もよろしくお願いします．
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テスト不安です．
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しっかりと準備して臨んで下さい．
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試験頑張ります！！
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はい，よろしくお願いします．
-
写像の証明問題がきつい
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ひとつひとつ，定義に立ち戻り，手順に従って書いていけばできるはずです．分からない所があったら，個別に質問して下さい．
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補講は欠席すると思います。半年間ありがとうございました。今日提出したレポートだけは回収したいのですが，研究室に取りに行けば良いのでしょうか？
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はい，西4号館2階206号室付近の靴箱の上に返却箱を置いておきますので，自分の分だけ持ち帰って下さい．
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すべての可能な文字列の中にこの文字列は含まれている
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正しいと思います．
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文字列の連結が当然のように文字を並べるだけで表されていたので、ちょっと面喰らいました．
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すみません，特に断りなく使いました．文字列の連結をちゃんとやろうとするとかなり面倒になりますので．
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再帰的と聞くと円城塔の『Self-Reference Engine』を最近読んだので思い出します。不眠症の人にオススメです。
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再帰をモチーフとした小説や映画はたまにありますね．映画ですけど，私は『インセプション』が好きです．
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補講必ずでます．
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ありがとうございます．少なくとも1名の出席を確保できて，うれしいです．
- その他
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僕もお昼におすし食べたかったです。
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誰も止めませんので，ご自由にどうぞ (^^;
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ハワイは好きですか？
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一度しかいったことがありませんが，いいところです．あまり海外という感じはしませんけどね．
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ところで前回の小さな紙に書いた文中の「漢字」という漢字の変換が「感じ」になっているような気がするのですが気のせいでしょうか？僕が紙の方に「感じ」って書いていたらとても申しわけないです。スルーして下さい。
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すみません，私の間違いです．直しました．
-
烏龍茶。
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よく飲んでます．
-
(＾ω＾≡＾ω＾）
(＾ω＾≡＾ω＾）
(＾ω＾≡＾ω＾）
---
(^^;)
- (14) 7/17 証明法 (4)：数学的帰納法
- コメントありがとうございました．暑くなってきてます．体調管理には十分気を付けて下さい．
- 今回は順不同で．
-
岡本先生は将棋をどれくらいたしなんでらっしゃるのですか。
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ルールを知っている程度です．日常生活でもほとんどやりません．
-
お茶。
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おーい．
-
高校でもやっていたことなのでとっつきやすかったです
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そうですね．重要な内容なので，油断せずしっかりと復習して下さい．
-
真面目になりたいです。
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いつでもなれます ;-) どうぞ．
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試験に向けて復習をしっかりしていきたいです。
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はい，よろしく試験が割と迫っているのでよろしくお願いします．
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戸愚呂100％ もしかしてお前、自分が死なないとでも思ってるんじゃないかね？
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そんなことはないです ;-)
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金曜日なので酒を飲んできます！
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金曜日でなくてもどうぞ．
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かっしーにカッシーニの恒等式を教えたくなりました。
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ろっしーにもロッシーニの曲を教えて下さい．
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前回流れていたbgmが気に入ったのでよかったらソースを載せてください！
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すみません，忘れました．ちなみに今回は『アランフェス協奏曲』です．
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選曲がマニアックですね．
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クラシックギターで，20分ぐらいもつものが他に思い浮かばなかったのです．
-
選曲の基準が気になる所です。
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バラエティを持たせながら，適当に選んでいます．次回が何なのか，予想してみて下さい．
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カッシーニで調べたらカッシーニの空隙がでてきました。関係ないですけど空隙って漢字からは考えられないくらい読み方かっこいいですよね。
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「くうげき」ですね．「カッシーニの間隙」っていうこともあるようです．
-
Q. 何も言わない数は？
A. カタラン数 (語らない数)
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正解です (？)
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期末の範囲難しい。おしめぇーだ。
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おしめをやめれば，おしめぇーではなくなります．
-
おいしい
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時間がたつとまずくなるかもしれないので，はやめにお召し上がり下さい．
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３１４１５○ というクイズを思い出しました
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そういうのは，よくありますね :-) だからこそ，数学をやるときにはちゃんと定義をしないといけないわけです．
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ねむい…
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どうぞ寝て下さい．(^-^)
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むずかしくなってくると急に眠気が来ます。不思議…。
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その気持ちは分かる気がします．眠ってしまってもよいですが，あとでちゃんと復習をして下さい．
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あと２回でこの授業が終わりなのは少しさみしいです。
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私もそう思います．みなさんの出会いとは一期一会ですので，今後ともよろしくお願いします．
-
（＾ω＾）
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お目が高いですね．
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例題1や演習14.7を見て思ったのですが，もしかして：「任意の正の整数α，β，nに対してαn‐βnはα‐βで割り切れる」？？
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はい，α＞βならば正しいです．証明してみて下さい．
-
$\displaystyle a^n - b^n = (a-b)\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}\cdot b^i\right)$ と展開することでも証明できますね．
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その通りですね．いろいろな証明の仕方があるということは重要ですね．それが数学を面白くしている1つの要因だと思います．
-
$\displaystyle a_n = \begin{cases} 1 & (\text{$n=1$のとき})\\a_{n-1}+2 & (\text{$n>1$のとき})\\\end{cases}$
の証明は数学的帰納法以外でも階差数列を用いても解けそうな気がしますが…
証明にはならないのでしょうか？
---
証明になります．授業では数学的帰納法の例題として取り扱ったので，数学的帰納法による証明を紹介していますが，それ以外にも証明法はあります．
-
数学的帰納法による証明は、目的や手順が常にはっきりしているので、比較的とっつきやすく感じる。その他の証明に関しては目的、手順の設定が最もやっかいに感じて苦手意識が抜けない。
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どんな証明でも「定義に立ち戻って考える」という基本を意識するようにして下さい．そうすれば目的や手順が明確になりやすいと思います．
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フィボナッチ数の計算がつらい
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ちょっと細かいですが，これくらいはできてほしいです．
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1秒勉強しても効果はない．k秒勉強して さらにもう1秒追加で勉強しても変化はない よって数学的帰納法より勉強は何時間しても効果はない
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「効果はない」ことの定義をしっかりと行う必要がありますね．例えば「秒」を全部「年」に変えても，この証明は正しい証明だと言えるのか，考えてみて下さい．
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$\forall n \in \mathbb{Z}_+$ でなく $\forall n \in \mathbb{Z}$ で考えたい場合では、例えば $P(0)$ を証明し、$P(k) \Rightarrow P(k+1)$ と $P(k) \Rightarrow P(k-1)$ を証明するなどとすればよいのでしょうか
---
そうすればよいですが，それで証明がうまくいかないかもしれないです．$P(0)$ を証明し，0以上の $k$ に対して，$P(k) \Rightarrow P(k+1)$ と $P(-k) \Rightarrow P(-k-1)$ を証明するのがよいと思います．
-
この紙出すの3回目ぐらいです。来週楽しみです。
---
お楽しみに．(^^)
-
テスト勉強がんばります
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はい，よろしくお願いします．
-
7/31の「補講」に来たい人は来てと言っても、人があまり来ないと思うので、「補講」とは呼ばず、その名も「燃えろ！！テニス少年・少女たち。吉央チャレンジ！」
---
呼びません (-_-;
- (13) 7/10 関係 (4)：関係の閉包
- コメントありがとうございました．
- 今回は，講義の内容から始めます．
-
関係の合併や共通部分は存在することが分かりましたが、関係の差集合のようなものは定義されていないのでしょうか．
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定義できます．関係を集合だと思えば，集合に関する操作はすべて関係に対して考えることができます．しかし，関係を差を考える場面はあまり多くなく，使われることもあまりありません．
-
閉包の説明分かりやすかったけれど、なんでそうなのかがイマイチ分からない…
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演習問題に取り組んで理解を深めて下さい．
-
むずかＣ通り越してむずかＤですね！！
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しっかり理解して，Ｅ成績をおさめてください．
-
与作は木を切る 閉閉包
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ホーホケキョと似ているので注意して下さい．
-
閉包の話を聞いている私「へい...ほー...」
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「しゅぅ...ごー...」とか「しゃ...ぞー...」とか言い出さないように注意していて下さい．
-
難しさの極地....関係の閉包、恐ろしい子....！
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月影先生！
-
新しいものがたくさん出てきて混乱しました。
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冷静になれば難しくありません．整理して下さい．
-
$\displaystyle \left(2^{\displaystyle \left(n^2\right)}\right)^{\displaystyle \left(n^n\right)^2}$
にのえぬのにじょうじょうのえぬのぬえじょうじょうのにじょう
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「ぬえ」じゃなくて「えぬ」ですね．正しくは，「にの えぬのにじょう じょう の えぬのえぬじょうのにじょう じょう」でしょうか．
-
最近難しいです。期末が不安です。
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不安になっていても仕方がないので，しっかりと復習をして下さい．:-)
-
覚えることが多いですね．
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覚えようとしないで下さい．見返して思い出せれば十分です．見返すことができるように整理しておいて下さい．
-
関係の関係の関係の，そのさらに関係の〜♪
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そうですね，そういうものを考えることもできますね．
-
関係をいじるのは面白そう。
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人間関係がこじれないように注意して下さい．
-
関係のあたりの講義内容をよく理解しないままID演習に臨んだら死にました。
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そんなことで死なないで下さい ;-)
-
演習の方が授業に先行していたため，p. 19の問題はすでに知っていたというオチ
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ID演習でとりあげられていることは知っています．知ってるかどうかということはあまり問題にしていません．;-)
-
最後の証明は複雑だったが、説明のおかげで理解はできた。
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確かに複雑ですね．しかし，数学を使う場面になってくると，これぐらいの証明がでてくることは割と起こります．そういう意味では，それに慣れるためのステップを一段ずつ上がっているのだと思って下さい．
-
今日の講義はいつもより先生が面白かったです。
---
あまり、そういうふうにしているつもりはないのですけどね (^^;
-
演習問題で分からなかった問題についてヒントが欲しいとき、どうしたらいいですか？
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演習の時間に巡回しているので，直接聞いて下さい．
- その他，全部まとめて
-
音楽の趣味が幅広くて素敵ですね。書いてみて思いましたが、「素敵」って不思議な単語です。
---
「不敵」っていう読みは似ているけど意味が全然違う単語もあるので注意して下さい．
-
今日の曲は好きな感じのばかりでしたがどんな選び方をしましたか？
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いつも通り適当です ;-)
-
晴れたので，ひさしぶりに授業に出ました．
---
出る気になってよかったです (^-^)
-
授業も残すところ2回なんですねえ…
---
そうですねえ…
-
トイレットペーパーがなくて困っている時に使ってください
---
流せません (-_-;
-
チョコレートを自分の体重の1割分の量食べると大変なことになるらしいです。
---
チョコレートじゃなくても大変なことになると思います．
-
好きなプログラミング言語は何ですか？
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「特になし」です．使えるものは何でも使います．
-
3限のためだけに片道1時間かけて大学に来るのがめんどくさいです。
---
他の時間をうまく自習の時間として過ごせるようにして下さい．
-
7/31にやってほしい内容「圭はどうして世界と戦えるのか？」
---
私に専門性がないので，勘弁して下さい ;-)
-
わけあって以前別で中間試験を行ってもらった者です。今回の授業より離散に参加できるようになりました。前のときはお世話になりました。これからがんばっていきます。
---
はい，よろしくお願いします．
-
色違いのパーカーはいくつもってるんですか？ (素朴な疑問)
---
5つぐらいはあります．
-
(^ω^) おっ (^ω^) おっ (^ω^) おっ
---
お目が高いですね．
- (12) 7/3 関係 (3)：順序関係
- コメントありがとうございました．金曜日は毎回雨になってる気がします．そういうシーズンなのですが，なんかうれしくないですね．
- 天候と室温について
-
雨が強くて講義に出るのがおっくうでした
---
漢字で書くと「億劫」ですね．雨のシーズンなのでしかたないと思って下さい．
-
冷房がすごくやる気出しててさむかったです （´・ω・`）
---
気温も低かったので，それもさむさに拍車をかけたかもしれませんね．
- 音楽について
-
音楽良かったです なんて曲ですか？
---
適当なボサノヴァです．
-
音楽好きですか？
---
授業中に流す程度には好きです．
-
選曲がますます謎めいてきましたね。どうやって選んできてるのですか？
---
思いついたものを適当に出してます．思いつくためのストックがあまりないので困ります．
- 補講について
-
7/31 補講は3年への足がかりとなることをやると考えてよろしいのでしょうか
---
そうとは限らず，離散数学に関わることを何かやります．
-
補講について：P対NP問題や集合分割問題の話が聞きたいです．
---
これはちょっと高度な話題なので難しいですね．すみません．3年生や4年生の講義の内容になるので，そちらで勉強してください．
-
7/31にやってほしい授業内容「日本のテニス業界をより盛り上げるには？」
---
すみませんが，私にそのテーマに関する専門性がないので難しいです．;-)
-
補講のやつ：先生のやっていること。
---
そうですね．私のやってることの中から考えます．
-
最適化のお話しが聞きたいです．
---
それは前提知識がいろいろといるので難しいかもしれないです．
-
グラフの話が聞きたい
---
グラフは本来「離散数学」で扱わなくてはならない事項なので，これにしようかと思います．
-
グラフについて授業して欲しいです
---
はい，グラフについて何か話します．
-
補講、暇なので行きます (多分)
---
暇で，ありがとうございます．(？)
-
補講は本当にテストに全く関係ないのですか？ 出たら少しは有利になるとかはないですか？
---
ありません．成績は単純に試験のみで決定されます．それが最も公平な方法だからです．
- レポートについて
-
レポートを出し始めて少しずつ理解が進んできました。モチベーションが高まりました。これからもよろしくお願いします！
---
それはよかったです．これからもよろしくお願いします．
-
来週こそレポート出します。(宣言)
---
お待ちしております．
- 講義の内容から
-
やることが難しくなってきて，きつくなってきた．
---
どの辺りから難しくなってきたのか，復習をしながら確認して，補って下さい．
-
ハッセ図を見て研究室見学のときにあった絡まりをほどくパズルを思い出しました
---
Planarityですね．楽しいのですけど，あまりハマりすぎないようにして下さい．
-
いろいろな半順序集合(4)がプラナリティーっぽくて好きです。
---
Planarityですね．なぜか，知らない間にポピュラーになってますね ;-)
-
(電通大関係者の集合，権力 $\leq$) のハッセ図
岡本先生
｜
学長
｜
教授
｜
学生
---
どう考えても違います (^^;
-
要素の大小が関係によっては明らかでないのが混乱しますね
---
そうですね．考えている半順序が何であるのか，常に意識して下さい．
-
スライドp21のハッセ図を1分近く見つめてしまった。不思議にも立体的に見え〜る
---
平行に描かれている部分がたくさんあるので，それに基づく効果なのかもしれません．
-
全順序集合って言うときかみそう
---
はきはきといいましょう．(^-^)
-
上限と下限がよく分からなかったです。
---
ややこしいのでしっかりと復習して下さい．
-
ハッセ図 かくのたのしいです
---
それはよかったです．いろいろなハッセ図が世の中にはあるので，それも眺めてみて，自分で描いたりしてみて下さい．
-
ハッセ図を書くときに，位置関係を考えるのが難しかったです。
---
たしかにそうですね．それをうまく描くコツをみつけるのも面白そうですね．
-
スライドp.21のように線をまたぐハッセ図もありますが，要素の配置の規則 (左に昇順など) はあるのでしょうか。あと，それに従えば線をまたいでもよいのでしょうか。
---
そのような規則はないです．講義のときに挙げたものがすべてで，線をまたいでもよいです．
-
PERTと聞くと，アローダイアグラムや最早結合点時刻，最遅結合点時刻，クリティカルパスとかを思い出します。
---
たしかに，そういう概念がPERTにはありますね．プロジェクトスケジューリングにおける重要な概念なので，機会があれば是非勉強して下さい．
- その他，数学に関係することから
-
数学を英語でやってみようとすると何から手を付ければいいのかわからないのですが数学で用いる英語の例文までがまとまっている本等はありますか？
---
あります．例えば，金谷先生の書かれた「理数系のための技術英語練習帳--さらなる上達を目指して--」はかなりよいです．
-
n個の異なる要素からなる集合を分割したm個の空でない部分集合はいくつありますか？
---
「m個の空でない部分集合」は「m個」といってるのですからm個あります．おそらくそれが求められている解答ではないと思うのですが，いただいた日本語からはそのようにしか読めませんでした．
-
離散数学って何故「離散」と名前に付いてるんですか？ (補講の話題でぜひ)
---
以前，似た質問がありましたので，その回答をご覧ください．
- その他のその他
-
情報工学工房を受講していないのですが、先生が担当しているチーム？授業？に見学に行くことは可能ですか？
---
はい，可能です．個人的に連絡を下さい．歓迎します．:-)
-
日頃一限に間に合う時間に起きれないのですが一限のある日だけ間に合う時間に起きます。何故ですか？
---
「起きなくてはいけない」というプレッシャーがあるからではないでしょうか？
-
生活を見直したいです
---
無理なく過ごせるようにスケジュールなどを管理できるようになることが重要ですね．
-
時間をもっと効率的につかえるようになりたいです．
---
時間割をつくるとよいかもしれないですね．そうしないとボーっと時間を過ごしてしまうかもしれないので．
-
恋がしたい！
---
どうぞ．(^-^)
-
最近本を読み始めました。
---
最近地火木… ちがいますね．
- (11) 6/26 関係 (2)：同値関係
- コメントありがとうございました．
- まずは，山梨県について
-
山梨は中部地方に属していると思うのですが
---
すいません，間違ってました．修正しました．
-
山梨県は中部地方って友達が言ってた
---
はい，そのようです．修正しました．
-
山梨は中部地方ですよ！ by 山梨県民
---
このようにして，毎年，どこかの県民を傷つけています．すみません．
-
山梨県は中部地方だそうです。「首都圏」なので間違えられやすいだとか．
---
なぜ間違えたのか，思い出せません…
-
都道府県クイズやりましょう
---
なぞなぞならできます．百人一首にある歌「みちのくの しのぶもぢずり たれゆゑに みだれそめにし われならなくに」を書こうとしても，なぜか「みちのくの のぶもぢり たれゆゑに みだれそめに われならなくに」としか書けなくなってしまうのはどの都道府県でしょうか？
- 音楽について
-
3分間の休み時間中にリラックス効果のあるBGMを流して欲しいです．
---
それやると音楽ばっかりになってしまうので躊躇します ;-)
-
惑星での目覚め すごく良かったです。
---
今後もいろいろと試してみます．
-
ラグタイム
---
正解です．よくご存じで．
-
陽気なジャズですね。
---
ラグタイムですね．ジャズの原型の1つだと考えられているようです．
-
演習時間の時に流す曲はもう少し穏やかなものがいいです
---
そうですね．すみません．これもいろいろ試している中の1つだったのですが，あまりよくなかったかもしれません．
- 講義内容について
-
出席人数が日に日に少なくなっている様子…これでは離散数学ならぬ解散数学に
---
うまい！ 座布団はありません．
-
同値類と商集合が難しかったです
---
確かに簡単ではないと思います．演習問題を通して復習して下さい．
-
今日の演習問題かなり難しいです (T T)
---
いままでの内容が組み合わされて登場してきていますから，しっかりと復習をして下さい．
-
難しい
---
証明を理解しようとするときは，図を描きながら考えるとよいと思います．はかどります．
-
とても難しいです。
---
今までの内容のどこかでつまづいているかもしれないので，今までの内容で理解が不十分だと思っていたところまで戻る必要があるかどうかまず確かめて下さい．
-
同値関係難しいです。何がわからないのかわかりません (x x)
---
何がわからないのか，というところまでは自分で確認して下さい．よろしくおねがいします．
-
今日の内容は少し難しかったのでもう一度自分の中でくだいて再現できるようになりたちとおもいます。
---
そうですね．しっかりと復習をして下さい．
-
期末は中間より大変だな、きっと
---
はい，そうです．しっかりと復習をして下さい．
-
説明が欲しいと思った所にはすぐ補足説明を入れてくれるので、毎回本当に分かり易い授業になっていて、助かっている。今回の内容に関しては分かりづらい所も特になかったと思うが、証明は慣れが必要かもしれない。
---
証明に慣れることは重要なので，演習問題をしっかりとやってみて下さい．
-
$A=\{\mathrm{R}_1, \mathrm{R}_2,\ldots\}$ に対する同値関係の同値関係 $\mathrm{R}_x \mathrm{R} \mathrm{R}_y$ のようなものもありますか
---
「関係の集合の上の関係」は次々回に出てくる予定です．お楽しみに．
-
今日の講義内容をいまいち理解できなかったり返ってきたレポートが間違いばかりと踏んだり蹴ったりでした。ラジバンダリでした。
---
レポートについては間違うことを恐れないで下さい．レポートで間違っていることがわかれば，それを再び考えて，正しいところまで自分を導けるのだと思って下さい．
-
関係、わかってくると楽しい。
---
わかってくると楽しいですね．内容も簡単ではないので，しっかりと復習をお願いします．
-
$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ のような表記方法もありましたよね？
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あります！ これは群に関する表記で，$6\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の正規部分群なので，$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ という表記ができます．これは $\mathbb{Z}$ の上で $6\mathbb{Z}$ が作る同値関係を考えてできた同値分割と同じなので，そのように表記しているわけです．群であるとは限らない場合でも，同値関係を考えると同値分割が作れて，それを扱ったのが今回の授業の内容です．
-
$N \in \mathbb{N}$，$A=\{n \mid n \in \mathbb{N}\}$ なら $|A \mathrel{/} \equiv_{N}|=N$ になりそうですね？
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はい，正しいです．証明してみて下さい．
-
$\approx$ なみなみ
${\mathrel{\not\approx}}$ なみなみならぬ
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例文「成功は ${\mathrel{\not\approx}}$ 努力の賜物」でしょうか？
- その他，くだけた内容 (講義と間接的に関係あるものも含む)
-
もう肌荒れが治りません…。
---
睡眠を十分とって下さい．
-
蚊が多い
---
そういう季節になってきましたね．
-
みんなが離散数学をより熱心にできる方法を考えました。テニス熱血レッスン「修造チャレンジ」ならぬ離散数学熱血レッスン「吉央チャレンジ」をやりましょう。死ぬほど演習させ、根性をきたえながら、学ばせる方向性で。
---
死んではいけません ;-)
-
Craftmapさんの地図は扱いやすくていいですよね
---
そうですね．Craft MAPではいろいろな形式の白地図を提供していただけるのでありがたいです．
-
ギリシャがユーロ圏の分割ではなくなりそうですね…
---
「分割」はいろんなところに現れるのですが，それが社会的にどのような意味を持つのか，ということはまた別の議論になります．実生活で数学を使うときには，その点にも注意する必要がありますね．
-
雨が多くていやになります．
---
梅雨だからしかたないです．
-
昨日服を探しにユニクロに行ったら、岡本先生が来ていたパーカーを見つけました。ユニクロで買ってらっしゃったんですね。ユニクロ好きなんですか？
---
好き，というか，それしか着てません．
-
何か書きたい人生だった
---
では，「1日1質問」を心がけてみましょう．自分でよくわからなかったところがどこなのか，興味をもったところがどこなのか，ということをちょっと書くところからはじめてみてください．
- (10) 6/19 関係 (1)：関係
- コメントありがとうございました．
中間試験の採点は終わりましたので，確認して下さい．
- 試験について
-
試験焦った (泣
---
ぉ，なぜですか？
-
先週の試験問題を早く解き終えたので、意気揚々と退出しましたが、
問2の要素数の解答を忘れてました。
悲しいです。
---
悲しいですね．しっかりと見直しをして下さい．
-
テスト勉強したつもりでしたが思ったよりもかなり悪く目が覚めました。
もっと自分に厳しくやっていきたいです。
---
わかっているつもりであっても，実際わかっていなかったり，理解が浅かったりするすることもあるので，演習問題を通して，深めていって下さい．
-
中間テストの点数が思いの外高くて安心しました。
---
中間テストではなく，中間試験ですね．安心していると足元をすくわれるかもしれないので，これからもしっかりと勉強して下さい．
-
中間テストが思っていたより簡単でした。
---
中間テストではなく，中間試験ですね．期末試験は難しく感じるかもしれないので，注意していて下さい．
-
離散数学は好きですが思ったよりできなかったのでがんばります。
---
「好きであり，かつ，できる」といいですね．がんばってください．
-
F*ck*u 中間！！
---
期末試験もありますので，いまのうちから準備の方をしっかりと進めて下さい．
-
ところで得点表ですが、スペルが被ったりした場合はどうするんですか？
---
同じ文字列の人が2人いるように掲載されます．
-
勉強したけれどテスト全然できなかったので頑張ります。
生温かく見守っててやって下さい。
---
半分は演習問題と同じなので，演習問題を完璧にやれば，60点はとれて，合格できます．他の問題も演習問題と同じような問題なので，演習問題に取り組んで，分からないところは質問して下さい．
-
中間試験60点でしたありがとうございます。期末をサボるつもりはありませんが、期末試験をでなかった場合でも単位はくるのでしょうか？
---
その場合，既に単位取得は保証されています．中間試験が60点ならば，期末試験に出席しない場合，期末試験の素点は0点となり，合計が60点となるので，合格します．
-
Webページのテストの点数を公開するための文字列はどの辞書を使ってソートしているのですか？
---
Excelです．辞書の種類はわかりません．
-
なんでこの大学は追試が無いのでしょうか？
---
学修要覧が手元にないので，不正確かもしれませんが，追試験が行われる場合もあると学修要覧には書いてあると思います．制度としてないわけではありません．
- レポートについて
-
カゼで休んでしまって提出できなかったレポートは提出日を過ぎてしまってから提出することはできますか？
---
前にも同じような質問がありましたが，
再び回答します．
提出はできます．欠席の理由を裏付ける診断書があれば，そのレポートは見ます．そうでない場合は見ずに，そのままお返しするかもしれません．重要なのは「裏付け」があることです．
- 講義内容について
-
授業は相変わらず分かりやすくてありがたいです。
---
演習問題も取り組んで，理解を確認して下さい．
-
グラフ便利ですね。
---
そうですね．こういう道具を使いこなしていけるようになるのが重要ですね．
-
中間が酷すぎて落ち込んでいた中，ややこしい内容が始まり辛いです。まずは、いい加減レポートを出すことから頑張りたいです。
---
ややこしい部分もあると思うので，まずは覚えようとはせず，グラフが正しく描けるようになるところから始めて下さい．
-
意外と難しい内容だった
---
あと何回か「関係」の話が続きます．しっかりと復習をして下さい．
-
タイル張りのアルゴリズムが感動しました。
---
関係を使うことで見通しがよくなる良い例ですね．
-
性質を理解するのが難しかった。
---
覚えようとはせずに，考えている関係がそれぞれの性質を満たすかどうかということを確実に判定できるようにして下さい．
-
推移がまったくわかんない
---
xからyに矢印があり，yからzに矢印があるとき，xからzにも矢印がなくてはならない，というのが推移性です．これから何度も出てくるので慣れていって下さい．
-
テニプリに五感を奪うやつがいました。きっと今日の受講者の誰かが先生の言語能力を奪ったのでしょう…。
---
幸村ですね．もし教室にいるようでしたら，名乗り出て下さい．
-
Rが完全性を持つ条件はかなり厳しいですね。
---
そうですね．しかし，厳しいため，完全性を持つ関係はとても重宝するわけです．その点でとても重要です．
-
関係というものについては聞いたことがなかったので、
新鮮で楽しめた。
---
新しいものを勉強して使えるようになっていくことが大事だと思います．どのように使っていくのかということは今後どんどん出てきます．
-
今日の関係の性質以外にも色々な性質が考えられるような気がする．例えば $\exists a \in A (\forall x \in A (x \mathrm{R} a))$
や $\forall x \in A ( \exists ! y \in A (x \mathrm{R} y))$
のようなものも性質として考えられそうだが，これらに名前はついているのか？
---
その通りですね．講義では，反射性，完全性，対称性，反対称性，推移性を紹介しましたが，他にも名前のついている性質はあります．例えば，Wikipediaの「二項関係」に関する項目を見て下さい．
提案してもらった2つの性質についている名前は知りません．名前がつくということは，よく登場したり，重要である，という理由があるはずなので，提案してもらったものがどういう場面で登場しそうなのかまず考えてみて下さい．
-
「$x < y$ かつ $y < x$ ならば $x=y$ である」(反対称性) がほんとうに成り立つのか
授業中に理解しきれませんでした…
例を挙げて説明してもらえないでしょうか？
---
このように講義で分からなかったところを具体的に質問してもらえるのはありがたいです．
任意の2つの実数 $x, y$ に対して，「$x < y$ かつ $y < x$」は成り立ちません．つまり，「$x < y$ かつ $y < x$ ならば $x=y$ である」の「ならば」の前の部分は偽です．「ならば」つまり含意の真理値表を思い出すと，「ならば」の前の部分が偽であるとき，命題そのものは真になります．そのため，この反対称性は成り立ちます．
-
べ↑き↓
---
そうですね．
-
冪乗 (漢字って思い出せなくなりますよね…シュン)
---
ありがとうございます．たまに書かないと忘れます．
-
べきは"巾"とかくべき、そうすべき。
---
こんにちは，ベッキーです．
-
狐 (こ)
---
「瓜にツメあり，爪にツメなし」というのはよく聞きますが，狐や弧や孤の右側が瓜であることに気付いていませんでした．
-
俺頭いいな
---
へー
-
よ〜く分かりました
---
ありがとうございます．
-
わくわくどきどき
---
私はワクワクさんではありません．
- 音楽について
-
ポルノグラフィティ好きなのでちょくちょく流してくれると
嬉しいです。
---
ちょくちょくほど，講義回数がないです (-_-;
-
メリッサ最高！
---
私にいわれても困ります ;-)
-
次の休憩明けにschranzを聞きたいのでリクエストさせていただきます。
ジャンルがschranzであれば何でも構いません。
---
あまり落ち着けなさそうなので，遠慮します．
-
最後にかけていたクラシックの曲名知りたいです．
---
J. S. バッハの『ブランデンブルク協奏曲第4番』です．
-
後半がどうにもねむいです。おきたいです。
---
音楽だけではだめだと思うので，飴を舐めたりガムを噛んだりしてみてください．
-
今日の音楽の音量はちょうど良かったと思います。
---
ありがとうございます．
- その他，くだけた内容
-
なんでこの教室 (西8-131) にはエアコンがないんですか？
---
なぜなのか私もわかりません．西キャンパスの建物のいくつかは設備が不十分だったりします．事務に聞いてみます．
-
先生，Twitterで私生活のこと呟いてほしいです！！！！ 裏アカウント公開，待ってます．
---
公開するもなにも，裏アカウントはありません ;-)
-
iOSですが，講義ページのMathJaxの読み込み中にリンクをクリックするとフリーズするようです．chromeはザコ
---
バグレポートを行いましょう．アプリケーション開発において，ユーザのバグレポートは重要です．それを行わないと使っているものがよくなることはないと思って下さい．
-
b(のワの)d
---
「(~v~)!
-
松岡修造公式サイト「心の声にきけ！！」
---
これですね．いろんなものを応援してるんですね．
- (9) 6/5 写像 (2)：全射と単射
- コメントありがとうございました．来週は中間試験ですので，しっかりと準備してきてください．
- 試験について
-
テストのときに持ち込むA4の紙には色ペンを使っても良いのでしょうか？ それとも黒一色でしょうか？
---
色ペンを使っても良いです．
-
中間試験が非常に不安です
---
不安がなくなるぐらい，準備してきてください．
-
試験に向けて理解を深めていきたいです。
---
はい，よろしくお願いします．
-
テスト勉強しなきゃ！
---
そうですね，しっかりと準備をしてきてください．
-
いろんな教科で中間テストがあってツライ…
---
そういう時期なのです．
-
中間試験がんばります。
---
はい，よろしくお願いします．
-
テスト前なので今までの復習をしようと思います。
---
中間試験は，しっかりと復習をするよい機会だと思いますので，ぜひ活かして下さい．
-
期末の範囲は中間の範囲も含めますか。
---
範囲としては含みませんが，今後扱う内容は今まで扱ってきた内容を基礎とするので，その意味では，今までの内容を理解している必要があります．
- 演習について
-
全ての演習問題のおすすめ問題をWebページにのせてください。
---
いろいろな誤解を招きそうなので，それはやめておきます．
-
実際に問題をとくのが難しかったです。
---
それだからこそ，演習をやる価値があるのだと思います．難しいものができるようになると得られるものも大きいので，時間をとって取り組んで下さい．
-
今日の内容は理解したつもりだったが、いざ問題を解こうとすると難しかった。
---
実際に解けるようになって，はじめて「理解した」といえるようになるんだと思います．真の理解を目指して下さい．
-
証明の問題が難しかった
---
よく分からないときは，是非質問をして下さい．演習の時間に質問がほとんどなく，私は暇です．私を忙しくするぐらいのつもりで臨んで下さい．
-
やっとレポートを出せました．テスト頑張ります！
---
ありがとうございます．継続的にレポートを出せるように，お願いします．
-
机が白いと計算用紙がわりに使えて便利
---
試験では「下書き用紙」を配りますので，それを使って下さい．
- 音楽についえ
-
オシャレなBGMでした．
---
私が感謝することでもないかと思いますが，ありがとうございます．
-
BGMが良い曲でした。
---
BGMがあると，なんかいいですね．私もだんだんと慣れてきました．
-
ノリノリすぎる曲もたまには流してほしい
---
ユーロビートとかでしょうか？ あまり集中できない気がしますが…．
-
今日の音楽はとても雰囲気がいいですね．演奏しているのは何というアーティスト (バンド) ですか？
---
適当なオムニバスなのでわかりません．ジャンルはボサノバです．
-
今回のBGMのリンクを教えて下さい
---
これです．
- 講義内容について
-
逆像と逆写像の記法が一緒というのがややこしいですね．
---
その通りですね．歴史的な経緯から同じ記号を使うようになっているのだと思います．とてもややこしいので気をつけて下さい．
-
写像の集合の写像
---
そういうものを考えることもできます．
-
今回も単射・全射・全単射が非常に理解しやすかったです。さすがです \(^o^)/
---
演習問題を通して理解を深めて下さい．
-
バスケやってたのでマンツーマンDFの例えがとてつもなくわかりやすかったです。
---
久々にこういう例を出してみました．:-)
-
全射，単射の判断に時間がかかってしまいます。慣れるように努力します。
---
時間はかかってもよいです。確実にできるようにして下さい。
-
去年の線形よりわかりやすかったです．
---
線形代数でも全射や単射は重要な役割を果たしますね．線形写像というのも特殊な性質を持った写像なのですが，とてもよく出てきて，いろいろな分野と関わりを持っています．
-
写像の性質が上手く理解できなかった。
---
定義自体はなかなか分かりにくいと思うので，まずは例を通して理解して下さい．
-
単射・全射という単語は昔から知っていましたが何となくとっつきにくいような偏見がありました。今回の講義で案外定義が簡単であることを知り少し安心しました (ホッ
---
定義は理解できれば何を意味しているのかよく分かるものだと思います．それを使って証明ができるところまでたどり着ければ，理解が定着するので，励行して下さい．
-
今日の内容は割と理解しやすかったです。
---
それはよかったです．演習問題にも取り組んで下さい．
-
人生は全単射
---
さて，どういうことでしょう．
-
ノットイコールなどの否定を表す斜線の向きは厳密に決まっているのでしょうか？ もしテスト等で逆向きに書いてしまったら誤答ですか？
---
普通は右上から左下に書きますが，中央を上から下に貫く場合もあります．左上から右下に書くことはないと思います．例えば「＝」を否定する場合の記号は「≠」ですが，カタカナの「キ」のように書くことはありません．ただし，そのように書いたからといって誤答にはできませんし，しません．
-
素朴な疑問なんですが離散数学って何が離散しているんですか？
---
実を言うと，私も分かりません．『岩波数学辞典第4版』には「離散数学・組合せ論」という項目があり，そこの冒頭には次のように書いてあります．「離散数学とは離散的な構造を研究する分野である．離散的ということは連続的ではないということで，数学において最も重要な道具の 1 つである微分が使えず，連続的なものを扱う場合より困難になることが多い．色々な組合せを考えて場合分けをすることが多いことから組合せ論と呼ばれることも多い．特に有限集合を取り扱う場合には有限数学と呼ばれることもある．」ここでポイントとなるのは最初の文にある「構造」です．構造とは何かということは定義されていないので，その意味で「離散数学」とは何かということも明確に定義されているわけではないことが分かります．
- その他
-
σ(のワの)
---
(σ°ー°)σ
-
昼食を食べていないのでおなかがすきました
---
満腹すぎても空腹すぎても集中できないと思うので，適度に食べてきてください．
-
コンビニのコーヒーは優秀なんですけど、舌が肥えてきたのか、コンビニ品質では満足できなくなってしまいました。ということで、おすすめの喫茶店があれば教えて下さい。
---
ちゃんとした喫茶店にいかないので，「おすすめ」はありません．基本的に，作り置きしているコーヒーは美味しくないとおもってよいです．最近のコンビニのコーヒーもその場でドリップするので割とおいしいですよね．
-
Amazon'会員になりたい
---
お金を払えばなれます．お金を払うだけの価値があるかどうかを見極めるのは自分自身ですので，自分でよく考えて下さい．
-
「修造物語」税込み3750円
---
宣伝活動はやめて下さい ;-)
- (8) 5/29 写像 (1)：像と逆像
- コメントありがとうございました．
- 試験と演習問題について
-
第7回の演習問題が難しかったです。
---
難しくてもやらなくてはならないので，取り組んで下さい．分からない部分がどこであるのかまず明確にしましょう．そして質問して下さい．
-
演習時間中，その日の演習問題でない過去の問題を解きなおしてみるのは問題ないでしょうか？
---
はい，問題ありません．復習の時間として自由に使って下さい．ただ，周りに人がいる折角のチャンスなので，その点も考慮して有効に使ってもらえるとうれしいです．
-
第7回の内容を復習しても追加や補足問題をうまくできません．6回，5回にまで戻って復習した方がいいですか？
---
どの部分を復習すべきか，というのは難しい判断ですが，復習は行って下さい．
-
できれば追加問題でどこを参考にすればよいか書いてほしい。
---
直接質問して聞いて下さい．ヒントは，人によっては不足し，人によっては過剰であり，人によっては混乱のもととなります．解き方は一通りであるとは限りません．できる限り自分で考えて，そのあとで聞いてもらえるのが一番よいと思います．
-
カゼで休んでしまった場合レポートを遅れて提出することはできますか？
---
提出はできます．欠席の理由を裏付ける診断書があれば，そのレポートは見ます．そうでない場合は見ずに，そのままお返しするかもしれません．重要なのは「裏付け」があることです．
-
期限すぎたレポートも見ていただけますか？
---
基本的に，「見る保証はない」と思って下さい．そのために提出締切があります．
-
演習問題の返却後，自身が間違えた問題を別紙に解き直して後日再度提出し添削してもらうことは可能でしょうか。
---
はい，可能です．これについては必ず見ます．
-
レポートがんばります！
---
はい，よろしくお願いします．
-
前まで解けなかった証明の問題が解けました。ありがとうございます。
---
それはよかったです．できなかったことができるようになる，というのが勉強する目的なので，それが達成できたのは素晴らしいですね．
-
中間試験がちゃんと解けるか心配です…。
---
しっかりと準備をしてきてください．
-
修造パワーで試験を乗りこえるぞ！
---
勉強中に励ましてもらって，がんばって下さい．
- 講義内容について
-
引数をとらない定数射像は数学的に存在しますか
---
射像ではなくて写像ですね．引数を取らない写像は存在しますが，それを定数写像と呼ぶわけではありません．普通，定数写像とは写像 $f\colon A\to B$ で，ある$b \in B$ が存在して，任意の $a \in A$ に対して，$b=f(a)$ となるもののことを指します．つまり，どの $a \in A$ もある決まった $b \in B$ にうつる写像のことです．
-
もし，写像 $f\colon A\rightarrow B$ のとき，$X \subseteq A$ かつ $X \in A$ となる集合 $X$ が存在したとき，$f(X)$ は何を意味するのでしょうか。$X$ にける $f$ の値なのか，$f$ による $X$ の像なのか…
例として，$A=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$，$B=\{0,1\}$ で，$\emptyset \stackrel{f}{\mapsto} 0$，$\{\emptyset\} \stackrel{f}{\mapsto} 1$ のとき，$f(\emptyset)$ は $0$ となるのか，$\emptyset$ となるのか，…さらに $f(\{\emptyset\})$ は $1$ となるのか，$\{0\}$ となるのか…
---
ご指摘通り，あいまいです．その場合はことばを補って，「$\emptyset$ における $f$ の値 $f(\emptyset)$」や「$f$ による $\emptyset$ の像 $f(\emptyset)$」とすればあいまいさがなくなると思います．
-
$f(x)$ は関数ではなく $f$ が関数とのことでしたが，$f(x)$ を関数だと定義することはできないのですか？ $f$ も $f(x)$ もどちらもある種の記号だと考えれば $f(x)$ を関数といえないこともない気がします。
---
$f(x)$ 自体が関数の場合もあります．例えば，関数の集合が終域であれば，そうなります．プログラミング言語の世界では，高階関数という概念があり，そのような考え方が頻繁に登場します．
-
$f(1)$ は1における値，$f(\{1,2,3\})$ は $X$ の像だとしたら，$f(\{\{1,2\},\{3,4\},\{5\}\})$，$f(\{\{\{1,2,3\}\}\})$ は何ですか？ 存在しますか？
---
$f$ の始域と終域がなんであるかに依存します．$f(.)$ の括弧の中にはいるものは「始域の要素」であるか「始域の部分集合」のどちらかです．「始域の要素」である場合は値になり，「始域の部分集合」の場合は像になります．そのため，$\{\{1,2\},\{3,4\},\{5\}\}$ が始域の要素であったり始域の部分集合であれば，存在します．
-
$f\colon \text{魚} \times \text{米} \times \text{酢} \to \text{寿司}$
---
巻きものだと海苔も必要ですね．
-
写像に関する話はとりわけ抽象的で、色々な講義で扱われる度に、毎回難しいと感じる。正直苦手なので、理解できるか不安だ。
---
抽象的であるからこそ，いろいろな応用があるわけです．演習問題を通して理解してきましょう．
-
やはり写像はどうも好きになれない
---
好きにならなくてもよいので，慣れて下さい．
-
初めからつまづかないように，資料しっかり読みたいと思います。
---
はい，よろしくお願いします．
-
現代数学Aをとっているのですが，そっちでも写像をやっているので，足りない所を補えた感じで理解が深まりました。
---
そうですね．いろいろなところで出てくるので，そのたびに慣れていけると思います．
-
今まで他の授業で出てきていた写像をやっと理解できた気がします
---
まだいろんなところで出てきますので，お楽しみに．
-
写像の説明が非常に理解しやすかったです．
---
演習問題を通じて理解を深めて下さい．
-
授業が親切でありがたいです
---
ありがとうございます．レポートも活かして下さい．
-
空集合 $\emptyset$ が厄介です．
---
そうですね．空集合は例外的なものなので，慣れないと扱いづらいですね．
-
急にムズイ…証明が特に
---
今回は何も証明していません．次回やります．
-
このへんの話をマスターしてから1年線形写像とかを習いたかったです．
---
今一度，線形代数の内容を復習すると，理解が深まると思います．
- 休憩と音楽について
-
休憩時間がおわって直後にどうも眠気が来ます…。
---
休憩を活かして下さい ;-)
-
演習中に流れるメロディが良いです。タイトルが知りたいです。
---
適当なジャズの曲を流しています．
-
演習直前まで眠ってしまうと復帰困難になる事例
---
うまく起きる工夫をして下さい．
-
先週は2限に寝ていたので起きていられましたが，2限も授業があるので今日はマックスコーヒーに頼りました。
---
そのような工夫がいいですね．
-
結局寝てしまいました。すみません。
---
私は問題ありません．大丈夫です．
-
ジャズは嫌い
---
では，次回はラテンかクラシックにします．
-
BGMはどこから手に入れてるんですか？
---
YouTubeです．
-
ウーバー好きですか？ ガンダム好きですか？
---
特に好きだということではありません．
- その他．
-
そうiPhoneならね
---
ね．
-
上から虫ふってきた
---
無視して下さい
-
もう、ヤツが来る時期が……
---
さてなんでしょう．
-
字を綺麗に書いてみるテスト
---
綺麗に書けてます．問題ありません．
-
ξ (グザイ) が上手に書けるコツとかありますか．
---
私は大学生のとき，ギリシャ文字の書き取り練習を (自主的に) しました．そのため，ξは割ときれいに書けます．おすすめします．
- (7) 5/22 証明法 (3)：集合に関する証明
- コメントありがとうございました．新しいアイディアを色々といただいて感謝しています．今後もお願いします．
- 試験について
-
中間が近づいてきました。頑張らせていただきます。
---
中間試験の説明は次回行います
- 演習やレポートについて
-
おすすめ問題良かったです。相談しやすかったです。音楽はちょっと眠くなりました。
---
では，今後も「おすすめ問題」を指定することにします．
-
レポート出すって毎週言ってるけど出してません．来週こそ出したいです！！
---
ぜひ！！お待ちしております！！
- 音楽について
-
後半しにそうでした・・・・。演習中の音楽良いです．
---
死なないで下さい．;-)
-
音楽の中でだとカフェで勉強しているようで良かったです。
---
コーヒーは提供しませんので，自分で準備して下さい．
-
演習BGM、集中できて非常に良いです
---
実際にやってみて，案外良かったので，次回以降も続けようと思います．
-
演習時のBGMを聞いてるとリラックスしながら取り組めました。良かったです。
---
そうですね，始める前はもしかしたら変な感じになるんじゃないかと思いましたが，やってみると案外よかったですね．
-
演習時間に音楽を流すのは好みだったので反対がなければ続けてほしいです。
---
はい，続けます．
-
演習の音楽が心地良過ぎて、ペンを握る手の握力が脱力し、著しく低下した。それはそれで良いと思う。
---
「それはそれで良い」と思ってもらうのも困ります ;-)
-
ジャズ良かった
---
毎回ジャズ，というわけではないかもしれません．
-
Guns & Roses 流してください！
---
私はラジオ番組のパーソナリティーではありません (-_-; でも，流すなら休憩明けですね．
-
BGMの曲ですが
- Bob Mintzer Big Band (落ち着いた感じ)
- Michel Camilo (激しい曲もある)
- quasimode (日本のバンド)
などはいかがでしょうか．
---
検討しますが，20分間ノンストップでかけられないといけないので，それも検討材料であることをご了解下さい．
-
松岡修造の応援曲を流して下さい！！
---
これでしょうか？ これは集中力が途切れそうなので，不採用とします (^^;
-
音楽を流してもあまり効果がなかったと思う
---
特に反対である，というわけではないようなので，音楽は流し続けることにします．
-
授業中も音楽かけて下さい。起こすときはHR/HMをもっと大きい音量で
---
「授業中」というのは演習の時間や休憩を終えるとき以外ということだと思いますが，それは意図している使い方と違うので行いません (^^) 音量ですが，あまりうるさくないようにしています．教室以外に迷惑がかかってはいけませんから．
- 眠気について
-
2限寝ると3限起きれることに気がつきました。
---
おめでとうございます．2限が授業でないとよいのですが．
-
3限の眠さはどうすればよいのでしょうか…
---
上の通り，2限で寝ればよいそうです．
-
今日はいつも以上にねむれました．
---
おめでとうございます．次回はぜひ記録を更新してみて下さい．
- 講義資料，講義内容，講義の進め方について
-
今日の内容はわかりやすかったです。
---
演習問題を通じて，理解を確かにして下さい．
-
なんとなく分かりました。
---
「なんとなく」はあまりよくないので，しっかり復習して下さい．
-
今回は難しく感じたので、しっかり復習しようと思います。
---
はい．そういう場合は，まず復習問題から取り組んでみて下さい．
-
iPadで離散数学のページを見ていると時折フリーズするのですが私のiPadが寿命なのでしょうか．
---
数式を表示するためにMathJaxを使っているため，それが原因の可能性があります．ただし，MathJaxのブラウザ互換性に関するページによれば，iPadはすべてのiOSバージョンでテストされているそうなので，問題ないはずですが，どうでしょうか？
-
毎回、スライドが分かり易くて助かる。
---
ありがとうございます．ただ，「スライドだけで分かる」ということは想定していないので，講義に出席して，演習問題も解く，というところまでを今後も継続して行って下さい．
-
この授業を受けてから，証明問題に対する何とも言えない恐怖感を克服できました．与えられた仮定から結論を導き出すというのは，与えられた入力から出力を得るというプログラミングの問題を解く感覚に近いのかもしれませんね．
---
それはよかったです．できなかったことができるようになる，ということが重要なので，それに向けて大きなステップが踏めたような気がしますね．
-
推論の例については、はじめの3つは
- P: 西成区民である
- Q: 大阪市民である
- R: 大阪府民である
とすれば分かりやすいのではないでしょうか。
---
そうですね．そのように自分で例が作れることは重要なので，皆さんも励行して下さい．
-
三段論法には2種類…あった…？
---
実はもっとあります．この講義は論理学の講義ではないので，必要最小限のものだけを紹介しています．
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どの証明法を使うのかを考えるのが難しかった
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確かにそうですね．目標を見定めて，そこへ向かってどのように進めていくかという方針をしっかりと立てる必要がありますね．そこで下書きが重要になってきますので，皆さんには，証明を書こうとするときに，いきなり清書をしようとせず，まず下書きから始めるようにしていただきたいです．
-
証明の中で「○○ならば××が成り立つ」を「○○→××が成り立つ」と書くのは駄目ですか？
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「証明は文章である」という立場からは，証明の中で，文をつなぐ普通の単語等を論理記号で置き換えることは好まれません．その意味で「○○→××が成り立つ」と書くことは好まれません．「好まれません」といっているだけなので，「書くのは駄目」というわけではありませんが，文章として違和感のあるものになるのは確かです．
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「$\subset$」と「$\subseteq$」と「$\subseteqq$」は全て同じことを意味するのですか？ (だとしたら、なぜこのように様々な記法があるのでしょう？ 不等号は「=」のありなしで意味の区別があるのに…)
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歴史的な経緯があったような気がします．歴史的には「$\subset$」が部分集合を表す記号として用いられていましたが，実数に対する不等号 $<$ と $\leq$ に合わせて，「$\subseteq$」も使われるようにもなってきたのだと思います．例えば，このページに歴史が少し書いてあったりします．その意味で，非常に紛らわしく，また，「$A \subseteq B$ であり，かつ $A \neq B$ である」という意味で「$A \subset B$」と書いたり「$A \subsetneq B$」と書いたり「$A \subsetneqq B$」と書くこともあるので，注意が必要です．
-
$\displaystyle 2^{2^{2^{\dots^{2^{\emptyset}}}}}$
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はい，そのような記法も可能ですし，「…」の部分に隠れた繰り返しの数がはっきりしていれば，集合としてちゃんと定義されます．
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巾集合 冪集合 羃集合←先生が書いたのはこれ
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すみません，間違えました．
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べき集合の「べき」の文字，どうやら「冪」でも「羃」でもよいみたいです。しかし「幕」ではないようです。
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調べてみたら，そのようですね．しかし「冪」がもっともよく使われるようです．
- その他
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筆跡や内容で特定してたりしますか？
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していませんし，することは私の本意ではありません．
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笑いが足りません．もっとグイグイ冗談言ってほしいです．
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求めているレベルが高すぎます ;-) いまぐらいで許して下さい．
- (6) 5/15 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- コメントありがとうございました．
- 相談をしやすくするには？という質問に対するアイディア
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TAの人に周ってもらう
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すでにまわってもらっています．ぜひ質問などして下さい．
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友達と違う問題をやっていることが多いので相談が必要なレベルの問題を毎回1つか2つ提示してもらえたら同じ問題をできて相談もできると思います。
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個人によって演習の取り組み方，つまり，復習問題に取り組むか，その他の問題に取り組むか，ということは違うのですが，提案していただいたので，一応「お薦め問題」を挙げることにします．ただ，それらは「相談が必要なレベルの問題」というわけではなく，「取り組んでもらいたい問題」としてお薦めすることにして，その意味でレベルの高低は気にしないで下さい．
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固定席でない教室に変更
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固定席でない教室の方が動きやすかったり，後ろを向きやすかったり，そういう意味で，相談しやすそうではありますね．しかし，固定席でない教室はあまりなく，しかも，既にほかの授業で埋まっていたりするので，残念ながら採用できません．
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松岡修造さんの応援動画を流し，教室内の雰囲気を盛り上げる！！「コミュニケーションはテニスでも勉強でも重要だ。自分に勝つんだ！」
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個性的すぎて採用できません ;-)
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教室が静かだと話しづらいので音楽を流せばよいのでは
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次回はこれを試してみます．ありがとうございます．
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無音になるから話しづらいので，適当な雑音を流せば良い？
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雑音ではなくて音楽を流します．
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演習時間中にも音楽をかければ相談しやすい雰囲気になると思います。
---
そうしてみます．
-
相談しやすくするために音楽を流せばよいと思います．
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そうしてみます．
-
静かすぎてしゃべれません 音楽を流せばすこし改善できるかも？
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そうしてみます．
-
みんなが相談しないのは教室が静かだからだと思います．小さい音量でクラシックミュージックでも流したら相談しやすい雰囲気になる気がします．
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クラシックに限らないかもしれませんが，音楽を流してみます．
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演習時間は静かになりがちなので，このときにこそ音楽を流してしゃべってもよい空間にするのがよいかもしれません (同時に動物園のようにガヤガヤしてしまう危険性もはらんでいますが…)
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ガヤガヤしてしまうかもしれませんが，それについては皆さんも注意しましょう．私も注意します．
-
いつもの相談相手が欠席で相談できなかった
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相談するから来てほしい，といって呼びましょう (^^)
- 休憩について
-
ねむいです ＿(:3」∠)＿
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休憩で寝て下さい．
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今日の選曲は良かったです．目が覚めました．
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ありがとうございます．
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今日のめざまし音楽 よかったです
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スピーカーにもちゃんと接続できてよかったです．思ったより音量は出ませんでしたが．
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ラルク 目 覚めました。
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毎回違う曲になります．
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おすすめのリフレッシュ方法を教えて下さい．
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ストレッチです．伸びて下さい．
-
ドア開放すると空気が通ってとてもよかったです．
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開放してよかったですね．次回も冷房が入らなかったら，ドアと窓を開けましょう．
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換気されてて、休憩もあって、説明も分かりやすくて とても良かったです。
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ADの堀君ですか？
- レポートと演習問題について
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発展問題の答えだけはWebにのせてほしい。
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「答え」はありませんので，載りません．今までに似た質問があったので，その回答も参照してください．その1，その2
-
レポートの再提出は期限はありませんか？ 再提出の時同じ紙に書いたりした方がいいですか？
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再提出には原則期限はありません．再提出の際には，同じ紙に書いてもらってもよいですし，別の紙に書いてもらってもよいです．
-
演習問題を毎回提出できるように頑張ります．
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はい，継続して習慣にすることも重要ですので，よろしくお願いします．
- 授業の内容や中身について
-
復習頑張りたいと思います．
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はい，演習問題に取り組んで下さい．
-
今日の授業はわかりやすくて理解できた．しかし寝た
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理解できているかどうか確認するために，演習問題にしっかりと取り組んで下さい．
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直積とべき集合は少し難しかったのできちんと勉強したい
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はい，しっかりと復習をして下さい．まずは，具体的な集合に対して直積と冪集合が何であるのか，答えられるようにして下さい．
-
集合の要素がまた集合とかややこしいですね
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集合は「箱」なので，箱の中に箱が入っていることはもちろんありうるわけです．マトリョーシカのように，たくさん入れ子になっている場合もあります．イメージとしては，UNIXのファイルシステムで，ディレクトリの中にディレクトリがあり，その中にまたディレクトリがある，というような状況を考えてもらうと納得できるかもしれません．
-
要素を持たない集合を要素として持つ集合...うっ...
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何か特殊なことをしているように思われるかもしれませんが，実はそうではなく，とても基礎的なことになっています．例えば，「自然数」というものを厳密に定義しようとする試みの1つにペアノの公理というものがあり，そのモデルの1つに集合を用いたものがあります．そこでは，自然数0を $\emptyset$ として定義し，自然数1を $\{\emptyset\}$ として定義します．そして，自然数2を $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ として定義します．つまり，空集合を要素として持つ集合が自然数の厳密な定義において基礎的な役割を果たすのです．
-
空集合を $\{\emptyset\}$ と表記していけないのは， $\{\emptyset\}$ と書くと「空集合を要素として持つ集合」とみなされてしまうからでしょうか？ それとも「空集合は $\emptyset$ で表す」と定義されてるからでしょうか？ (ベキ集合を見てて思った)
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その2つを合わせて理由となります．「空集合を $\{\emptyset\}$ と表記してはいけない」という事実は「空集合≠ $\{\emptyset\}$」と表現できますが，つまり，「空集合は何と等しいのか」ということと「$\{\emptyset\}$ は何と等しいのか」という2つを理解する必要があるわけです．「空集合は何と等しいのか」という問いに対しては，コメントで書いていただいた2つ目「空集合は $\emptyset$ で表す」ということが回答になります．一方，「$\{\emptyset\}$ は何と等しいのか」については，コメントの1つ目「$\{\emptyset\}$ と書くと空集合を要素として持つ集合とみなされる」ということが回答になります．
-
$\{a,b\}$ ←わかる
$\{(a,b)\}$ ←なにこれ
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珍百景です．……冗談です．
$\{(a,b)\}$ は $(a,b)$ だけを要素として持つ集合です．$\{a,b\}$と$(a,b)$と$\{(a,b)\}$と$\{\{a,b\}\}$はすべて違うものなので，注意して下さい．
-
今回の講義は前回よりも受けてて楽しかったので，私は集合が好きなのかもしれない
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前回の内容が集合の話と合流していきますので，前回の話も好きになっていけると思います．
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べき集合の説明のイメージ図 とてもわかりやすかったです。
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イメージを持つことは重要なので，具体的に考える際にはそのようなイメージを片隅に置いて下さい．
-
箒集合
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違います (-_-; 幕集合でもありませんし，慕集合でもありませんし，墓集合でも，羃集合でもありません．冪集合です．
-
冪がかけないのでbekiでもいいですか
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bekiと書くべきではありません．べき，冪，あるいは，ベキと書くべきです．
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$\mathbb{R}^2$ とか $\mathbb{R}^3$ とかの説明は初めてだったので，納得できてよかったです
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よかったです．$\mathbb{R}^2$ や $\mathbb{R}^3$ という記法が直積そのものなんですよね．
-
高校などから使っていた $\mathbb{R}^2$ や $\mathbb{R}^3$ が集合の直積であること知らずに記号として用いていました。
---
そうですね．知らず知らずのうちに，無意識で使っていることばのちゃんとした意味や違いを意識することは重要だと思います．
-
$\sim \Leftrightarrow \mathsf{F}$ などの $\mathsf{F}$ は説明なしで使ってもいいのですか？
---
この講義では $\mathsf{F}$ という記号で「偽」という真理値を表すことにしているので，説明なしで使っています．その記法が通じない場合には，予め説明する必要があります．
-
デカルトは人間なんですね。
---
はい，人間です． (^^)
-
先生が幻術使いだなんて知りませんでした (赤くみえるのくだり)
---
命は奪わないので安心して下さい ;-)
- その他
-
岡本先生の授業が大好きすぎる
---
突然熱烈なラブコールですね (^^) ありがとうございます．別に，私自身は好かれようとして授業をしているわけではないので，お間違いのないようにお願いします．私自身を嫌いになっていただいてもよいですが，離散数学はぜひ好きになって下さい．
-
最近 暑すぎです
---
夏が近づいてきている証拠ですが，夏が来る前に梅雨がありますので，気をつけて下さい．
-
このスマホは何でしょう？
---
すみませんが，私は携帯電話を使っていません．
-
・・・・・・・・・。
---
スリーエスでしょうか？
-
／（φうφ）∨（φうφ）＼
---
＼（ΨゝΨ）∧（ΨゝΨ）／
-
書くこと考えてませんでした。次回こそ考えておきます。
---
その場で考えてもらって全く問題ないですし，むしろそのような使い方を想定しています．講義の中で疑問に思ったことや改善点として気付いたことなどを書いてもらえるとありがたいです．
- (5) 5/8 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．
- レポートと演習問題について
-
レポートを毎週出せるように頑張ります！！
---
はい，よろしくお願いします．
-
レポートで間違っていたところは再提出していいのでしょうか？
---
はい，よいです．積極的にどうぞ．
-
一度出したレポートの再提出はいつでもいいのですか？
---
原則いつでもよいです．
-
演習問題の模範解答のようなものは公開しないのですか？
---
公開の前に，模範解答のようなものが存在しません．これは「作成していない」という意味ではなく，「存在しない」のです．
-
問題5.17 まちがってませんか？
---
まちがっていません．ただ，分かりにくいかもしれません．問題文にある命題は次のように解釈して下さい．$\mathbb{Z}_+$で正整数全体の集合を表すとして， $\exists m\in \mathbb{Z}_+ (\forall n \in \mathbb{Z}_+ ((n \geq m) \rightarrow (5n^2 < 2^n)))$ です．
-
$P\rightarrow Q \Leftrightarrow (P\land \neg Q)\rightarrow \mathsf{F}$ を同値変形によって証明するやり方がよくわからなかった。
---$(P\land \neg Q)\rightarrow \mathsf{F}$ を $P\rightarrow Q$に変形しようとしてみて下さい．こういう変形では，複雑に見えるものから単純に見えるものに向かっていく方が考えやすい傾向にあります．
-
名字がかぶると困るので呼び方に工夫を求めたく思ひます。
---
ありがとうございます．学籍番号を添えてお呼びします．
- 眠気と昼食と音楽について
-
満腹で 大勢寝ている 離散かな…
---
ガムを噛むとか，ミントタブレットを口にするとか，水分を取るとか，そういうことをすると眠気が我慢できると思います．
-
お腹いっぱいで眠いので，胃から中身を消させれば眠気も覚めると思います。
---
食べ過ぎです
-
寝てしまいました すみません よく復習したいと思います
---
周りに迷惑がかからなければ寝てもよいです．謝る必要ありません．(^^)
-
ねむい空気がただよっていました…休憩時間ふやして少しねたいです．
---
休憩の使い方は自由なのですが，実をいうと，休憩は寝るために設けているというよりは，起きるために設けています．背伸びをしたり，歩き回ったりして，眠気を飛ばしてほしいのです．しかし，休憩の使い方は自由なので，眠ってもらってもよいです．
-
小休憩もう一回ください
---
残念ながらその時間はありませんが，演習の時間は自由に使って下さい．
-
初めて寝ずに授業をうけられました。
---
めでたいのかどうかわかりませんが，とりあえず，おめでとうございます．
-
窓を開けていると外がうるさい
---
場所が国道のすぐそばなので仕方ないですね．夏になれば冷房が入るはずなので，そうなったら窓を閉めましょう．
-
"音楽を流して授業再開"に関して…予想外の選曲でした．しかもシンフォニーを再生するとなると，予め強奏部のところで一時停止でもしておかないと寝耳には入ってこないような…と思いました．
---
フォルテ以上で始まる曲を選んでいます．その点はぬかりありません．
-
ぼくは音楽で目がさめました。
---
次回はスピーカーから音がでるようにしたいと思います．
-
寝ていたら音楽がなったことに気がつかなかったです。目覚まし時計のアラームのようなものにしてみてはどうですか？
---
ありがとうございます．もう一度音楽にしてみて，それから考えてみます．
-
マーラーの1番が好きです
---
でも，象さんの方がもっと好きです
-
YouTubeの音楽の音量がちょうどよく寝ごこちが良かったです！！
---
ありがとうございます (?)
- 講義の内容について
-
複雑な式の変数のスコープがややこしいです．例えば，$\forall x (\forall y (P(x,y) \rightarrow Q(y)) \rightarrow \forall y (R(x,y))) \rightarrow \forall y (\forall x (P(x,y) \land R(x,y)))$など
---
そうですね．四角で囲んで，構造をしっかりと見定めるようにして下さい．
-
スライドp.38の例題について。証明の最後に，「よって実数a,bが…a≠3である」ともう一度書く必要はないのでしょうか。これはp.17〜18の証明についても言えることです。
---
p.38の方については，書いても書かなくてもよいです．スライドではその部分を省略してしまっていると思って下さい．背理法の証明において最後にそれが来ることは当然なので，省略してしまってもよいと思って下さい．p.17〜18についても同様で，例えばp.17の場合，最後に「したがって，xy=1であるならば，0でないある実数tが存在して，x=tかつy=1/tである．」と書いても書かなくてもよいです．「○○ならば△△である」を証明するとき，最初に「○○であると仮定する．」と書いて，「したがって，△△である．」と終われば十分です．
-
証明苦手すぎて避けて通りたい人生です。
---
残念ながら避けて通れません．人生には証明しかありません．そのためにこの授業があるのです．
-
式をあれこれと変形して証明するのが少し難しかった
---
慣れが必要ですので，演習問題を通して身につけて下さい．
-
証明の書き方を考えるのが難しかったです。
---
「文章を書く」ということに慣れる必要がありますね．皆さんは気づいていないかもしれませんが，どんな知的な職業でも「文章を書く」ことが求められます．特に，論理的な文章を書くためには，その訓練をする必要があります．この講義でここまでやってきたことはそういうところにつながっていくのだと思って下さい．
-
証明法 わかりやすかったです．
---
文章には書き方があるので，ある程度，その書き方に沿って構成していくことが重要ですね．楽器も適当に吹いてきれいな音が鳴るわけではありませんし，絵画も適当に絵具を混ぜて欲しい色が得られるわけではありません．何事にも作法というものがあるわけです．
-
証明の文言を覚えるのが大変ですね．
---
記憶しようと思ってはいけません．忘れたときに思い出せるように整理しておくことが大事です．
-
証明等を解くことに慣れていないので演習をもう少しやろうと思います．
---
はい，演習は重要視してますので，積極的に取り組んで下さい．
-
なんだか余裕
---
簡単でしたか？ 演習問題で理解を確認して下さい．
-
非常にわかりやすかった！
---
次回はまた集合の話に戻りますので，期待していて下さい．
-
むずかしかった
---
慣れないうちは難しいのですが，この内容は以後ずっと使っていきますので，それも含めて慣れるようにして下さい．
-
よくわからなくなってきました
---
コツは質問をすることです．とりあえずどこが分からないのか，というところまでは自分で解決して下さい．そして，分からないところについて質問して下さい．「質問をしないことは損をしている」のだと思って下さい．遠慮なくどうぞ．
-
背理法の説明が分かりやすかったです。
---
背理法については高校などでもやったと思いますが，よく使う証明法ですので，今一度復習して下さい．
-
隣と相談してやったが周りが静かすぎて気まずかったです．
---
なるほど．気まずく感じる必要はないのですが，相談しにくい雰囲気があるのも確かだと思います．「相談しやすい雰囲気にするにはどうしたらよいか？」というのを次回のコメントに書いていただけるとありがたいです．
- その他．くだけた内容を含む．
-
ほかの授業の内容なのだが集合の濃度を表す記号「$\aleph$」の使い方を教えて欲しい。
---
すみませんが，それはこの授業の範囲外になります．無限についてはあまり真剣に扱わない立場で，この授業を構成しています．
-
ジョン・レノン，ポール・マッカートニー，リンゴ・スター，あとひとりどうしても思い出せない．
---
10択にします．(1) ジョージ・ルーカス，(2) ジョージ・ブッシュ，(3) ジョージ・マイケル，(4) ジョージ・ウィンストン，(5) ジョージ・フォアマン，(6) ジョージ・ワシントン，(7) ジョージ・ハリスン，(8) ジョージ・クルーニー，(9) ジョージ・ガーシュウィン，(10) ジョージ・トコロ
-
weekは7日間なのに今年のGolden weekは5日間なのは離散数学的にどうなんですか
---
一般的に，4月29日から5月5日まで，あるいはその辺りの期間をゴールデンウィークと呼ぶようです．そもそも「ゴールデンウィーク」と「連休」は別のものなので，連休だけを指してゴールデンウィークと呼ぶわけではないようです．
-
このアンケートに先生がコメントしていることに今日気付きました。
---
自称業界注目度ナンバーワン(?)のページですので，皆さんもはりきってどうぞ．
-
がんばって
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応援ありがとうございます．
-
GWは艦これしかしてなかったです。
---
せめて寝て下さい．
-
ボッチのGWは何をすればよろしかったのでしょうか？ 来年参考にします．
---
何をしてもよいです．ゴールデンウィークだからといって普段と違うことをする必要はないです．
-
特になし
---
ありがとうございます．次回以降，何かありましたらどうぞ．「特になし」でも書いてもらえる方がよいです．
-
問．アメリカの車は何で右側を走るのか？
答えは→→→→
ガソリンで
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楽しみました．ありがとうございます．次回も期待しています．
-
ニンニク入れますか？
---
しょうがでお願いします．
- (4) 5/1 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．
- 眠気について
-
授業面白いしわかりやすいしとても聞きたいのですが眠気に勝てません…。頑張ります。
---
眠いときは寝てもいいですよ．
-
眠たくねぇし
---
強がらなくてもいいです
-
休憩タイムがおわったらおこして下さい
---
はい，その起こし方を募集しましたので，以下続けます．
- 寝てる人の起こし方について
-
寝てる人の耳の穴に息をふきかけると，ほぼ100%の確率で起きます (熟睡してなければ)。
---
これは個人的すぎるので，不採用です．
-
☆寝てる人の起こし方
- 耳に息を吹きかける
- 突然大声を出す
- 寝ていて先生に肩を叩かれて起こされた人はテストの点数50点を失うという恐怖政治を敷く
- そもそも学生が寝ないようにもっと面白い講義をするように頑張る (私は今のままで十分面白いと思いますが…)
---
1つ目は個人的すぎるので不採用です．2つ目はよいかもしれません．3つ目は倫理的に問題があるので不採用です．4つ目は「休憩後の起こし方」という趣旨からずれてます．
-
◎寝てる人を起こす方法
寝てる人に対して松岡修造さんの雰囲気をまとい、
「寝ることで体力を回復させるのは正しい。しかし！！圭ならもっと適切なタイミングで寝る。決して試合中 (授業中) には寝ない。これがアマチュアとプロの違いなんだ。」とよくわからないコメントを熱く語り、寝てた人は授業 (先生) に関心を持ち、起きるようになる。(……と思う。)
---
個性的すぎるので不採用です (^^;
-
前の授業で先生が大きなくしゃみをして眠っている人が起きていたので、ぜひやるといいかもです．
---
マイクに大きすぎる音を通すと，いろんなものが壊れるかもしれないので，気をつける必要がありますね．
-
寝てる人を起こすために、マイクをつけたままくしゃみをしてみてはどうでしょうか。別の授業で実績があります。
---
同上です．これはあまり薦められません．
-
寝ている人の横でわざとクシャミとかをしてみるのはどうでしょう (笑)
---
「横」になると，個人的なので，不採用です．
-
寝ている人を起こすとき、大きな音を出せば良いと思う
---
これに似た次を採用してみます．
-
休憩の終わりに音楽を鳴らしてみてはどうでしょうか．
---
一旦これを採用します．次回試してみます．
- 演習問題とレポート
-
レポートを細かい所まで見て下さって嬉しいです．やる気になります．
---
はい，継続して提出できるようにして下さい．
-
今週からレポートがんばります．
---
よろしくお願いします．
-
次こそは演習問題を提出できる様に頑張りたいです
---
はい，是非レポートとして提出して下さい．
-
演習問題で全く方針がたたない場合は「分からない」とだけ記入してレポートを提出しても良いですか？また、その場合ヒント等はもらえますか？
---
提出しても良いか，という「許可」を求めているのでしたら，答えは「良い」です．その場合，ヒントについては期待しないで下さい．できる限り「何が分からないのか」ということまでは理解して下さい．その上で，何が分からないのか書いてもらえれば，それに沿ってヒントを出すことはできます．それが無い場合，ヒントを出すことは難しいです．
-
前回の演習問題から急に頭をフル回転させなくてはならないようになってきてしまった…
---
できれば，毎回フル回転させてください．(^^)
-
感覚的に解いても大丈夫ですか？
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たぶん，ダメです．「感覚的」ということは「自分には分かるけど，他の人には伝わらない」ということだと思います．それはこの講義の目標に沿っていません．「語学としての数学」をやっているのですから，自分の答案は読み手が理解できるものでなくてはなりません．「感覚的に分かる」という状態は，おそらく理解の段階として浅いものだと思います．それをことばにして，他の人にも説明できるようになったとき，理解の段階がより深くなるのだと思います．それを目指して下さい．
-
(exer04.pdf)
復習問題4.3 次の命題を証明せよ．
復習問題4.4 次の命題を証明せよ．
復習問題4.5 次の命題を証明せよ．
復習問題4.6 次の命題を証明せよ．
復習問題4.7 次の命題を証明せよ．
ファイブカード
これを見て体調を崩す人が出てきそう。
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慣れます．大丈夫です．
-
演習問題がID演習より楽に感じた。
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ID演習は復習の内容になるので，今までの内容を思い出したり，もう一度学び直すという段階が必要になるのだと思います．そのような段階はもちろん重要なので，しっかりと取り組んで下さい．
-
今日はいつもより問題を解く時間が多く与えられたので、じっくり問題が解けてよかった。
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そうですね．演習の時間は重要視してますので，相談しながら，積極的に問題に取り組んで下さい．私とTAも巡回していますので，分からないところがあったら，積極的に質問して下さい．
- 講義の進め方や内容について
-
今日はペースが早くて少しつかれたので次回はもう少しペースを考えてほしいです。
---
ありがとうございます．前回の残りもやったので，分量が多く，疲れたのかもしれませんね．今回はすべて終わったので，次回はもうすこし余裕がありそうです．
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証明するときはもうすこしゆっくりでお願いします。
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ありがとうございます．毎回証明しますので，毎回これくらいのペースになります．しかし，早いということは自覚しているので，早くなりすぎないように気をつけます．
-
同値変形による証明の際、右寄せで変形の種類を記述するのは必要ですか．
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「必要」はないですが，書くことを推奨します．同値変形を行うときに，どの法則を用いているのか自覚することは重要です．それをいちいち書けば，自覚できます．自覚しないと，間違った変形を行ってしまう可能性が高まります．そういう意味で推奨します．
-
特にないです
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了解しました．また質問がでてきたら聞いて下さい．
-
含意変えれば流れで証明できそう…
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それはひとつのコツかもしれません．全体的に，同値変形は$\neg, \land, \lor$に関するものが多く，$\rightarrow, \leftrightarrow$に関するものはあまりない (あるいは，講義で紹介していない) ので，その意味でも，はじめに$\rightarrow$が出てこない形にすることは効果的かもしれません．
-
証明が苦手なので不安です。
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できないことができるようになる，というのが成長です．できるようにしていきましょう．そのための道具として，講義や演習を活かしていって下さい．
-
少しずつむずかしくなってきました
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そうですね．今回と次回が一番難しいかもしれません．
-
少し難しくなってきたので頑張ります
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しっかりと復習をして下さい．
-
難しくなってきたので復習がんばります。いつも例がわかりやすくて素敵です。
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素敵なんですね (^^) 例については，自分で作ってみる，ということができれば，また理解が深まりますので，ぜひ試してみて下さい．
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証明の流れはつかめてても記述に時間がかかりますね。
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この講義では証明について2つのことができるようになってほしいと思います．1つは，証明を読んで理解できること．もう1つは，自分で証明を書けること．どちらにおいても，まず，証明という文章の構造を理解することが重要です．今回の内容はその第一歩だと思って下さい．この内容が今後続くので復習をお願いします．
-
改めて命題論理や述語論理の証明は難しいと感じました。
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実をいうと，同値変形による証明は，『離散数学』の中でも難しい内容です．それがはじめの方に来てしまっているのは，まぁ，仕方ないのですが，演習問題を通して慣れていって下さい．
-
$P\rightarrow Q \Leftrightarrow \neg P \lor Q$ は真理値表でなら表せますが，図で表すことはできますか？
---
図で表せますが，残念ながらこの図は違います．例えばWikipedia内のこのページを見て頂くと，論理の操作をどのように図として表現するか分かります．その表現をVenn図 (ベン図) と呼びます．命題論理における操作と集合における操作を対応させることもできるのですが，含意に関してそれを (意味があるように) 行おうとすると，いろいろと混乱するので，講義では大きく扱わないことにして，ここでのコメントによって扱ったことの代わりとします．
-
回を追うにつれて離散数学が情報系の学科で勉強される理由が分かってきました。後今回の証明問題の授業は、証明問題がすごい苦手だったので、救われたような気持ちになりました。スライドは永久保存版とさせていただきます。
---
次回も証明の書き方をやりますので，次回も救われた気持ちを味わって下さい．もう1点補足します．いわゆる「論理学」は哲学や言語学といった，文学部のようなところで標準的に教えられている内容です．実際，論理学に関する書籍が書店にて哲学の棚に置かれていることは多いです．一方，論理学が論理回路を経て計算の基本原理に深く関わることから情報系の学科でも教えられることが多いです．しかし，この『離散数学』における論理学の扱いは論理回路を将来扱うという理由だけでやっているわけではなく，それよりは「語学としての数学」を勉強するためにやっているのだということを今一度強調しておきたいと思います．数学を言語として使いこなせるようになって，皆さんの興味あることや将来の仕事がうまくできるようになることを目指しています．
-
他の数学の講義は計算重視ですが、先生は論理的に考えることを重視していて、自分もその方が数学を学ぶ意味があると思います。
---
ありがとうございます．誤解を生まないようにコメントを2つします．(1) 計算も証明です．例えば「方程式$x^2-2x+1=0$を解け」という問題は計算問題だと思われるかもしれませんが，これは「$x^2-2x+1=0$を満たす複素数$x$をすべて求めよ」という問題です．これを解くときには，「$x=1$のとき，$x^2-2x+1=0$となり，$x\neq 1$のとき$x^2-2x+1 \neq 0$となる」ということを証明しているのです．そのプロセスとして，2次方程式の解の公式を用いたり，因数分解を行ったり，ということをするかもしれませんが，そのようなことを行うのは，証明としては非常に難しいことをしていることになっています．その意味で，今回扱った証明はこのような問題に比べてもっと基本的なものになっています．(2) そうであるといっても，今まで皆さんが接してきた数学とこの講義で扱っている数学の味わいが違うことも確かだと思います．しかし，それは，私が「今まで皆さんが接してきた数学」を重要だと思っていないことを意味しません．どちらも重要です．この講義の内容は今まで皆さんが接してきた数学よりももっと基本的なものになっているので，その視点から今まで皆さんが接してきた数学を見直してみると，新しい発見があるかもしれません．そうすることによって「計算重視」だった数学の講義の内容であまり強調されていなかったかもしれない論理や証明が理解できるようになるかもしれません．
- その他．くだけた内容を含む
-
今日休めば6連休なので休みます
---
来てるので6連休ではないのですね．(^^)
-
数学用語で命名とか翻訳がいまいちと思うことありますか？ 自分は
- 数学的帰納法 (帰納じゃない)
- 奇関数，偶関数 (積の結果が自然数のそれと違う)
- 有理数 (有比数の方が意味分かる)
とか色々思うところあります．
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あります (YesかNoで答えられる質問にはYesかNoで答える，というのは今回の講義でも言った通りです)．ただ「命名」と「翻訳」は明確に分けた方がよいです．挙げてもらったもののはじめの2つは英語そのものでも書いていただいた問題点があります．数学的帰納法はmathematical induction，奇関数はodd function，偶関数はeven functionです．一方，3つ目は翻訳の問題ですね．挙げていただいた3つについて，私自身は特にいまいちだとは思っていません．奇関数と偶関数は「関数の合成」を考えると，偶奇が自然数のそれと合いますね．
-
昨日の情報・通信演習で手を挙げ続けたせいで腕がいたくてつらいです。
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お疲れ様です．ストレッチをして下さい．
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「府と市で別々に大学持ってるのは無駄」というなら、国と府で別々に大学持ってるのも無駄だし、更に言えば同じ日本に国が複数大学持ってるのも無駄だから国公立大は東大一つで良いって事になるんですがそれは…
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「それは」の後の「…」に続く部分が気になります．(^^;
-
なんでスーツを着ないんですか。
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着なくてもよいからです．
-
工房でもよろしくお願いします。
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こちらこそよろしくお願いします．
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自転車乗れない…。
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失礼しました
-
（°Д°）ウボァ
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「Д」はキリル文字ですね．論理の記号ではありません．
-
(())(())(((())()))
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これは「集合の再帰的定義」のところで出てくる予定です．お楽しみに．
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XenobladeX やりたい
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もう発売されてるので，存分にやってください
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リズム天国の新作早く発売してほしいです
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6月発売予定のようですね．それまでは離散数学の復習をしていて下さい．
- (3) 4/24 集合と論理 (3)：述語論理
- コメントありがとうございました．次回はやり残した部分から再開します．
- 記号から
-
∀の本来の意味が分かって勉強になりました．これまでは（°∀°）←こんな顔文字にしか使用していなかったので…
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それはよかったです．顔文字を見たら論理を思い出して下さい．
-
(^∀^)
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これは顔に見えます
-
（ｘ∀ｘ）
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これも顔に見えます，何とか
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・∀・
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これを顔だと思うのはちょっと無理がある気がします…
-
(・∀・) エッ?
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これは顔に見えるんですけどね．丸括弧が重要なのでしょうか．
-
1: ∀名無しさん∈離算算学受講者: 15/04/24 14:21
∧＿∧
（´∀`）＜ぬ る ぽ
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「離算算学」という新しい講義を勝手に作らないよう，お願いします
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論理式が顔文字にしか見えなくなった
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慣れて下さい (-_-!
- 眠たさについて
-
ねむかったです．
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初回の講義でも説明しましたが，ねむっていてもよいです．ただし，音はたてないようにして下さい．
-
寝ているんじゃない！目を閉ざしただけだ……
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いっそのこと，寝てしまって下さい．(^-^) その方が，復帰した後に集中しやすいと思います．
-
寝てしまいました．すみません．頑張ります．
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休憩から復帰できない方が割といるようなのですが，復帰してもらえるよい方法がありましたら教えて下さい．募集します．
-
今日は眠くならなくてよかったです．集中して聞いたら楽しかったです．
---
ぜひ毎回集中して下さい (^^
-
今日は眠かったです。
---
次回は眠くならないとよいですね．
-
風がすずしい
---
休憩のとき換気しましたけど，次回もそうしたいです．
- 演習問題について
-
復習問題を授業で扱った問題の数値などを変えたものにしてほしい
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そのような問題は追加問題になるので，そのようにします．復習問題はあくまでも授業で扱ったものそのものにします．
-
演習問題の解答もしくは解説をwebページにあげるか配布してほしいです．切にお願いします，本当に．
---
初回の講義で説明した通り，すみませんが，解答も解説もありません．レポートとして提出するか，直接質問して下さい．
-
第2回にしてレポートを一通りこなすという目標が丸潰れになってしまったので今夜はラムネサワーでも飲もうと思います．あと今日，我が家にSSHDが届くようです．
---
ラムネサワー，いいですね．「レモネード」がなまって「ラムネ」になったんですが，レモン風味はどこにいってしまったのでしょうか？
-
レポートの(部分)正解がレ点チェックで斬新でした．「レ点＝OK」の風潮は聞いたことがありますが，海外の添削もそれが一般的なんですかね？
---
国際的には一般的に使われます．Wikipediaのcheck markの項目も参考になると思います．
-
レポートのコメントが分かりやすい．
---
ありがとうございます．分からないところとか読めないところがあったら，質問して下さい．
- 講義内容について
-
記号を覚えるのが難しい
---
初回の講義で言ったことを繰り返しますが，記憶しようとしてはいけません．必要となったときに思い出せるように整理しておくことが重要です．慣れないうちは調べながらでよいので，記憶することに労力を注がないようにして下さい．
-
今回の範囲は一度理解すればとても簡単であったが，今後ややこしい問題が出た時は自信はない
---
演習問題を通して理解を深めて下さい．
-
このツール (言語)、 昔から欲しいと思っていた概念です．高校必修分野にするべきだと思うのですが、先生はどう思われますか
---
個人的な考えですが，高校で導入してもよい，あるいは，した方がよいと思っています．理由はいくつかありますが，論理的な思考をする際に，避けては通れないものであること，そして，英語のように不定冠詞と定冠詞，単数と複数，など繊細な言語感覚が必要なコミュニケーションに習熟するために役立つこと，などです．それも含めて，この講義のキャッチフレーズはやはり「語学としての数学」なのです．
-
今日の講義での「全称記号」と「存在記号」を”ゲームの手番に置きかえて考える”という考え方は非常に理解しやすかった．
---
よく使う考え方なので，身につけて下さい．
-
「∀」「∃」の連なりをゲームとして考えた途端に難易度がeasyモードになりました．
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ちょっと説明の順番がよくなかったかもしれません．来年は工夫してみようと思います．
-
∀と∃が相手と自分の手番のゲームだと思えば良いというのがわかりやすかったです．
---
∀が相手，∃が自分ですね．その考え方で演習問題も見て下さい．
-
ゲームにたとえる格言がわかりやすかった．
---
これからも格言に注目して下さい！
-
ゲームという考え方はわかりやすくて問の3.6が解きやすかった
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そうですね．自分でも同じような問題を作ってみることができると思うので，試してみて下さい．
-
ゲームとして考えるのが面白かった！
---
そのように考えられる実際のゲームもあるので，見つけてみて下さい．
-
ゲームの実例があると分かりやすいです．
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「実例」ということばでイメージするものが人それぞれ違うかもしれないので，想定しているものについて答えられないかもしれませんが，「実際にプレイされるゲーム」という意味でいうと，すみませんが，それを詳しく講義でとりあげるのはとても難しいです．三目並べぐらいが限界です．例えばチェスは実例になりえますが，実際に論理式を書こうとすると，とても長くなりますし，おそらくそれを書いた人は世界にいません．
-
最後のあたりで実例があったらなと思いました．
---
すみませんが，時間との兼ね合いもあり，ちょっと難しかったです．
-
今回のが難しかったです．もうちょっと例を挙げてください．
---
演習問題に例があるので，取り組んでみて下さい．
-
複雑になると一瞬悩みました．
---
複雑であっても，まずは構造をしっかりと解きほぐすようにしましょう．構成要素はどれも単純で，その組合せによって複雑になっているわけです．複雑なものを単純なものの組合せとして捉える，ということはとても重要なので身につけて下さい．
-
確かに難しさが増した気がします．
---
そうですね．今後もっと難しくなるかもしれないので，しっかりと復習をして下さい．
-
今日は特に難しかった．
---
同上です．説明の仕方もあまりよくなかったかと思うので，しっかり復習をして，自分なりの理解をして下さい．
-
ほぼ知ってる内容だった
---
そういう方もいらっしゃると思います．自分の理解を深めるためにも演習問題に取り組んで下さい．今回は少し難しいものもいれてみました．(最後の問題です．これは発展問題なので，中間試験や期末試験には出題されません．)
-
良く分かりました．
---
はい，演習問題を通して理解を確実にして下さい．
-
分かっていてもついまちがえてしまいそう
---
そういうことはあると思います．落ち着いて取り組みましょう．
-
なれると楽しいですね
---
そうですね．できなかったことができるようになる，ということが勉強していくうえで重要なので，そこに楽しみを見出せるとよいですね．
-
特にないです
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OKです．分からないところがでてきたら質問して下さい．
-
ユニークでおもしろい授業だと思います．復習しておいつきます．
---
はい，是非復習して下さい．
- くだけたコメント
-
vim派ですか？ emacs派ですか？
---
emacsを使っています．ただマウスはほとんど使いません．ほとんどすべてをキーバインドで実行しています．
-
ウサミンを知っているとは失望しました．先生のファンやめます．
---
ファンでいていただいたことの方に驚いています (^^;
-
埼玉の県庁所在地は池袋市です．
---
そうなんですね！ 来年の授業では，そうしてみます．
- (2) 4/17 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- コメントありがとうございました．今日はちゃんと演習の時間がとれてよかったです．
- まずは，「形」と「記号」について
-
「∩」は「逆さユー」くらいしか読み方が思いつかないです
---
確かに Ｕ を逆さにしたような形ですね．
-
私の高校の教師は「∩」は「キャップ」，「∪」は「カップ」と呼んでいました．
---
実をいうと，去年の授業ではその呼び方を紹介していました．その読み方を皆さんは使っても問題ありません．
-
高校では∩をキャップ，∪をカップと呼んでました．
---
実をいうと，去年の授業ではその呼び方を紹介していました．LaTeXでも∩を\cap，∪を\cupで表しています．
-
現代数学入門Aでは$A\setminus B$と表記していたし，$A\setminus B$の方がかっこいいので，この授業でも$A\setminus B$にして欲しい．
---
皆さんは$A\setminus B$と書いても問題ありません．講義の中では$A-B$という記法を使っていきます．
-
まだおもしろいです．あとT，Fは1，0じゃだめですか？
---
皆さんは1，0でもよいです．講義の中ではTとFを使って説明します．
-
オムレツ型
---
ななめだとちょっと難しいですね．黄色であることも，その連想に関係してませんか？
-
個人的には
はレモン，
はクロワッサンに見えます．
---
確かにレモンっぽいですね．黄色であることも，その連想に関係してませんか？
-
「ラグビーボール」形とでも表せないでしょうかね？ (提案)
---
これもいいですね．
- 講義資料の印刷について
-
講義資料が図書館で印刷出来なかった
---
ありがとうございます．このようなコメントはいままでなかったのですが，後で調べておきます．
-
図書館では資料が印刷できなかった．印刷できるようにしてほしいです．よろしくお願いします．
---
同上です．詳しい状況を知る必要があるかもしれませんので，その際は次回のこの紙，あるいは，個人的にメールか何かで教えて下さい．
- 授業のスピードと難易について．はやい，おそい，ちょうどよい，と意見が混ざっています．スピードについては現状を維持しますので，はやいと感じる人は質問をどんどんすることで理解をしていって下さい．そして，演習の時間では復習問題に取り組んで，講義資料を見て，確認しながらやってみて下さい．おそいと感じる人には，少し難しめの演習問題も用意することにします．
-
授業内容は，ちょうど良いスピードで，わかりやすかった．
---
内容はどんどん難しくなっていくので，油断しないようにして下さい．
-
もう少しスピードを上げてもらいたい
---
上で書いたように，難しめの演習問題も用意するので，チャレンジして下さい．
-
スライドとか説明が丁寧なので，多少早くても問題ないと思います．
---
スピードは現状維持になります．それよりも早くなっていることがありましたら，私に注意をして下さい．
-
証明問題をもうちょっとゆっくりで説明していただければいいと思います
---
説明のスピードは維持されるので，演習問題に取り組むことで説明されていたことの内容を理解して下さい．まず復習問題に取り組んで下さい．
-
同値変形があまり分からなかった
---
どの点が分からなかったのか，私に分からないので，分からない部分は個人的に質問して下さい．演習の時間は20分あったのですが，何も質問がなくて，私は歩き回っていただけでした．質問されるために私は回っているので，遠慮なくどうぞ．
-
やっぱりはやいです (泣)
---
質問することが重要です．遠慮なくお願いします．
-
今日の内容は少し理解するのが難しかった．
---
突然難しくなったりすることもあるので，しっかりと復習して下さい．
-
説明と説明の間に間が少ないのでしゃべるのが速く感じる．説明そのものはとてもわかりやすく，高校の時より集合と論理が楽しいです．
---
なるほど，ありがとうございます．今度から「間」に気をつけてみます．
-
難しかったので復習をしっかりやろうと思います．
---
復習のやり方も皆さんそれぞれだと思いますので，自分のやり方で復習して下さい．
- レポートについて
-
レポートはレポート用紙でなければ提出できませんか
---
レポート用紙でなくてもよいです．複数枚ある場合は，ホッチキス等で留めて下さい．
-
レポートの提出について，レポート用紙のサイズ指定はありますか．ルーズリーフでもかまいませんか．
---
ルーズリーフでもよいです．複数枚ある場合は，ホッチキス等で留めて下さい．
-
演習問題の解説もウェブページあげていただきたいです．
---
すみませんが，これはありません．
-
1.7は追加 (発展) にしては簡単だと思います．
---
発展問題は「難しいかもしれない問題」なので，人によっては簡単だと感じることもあると思います．発展問題は難しいのではなく，ただ単に，試験に出ない問題である，と思ってもらってもよいです．
-
急にむずかしくなった．追加2.8の(1)のヒントを…
---
$x \in (A\cap B)-C$と$x \in A\cap (B-C)$が同値であることを証明して下さい．まず，この双方を集合の共通部分，集合の差の定義を用いて，書き換えて下さい．そして，得られた論理式が同値であることを同値変形によって導いて下さい．
-
ムヅカシイ．2.8のヒントください．
---
上と同じです．定義を用いて書き換えることができるようになって下さい．
- 講義の進め方や講義の感想
-
論理パズルのように小話のある問題が毎週出題していただけるとモチベーションを維持しやすいと思いました．
---
確かにそうですね．次回以降，工夫していきたいと思います．
-
寝ました．ごめんなさい．休憩時間とてもありがたいです．
---
休憩の時間に出て行ってしまい，すみませんでした．
-
休憩の2分の間に爆睡して気付いたら授業が進んでいました…
---
休憩の時間の終わりをお知らせするよい方法があったら教えて下さい．
-
変形を覚えようと思います
---
初回の講義でもいったのですが「覚えよう」とは思わないでください．忘れたときに調べられることが重要です．
-
例が分かり易くて良い．よく用いる恒真式の一覧をのせたり，同値変形を丁寧に説明したりしていたのもありがたかった．
---
恒真式の一覧は覚えようとせず，忘れたときに調べられるように，皆さん自らまとめ直しておいて下さい．
-
恒真式をまとめた表が見やすくてよかった．
---
上と同じく，自分でまとめ直しておいて下さい．
-
最終的に恒真式暗記しなきゃダメですか？
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覚えなくてもよいです．「覚えよう」という労力は無駄です．自然と覚えてしまうのならば，それは仕方がないですが，覚えるための暗記は無駄です．
-
頭がパンクしそう
---
上と同じく，覚えようとはしないように注意して下さい．「調べてできる」ということが重要なので，それを目指して下さい．そのために，まずは，講義の内容をしっかりと整理して下さい．
-
話をきいてるときは絶対できないと思いましたが，やってみると難しいけど楽しいです．調べながらですごく遅いですが翻訳わりと楽しいです．
---
遅くてもよいです．できることが重要です．
-
法則が覚えていない，知らないものばかりで証明が難しかった．
---
演習問題を通して慣れていって下さい．
-
証明終了の□を☑にすると思っていました．
---
これは都市伝説ですね (^^; 英語ではtombstone (墓碑記号) とも呼ばれるそうです．
-
高校時代は「十分条件」や「必要条件」といった文字を目にしただけで問題を後回しにしていたのでちゃんとついていけるか心配です (⌒-⌒;; 授業スピードはよい感じです！授業楽しいです．
---
十分条件や必要条件という用語がこの講義の中で出てくることはあまりありません．別の講義で何の断りもなく出てくるときに備えて，この講義で導入していると思って下さい．
-
ベンズ
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講義では「ベン図」ということばを出していないのですが，ベン図とオイラー図は明確に違う概念であると考えられています．しかし，この2つが混同されることも多いです．
-
オイラー図最高！
---
オイラー図は直感を得るためにはよいですが，それだけでは証明にならないので，そこには注意して下さい．
-
左側のスクリーンは使わないんですか？
---
使い方を調べておきます．可能ならば次回は左側のスクリーンを使ってみます．
-
講義ありがとうございました．
---
また来週よろしくお願いします．
-
誤解しやすいところの説明がわかりやすいです．
---
実際に間違えやすいので注意して下さい．
-
理論式はプログラムでもよく使うのでまだ覚えているようです．
---
「論理式」ですね．「論理」と「理論」は明確に違うことばなので注意して使い分けて下さい．
-
具体例が多くて助かります
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例は重視してますので，今後もそのようにします．
-
スライドが見やすい
---
ありがとうございます．LaTeXのbeamerというスタイルを使っています．
-
集合の式が多くなると論理にするのが難しかった．
---
そうですね．式の構造をしっかりと見定めるようにして下さい．
-
もう少し長く演習時間が欲しいです．
---
すみません，演習時間を長くすると講義時間が減ってしまって，やるべき内容ができなくなってしまうので，演習時間を長くできません．実は，これでもやるべき内容がちょっとできなくなってるので，許して下さい．
-
独りには辛い授業ですね…
---
分からない部分は教員はTAに質問して下さい．
-
ややこしいですが，楽しいなと思いました．
---
このように込み入った論理に慣れていくことは重要です．演習問題を通して身につけて下さい．
-
まだ舞えるって感じの内容
---
教室で踊るのはやめてください
- その他．講義と全然関係のないくだけた内容もお待ちしております．
-
群論は集合とどんな風に違いますか
---
「群論」と比べるべきものは「集合論」で，「集合」と比べるべきものは「群」なので，群と集合の違いについて書きます．まず，群は集合です．私たちが普段の生活で集合を考えるとき，集合が持っている性質に注目したいことが多くあります．例えば，$\mathbb{R}$は実数をすべて集めてきた集合ですが，「2つの実数を足す」という操作ができます．これは$\mathbb{R}$の性質です．群とはある特殊な性質を持った集合のことです．詳しくは，群に関する書籍を見てもらうか，群に関する講義を取って下さい．1,2コースでは符号理論で扱い，3,4コースでは離散数理工学で扱うかもしれません．
-
P=F，Q=TのときP→QがTになること，納得いかない
---
第1回講義スライドの33ページにある説明はどうでしょうか？もう一度見てみて下さい．
-
白いしっぽ生やしてみてください
---
そのためには，人間であることをやめないといけないので，勘弁して下さい．
-
今日の天気は晴れ
---
でしたね．良い天気でよかったです．
-
はれ
---
次回も晴れますように．
-
ウサミンパワーで？
---
メルヘンチェンジ？
-
友達いないです．
---
いなくても生活することはできるので，その点は心配しないでください．
-
楽しかったです．
---
ありがとうございます．
-
そらまめでスタミナ丼500円！講義前に食べました
---
ラーメン屋なんですけどね．
-
風邪が悪化しました．
---
お大事に
- (1) 4/10 集合と論理 (1)：命題論理
- コメントありがとうございました．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
- 次回から教室が西8号館131号室にかわりますので，注意して下さい．
- まず，進め方に関する質問と要望から
-
毎回プリントしてほしいです．
---
印刷は各自でお願いします．理由はいくつかあります．(1) 何部必要なのか分からず，大量に余る可能性があるから．(2) 配布するための時間がもったいないから．(3) 大量に印刷することはとても大変だから．
-
次回も授業プリントくばってほしいです
---
印刷は各自でお願いします．
-
もう少し問題が欲しいです
---
確かに今回は演習問題が少なかったと思います．次回は突然演習問題が増えますので，お楽しみに．
-
少し授業を詰めこみすぎかも…と思いました．もうちょっとゆっくり話していただけると理解しやすくなると思います．これからの講義よろしくお願いします．
---
よろしくお願いします．確かに詰めこみすぎなのですが，『離散数学』はやらないといけないことが案外多くて，詰まった感じになっています．それでも理解しやすくなるように努力します．
-
たまに早口になると聞きとりづらい
---
ありがとうございます．ゆっくりと話すように心がけます．
-
ちょっとだけ早口です（笑）でも授業おもしろそうでよかったです
---
どうもすぐに興奮してしまうようなので，冷静になります．
-
予習はどういったものをやれば良いでしょうか？（資料を読んでおく，など？）
---
前回の復習が予習になります．演習問題を解いたり，前回の資料を見直したりすると，前回までの内容を思い出せるので，講義のはじめの部分からすんなりと入っていけると思います．可能ならば，次の回の資料を予め読んでおくこともお薦めします．
-
教科書・参考書において，全般的な参考書の嘉田勝『論理と集合から始める数学の基礎』をおススめとする理由はなんでしょう
---
単純に以下の2点です．(1) 扱っている内容とその扱い方がこの講義と非常に近い．(2) 記述に私自身が共感する．個人的には，とてもよい本だと思っています．本来はこれを教科書として講義を組み立ててもよいのですが，説明の順番や講義で扱うべき内容が少し違うので「参考書」という位置づけにしています．
-
ノートが取り切れなかったです．質問：ノートはとった方がいいか？ もう少しゆっくり授業はできませんか？
---
メモを取るぐらいの意味で，ノートをとるとよいと思います．例えば，資料を印刷してきて，その上に補足説明など，自分で気になった点のメモを追加するとよいと思います．
-
再レポートを提出するときは返却されたレポートも一緒に提出した方が良いですか．
---
そうする必要はないですが，そうしてもらえるとありがたいです．
-
プリントのスライドの並べ方は
より
の方が見やすいと思う
---
そのバージョンも用意しました．「行優先」がいままでのもので「列優先」が新しいものです．
-
えんしゅうじかんがみじかい
---
今回はすみません．次回以降はちゃんと演習の時間を確保できるようにしたいです．
-
テストの過去問題を公表してほしい
---
既に公開しています．ただし，毎年扱っている内容はその扱い方に違いがあるので，気をつけて下さい．
- 次に，内容に関する質問
-
真偽の考え方があまり分からなかった．
---
素直な日本語に対応していると思ってもらってもよいです．例えば「$P$かつ$Q$」というのは$P$と$Q$が両方とも正しいときに正しい，といった具合です．それを記号で書くと$P\land Q$になりますが，そのような記号に慣れるのはまた別のステップになります．
-
論理演算の演算子に優先順位はあるんでしょうか．つまり命題$A,B,C$について$A\lor B\land C$が$(A\lor B)\land C$や$A\lor (B\land C)$と解釈の方法が2通りあると思いますが，その解釈方法に決まりはあるのでしょうか．
---
$\neg$が一番強く，その後で$\land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow$は同程度の強さになります．その意味で，$A\lor B\land C$はあいまいなので，そのように表記をしないことになっています．一方，$(A\land B)\land C$と$A \land (B\land C)$は，真理値表を書いてみると分かるのですが，必ず同じ真理値を持つので，その場合は$A \land B \land C$と書くことが許されます．
-
レジュメに『「$P \rightarrow Q$」を「$P \supset Q$」とも書く』とありますが，「$P\rightarrow Q$」は
で，「$P\supset Q$」は
だったような気がしましたが，どうでしょうか？
---
『「$P \rightarrow Q$」を「$P \supset Q$」とも書く』は正しいです．$P$と$Q$が命題変数である場合の意味と，$P$と$Q$が集合であるときの意味が違うので，そこに注意する必要があります．$P$と$Q$が集合であるとき，$P \supset Q$は「$Q$が$P$の部分集合である」ことを意味しますが，これは$P$と$Q$が命題変数であるときの「$P$ならば$Q$」とは違うものを意味しています．部分集合については次回以降扱います．
-
$\in$の読み方は in ではなくて element だと思ってた．
---
$\in$という記号はギリシャ文字のεに由来すると言われています．Wikipediaによれば，elementの頭文字というわけでもないようです．一方，普通に英語で$x \in A$を「$x$ in $A$」と読むので，それを紹介しました．LaTeXでも「\in」という記法で$\in$を出力しています．
- 次に，挨拶と感想
-
半年間よろしくお願いします．
---
こちらこそよろしくお願いします．
-
よろしくお願いします．
---
こちらこそよろしくお願いします．
-
パズルみたいで楽しかった
---
パズルみたいな例はこれからもいくつか出てくる予定です．お楽しみに．
-
パズル問題がおもしろかったです
---
演習問題にもありますので，ぜひ挑戦して下さい．
-
これからも今回のように例を多くあげてもらえるとうれしい
---
例は重視しています．皆さんも自分で例を作ってみてください．
-
この授業は面白いです (感想)
---
ありがとうございます．
-
とても面白い授業内容でした．
---
ありがとうございます．次も面白いと思ってもらえるようにします．
-
授業がわかりやすかったです．
---
突然難しくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
楽しい講義を期待してます．
---
そうなるように努力します．
-
授業は，特に不満はなかった．
---
不満がでてきたら，お知らせください．
-
大学入ってからの授業で1番楽しかったかもしれません
---
ありがとうございます．まだ1回だけですが，これからも楽しくできるようにしたいと思います．
-
分かりやすかったです
---
突然分からなくなることがあるかもしれないので，気をつけていて下さい．
-
分かりやすく，おもしろかったです．
---
ありがとうございます．分かりにくいところが出てきたらぜひ質問して下さい．
-
講義の形式が良く出来ていて受けやすかったです
---
ありがとうございます．講義の形式については，できるだけメッセージが伝わりやすいように努力します．
-
正直言うと，評価の形式など非常にありがたいです．わかりやすい例を用いて説明してくださるので講義自体も苦じゃありません．ありがとうございます．
---
今後もできるだけわかりやすい例を使っていきたいと思いますが，うまくいかないときもあるかと思うので，そのときは叱咤して下さい．
-
難しいですががんばりたいです．
---
難しいと感じるところはぜひ質問して下さい．
-
手元に資料がある授業形式は，見やすくて良い．授業資料と演習問題をアップロードしてくれるのもありがたい．
---
「手元に資料がある授業形式」とすることは心がけています．そうすれば，そこにメモをすることによって，講義の内容を理解しやすくなると思っているからです．
-
たのしい
---
ありがとうございます．こんごもたのしんでください．
-
楽しい
---
有難う御座います．今後も楽しんで下さい．
-
この紙，他人の名前を騙れるのではと思いました
---
その通りですね．でも，名前を書いていただいても，そこは見ないので，気にしないで下さい．
-
パズルできたら楽しいだろうなーと思った
---
難しい問題を解きほぐしていく，というのが今回のテーマの1つだったと思うので，根気よく取り組んで，問題を解きほぐしていけば，パズルもできるようになるんだと思います．
-
パズル難しい
---
慣れも必要なので，演習問題を通じて慣れて下さい．
-
やりましたねー
---
何がですか？
-
王様の例が面白かったです．演習を頑張って，慣れようと思いました．
---
はい，演習は重要なので時間をとって取り組んで下さい．
-
記号論理はコンピュータの論理演算に似ていますね
---
その通りだと思います．3年生になると，コースによって違いますが，「論理回路学」や「論理設計学」という講義があって，そこでももっと詳しいことをやります．
-
最初のパズルランドのアリスの問題が解けてうれしかったです
---
「できなかったことができるようになる」というのが勉強する上で重要なので，そういううれしい経験が今後も続くようにこの講義でもやっていけるようにしたいと思います．
-
さすがに今回くらいの漢字なら読めます！！（笑）授業自体はわかりやすかったです
---
失礼しました．
-
罫線くらいは読めます．
---
失礼しました．
-
本当に数学より言語だと思った．わかりやすかったです．
---
「語学としての数学」というキャッチフレーズは大げさでもなく，本当に重要な視点だと思っています．皆さんはおそらく数学を道具として使うという立場で今後いろいろなものに接していくことになると思うので，そのときに本当に使えるようにこの講義の内容は組み立てていく予定です．
-
想像していたより楽しそうな授業だと思った．複雑だがパズルは好きなので，よかった．
---
想像がどんな感じだったのか，ちょっと気になります．
-
最初のスライドの対話形式の方がわかりやすくて好きです
---
おそらくこの対話形式はもうでてこない予定ですが，また出せそうかどうかは考えてみます．
-
パズルランドのアリスを読んでみたいと思いました
---
購入は困難ですが，楽しい本なのでぜひ！
-
ぼくは愛媛県民なので，今日の授業はひとり心がざわついていました．愛媛県の県庁所在地は宇和島市じゃないです．
---
たまにこういう題材が出てきます ;-) 「愛媛県の県庁所在地は宇和島市である」という命題は偽ですね．
-
真理値の分解の方法を知ってびっくりしました．これを高校時代に知っていたらもう少し「集合と論理」の分野について詳しくなっていたかも？
---
論理はいろんなものの基本なので，しっかりと身につけて下さい．
-
真理値表書くの楽しかった
---
うんざりする，という人が割と多いので，楽しんでもらえるのはありがたいです．
-
面白かったです．
---
しっぽは生えていません．
-
面白かった
---
しっぽは生えていません．
-
なごやかな感じでよかった．内容もおもしろい
---
なごやかですか ;-) 今後もなごんでください．
-
楽しくてワクワクした
---
私はワクワクさんではありません ;-)
-
面白い授業だと思いました．なるべく出席します．
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出席して，演習にも積極的に取り組んで下さい．
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論理は面白いと思います．初めに出すなんてもったいないくらいに．
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はじめに出さないと後が続かないのです．この後の講義の内容は今日の内容を基盤にしていますので．
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スライドが丁寧でわかりやすかった．
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ありがとうございます．これからもこころがけます．
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今学期，これまでに受けた講義の中では抜群に面白かった．
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ありがとうございます．他の講義も面白いと思うので，あわせて楽しんでください．
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あんまりねむくならない授業で楽しそうだなって思いました
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一応，眠くなりそうなタイミングで休憩を取ろうと思っています．眠くなりそうになったら，水分を口に含むとか，そういう工夫もしてみて下さい．
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ノートをとりながら授業を聞くのが苦手なのでこのやり方はありがたいです．
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私もノートをとりながら授業を聞くのが苦手なので，このスタイルにしています．合わない方がいるかもしれませんが，その場合はすみません．
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論理的な先生だと思った．ユニークでもある．
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できる限り論理的に生きるように心がけているのですが，感情で動くことも割とあります．
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講義資料を印刷し忘れないよう注意したい．資料わかりやすかったです．半年間よろしくおねがいします．
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はい，こちらこそよろしくお願いします．
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先生は良さそうなのだが，再履の関係上，この授業を取れない可能性がある．なので自分の問題というところである…．
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再履修がある場合の時間割の組み立ては難しいので，自分なりに工夫して下さい．山崎先生が安易に単位を落としてはいけない理由というページを作成していますので，見て頂いて，これ以上再履修が増えないように気をつけて下さい．
- 最後に，くだけたコメント．こういうものもお待ちしております．
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せんべい3枚で1コマ耐え切れることが判明しました．
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昼に食べ過ぎると午後眠くなりやすいので，ほどほどがよいのでしょうね．
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きたねぇ花火だ
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キュイですね
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ドラゴンボールで好きなキャラを教えてください
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プーアルです．ゆるキャラみたいなもので，癒されます．
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5/2声優研のイベント来てください！
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すみませんが，出張にいってます．
試験・成績
- 中間試験と期末試験を行います．
- 注意：他のクラス (I1，I2) との得点調整はありませんし，このクラスの中でも得点調整はありません．素点がそのまま成績として報告されます．
- 全体の成績
- 成績 = min{100, 中間試験の素点+期末試験の素点} (小数点以下切り上げ)
つまり，中間試験の素点+期末試験の素点が59.5点の人の成績は60点で，合格になります．
- 得点分布 (受験していない人も含む)：小数点以下を切り上げたものが示されています．
- 受講者数 (履修登録者数相当) は92で，
90点以上 (S) が33人 (約36%)，
90点未満80点以上 (A) が17人 (約18%)，
80点未満70点以上 (B) が19人 (約21%)，
70点未満60点以上 (C) が11人 (約12%)，
60点未満 (D) が12人 (約13%) です．
- 中間試験と期末試験の素点の関係 (散布図)
- 読み方：
1つの点が1人の受講者を表します．
1か所に何点かが重なってる場合もあり，その場合，点が濃くなっています．
横軸が中間試験の素点，縦軸が期末試験の素点．
オレンジ色の点線よりも左上にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも高い人．
右下にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも低い人．
青い点線は右上から順に，成績がS，A，B，Cとなる境界を表していて，
右上にいけばいくほど成績がよくなります．
- 中間試験の素点が0点になっている人は，中間試験を受けていません．
期末試験の素点が0点になっている人は，期末試験を受けていません．
- 一方が20点ほどでも合格している人がいる一方で，一方が30点を超えていても不合格となっている人がいることがわかります．不合格の人でも，多くは40〜59点に位置しているので，来年度はしっかりと合格できると思います．努力を怠らずに臨んで下さい．
- 期末試験
- 期末試験問題 (8月7日実施)
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 受験した人の数は87で，平均点は41.60 (60点満点)．45点以上 (S相当) が37人 (約42％)，45点未満40点以上 (A相当) が12人 (約14％)，40点未満35点以上 (B相当) が12人 (約14％)，35点未満30点以上 (C相当) が12人 (約14％)，30点未満 (D相当) が14人 (約16％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| !0＿人＿ | 60 |
| !1!＜祝＞ | 50 |
| !1＞落＜ | 48.5 |
| !2＜単＞ | 52 |
| !3￣Ｙ￣ | 45.5 |
| (e.m.k.n.g) | 23.5 |
| (ZAQ) | 45 |
| _NO1_I | 39.5 |
| _NO2_LOVE | 30.5 |
| _NO3_OKAMOTO | 54 |
| ￥SCore | 58 |
| 00000 | 27.5 |
| 00712 | 28.5 |
| 25806408 | 56.5 |
| 4m6nk | 48.5 |
| 6h1gt9 | 41.5 |
| 9kv8xiyi | 53 |
| ABCDe | 43 |
| acegi | 53 |
| adcbe | 24.5 |
| algba | 34.5 |
| bamboo | 40.5 |
| B-DASH | 32.5 |
| bdbdb | 47 |
| bdghj | 48 |
| caster | 22.5 |
| CKP☆ | 19.5 |
| curry | 37.5 |
| dn148 | 52 |
| ELIMS | 52 |
| FM425 | 53 |
| Frane | 27 |
| fulac | 34.5 |
| fyopt | 45 |
| GYOZA | 36.5 |
| hoge | 57.5 |
| HTTime | 53.5 |
| IABKF | 42.5 |
| jayce | 28 |
| kankei | 41.5 |
| KBTIT | 40 |
| kenken | 58 |
| kkkkk | 45.5 |
| LMBG | 28.5 |
| lookat | 57.5 |
| m3367 | 55 |
| meet | 33.5 |
| MFunk | 38.5 |
| miyasyunn | 36 |
| msx2mg | 53.5 |
| NBHLD | 40 |
| nmkaw | 48.5 |
| NNMR2 | 33 |
| ojikan@joqr | 41.5 |
| OSAMU | 60 |
| pappy | 55.5 |
| please | 24 |
| Pz6Ka | 58 |
| risan | 31.5 |
| Semi06 | 24.5 |
| skkln | 45 |
| SRXJR | 55 |
| struger | 35.5 |
| swiss | 34 |
| TAKO7 | 35.5 |
| ubjhb | 29 |
| uypuijwio | 39 |
| VERON | 33.5 |
| w＼(^^)／w | 37.5 |
| yakult | 46 |
| yoriP | 24 |
| YUKYUN | 54 |
| 岡本 吉央 | 31.5 |
| 五文字程度 | 50.5 |
| ビタミンＣ | 38 |
| もちゃちゃ | 50.5 |
| らりるれろ | 42.5 |
| りゅうおう | 34 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：よくできていたと思いますが，問題によりできにばらつきがあったことも確かです．以下，問題ごとの平均点も挙げます．
- 問題1：写像の像と逆像を答える問題．演習問題8.1，8.4の類題．
平均は9.06点．よくできていました．
できていない人はそもそも考え方が間違っています．
- 問題2：全射と単射に関する問題．演習問題9.4，9.8の類題．
平均は9.06点．よくできていました．
できていない人は，証明というものが定義に基づいて行われるものだということを理解できていません．
- 問題3：商集合を答える問題．演習問題11.4と同じ問題．
平均は5.59点．できている人とできていない人の差が大きかったです．
できていない人は，そもそも「商集合」がなんであるのかわかっていません．できている多くの人はおそらく1分も時間をかけずにできています．演習問題と同じ問題なのですから，ちゃんと準備をしていればできるはずです．その意味では残念です．
- 問題4：半順序集合に関する証明問題．演習問題12.5.1と同じ問題．
平均は4.19点．あまりできていませんでした．
問題2と同様に，定義に基づいて証明を行わなくてはなりません．最大元の「定義」を使わずに，直感に頼った証明には部分点も与えていません．また，反対称性を用いていることを明示的に述べていない証明は減点しています．なお，「最大元」を「最大限」と書き間違えている部分は減点していませんが，異なる日本語なので注意して下さい．
- 問題5：関係に対する操作を答える問題．演習問題13.8の一部と同じ問題
平均は6.15点．できている人とできていない人の差が大きかったです．小問1は $S \circ R$ ではなく $R \circ S$ を正しく答えている場合には部分点を与えています．グラフを描いていない人が割といました．おそらくそれが平均点を下げている理由です．
- 問題6：数学的帰納法に関する問題．演習問題14.2，14.6，14.10の類題．
平均は7.55点．微妙なできばえでした．小問1は数学的帰納法を使わなくても証明できますので，それでも問題ありません．数学的帰納法で証明を行うとき，帰納法の仮定において，n=kとするときのkの範囲が何であるのか明示されていない証明が多くありました．小問2は累積帰納法を用いるか，あるいは，帰納法の仮定として，2つ前のnの値まで含める必要があります．
- 中間試験
- 中間試験問題 (6月12日実施) | 中間試験問題 (6月17日実施)
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 6/12の都合が悪い人に対して，特別措置として，6/17にも別の問題で中間試験を行いました．
- 6/12に受験した人の数は87，6/17に受験した人の数は1で，88人の平均点は42.40 (60点満点)．45点以上 (S相当) が37人 (約42％)，45点未満40点以上 (A相当) が9人 (約10％)，40点未満35点以上 (B相当) が19人 (約22％)，35点未満30点以上 (C相当) が14人 (約16％)，30点未満 (D相当) が9人 (約10％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| !=false | 54 |
| (>_<) | 60 |
| (99999) | 30 |
| (N,G,K,4,6) | 36.5 |
| 11235 | 33 |
| 22342 | 44 |
| 2m8ar | 45 |
| 6h1gt9 | 45 |
| 88523 | 57 |
| aaaaa | 46 |
| AABAC | 39 |
| abcde | 41 |
| adcbe | 33 |
| ag77rinb | 33 |
| anabebe | 28.5 |
| bamboo | 29 |
| bdbdb | 60 |
| bitou | 28 |
| BLEKD | 36 |
| Bq7dF | 55 |
| ca765 | 58 |
| curry | 30 |
| DGJI5 | 36.5 |
| dn148 | 45 |
| door | 20 |
| DREMN | 37 |
| ELIMS | 56 |
| favva' | 32 |
| Frane | 38 |
| fyopt | 47 |
| GHENN | 33 |
| hyautjtia | 38 |
| IABK5 | 58 |
| idsms | 32 |
| IORIN | 34 |
| izgmv | 30 |
| JINXS | 34 |
| KBTIT | 51.5 |
| kenken | 36 |
| KH2JEI | 30 |
| m3379 | 60 |
| matsuoka | 60 |
| meet | 26 |
| miyasyunn | 44 |
| mutou | 39 |
| NBHLD | 52 |
| nelgo | 40 |
| nmigi | 36 |
| nmkaw | 60 |
| NNMR | 39 |
| num96 | 35 |
| ooooo | 30 |
| OSAMU | 60 |
| pappy | 37 |
| pararevo | 58 |
| plz+1 | 60 |
| PRINZ | 48 |
| Pz6Ka | 57 |
| ri345 | 44 |
| rinrin | 55.5 |
| risan | 35.5 |
| rybg | 36 |
| s4528 | 60 |
| sfkcb | 56 |
| strge | 52 |
| swiss | 42 |
| syoto | 48 |
| Tombow | 14 |
| ubjhb | 41 |
| wwwww | 25 |
| yakult | 52 |
| yorip | 37.5 |
| YUKYUN | 60 |
| z=x+iy | 45 |
| z3157 | 50 |
| えぴぴらふ | 50.5 |
| ケケケケケ | 46.5 |
| 単位ください | 47 |
| りゅうおう． | 42.5 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評 (6月12日実施分)
- 総評：全体的に素点は高いですが，前半のできぐあいと後半のできぐあいに大きな差がある人が多いです．中間試験までの範囲を受けて期末試験があるわけですから，後半ができていないということは期末試験に不安を感じさせます．
実際に図示してみたのが次のグラフです．
1つ1つの●が受験者1名を表しています．濃い部分は何人かが重なっていると思って下さい．横軸が問題1から3までの得点を表し，縦軸が問題4から6までの得点を表しています．(この図には6月17日に受験した人も含めています．) 青い破線は何を表すのでしょうか？ その線よりも下にある●では，問題1から3までの方がよくできていて，その線よりも上にある●では，問題4から6の方がよくできているということになります．実際，青い線よりも下に多くの●が集まっていることが分かります．つまり，一人の受験者に着目すると，問題1から問題3で多くの点を得て，問題4から問題6では点をあまり得られていない，という傾向がある，というわけです．
もう一度いいますと，期末試験の範囲は中間試験の範囲を基礎としているわけですから，できていない部分の復習をしっかりとしておいて下さい．
- 問題1：論理に関する問題．1は演習問題7.6.4，2は演習問題4.10と同じ問題．よくできていました．1は恒真式になることを証明するのですから，ちゃんと最後まで真理値表を書いて下さい．「$\Leftrightarrow$」の左と右の真理値表は作り，最後の一歩が足りていない人が割といました．
- 問題2：集合を具体的に答える問題．要素数を答えていない人は半分ぐらい点がありません．要素数を答えて点を取りやすくしたつもりが，答え忘れてそうならなかった，ということになってしまい，どうしたらよかったのか分かりません．
- 問題3：背理法で証明を行う問題．演習問題5.9と同じ問題．よくできていたのですが，背理法の仮定が間違っている答案が多く見られました．
この問の場合，仮定すべきことは「$a^2 + b = 13$ と $b \neq 4$ と $a = 3$」です．決して「$a^2 + b = 13$ と $b \neq 4$ ならば $a = 3$」と仮定するわけではありません．この2つは全然違います．日本語として違うだけでなく，論理的に違います．注意して下さい．
また，背理法ではない方法で行っている証明に対しては0点としています．
- 問題4：集合に関する証明問題．演習問題7.11と同じ問題．同値変形のような変形を行って証明をしようとしている人が多く見られましたが，それは間違えやすいのでやめた方がよいです．(この問題に限って言えば，うまく表現して，正しい変形になっている答案が多かったので，それは幸運でした．) 講義でも，集合に対する等式は同値変形で証明しましたが，包含関係は同値変形のような変形で証明していません．
なぜ間違えやすいのか説明します．同値変形の場合，例えば，$P \rightarrow Q$ という論理式があって，$P \Leftrightarrow R$ であるならば，はじめの式の $P$ を $R$に置きかえて，$P \rightarrow Q \Leftrightarrow R \rightarrow Q$が得られます．これは正しいです．
しかし，$P \rightarrow Q$ という論理式があって，$P \Rightarrow R$ であるとき，はじめの式の $P$ を $R$ に置きかえて，$P \rightarrow Q \Rightarrow R \rightarrow Q$ とすることはできません．実際に，$P \rightarrow Q$と$P \rightarrow R$が正しいからと言って，$R \rightarrow Q$ が正しいとは限りません．(真理値表を書けば分かります．) そのため，包含関係に関する証明，つまり，推論を伴う証明では同値変形のような置き換えを行わずに，慎重に進める必要があるのです．特に，日本語で文章として書く証明を推奨します．それが講義で行った方法です．
- 問題5：集合に関する証明問題．正解は「正しくない」です．正しくないことを証明するためには，反例を挙げれば十分なのですが，これができていない人が多かった．復習をしっかりとしておいて下さい．
なお，本当は「正しい」が正解となる問題を作ったつもりが，いろいろと問題をこねくり回しているうちに「正しくない」が正解となる問題になってしまいました．実際は最後の部分の $(B-C)$ が $(A-C)$ ならば「正しい」となるのですが，それを $(B-C)$ としてしまって正しくなくなりました．そのことを指摘している答案もあり，「するどい！」と思いました．(鋭くても加点はありません．)
- 問題6：集合に関する証明問題．集合差の操作が実数の差とは違う性質を持っているということをしっかりと分かっているかどうか問われています．正解は「正しくない」なので，これも反例を挙げれば十分です．
- 講評 (6月17日実施分)：受験者が1名で，個人的になるため，細かい講評は行いません．
- 問題1：論理に関する問題．1は演習問題1.5.1，2は演習問題4.1と同じ問題．
- 問題2：集合を具体的に答える問題．
- 問題3：背理法で証明を行う問題．
- 問題4：集合に関する証明問題．演習問題6.11と同じ問題．
- 問題5：集合に関する証明問題．演習問題7.9と同じ問題．
- 問題6：集合に関する証明問題．
- 過去の試験問題 (注意：内容や説明法，試験範囲は変化しています．)
公式シラバス
こちらをご覧ください
スケジュール (予定)
- 4/10 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
- 4/17 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- 4/24 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- 5/1 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- 5/8 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- 5/15 (6) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- 5/22 (7) 証明法 (3)：集合に関する証明
- 5/29 (8) 写像 (1)：像と逆像
- 6/5 (9) 写像 (2)：全射と単射
- 6/12 中間試験
- 6/19 (10) 関係 (1)：関係
- 6/26 (11) 関係 (2)：同値関係
- 7/3 (12) 関係 (3)：順序関係
- 7/10 (13) 関係 (4)：関係の閉包
- 7/17 (14) 証明法 (4)：数学的帰納法
- 7/24 (15) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- 7/31? 補講
- 8/7? 期末試験
過去の講義
注意：内容や説明法は毎年少しずつ変わっています
[Teaching Top]
[Top]
okamotoy@uec.ac.jp
