- 採点：1問20点満点，合計120点満点．成績はmin{100, 素点}に基づいて報告．
- 1人しか受けてませんので，得点分布などは示しません．
- 寸評
- 問題1：論理式の真偽を答える問題．演習問題2.3と同じ問題．模擬試験第1問と同じ問題．
- 問題2：集合，像，逆像を答える問題．
- 問題3：関数の全射性，単射性を示し，その逆関数を答える問題．演習問題7.2と同じ問題．
- 問題4：同値関係に関する問題．演習問題9.11と同じ問題．反射性，対称性，推移性が成り立つことを証明すればよいです．
- 問題5：半順序集合のハッセ図を描く問題．演習問題11.1と同じ問題．
- 問題6：数学的帰納法の問題．これも基底段階はn=1とn=2でないといけません．
- 採点：1問20点満点，合計120点満点．成績はmin{100, 素点}に基づいて報告．
- 得点分布
- 得点分布で0点になっている人は未受験者です．19人いました．受験者数は76です．
- 成績分布ですが，秀が27人 (約28%)，優が14人 (約15%)，良が6人 (約6%)，可が12人 (約13%)，不可が36人 (約38%) です．(数字が間違っていたので修正しました．(8/21))
- 受験した人だけを対象としたとき，120点満点において，平均点は78.6，標準偏差は24.3です． min{100, 素点}に基づいて計算した100点満点の得点において，平均点は76.6，標準偏差は21.8です．
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても成績が上がることはありません．不可の人は来年度取って下さい．
- 採点結果を個人的に知りたい人は私の居室 (西4号館2階206号室) まで学生証を持参の上お越しください (部屋の前でスリッパに履き替えて下さい)．いつもいるというわけではないのですが，8月19日の14:00から18:00，8月21日の18:00から19:00は必ずいるようにします (10分ぐらい外出してるかもしれませんが，そのときは少々お待ち下さい)．電話，メール，twitterなどでの問い合わせには応じられません．
- 講評
- 問題1：同値変形により2つの述語論理式の同値性を示す問題．演習問題3.12と同じ問題．できている人とできていない人の差が大きな問題でした．「∃x(P(x)→Q(x))」に対して「∃x」をかっこの中のP(x)とQ(x)に分配して「∃x(P(x))→∃x(Q(x))」とすることはできません．同値変形のようなものが書いてあっても，それが同値変形でない場合には全く点を与えていません．
- 問題2：集合，像，逆像を答える問題．差集合をちゃんと答えられていない解答があり，衝撃を受けました．
- 問題3：集合に対する証明問題．演習問題4.4と同じ問題．これもできている人とできていない人の差が大きな問題でした．「x∉A∩B」から「x∉A かつ x∉B」を推論している人がたくさんありましたが，これは間違いです．正しい推論はド・モルガンの法則を使って「x∉A または x∉B」を導くことになります．これができていないと大幅な減点です．これができていない答案が多く，その書き方がどれも似通っているので，間違った解き方が出回っているのではないかと危惧します．もしそうならば，それは破り捨てて，燃やして下さい．
- 問題4：全射，単射に関する問題．全射でないとはどういうことなのか，単射であるとはどういうことなのか，ということをしっかりと書くことが重要です．その部分の理解があいまいである答案は何を証明しているのか読み取れません．単射の方は授業中に似た問題をやっていたのでよくできていましたが，全射の方はなぜかよくできていませんでした．反例を示せばよいわけですが，そのときに-1を出している人が少しいました．しかし，-1は正の整数ではないので，反例になりません．
- 問題5：半順序集合のハッセ図を描く問題．演習問題11.1.2と同じ問題．冪集合が何なのか分かっていれば10点，ハッセ図がなんであるか分かっていれば10点．書き間違いは軽微な減点．できた人にとっては何でもない簡単な問題なのですが，できなかった人にとってはさっぱり何が何だかわからなかった問題のようです．特に，冪集合が何であるのか分からなかった人は，復習が足りなかったと思って下さい．
- 問題6：数学的帰納法．演習問題12.5と同じ問題．模擬試験第6問と同じ問題．基底段階がちゃんと書かれていないと大きく減点されています．
- コメントありがとうございました．今日の出席者が思ったよりも多かったので，うれしかったです．
- 補講も試験範囲なのでしょうか？ ---補講は試験範囲に含みません．
- がんばります．丁寧な添削をありがとうございました． ---はい，頑張って下さい．こちらこそありがとうございました．
- お疲れ様でした．単位下さい ＞＿＜ ---お疲れ様でした．60点以上が取れれば単位がでますので乗り切って下さい．
- この授業を受けて，苦手だった証明問題が解けるようになりました．また，離散数学という学問の楽しさを知りました．楽しい授業をありがとうございました． ---こちらこそありがとうございました．証明ができるというのはこの授業の目標の1つなので，それが達成できたようでよかったです．
- 離散数学からアルゴリズム・データ構造へのつながりがわかっておもしろかったです．この世の中には離散数学があふれているのですね．これからは誰かが「世の中は数字で考えられることの方が少ない」とドヤ顔で言っていたときに．「やれやれ…これだから素人は…」といった目線を送ることにします． ---あまりそのような目線を送りすぎると周りに人が誰もいなくなってしまうのでほどほどにお願いします．
- 系統樹を作れることの必要十分条件は実際に図を書いてみることで納得することはできたが，数学的に厳密に証明を追ってみるとムツカシイ… 楽しい授業をありがとうございました． ---こちらこそありがとうございました．証明を授業でできませんでしたね．もう少しちゃんと準備してればできたかもしれないですけど，難しかったかもしれません．
- ありがとうございました． ---こちらこそありがとうございました．
- 一番面白く受けさせていただいた授業でした．ありがとうございました． ---こちらこそありがとうございました．
- 生物の進化と系統樹の蟻，ダーウィンの話がおもしろかった．今までの授業の中で手順がうまく伝わっていたような気がします．マンモスが見つかったそうですが見にいきますか．10才の女の子でユカちゃんだそうです．いつも楽しい授業ですが，今日の授業が一番おもしろかったです． ---ありがとうございます．ユカちゃんはパシフィコ横浜で展示されてるのですね．昔，愛知万博というのがあって，そこにもマンモスきましたね．ちょうどそのとき愛知県に住んでいたのですが，私は見に行かなかったです．あまり人ごみが好きではないので．
- 覚える事がたくさんあるので難しく感じるので新しく覚える内容のまとめを用語集的な感じで作っていただけると幸いです． ---覚えなくてもよいです．試験にはA4用紙を1枚持ち込めるので，そこに自分でまとめて下さい．自分でまとめることが重要です．まとめるときに何が重要であり，何がそうでないのか，ということをふるい分ける必要があるからです．それは受講者ひとりひとりがやるべきことですので，その準備をして試験に臨んで下さい．
- 模擬試験がむずかしすぎます．ありがとうございました． ---こちらこそありがとうございました．模擬試験ぐらいの問題がでるかもしれないので，準備をちゃんとしてきて下さい．
- やはり証明が出来ませんね．証明が出来るようになるよりも，同値変形や論理式？(真理値表)を中心に頑張って試験に臨みたいと思います． ---同値変形や真理値表だけだと，講義の始めの方の3回分ぐらいしかカバーできてないと思うので，後ろの方も準備してきて下さい．
- くぅ〜疲れましたｗこれにて終了ですｗ ---お疲れ様でした．まだ試験もありますので気を抜かずに進めて下さい．
- 系統樹を作れないことは進化論の否定になるのでしょうか？ ---すぐさま否定されるということにはならないです．それよりは進化のプロセス，系統樹の構成法，データの収集法などをまず見直すことになります．
- ？をうめるのは難しそう… ---難しいですね．アルゴリズム (手順) というのはコツがわかれば何でもないものなのですけど，そうなるまでが大変ですね．
- いままでありがとうございました．レポートを出すのを忘れてしまったのでがんばって勉強しようと思います． ---こちらこそありがとうございました．
- 授業お疲れ様でした！あとはなんとか試験を乗り切り気持ちよく夏休みを迎えたいです．ちなみにdewlapはのど袋，肉垂 (だれ) で，下記のようなイメージです．(イラストつきでした) ---お疲れさまでした．イラストを描いて頂いたのですが，ここに載せられないので，wikipediaの項目の写真で代わりとします．試験がんばってください．
- 先生お疲れさまでした．いい点取るので『秀』下さい．ところで去年より期末試験は難しくしますか？できれば去年ぐらいの難易度でお願いします． ---こちらこそありがとうございました．いい点をとれば秀になるので頑張って下さい．難しさというのは主観的なものなので誤解を招くかもしれませんが，私としては同程度の難しさ (易しさ) の出題をしようと思っています．
- 4ヶ月間ありがとうございました．系統樹が複数作れそうな場合はどうすればよいのでしょうか．授業で出てきた表の動物が何だかとても気になります．私の予想は極楽鳥です． ---こちらこそありがとうございました．表の動物はトカゲのなかまのようです．系統樹が複数作れそうなときにどうするのか，というのは難しい問題で，完全な解決はされていません．その中から一番もっともらしいものを選ばなくてはいけないわけですが，2つ難しい点があり，1つは何をもって「一番もっともらしい」と判断するのか，ということ，もう1つはその判断基準が明確であったとしてもそれをどのように計算する方法を考えなくてはならないということです．
- コメントありがとうございました．
- 事務的な内容から
- PDFでレポートを出す場合は金曜に間に合わなくても添削に間に合わせることは出来ますか？ ---その場合でも7月26日の18:00までに提出して下さい．
- 試験の証明問題は特に指定がない場合は，真理値や同値変形で解いてもいいですか？ ---はい．それが正しく，明確に書かれていれば，よいです．
- 模擬試験と本試験の問題は似ていますか？とりあえず模擬試験をとけるようにしておきます． ---形式は似ていると思って下さい．問題の内容そのものについてはなんとも言えません．
- その他のコメント
- 教室が…暑いです… ---講義室は1時間で自動的に冷房が切れるようです．今後は気をつけるようにします．
- 回文を考える会の人が最近亡くなりました．その方がお寺に納められるときに，そこの住職の方がカイショウを回文で考えたそうです．「へぇ〜そうなんだ」と聞いただけでメモをとらなかったので具体的に書けなくてスミマせん．Hey ! madam, yeh. 意味がないけどありそうでしょう？ ---こちらのお話ですね．粋なはからいというのはこういうことを言うのだと感じました．
- アンサイクロペディアのたらい回しも回文の一種ですか？ ---これは回文ではないと思いますが，再帰的定義のような雰囲気を持っていますね．いわゆる「自己言及」というものですね．
- 僕が知る中で一番長い固有名詞は総務省総合通信基盤局電波部電波政策課国際周波数政策室国際調整係です． ---ありがとうございます．長い単語や名前などいろいろあるみたいですね．こういうのは好きです．
- 再帰的定義を用いると直感的に定義できると思うのでプログラムを書いていると特に重宝しますね．今まで自然言語で記述していたものを厳密に数学のコトバで言い換える訓練になりました．すばらしい講義をありがとうございました． ---再帰的定義はプログラム言語理論においてとても重要な役割を担っています．使いこなせるようになるとプログラムによって表現できることの幅が広がるので是非慣れて下さい．こちらこそありがとうございました．
- 追加問題13.6のfは特定の文字を消すフィルタのようなものなのでしょうか． ---はい，その通りです．
- 証明の仕方は理解できたが結構難しかった． ---難しいことをやってこその大学だと思うので，理解を深めて下さい．
- この科目はテスト勉強をしっかりやればとれそうなので良かったです．今までありがとうございました． ---はい，是非しっかりとやって試験に臨んで下さい．こちらこそありがとうございました．
- レポート終わらなかったです．ゴメンなさい．負けました．手が痛いです． ---まだ締切まで時間があるので，頑張って下さい．
- 証明がわからない．本当にわからない．どうしてもわからない．全く手が出ない…． ---わからなくなったところまで戻ってそこから地道に復習して下さい．
- 毎回毎回モヤモヤする内容でした．がんばります． ---モヤモヤした部分を具体的に質問してもらえればありがたかったです．
- 仕事が忙しくここ数回休んでましたが，最後なので仕事休んでうけに来ました．やはりビデオより生できいたほうが楽しいですね．一学期間ありがとうございました． ---はい，私にとって講義はライブ感が大事なので，直に講義に来てもらうことは重要だと考えています．こちらこそありがとうございました．
- この後，1年の講義のサイリのテストが… ---頑張って下さい．
- 半年間ありがとうございました． ---こちらこそありがとうございました．
- テストが不安です．助けて下さい． ---助けることはできませんが，しっかりと準備をして臨んで下さい．
- 4ヶ月程の授業ありがとうございました ---こちらこそありがとうございました．
- お疲れ様でした．(補講が残ってますが……．) ---お疲れさまでした．
- 前期授業ありがとうございました．数式を用いた数学では，つい数式を憶えることに意識が行ってしまっていましたが，この授業で思考するという数学本来の面白さを堪能しました． ---ありがとうございました．皆さんにとってどのようなものが数学なのか，ということについて，少し違う視点を持ってもらえたなら，講義の意味があったと思います．
- コメントありがとうございました．
- 補講は7/30の6限，場所はいつもの通り (A201教室) です．
- レポート提出締切は7/26です．提出は，私に手渡しか，K課程事務室の中にある棚．
- モギ試験はやるのですか？ ---授業時間中にはやりません．各自でやって下さい．模擬試験問題は来週出します．(もちろん模範解答はないです．)
- 親知らず抜いて痛いし体調つらい ---お大事に．
- レポートの提出ですが，復習・発展問題を除いた追加問題だけを提出しても添削してもらえますか？ ---はい，問題ないです．
- 数学的帰納法大好きです！来週，今までの全ての演習問題出します！覚悟して下さい！！ ---望むところです (^^)
- レポートの〆切日である来週の金曜日に提出した文は，いつ返却されますか？ ---補講のとき (7月30日) に返します．
- 補講が楽しみです． ---はい，お楽しみに．
- 数学的帰納法をほとんど忘れていましたが，なんとか思い出せました． ---一度ちゃんとやったことは二度目にやると思いだせますので，他のことについてもそういうものだと思って取り組んで下さい．
- 数学的帰納法は便利ですね．昔習ったときから，この連鎖的に解ける感覚が結構好きだったりします． ---便利ですね．
- 今日の講義でけっこう帰納法や再帰的定義について理解できた ---それはよかったです．演習問題で復習もして下さい．
- 再帰的な定義は定義が最小限で済んでコンパクトになるので気持ちいいです ---次回もその気持ちよさを味わって下さい．
- 再帰関数が一発で動くと麻薬的な快感がありますよね． ---麻薬はやったことがないので分かりません．
- 演繹的に数学的帰納法を使うところにパラドックスみたいなものを感じました． ---本来は「自然数とは何か？」ということを突き詰めないと，数学的帰納法が何をしてるのかちゃんと分からないのですが，それはこの授業の範囲を超えるので，こんな感じのものだと思って下さい．
- 帰納法はコツを覚えればパターン化できると感じた ---この授業でやっている証明はどれもパターン化させているつもりなので，その視点でもう一度いままでの証明を見てみて下さい．
- 今回，モードゥスポネンスを久しぶりに思い出しましたが，「P∧(P→Q)⇒Q」という命題の中で使われている→と⇒の区別はα，βをメタ命題変数とすると，α⇒βと記述すると，α，βに含まれる命題の真偽に関わらずα⇒βは真となる，つまりα⇒βは恒真命題だということを表しているんですよね？ ---「α⇒βと記述すると，α，βに含まれる命題の真偽に関わらずα→βは真となる，つまりα→βは恒真命題だということを表している」と思って下さい．
- 前回の上着は入れ墨みたいなデザインでしたが今回は普通のデザインですね．前回の入れ墨みたいなデザインの服もユニクロで買った服ですか？ ---ユニクロではアロハシャツを見つけられないので，別のところで買ってます．
- コメントありがとうございました．暑くなってきてますので夏バテにご注意ください．
- まずは補講のリクエストから．
- 補講では昨年の過去問から任意にピックアップした問題を解いてほしいです． ---すいませんが，補講で試験対策はしません．
- 試験対策の補講をして頂きたいです． ---すいませんが，補講で試験対策はしません．
- 離散数学と生物学的な関わりが知りたいです． ---では，これを補講の題材にしたいと思います．
- ジョブツリーのような半順序が実際に使われている例がおもしろかったです．補講ではこういう順序などで表すことができる実例をあげていただけるとうれしいです． ---はい，系統樹復元の話がここら辺と関連するので，それを補講でやってみようと思います．
- 岡本先生の研究で今私たちが習っている事柄がどこで役になっているのかを具体的に教えてほしい ---研究までいってしまうと予備知識が足りないので，その手前ぐらいまで行くようにします．
- 次は試験について
- 試験は基礎的なところが重要ですよね． ---そうですね．基礎をしっかりと抑えて下さい．
- 試験で可が取れるレベルの問題演習を… ---演習問題をしっかりとやってもらえれば可が取れると思います．
- その他のコメント
- ハッセ図を描くと理解しやすいですね ---図を描いて直感的に理解するというのはいつでも重要ですね．
- 書いててゴチャゴチャになってしまったので，きれいに書く「コツ」があれば教えてほしいです． ---とりあえずきれいなハッセ図をいろいろと見てみて楽しんでみるというところから始めて下さい．
- 具体的な例があったのでわかりやすかったです．ハッセ図を用いて考えることは最適解の見つけ方にもつながるのではないかと思いました． ---最適解の見つけ方にもつながる，というのは確かにそうだと思います．
- 二分木が半順序だというのは目からウロコでした ---ウロコ以外のものが飛びださないように注意して下さい．
- 岡本先生の上界には誰がいますか？ ---たくさん，です．
- 今日の授業からやっとやる気が出てきました．これから頑張ります． ---やっとですね (^^) 頑張って下さい．
- 離散数学を使う利点は何ですか？使えないときは何を用いるのですか？ ---離散数学に限らず数学を使う利点はいろいろとあります．自分の考えが整理できること．他の人にその考えを正確に伝えられること．時代を問わずその正確さが変わらないこと，などです．数学は考えをまとめるための道具なので，そのために使います．対象となる考えによって，使いやすい数学や使うべき数学は変わってきます．なので，離散数学が使いやすい対象とそうでないものがあり，使いにくい場合には別の数学を使います．おそらく，補講ではそのような例をもう少し詳しくやることになります．
- なんとなく理解できた気がする ---気がする，というところから，もっと自信を持てるところまで到達できるように，復習をして下さい．
- その他のコメント
- やっとパーカー脱いだんですね．夏ですね． ---夏ですね．
- この暑さはどうにかなりませんか？ ---私にはどうにもできません．
- プログラムは得意ですか．また，何が好きですか． ---プログラムはたまに書いたりします．得意かといわれるとよく分かりませんが．好きなものについてですが，最近缶コーヒーをやたらと飲むようになってます．好きなのかどうか，と問われると，それほど好きだということでもないとは思うのですが，なぜか飲んでます．
- コメントありがとうございました．暑くなってきてますので夏バテにご注意ください．
- まずは補講のリクエストから．
- 補講のリクエストはいつがシメキリですか？ ---次回の授業のときのコメントの紙，にしましょう．
- 補講では今まで触れていない新しい分野の授業を行う感じですか？ ---今までの流れに沿っててもいいですし，そうじゃなくてもいいです．
- 授業でリー代数を学んだのですが未だに群論がよくわからないので群論の話が聞きたいです． ---「群論」を採用した場合は，おそらく，有限群の話，特に対称群の話にしぼってやることになると思います．
- 補講は実社会で活かせる離散数学を教えて下さい． ---なるほど．どのあたりの実社会か，もう少し絞ることはできますか？
- 次に授業内容や進め方について
- 分割って修学旅行の班決めみたいですね．(1) 他のクラスの人は入れない (2) 1人が2つの班には入れない (3) 誰かがぼっちになることはできない． ---そうですね．ただし，1人の班を作ってもいいので，その点において，3番目の条件の扱いには気をつけて下さい．
- 模擬試験を行って下さい．熱望します．教育サービスとして． ---まず昨年度の講義ページにある昨年度の試験問題を見てみて，それをやってみて下さい．その他に，7月23日の授業の前には，模擬試験問題も作ってみます．
- 課題が多すぎてレポートが出せませんでした．また頑張ってレポート提出します． ---はい，よろしくお願いします．
- 商集合の証明は非空性，素性，被覆性の全てを満たすことを示さなければいけないですか？ 例えば，この中の2つを満たせばOKという例はありますか？ ---分割であることの証明ですね．全てを満たすことを示して下さい．
- 難しかったので，頑張って復習してきます… ---はい，お願いします．
- modをようやく理解しはじめました． ---それはよかったです．ひとつひとつ積み重ねていって下さい．
- 最後にその他のコメント
- 最近活きるのが辛いです．どうしたらよいでしょうか． ---私が間違ったことをいうと大変なので，すみませんが，私からは何も言えません．大学に学生何でも相談室があるので，是非活用して下さい．
- 今日初めて17:50の授業開始前に到着することができました． ---よかったです．遅れてしまったときは，授業配信などを活用して下さい．
- 岡本先生の研究室に入りたいです． ---いきなりラブコールですね ;-) 先端工学基礎課程の卒業研究のガイダンスがおそらく10月の始め頃に行われると思いますので，それに出席して下さい (もしかしたらもっと早いかもしれません)．現在，私の研究室に先端工学基礎課程の学生もいますし，来年度の卒業研究の配属について先端工学基礎課程の学生を受け入れないという態度を私は取らないつもりなので，その点は安心して下さい．ただ，定員はありますので，それも注意して下さい．
- 先生はどうして今の仕事を選んだのですか ---これはなかなか難しい質問です．大学院で研究をしていて，楽しくなってくると，研究をするという職に就きたくなります．大学教員というのは研究ができる職の一つで，その他に教育にも携わることができるというのは私にとって魅力です．
- 日本地図が出てきたので気になったんですが，出身はどこですか？ ---愛知県碧南市です．
- いつになったらパーカーを脱ぐんですか？ ---おそらく今度から違う感じの服装になります．
- コメントありがとうございました．来週は休講ですので，間違いないようにお願いします．
- 期末試験には，授業の最後に先生が指定した問題を中心に出すお考えでしょうか？それとも他の演習問題も出す予定はあるのでしょうか． ---どちらについても予定はないです．発展問題以外のすべての演習問題が対象です．
- だんだん難しくなってきました． ---だんだん難しくなってるのは予告通りですので，しっかり復習をして下さい．
- いまいち抽象的でよくわかりませんでした． ---次回はもう少し具体的な例を出したいと思います．
- 抽象度が上がってきて数学をやってる感がでてきました！！とても楽しいです．説明も分かりやすいのでこのままの感じでよろしくお願いします． ---抽象度が上がり過ぎて，ちょっと具体例がなさすぎた気もするので，次回はもう少し具体例を増やします．しかし，数学をやっているという感じは失わないようにしたいです．
- 半順序の辺りが「なるほどなー」となった． ---半順序の例は次々回に出したいと思います．
- 順序，半順序の例がよくわからなかったのですが，日常的なものにおいてどのようなことがあてはまりますか？ ---これは次々回に例を挙げたいと思います．
- 図の書き方がいまいち分かりませんでした． ---xRyのとき，x→yと矢印をひきます．
- しっかりと復習をし関係性の名前からどんな性質かが分かるようにしておきたい． ---はい，よろしくお願いします．
- 実際に図にしてみると，整理しやすいですね． ---図から直感を得て下さい．
- がんばってろくが見ます． ---はい，そうしてください．
- 教室が暑いです…冷房はかけないのですか？ ---私が決めてよいならそうします．
- 電通の冷房の効きは悪いと思いませんか ---「ある冷房の効き」なのか「すべての冷房の効き」なのかで，その正しさは変わるかもしれないので，どちらかを明確にしないといけませんね．
- じめじめしますね…汗っかきにはつらいです… ---そうですね，私もあせもができやすい体質なので困ります．
- 頭がボーッとすると脱水症状なので，倒れる前に授業を中断してでも水を買いに行って水分を補給した方がよいと思います．救急車で運ばれるよりはよっぽど良いです． ---お気遣いありがとうございます．次はちゃんと準備をしてきます．
- 授業中にお腹がすいたときにはどうすればよいのですか？ちなみに，私はトマトが好きですが，授業中にトマトはセーフでしょうか？ ---トマトジュースならいいです．
- 数学にはセンスが必要だと思いますがどうですか？ ---数学は言語なので，言語をあやつるという意味ではセンスが必要だと思いますし，誰でも言語を扱うことができるという意味ではそれほどセンスが必要ないものだとも思います．言語というのは使っていれば自然と使えるようになるものだと思うのです．ただ，正しく使うためにはそれなりの環境にいないといけないとは思います．
- 論文のテーマや研究室はどのようにして決めましたか． ---自分が興味をもったことをやったというのが一つと，もう一つは前にも書いたことですね．
- 先生の修士論文を書くに至ったまでのいきさつが知りたいです． ---その当時勉強していたこととその当時偶然出たセミナーで聞いた話が私の頭の中で組み合わさって，むにゃむにゃしている間に論文ができました．
- 半順序についての論文とは，どんなことを書いたのですか？ ---これの話をしだすと大学院の授業を1年ぐらい使わないといけなくなりますけど，そういうことをせずに一言でいうと，半順序の一般化についての研究です．
- コメントありがとうございました．
- 中間試験は行いますか？ ---行いません．期末試験のみです．
- 単射，全射が理解できていません．「単射：写像された先がかぶらない」，「全射：写像先の全ての値に写像されている」と書いていたのですが，こういう理解で合っていますか？ やっぱり単射・全射・全単射がさっぱり？？？です． ---はい，直感はそれでよいです．ただし「写像される」というような言い方はしないので，それは注意して下さい．写像＋する，で写像するという動詞にはしない，ということです．
- 全射と単射のグラフの対応がよくわかりました ---図を描いて，イメージをつかんで下さい．
- 絵をかいた図はわかりやすかったです ---はい，図を描くことは大事なので励行して下さい．
- 単射がいまいち理解できなかった． ---まずは例を通してイメージをつかんでください．
- 始域と終域がわかりました．ありがとうございます． ---それはよかったです．
- 始域と終域の話が分からなかった ---それはよくなかったです．授業中に全部理解ができなくてもよいので，理解できなかったところはよく復習をして下さい．
- 今回はイメージしやすかった． ---毎回イメージしてください．
- 始域と終域をきちんと考えないと，全く異なる答えになってしまうことが理解できました． ---そうですね．きちんと考えないといけないです．
- 証明がかけません… ---証明を書くには慣れが必要なので，演習問題に取り組んで下さい．とりあえず，授業でやったもの (復習問題) を自力でやってみて，それと講義スライドにある証明と見比べてみて下さい．
- 「すべてのa,a'∈Rに対して〜」ということを証明するときに，任意のa,a'∈Rを考えるとして，なんだかaとa'を固定してしまっていて全てのRの元を考えられていないような気がするんです． ---任意のa,a'∈Rを考えた後，a,a'は固定されてしまうのですが，a,a'について証明の中で使える性質 (仮定) は「a∈R」と「a'∈R」という性質だけです．これは例えばa=1と置いて固定することとは違うので，その2つを区別しないといけないです．(このように「任意に固定する」ということは普通のプログラムではできないことなので，ちょっとイメージはしにくいかもしれないですね．)
- ∧，∨と∩，∪の違いを理解していません．教えて下さい． ---「∧，∨」は論理に対して使って，「∧，∨」によって結ばれるものは命題でないといけません．例えば，P∧Qと書いたら，PとQは命題です．なお，命題とは真か偽かが定まる文のことでした．一方，「∩，∪」によって結ばれるものは集合でないといけません．例えば，P∩Qと書いたら，PとQは集合です．なので，「x∈A かつ x∈B」というのは記号で書くと「(x∈A) ∧ (x∈B)」になります．なぜなら「x∈A」や「x∈B」というのは集合ではなく命題だからです (より細かく言うと，x,A,Bによって真偽が定まる命題関数)．∧や∩が何を結んでよいのか，ということに注意して下さい．
- パーカー大好き ---はい大好きです．フリースも好きです．
- パーカー以外の服をお持ちですか． ---もちろんもってます．
- 先生は梅雨が好きですか？ Yes/No ---Noです．
- この授業中にipod touchのボタンがへこみました ('・ω・`) ---気持ちはへこませないでください．
- 再来週はなぜ休講なんですか ---私が出張をするからです．すみません．
- いつも目立つ席で意識失いかけててすみません… ---実はどの席も目立つので，どこで意識を失いかけても私の目からはあまり変わりません．
- 台風がくるらしいです．雨風にお気をつけて下さい． ---ありがとうございます．皆さんもお気をつけて下さい．
- 「数学が出来る」というのは，どういうことだと思いますか？抽象的な質問ですいません． ---「数理リテラシー」ということばがあります．英語ではmathematical literacyです．OECDのPISAという団体が3年に一度大規模な調査を行っていて，その2009年の調査結果が出てるのですが，その団体は数理リテラシーの調査も行っています．そこでは数理リテラシーが以下のように定義されています．「An individual's capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgements and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual's life as a constructive, concerned and reflective citizen」です．このような能力を持っているということで「数学ができる」とするという考えに，私は概ね賛成です．そして，奇異に思われるかもしれませんが，この意味で「数学ができる」ということを考えると，いわゆるプロの数学者の中にも「数学ができる」と言えない人がいるように思えます．数学という学問分野は，極めて自己目的的であり，それが現実世界においてどのような役割を持っているのか，考えることが出来ない人，考える必要がないと思っている人，考えることは数学ではないと思っている人，が数学者の中にいるように思います．(「そのような人がいる」といっているだけで「皆がそうである」とはいってないので，注意して下さい．この違いがわかれば，離散数学の講義を受けてる意味が少しはあったことになります．)
- 資格試験の勉強があり，しばらく離れていたためあまりついていけませんでした．復習して挑みます． ---はい，復習をよろしくお願いします．
- コメントありがとうございました．今回は出席者が少なかった気がします．欠席した人もしっかりと復習をして下さい．
- 例が分かりやすかった ---ありがとうございます．今後もできるだけ例を出していきたいと思ってます．
- できなくてつらいです．勉強頑張れるかな． ---順番に復習をしていって下さい．こういうものは慣れてくると突然できるようになるので，演習問題を解いたり，授業資料を見直したりして，慣れていくことが重要です．
- 証明をするときの論理操作を証明図を用いてから日本語の文章で書き下してもよいのでしょうか． ---はい，よいです．
- 今回の論理の証明もまず図を描くことから始める方がいいですか？ ---できるかぎり，図を描いて直感を得るところから始めることを推奨します．
- 証明難しい ---難しいとは思いますが，復習して，慣れていって下さい．
- 証明難しいです．ですが，がんばります． ---はい，頑張って下さい．
- ちょっと混乱してきました ---分からないところは質問して下さい．どこから質問したらよいか，ということが分からないこともあるかもしれませんが，そのときは，まず以前の講義を見返して，どの辺りから分からなくなったか，ということを特定してみて下さい．
- 本格的に難しくなってきました． ---今後もっと難しくなるかもしれないので，踏ん張って下さい．
- 証明の仕方が難しいと思った． ---今回の証明の仕方は，次回もう一度やるので，そこで感覚を掴んで下さい．
- だんだんむずかしくなってきました．聞いていると簡単そうなのに自分でとくとうまくいかなくなります． ---そのための演習問題ですので，是非取り組んで下さい．
- 証明はまっしろでした． ---手順があるので，まず，それに沿うためにはどうしたらよいか考えてみて下さい．
- 証明問題がだんだんとわかってきました．わかってくると楽しいものですね． ---慣れてきている証拠なのだと思います．気を抜かずに進めて下さい．
- レポート書きます ---はい，よろしくお願いします．
- コミケ受かりました ---おめでとうございます．
- 例えば，仮定として∀x (x∈X→x∈X')，目標として∀y (y∈f(X)→y∈f(X'))があったときに目標のyを固定してy∈f(X)→y∈f(X')とすることに違和感があります． ---目標である∀y (y∈f(X)→y∈f(X'))において，yは何でもよいので，それはさっさと固定して，中身のy∈f(X)→y∈f(X')だけに注目したいのです．ということをしています．
- 今日は日本代表のW杯予選がありますが，先生は試合を見ますか？私はW杯という単語を聞くといつもQBKという単語が思い浮かびます．シュートが枠の外に外れるのでQBKは単射ではないと勝手に定義しました． ---見ました．なお，QBKが単射かどうかということについて，授業でも言いましたが，関数を定義するときには始域と終域が何であるのかをはっきりと明示する必要があって，それによって単射であるのかどうかも変わってくるので，その点をもっと詰める必要がありますね．
- サッカー勝つかなサッカー勝つかなサッカー勝つかな ---勝ちましたね．なお，勝利した後に，調布PARCOの前のスクランブル交差点を見たのですが，すごく静かでした．普段の平日よりも静かでした．
- 岡本先生の学部，院時代，そして今の趣味を教えてほしいです．そして今の研究をやろうと思い至ったのはいつからなのでしょうか． ---趣味がないのが趣味，とかそういうことをいうと怒られそうですが，私が大学生のとき，私の所属していた学会に学生控室というのがあって，そこは溜まり場のような場所で，スーパーファミコンとかPlayStationとか置いてありました (当時は90年代後半)．そこで毎日のようにゲームをやっていたことを思い出します．特にぷよぷよSUNをやってました．これが趣味だということではないのですが，まぁ，その当時よくやっていたこと，ということです．今の研究というのが何なのかと考えると，なかなか難しく，研究テーマや興味は常に変わるものなのですが，大きな枠としては修士課程に進む頃既に固まっていた気がします．
- コメントありがとうございました．
- 追加問題6.4で，f-1({4})の場合，BからAへの経路がないのですが，これは{∅}が答えで良いのでしょうか？ ---「ない」ので∅ですね．∅と{∅}は違うので注意して下さい．
- A={1,2,3}，B={4,5,6}，f:A→B，f(1)=4，f(2)=4，f(3)=5のとき，f-1({6})=？ の？は何になるのでしょうか．{∅}ですか？ ---上の質問と同じように，∅となります．
- (g∘f)-1({a,b})=g-1(f-1({a,b})) ? = g-1(f({a,b})) ? ---これはどちらでもありません．g∘fという関数を考えたときに{a,b}の逆像が何になるのか，ということを明らかにしたいので，まず，g∘fという関数がいったい何なのか，ということから考えてみて下さい．
- 図におこすと分かりやすかった ---図に描くというのは直感的に理解するためには重要なので，是非やって下さい．ただし，それは直感でしかないので，直感を支えるための論理も必要だということは認識しておいて下さい．
- 像，逆像に関しては図を書くことが何よりの良いアプローチ方法だと感じた． ---はい，是非描いて下さい．
- 関数と像の違いで迷いました！！追加問題6.4の5, 6 ---紛らわしいので，注意しながら取り組んで下さい．
- 今回のところはちょっとややこしいところがありますね．ちゃんと復習しておこうと思います． ---はい，よろしくお願いします．
- しっかり復習したいと思います． ---今日の部分は，簡単に誤解できますので，しっかりと理解できるようにして下さい．
- 間違って6-5やってました． ---never mindです．
- 6.4の問題が6番までかと思ったら，12番までありました．うっかりしていました． ---あるあるネタのように，リズムにのって読むと，あるあるネタに思えてきました．
- 復習がおいつかなくて授業が大変になりつつあります．前の章の質問はしてもいいのでしょうか． ---はい，もちろんOKです．
- 最初のころの問題のレポートも出せば採点してもらえますか―――――？ ---採点はどのレポートに対しても現在していませんが，添削ならばします．
- 難しくなってきました． ---どんどん難しくなっていくので，復習する時間をしっかりととって下さい．
- 単射の定義についての質問です．f:A→Bとしたとき，∀x,y∈A. x≠y ⇒ f(x)≠f(y) ⇔ ∀x,y∈A. f(x)=f(y) ⇒ x=y となるとき単射と呼びますが，∀x,y∈A. x=y ⇒ f(x)=f(y) (これを(1)とします) とはならないのは何故でしょうか．定義と合致しないのはわかるのですが…．直観としては，始域の元が終域の元に一意に定まらない可能性を含むから(1)のように定義してはダメだということでしょうか． ---単射については次回取り扱うので，よく分からない人は読みとばして下さい．(1)に書いてある条件はどのような関数fに対しても成り立ちます．どんな関数fに対しても，xとyが同じならば，そこにおけるfの値は同じなのです．なので，fが関数である，という前提の下では(1)という条件は単射とそれ以外の関数を区別するものにはならない，ということになります．
- 数学用語は音読みがほとんどな件，言われてみればという感じです．関数の語源がfunctionが中国で訳された「函数」であるというのは聞いたことがありますが，他についても概ねそんな成り立ちなのでしょうか？ ---中国語から音を借りて，そこに漢字を充てているという用語について，私は関数しか知らないですが，現在，数学用語が純粋な日本語（和語）であることは稀で，ほとんどが海外で使われている数学用語を輸入し，翻訳して，使っているものになっています．しかし，歴史をひも解くと，日本には和算という数学が独自に発達していたことが知られています．何に関しても「歴史」というものを持ちだすとき，それが西洋中心の見方になりがちである，というのは否めないのですが，和算自身の価値も数年前から見直されてきているようです．
- マンデルブロ集合みました！カラーでみると少々気持ち悪いですね！フラクタルと集合が関係あるとは思いませんでした！ ---数学的に扱うものをどれも集合として捉える，という立場があり，ブルバキスタイルと呼ばれることもあります．そういう意味で，数学にでてくるものはどれも集合なのです．
- 自分はプログラマなのですが，プログラミングでやってることを数学的にみるとこうなるのかというかんじで，いちいち納得です．楽しいです．今日はとちゅうでいねむりしてしまい，すみませんでした． ---「○○を△△的にみる」ということができるようになることが大学で勉強する目標だと私は思うので，そういうことがお伝えできてると思うと，とてもうれしいです．
- 逆像をつかいこなすとどの様なよいことがありますか？ ---例はたくさんあるのですが，ここでは1つだけ挙げます．関数を使うと，時間的な変化を記述することができます．例えば，あるシステムで初期状態の集合がAであり，最終状態の集合がBであるとします．そのシステムを動かして，初期状態a∈Aが最終状態b∈Bに移行することは適当な関数f:A→Bを使って表現できます．では，初期状態が分からないままシステムを動かしたとき，最終状態として異常が検出されたとします．そのとき，そのような異常を導いた初期状態が何だったのか，ということを特定したいとします．これは異常を表す最終状態の集合の逆像を考えると，それは異常を導いた初期状態の集合となるので，逆像を考えるだけで異常の原因がある程度絞れることになります．
- 生物的な物（形，動作など）を離散数学的に表している研究はありますか？ あるのなら，どのようなものがありますか？ ---例はたくさんあるのですが，ここでは1つだけ挙げます．生物が進化してきた道筋を復元するということは，生物学において重要な課題ですが，そのための手法として以下のようなものがあります．まず，対象とする生物種を決めます．そして，その生物種それぞれがどのような特徴を持っているのか特定します．例えば，鳥を4種ぐらい決めて，それらが飛べるか飛べないか，水かきを持ってるか持ってないか，指の数はいくつか，など，それぞれ特定します．これは，鳥を{飛べる，飛べない}×{水かきを持ってる，水かきを持ってない}×{1,2,3,4,...}×…という集合に移す関数であると考えることができます．このような関数を用いて進化の道筋を復元する，ということを実際に生物学では行っています．ただし，研究論文にそのような書き方がされているわけではないのですが，私の目から見るとそれはまさに今説明したことをしているのです．
- 家にこもってコードを書いていたい人生だった… ---それはあまり健康的ではないので，今の選択がよかったと思います．こもっていることで得られる情報や経験は極めて限られています．いろいろな世界を見ることで人生を広げていってください．
- 最近脱毛に悩んでおります． ---増毛に悩んでいる人もいる世の中なので，そういう人にとっては羨ましいのかもしれません．
- のどがガラガラ苦しいです．のどがいたいですがおすすめのカゼ薬はありますか． ---私は医者ではないので処方とかできませんが，のど飴はよく舐めます．ただ，舐めていてもすぐ噛んで粉々にしてしまうので，あまり効果は上がってない気がします．
- 最近あついですね！そろそろ薄着の季節です！ ---そうですね．季節の変わり目ですので，体調管理には注意して下さい．
- 3年生なので来年は卒研になりますが，先生はどのように専門を決めていきましたか？ ---これは難しい話になりますが，卒研のことだけに話を絞ると，私はまず自分の趣味としていることと研究としてやることは全く関係ないものにしたいと思ってました．なので，浮世離れしてると思っていた数学的なことを研究する研究室を志望して，そこに配属されました．それからは，研究が面白くなっていって，数学のこともだんだんわかるようになってきて，そうすると，何もかもが数学に思えてくるので，結局，趣味と研究の境目があいまいになってきている気はします．
- コメントありがとうございました．今日は紙を忘れてしまってすみませんでした．
- 先生のホームページに去年の離散数学の期末テスト問題をアップしていただけないでしょうか？参考にしたいです． ---昨年度の講義ページにありますので，そちらを見て下さい．
- 補足問題もテストにでますか？ ---補足問題も試験の範囲に入っています．
- ボーダーにボーダーでオシャレですね． ---鏡とか見ずに，適当に着てるのですが，適当すぎて変な感じになったのだと思います．
- 今日はウォーリーですね！！今までで一番美しいと思った集合ってありますか？ ---帽子も眼鏡もないのでウォーリーじゃないと思うのですが，それはともかく，集合に対して美しいと思うという感覚はあまり持っていないのですが，マンデルブロ集合はいつみても奇妙な感覚に陥ります．
- どうしてこれが先生の生きがいなのですか？ ---これは書き出すと長くなるかもしれませんが，実際長くなったらすいません． 私が教員として皆さん提供しなくてはならないのは，私の講義を受けたことで，人生が変わるとか，何かの役に立つとか，まぁ，なんでもいいのですが，例えば，10年後とか20年後とかに振り返ったとき，「あのとき岡本があんなこといってたな〜」とか，そういう記憶に残るというか，そういう経験だと思っているのです． しかし，1つの講義でそういうことを行うのは非常に困難です． 特に，教員が一方的に話す，とか，学生が聞いているだけ，とか，そういうことでは，こういう経験は絶対に生まれないと思ってます． 私が一方的に話すだけ，というスタイルならば，皆さんが講義に来る必要は全くありません． ビデオを見てもらえばよいのです． しかし，それではない何か，というのを教育サービスとして提供するのが，大学教員としてやるべきことであり，それを考えていろいろと実践をしているというのが私のスタイルになっています． その1つは講義中に演習をやることです．これによって教室は「教員が一方的に話し，学生が聞いているだけ」という場ではなくなります． そして，もう1つがこの紙です．学生の皆さんから即座にフィードバックをもらい，何でもいいので対話することです． 講義で出て来た疑問点の解消に始まり，雑談まで，何でもいいので話をするというのが重要だと思っています． 対話によって学生と教員の距離が縮まれば，講義から生まれる経験はよいものとなるでしょうし，皆さんも講義に来るモチベーションが上がるのではないかと思っています．私のモチベーションも上がります． しかし，この紙は特に強制してるものでもないので，皆さんが自発的に提出することだけを望んでいるという，私にとっては受け身の状況なのです． そのため，提出してもらえることはありがたく，本当に私のモチベーションが上がり，頑張ってやっていこうという気持ちになれるのです． という意味で，これは生きがいです．
- 私は先生の授業が生きがい（楽しみ）です． ---ありがとうございます．今後もそう思ってもらえるように努力します．
- 言ってることは大体理解できた（と思う）ので，大丈夫だと思います． ---演習問題に取り組んで，理解ができているかどうか確認してみて下さい．
- 定義をしっかり踏まえた上でいると，理解しやすい内容でした． ---はい，数学において定義と記法の理解が重要ですので，その点は (記憶の必要はないですが) しっかりとおさえておいて下さい．
- 補足をしてもらったことで，前回の内容の理解が深まりました． ---証明は今後もでてきますので，自分でできるように復習して下さい．
- この講義は大学に入ってから一番数学してる感じがして楽しいです．ところで先生は一有権者として国政に関心または熱意はありますか？ ---選挙権を持つ身として，ちゃんと選挙にいってます．「国政に関心」というと被選挙権を使うようなイメージがありますが，そういう意味での関心はありません．
- 前回の「徳川うんぬん」の英訳ありがとうございました．おかげで理解（イメージ）できました．今回でてきたF⇒Pはよくわからなかったです． ---「F⇒P」についてですが，これは第1回講義のコメントを参考にしてみて下さい．「○○→△△」というのは「○○」が偽 (F) のときに真となるということの説明です．
- ∅は"要素を持たない集合"であるのに，"x∈∅ならば〜"って仮定はおかしくないスか？ ---おかしくはないですが，正しくない仮定，ということですね．「豚に翼があれば，豚も空を飛べる」というのは，仮定が正しくないのですが，文法的にはおかしくない文です．
- なんかif文でかこってる感じで面白いです．あるいはhtmlかいているとき<div>でidやclass与えてるときみたいな． ---文章の構造を把握するという意味では似てるところがあるかと思います．ほとんどのプログラミング言語やマークアップ言語では構造を非常に重視しますが，普通の文章においても構造を重視するべきです．いわゆる理系の人は，とても構造がはっきりとしたプログラムを書くのに，普通の文章になると構造がどこにいってしまったのかわからないようなものを書く場合があります．どちらに対しても構造を重視するように注意して下さい．
- 現実逃避したいです．どうすれば良いでしょうか？ ---うまい息抜きの方法があるといいですね．ストレスを徐々に取り除いていきましょう．
- 私はまだ命題論理における自然演繹体系を利用しての証明しか知らないのですが，それを利用して，例えば演習問題4.3を証明図によって証明しても良いのでしょうか？今，前原先生の記号論理入門を読みつつ演習しているのですが，とても楽しいです．授業と並行して進めるととても理解ができやすいです． ---証明図による証明は「(文章として) 読める証明」ではないので，普通の数学では使わない証明法です．なので「普通の数学に慣れる」という意味では演習問題の証明は (真理値表を使う，などと書かれていない限り) 文章で書くようにして下さい．実は，不思議に思われるかもしれないですが，普通の数学における証明というのは文章で書かれているため，それほど形式的ではなく，あいまいである場合も多いです．数学の歴史を考えると，証明というのは自然演繹のような体系ができる前から存在していて，時間が経つにつれて，あまりにも素朴に行っていた証明というものに問題があるという認識が生まれました．そのため，証明というもの自体を数学の枠組で捉える必要がでてきて，そのときに人々の考えに上がったものが形式的な数理論理学や記号論理学 (特に，証明論) なのだと思います．一方，普通の数学では，素朴に証明を行ってもあまり問題がないという認識もあり，いまだに文章として証明を書いているという現状があります．
- 離散数学の離散とはどういった意味ですか？不連続という意味ですか？ ---これは第1回講義のコメントを参考にして下さい．「不連続」ということとは少し違う気がします．
- 「冪」とは読めても書いたことが無かったので書けて良かった．漢検準1級か1級の配当漢字だと思います．国文科を出たのですが，言葉が理解できない．何を勉強してきたのか疑問になってきた． ---いろいろな専門分野では，普通の生活では全く用いないような感じを使うことがありますね．「冪」もおそらくその一つです．例えば「袈裟」に使われる2つの漢字は袈裟として使われる用法以外に私は見たことがないです．しかし，冪は15画の漢字なので，見た目ほど画数の多い漢字ではないようです．
- コメントありがとうございました．このコメントが私の生きがいですので，みなさん何でもよいので書いて提出して下さい．
- 授業中の音は上の階で机を移動している音ではないでしょうか． ---なるほど．ありがとうございます．
- 上の階で机を引きずって移動させると授業中のような音がでます ---なるほど．ありがとうございます．
- 授業の最初の方の雑音は上の解の教室で教卓を引きずる音では？途中からは鼻息でしたがwww ---では次に，鼻息を荒くしないよい方法を募集しますので，みなさん，どしどしお寄せ下さい．
- 演習問題の件，集中して下さい〜 ---すいませんでした．
- Windows8タブレットほしい… ---私も持ってません．
- 難しくなってきたのでしっかりと復習をしたいです． ---これからもっと難しくなるかもしれないので，今までのところは確実に復習しておいて下さい．レポートも活用して下さい．
- 難しいです． ---ある程度難しいことをやらないと大学ではないので，しっかり復習をしてください．分からないところについて，質問はいつでも受け付けてますので，是非どうぞ．
- 慣れれば前よりも証明がやりやすくなりそうなので，頑張りたい ---こういうものはやはり慣れが重要なので，演習問題に是非取り組んで下さい．
- 今日のところは要復習ですね！ ---はい，要復習です．よろしくお願いします．
- 今回の問題は解きがいのありそうな問題でした． ---是非レポートとして提出して下さい．
- ∈と⊆と→がまざります． ---覚える必要はないので，まず記号の意味が違うということから理解して，その後で，それがどういう意味を持っているのかということを正しく理解して下さい．
- 記号にまだ慣れていないせいか，式で迷ってしまいます．特に右辺と左辺を別ける記号はむずかしいですね． ---そうですね．ここまでの授業は論理が主な題材でしたが，ここからは集合が主な題材になっていくので，注意して下さい．
- やっと仕事が落ち着いたので今日初めてこの授業に出ることができました！今回の講義で，入れ子構造という単語を聞いたときに職業柄プログラムのif文を思い出しました．私の出席日は離散数学ですが，単位をとれるように頑張ります． ---プログラムでは構造を明確にするために，入れ子構造を明示的にカッコで括ったり，字下げによって表したりしています．しかし，普通の文章ではそういうことをしないので，文章を読むときにはどういう構造をしているのか，自分で理解しながら読まないといけないわけですね．
- 何で今日は黄色じゃないのですか？そこに黄色がなかったのですか？ ---はい，黄色がなかったです．
- マイク用のポーチみたいなものを首から下げたらピンがなくても大丈夫だと思います． ---そのとおりですね．ただ，ピンがどこにいってしまったのか，気になっています．
- 今日は雨が降りませんでしたね． ---私は晴天が好きです．
- 今日は暑かったけど6限はすずしくて集中出来たけど，選言三段論法はよくわからなかった． ---選言三段論法の例をここでももう一度．「リンゴかイチゴが私は好きだ」ということと，「私はイチゴが好きではない」ということから「私はリンゴが好きだ」というのを導くのが選言三段論法です．2つ選択肢があって，片方が否定されると，もう片方が生き残る，と言う感じです．
-
「徳川うんぬん〜」のくだりは，イマイチぴんとこなかったのですが，これはもしかしたら英語だとわかりやすかったりするのでしょうか．もしそうなら，英文を例示していただけませんか．
---英語の方が分かりやすいかもしれないので，英文を出してみます．
- 徳川将軍は全員男である． → All Tokugawa shoguns are male.
- 「徳川将軍は全員男である」の否定 → Not all Tokugawa shoguns are male.
- 徳川将軍は誰も男ではない．→ No Tokugawa shoguns are male.
- 徳川将軍の誰かは男ではない． → Some Tokugawa shoguns are not male.
- P(x) = x∈A，Q(x) = x∈B とすると，「P(x)ならばQ(x)」という日本語の略記が「P(x)⇒Q(x)」であり，「∀x (P(x)→Q(x))が恒真」ということでしょうか．つまり，任意のxに対して(P(x)→Q(x))が常に真となるときにP(x)→Q(x)は正しいというような言い方をするのでしょうか． ---これはややこしいですが，そういうことではないです．(以下，ややこしいので，自信がない人は読みとばして下さい．) 1点目．「∀x (P(x)→Q(x))が恒真」というときの「恒真」は「P(x)とQ(x)が何であっても真」という意味なのですが，この場合はP(x) = x∈A，Q(x) = x∈B と限定しているので恒真ということばは使えません． 2点目．「P(x)ならばQ(x)」という日本語はとてもあいまいな日本語であり，その意味は「P(x)→Q(x)」かもしれませんし，「P(x)⇒Q(x)」かもしれません． 3点目．証明で行っていたのは，「『任意のxに対して P(x)→Q(x)』が正しい」ことを証明するために，「『P(x)→Q(x)』が正しい」ことを任意のxに対して証明しようとしたのです．これは第2回スライドの21ページに書いてある「標語的に書くと…」というところにある内容で，やはり少しややこしいです．
- 「xを任意に選ぶ．x∈(A∩B)であると仮定する．…」と証明を続けていきますが，「∃x∈(A∩B)」と書かないのですか？また，書いてはいけない理由とかあるのですか？ ---これもややこしいですが，そうは書きませんし，書いてはいけません． なぜかというと，「xを任意に選ぶ」と書いた時点で，xはもう選ばれている (決まっている) ので，その後の文章に出てくるxは自由変数ではないのです．自由変数ではないものに∀や∃という記号はつきません．
- 離散数学は工学（ものつくり）においてどんな有益なことがありますか？ ---「ものをつくる」というときには，様々な事項を理解する必要が出てきます．それは，つくるものに対する要求が何であるのか，ということであったり，ものをつくるために使える資源は何であるのか，ということであったり，つくられたものを評価するための方法は何であるのか，ということであったり，いろいろとあります．それらを客観的に行うには，数学や論理に基づく方法に頼る以外に (現在の技術では) ないのです．そのとき，対象するものや現象を数学のことばで語る必要が出てくるわけですが，離散数学はその方法論の1つを与えています．
- 最近名著を一度ぐらいは読んでおかないと恥ずかしいかなと思い本を読んでいます．先生は本を読みますか？ ---学生の頃は小説のようなものをよく読んでいたのですが，最近はそれ以外に読まなくてはいけないものが多過ぎて，小説は読まなくなりました．よくないと思ってます．
- コメントありがとうございました．今回は出席者が少ないように思いました．だんだんと難しくなっていくので，出席は欠かさないようにして下さい．
- コメントを読んでいて，補足したいことがありました．存在を表す記号「∃」を「Ｅ」と書いているものが数件ありました．「Ｅ」ではなくて「∃」なので，注意して下さい．∀はAllのAをひっくり返したもの，∃はExistのEをひっくり返したもの，です．
- 「∀：自分の手番，∃：相手の手番」とプリントで書かれてましたが実際は逆じゃないですか？ ---はい，その通りです．ありがとうございます．非常に重要なところでまちがえてしまいすみません．スライドは訂正しました．
- ∀と∃の意味がよくわかりました．ゲームとして考えるという方法がわかりやすかったです． ---ゲームとして考えるということは数学者が無意識で行っているのですが，それを明示的に書いている文献はあまり見かけません．授業ではそれを明示的にやることにしました．それがわかりやすかったのなら，成功したのだと思います．
- ∀○と∃○の説明で「∀○：相手，∃○：自分」というたとえが分かりやすかったです． ---ありがとうございます．
- 分かりやすかったです． ---ありがとうございます．
- ∀あいてがえらぶ，∃自分が選ぶ→絶対勝てるなら真→真？ ---コメントで書いてもらった矢印が何を意味するのか正確に理解できなかったので，どう答えてよいか不安になりますが，とりあえず試みてみます．「∀」は相手が選ぶ，「∃」は自分が選ぶと思って下さい．そのときに，最後に書かれた命題が必ず真にできれば，全体の論理式も真です．
- ∀○と∃○の説明がなんか難しく感じてしまった．自分と相手のたとえがよくわからない ---上の説明をもう一度見てみて，演習問題に取り組んでみて下さい．
- 述語論理と集合の等価性について，例えば{x | P(x) ∧ Q(x)} = {x | P(x)} ∩ {x | Q(x)}であるとのことですが，{x | P(x)}とは，P(x)のxに代入してできる命題が真になるものすべてを集めてできる集合のことですか？ ---はい，その通りです．
- 後出しジャンケンで，命題が「自分が必ずあいこを出す」という場合，「∀x∈H (∃y∈H (x=y))」という表記でよいですか？ ---はい，その通りです．
- 「手順」の考え方がとてもわかりやすかったです． ---いろいろな考え方がでてきますので，演習を通して理解していってください．
- 真理値は定義を使った方がいいですか ---何に関する真理値のことなのか不明なので，また間違った方向に回答してしまうかもしれませんが，これが述語論理式の真理値のことを指すのだとすると，定義を使って∀の部分を∧に書き直したり，∃の部分を∨に書き直してから，その論理式の真理値を考えてもよいですし，それを行わずにゲームだと思って真理値を考えても，どちらでもよいです．
- 「→」で少し混乱しそうになります． ---「→」の難しいところは，「P→Q」と「Q→P」で真理値が変わってくることです．他にも「(P→Q)→R」と「P→(Q→R)」の真理値も異なります．間違えないように慎重に取り扱って下さい．
- P, Q, Rの3変数がでてくるとたいへんなのでミスが多くなります． ---慌てずに落ち着きましょう．
- とても楽しいです！ ---今後もそのように思ってもらえるようにやっていきたいです．
- 非常にこんがらがって来ました．GWを使って復習していきます． ---はい，だんだんと難しくなっていくので，復習をして下さい．
- むずかしいですね． ---難しいことをやらないと大学じゃないので，がんばってついてきて下さい．分からないことについて，質問はいつでも受け付けますので，どしどしお寄せ下さい．
-
「∃x (∀x …)」のように変数を上書きすることはありますか？話を聞いた感じですと，レキシカルスコープなので，同名の別変数をスコープ内で別に定義できるのかと思いまして．perlで書くと
my $x; sub hoge { my $x; }というイメージで． ---そのような上書きをしてはいけないことになっています．Perlではそのような書き方が許されているようですが，許されない言語もあるので，述語論理では許されない言語のようになっていると思って下さい． - スコープはプログラミングでよくぶつかる問題なので，興味深く聞きました (グローバル汚染等) ---スコープの問題はなかなか根深いので実を言うとあまり触れたくないのですが，触れないとそういうものに出会ったときに困ってしまうので触れなくてはいけないというちょっと困った存在ではあります．
- ひとつひとつゆっくりと考えることが重要だと思いました ---演習の時間は割ととっているつもりですが，それだけは足りないので，家や他の場所でも時間を見つけて復習をして下さい．
- 今期初めて授業受けに来ました．お変わりなさそうでなによりです．今年もよろしくお願いします． ---できるだけ休まずに受けに来て下さい．
- ちゃんと印刷してきます ---はい，よろしくお願いします．
- 演習で教えてもらえて遅刻したけれど理解できました． ---できる限り，遅刻のないようにお願いします．
- 今日は途中から来たのでついていくのがとても大変でしたが，先生やTAの方のおかげで今日もしっかり理解することが出来ました．また次回も仕事を早く終えてかけつけたいと思います．喉をお大事にして下さい． ---喉のことありがとうございます．大丈夫です．
- 軽食をとりながら，授業をうけてもいいですか？ ---これは控えて下さい．キャンディーぐらいならいいですが．
- 自由七科 (リベラルアーツ) の中にあった論理学も，この講義のような内容だったのでしょうか？ ---授業で取り扱った論理学はいわゆる「記号論理学」と呼ばれるもので，これが成立したのは19世紀ごろだといわれています．自由七科は古代ギリシアの考え方で，その頃にはまだ記号論理学が成立していなかったことになります．しかし，プラトンやアリストテレスという人々はいたわけで，彼らが探究した論理学が現在の論理学の源になっているようです．古代ギリシアの論理学が何だったのか，ということについては古代ギリシア哲学・思想に関する文献を参照して下さい．
- 実数ってなんだろうという疑問がうかぶので，なんだか書いてもらえるとうれしいです． ---イメージとしては数直線ですね．数直線上にぎっしりと詰まってるのが実数をすべて集めて来た集合です．それに比べて，整数をすべて集めて来た集合というのは数直線上でとびとびにしか存在していません．説明をするのが難しいのは有理数をすべて集めて来た集合です．これは実数のように数直線上にぎっしりと詰まっているようにも思えるし，整数のようにとびとびにしか存在していないようにも思えます．この当たりをイメージに頼らず厳密な議論によって考察しようとすると，「稠密性」とか「濃度」とか「デデキントの切断」とか，そういう概念がでてくることになります．興味がありましたら，そのような用語を調べてみて下さい．
- 「はじめての離散数学」を読みたいのですが，図書館に入っていません．教員推薦図書扱いで，入れてもらえないでしょうか．よろしくお願いします． ---推薦してみます．推薦してから，仮にそれが認められたとしても，実際に購入されるまでには時間がかかるので，予めご了承ください．
- ここら辺からくだけた質問．こういうくだけたものでもいいので，何か書いて出して下さい．
- 貧乏揺すりと貧乏は無関係と思っています． ---私もそう思っています．
- 今回はブルーな気持ちなのですか？ ---特にそういうわけではなかったのですが，そこに青があったから．
- 今日は3食カレーです．先生は今晩何食べますか？ ---このコメントをみて，カレーを食べにいきました．
- らーめん二郎とすた丼どっちが好きですか？ ---実を言うと，らーめん二郎というものにいったことがないです．一度言ってみたいという気も，怖いもの見たさという感覚を含めて，あるのですが，健康を害するおそれがありそうで，躊躇しています．
- GWにお腹のフーセンはふくらみますか？ ---たぶん現状維持です．
- 先生は黄金週間を如何お過ごしですか？私は映画を観に行きます！！ ---仕事が溜まってるので，仕事をします．
- コメントありがとうございました．これが私の生きがいですので，是非今後もよろしくお願いします．
- まずは空集合に関する話題から．
- A={1,2,3,4}, B={5,6,7}のとき，A∩B={∅}ですか？ ---そのとき，A∩B=∅になります．
- {∅}がどのようなときに使われるのかがよく分かりません ---例を挙げます．ここに4つの集合∅，{a,b}，{a,c}，{a,b,d}があります． この中でaを要素として持つ集合は{a,b}，{a,c}，{a,b,d}なので，aを要素として持つ集合を全部集めた集合は{{a,b}, {a,c}, {a,b,d}}になります．同様に， この4つの集合の中でbを要素として持たない集合は∅と{a,c}なので，bを要素として持たない集合を全部集めた集合は{∅, {a,c}}になります． それでまた同様に，この4つの集合の中でaを要素として持たない集合は∅だけなので，aを要素として持たない集合を全部集めた集合は{∅}になります．このように，集合を要素として持つ集合を考えるときに出てきます．
- ∅と{∅}の発生条件 (このときは∅，このときは{∅}) を教えて下さい． ---上の説明を続けます．上の説明と同じ4つの集合∅，{a,b}，{a,c}，{a,b,d}を考えます．この中でaを要素として持たないがdを要素として持つ集合はありません．なので，aを用として持たないがdを用として持つ集合は∅です．なので，集合を要素として持つ集合が空集合であるときはもちろん∅になるわけです．
- 「空集合∅を要素に持つ」とは具体的にどういう状況のことを言うのか？ ---上の説明を参考にして下さい．
- 空集合を元とする集合{∅}を考えるような場合ってどのようなときでしょうか． ---上の説明を参考にして下さい．
- n={∅}と書いてもよい場合の例があれば教えてほしいです ---上の説明を参考にして下さい．
- 実はレポートを出してから先生に言われて気付いたのですが，∅と{∅}は違うのですね．∅はempty setで{∅}はempty setを持つ集合という意味なんですね…． ---はい，そういうことになります．注意して下さい．
- 小文字のφと∅の区別って難しいですよね．とくに走り書きになるとき． ---私は手書きで区別できません．でも頭の中ではしっかり区別してるので，皆さんも頭の中では区別して下さい．
- 続いてレポートについて
- 質問ですが，レポートの返却を来週の授業で受け取りたい場合，どのタイミングまでに，どちらに提出すればよろしいですか？ ---レポートの提出先は，先端工学基礎課程事務室にある提出BOXか私に直接，のどちらかでお願いします．事務室の提出BOXは常に確認しているわけではないのですが，月曜日の昼間に確認するので，そのときに出してもらえれば火曜日の講義のときに返却できるはずです．
- メールでのレポート提出は可能でしょうか？ ---はい可能ですが，返却は印刷したもので行います．
- レポートは遅れて出しても見てもらえますか？ ---学期末のみは締切を設けますが，それ以外はいつだしてもらってもよいです．
- 他に授業内容や進め方について．
- 3目並べで先手が必ず勝てることが命題として書けるなら，30ゲームも命題として書けそうだなと思いました． ---すいません，手書き文字がよく読めず「30ゲーム」なのか「3のゲーム」なのか，その他のものなのかよくわかりませんでした．「30ゲーム」だとすると，1から30までの数字を小さい方から3つまで順に言っていき，30を言った方が負け，というゲームのことでしょうか．そうだとすると，これは命題として書けますね．
- 外延的定義とは何ですか？ ---集合の定義の仕方として，その要素を並べることによって行うもののことです．講義第1回のスライド44ページを見て下さい．
- 命題が複雑になるとどこから解けばいいから分からないと思った．かっこが多くなると命題の構造が分かりづらいと感じた． ---そうですね．しっかりと図を描いて，構造を明確にしてください．
- 前回∧∨を∩∪と同じと思っていた．違うものだと知ってびっくり ---はい．∧∨は論理に使って，∩∪は集合に使います．使い分けて下さい．
- 記号が多すぎて名前がおぼえられません． ---覚える必要はないです．必要になったときに調べて思い出せればよいです．もしかしたら皆さんは間違った勉強法をずっとしているのかもしれませんが，何かを覚えているということは全く重要ではありません．世の中に溢れている知識や情報は莫大なものです．その中で，自分の仕事や生活に必要なものでさえ，記憶しておくことは非常に困難です．記憶するということに労力を割くぐらいならば，もっと他のことに目を向けた方がよいです．この授業の試験でも限定的に持ち込みを可能にしている理由の1つはそこにあります．
- 復習というか用語の説明をしてくれるのがありがたいです． ---上のコメントの通り，記憶していることに重きを置いていないので，忘れていそうなときには用語の説明をするように心がけています．しかし，そうする時間がなかったり，端折ってしまうときもあるので，そういう場合はその場で質問をしてもらえれば，再度解説をするか，思い出してもらうためのポインタを示しますので，活用して下さい．
- 朝9:00に印刷したけれど間違いが直っていませんでした．2時間以上も経っているのに，私の方のシステムの問題ですか？ ---すみません，ちゃんと説明していませんでしたが，スライドなどに表示されている「最終更新時刻」はそのファイルを作成した時刻であって，webに掲載された時刻とは異なります．第2回の場合は6時頃にファイルを作成しましたが，webに掲載したのは午後でした．なので，その点は御了承下さい．
- 授業中の貧乏揺すりが目障りで困ってます． ---貧乏揺すりをしている人は控えるようにお願いします．
- 1.9みたいなのがけっこうおもしろいのでもっとみてみたい ---パズルになるかどうかは分かりませんが，できる限り離散数学がどのように使えるのか演習でもやっていきます．
- 前回に続き，今回の授業，問題ともにおもしろく取り組めました．今後もこのような授業を行って下さい． ---はい，ありがとうございます．心がけていきます．
- 具体例があったおかげですごく説明がわかりやすかったです． ---例や直感は今後も重視していきます．
- 今まで生きてきた中で一番難しかった命題，印象に残った命題はありますか？ ---難しい質問ですね．数学をやっていると命題というものにずっとつきあうことになります．今回，∀と∃を扱いましたけど，これに慣れるには相当時間と忍耐が必要でした．私がやっているようなプロの離散数学ではこれが6個ぐらい連なって∀∃∀∃∀∃となっている命題同士の関係を考えたりする必要があるので，これは難しいです．
- 先生にとって数学とは何ですか？ ---数学とは何かと聞かれると難しいですが，数学を勉強したり研究するようになって，いろんなものを見る視点とか考え方が変わったと思います．別の言い方をすると，そういう風になってもらえるような講義をしたいと思ってます．
- 先生の授業は，分かりやすくて面白いです． ---ありがとうございます．突然難しくなる可能性があるので，気を抜かずにお願いします．
- 先生の授業はとてもていねいでとても好感が持てます ---ありがとうございます．
- 楽しく勉強できました． ---ありがとうございます．
- 楽しかったです ---ありがとうございます．
- 熱がある授業で楽しかったです ---冷めないようにやっていきます．
- 今日のハンイはまだ理解できましたが，今後どうなるかわからないのでがんばっていきたいです． ---難しくなっていきますので，がんばっていきましょう．
- すいません少し寝ていました… ---他の人に迷惑をかけなければ寝ててもいいので，あまり気にしないで下さい．
- 次に，くだけたコメントの中で一番多かったもの．
- ピンク似合ってますね♪ ---ありがとうございます．
- 今日のピンクのスウェットよくにあってました． ---ありがとうございます．スウェットではなくフリースですが．
- 鮮やかなピンクのフリースですね ---鮮やかですね．他にも鮮やかなものを持ってるので機会があれば．
- ピンク可愛いです．大好きです ---ありがとうございます．
- 先生，ピンクがよくお似合いです． ---ありがとうございます．
- なんでピンクなんですか？ ---そこにピンクがあったから，です．
- この授業とiPadの相性に脱帽です．紙の資料のハンドリングに自信がない証拠ですが…．あと，ピンク似合いますね！ ---紙に印刷してる人は，ファイルなどを用意して，ばらばらにならないようにしておくことをお薦めします．
- その他のくだけたコメント．
- 久しぶりに先生のコトを見ました．相変わらずお腹にふーせん入れてますね(笑 ---相変わらずです．
- 花粉症ヤバイです． ---私も花粉症なので気持ちはわかります．
- 先生のグザイ，すごく上手でした ---ありがとうございます．皆さんも練習して下さい．
- 先生は小さい時どういうあだ名で呼ばれていましたか？ ---下の名前です．
- ブラウザchrome使ってるんですね．operaいいですよopera ---いいんですね．と言われてもたぶん試しませんが，機会があったら使ってみます．
- コメントありがとうございました．今後もみなさん，コメントお願いします．
- まずは，演習問題とレポートについての質問とコメントから
- 今日はありがとうございました．本当に苦手な分野なんで，レポートを活用して授業についていきたいです． ---はい，是非活用して下さい．
- レポートを出そうと思いました ---はい，是非そうして下さい．
- 提出が数週間遅れてしまったレポートも採点してもらえますか ---はい，大丈夫です．次週までに提出しなくてはいけないということはありません．しかし，学期末に近づいた時には〆切を設けます．そうしないと，期末試験の前までに返却することを保証できなくなるからです．
- レポートを提出し，間違っていた場合，解き直して再び提出した場合添削はしなおしてもらえるのか ---はい，何度提出してもよいです．
- 解答がやっぱりほしいです． ---模範解答はありません．これはひけません．
- TAが講義中に演習問題解いたモノを解答とするってのはいかがでしょう ---うーん，ダメです．
- 続いて試験について
- 半年間よろしくお願いします．スケジュールに期末テストの日取りが記載されていないようですが，できるだけ早い段階で教えて頂けたら助かります． ---決まり次第連絡します．昨年の場合，正式なプロセスでは，まず教務課から教員に期末試験を行うかどうかの調査が来ます．それを教員が提出します．提出された調査をもとにして教務課が期末試験の時間割を決めます．これが大体7月の始め頃に完了します．なので，決まるのはおそらく7月の始め頃になります．
- 発展問題は試験にでないということですが，「発展追加問題」は試験に出るのでしょうか．今日やるような指示がありましたがどちらでしょうか ---演習問題の紙の上で「発展○○問題」と書かれているものが「発展問題」です．なので，発展追加問題は発展問題であり，試験にはでません．今日やるように指示をしましたが，それと試験に出題されるかどうかということは無関係です．
- その他事務的な事項について
- 携帯の操作は禁止ということはipadなどのタブレットもダメなのですか？ ---講義に関係することに使う (例えば，スライドを表示するなど) ならばOKです．遊んだり，メールを打ったり，別の仕事をするというのはダメです．
- 単位取得は簡単ですか？昨年度単位を落とした人はどのくらいいますか？ ---簡単かどうかというのは主観的な感覚なので客観的に答えることができませんが，昨年度の採点結果は昨年度の講義のページにあります．参考になるでしょうか？
- 続きまして，講義内容についての質問
- 真理値表は記号を並べる順序にルールはありますか？ ---ルールと呼べるほど厳格なものはありませんが，スライドの36ページに書いてあるものはできる限り守ってもらいたいものだと思って下さい．
- 「P→Q」を「P⊃Q」の部分ですが，「P⊃Q」をベン図に書くと「P=F, Q=TのときP⊃Q=T」を表せないので「P⊂Q」だと思うのですが，どうなのでしょうか？ ---紙の上には図を描いてもらってましたが，ここでは図を載せずに説明したいと思います．まず，指摘してもらったことについて「P⊃Q」は正しい表記です．しかし，部分集合を表す記号と同じために紛らわしいという意見もあります．(部分集合を知らない人のために補足しますが，部分集合は次回か次々回で登場します．) つまり，「P⊃Q」と書いたとき，P, Qが命題変数ならばこれは「PならばQ」であり，P, Qが集合ならば「QはPの部分集合である」ということを表します．そして，ベン図についてですが，描いてもらったベン図は残念ながら間違っています．例えば，Wikipediaにある解説を見て下さい．
- 「P→Q」でPがFのときにP→QがTになるのが分かりません． ---これは演習の時間でまわっているときにも質問を受けてうまく答えられなかったのですが，ここで今一度トライしてみます．例えば，ギャンブルとして「コインを投げて表が出たら，100円もらえる」というものを考えましょう (ギャンブル自身が合法か違法かということは無視して下さい)．「P→Q」の形式で考えると，Pは「コインを投げて表が出る」で，Qは「100円もらえる」に対応します．この「P→Q」が正しいのはいつなのか考えましょう．つまり，PとQから定められる状況で，P→Qというルールが守られているかどうかを確認してみます．コインを投げて表がでて，100円もらえたとします．これはギャンブルのルールを守っています．これはP=TでQ=TのときにP→QもTになることを意味します．では，表が出たのに，100円もらえなかったとします．これはギャンブルのルールを守っていません．これはP=TでQ=FのときにP→QはFになることを意味します．では，表が出なかったのに，100円もらえたとします．ギャンブルのルールでは表が出なかったときのことが書かれていないので，これはギャンブルのルールを犯しているわけではありません．つまり，ギャンブルのルールは守っていて，問題なく100円もらえます．つまり，P=FでQ=TのときにP→QはTになります．最後に，表が出なかったのに100円もらえなかったとします．先ほどと同様にこれはギャンブルのルールを犯しているわけではありません．つまり，ギャンブルのルールは守っていて，100円もらえないことに対して文句を言えません．つまり，P=FでQ=FのときにP→QはTになります．どうでしょうか？
- 含意→，同値↔が理解できません．真理値表と日本語的な対応が，です． ---含意については上のような説明でどうでしょうか？同値についてですが，「P↔Q」は「(P→Q)∧(Q→P)」の意味だと思って下さい．つまり，「PならばQであり，逆にQならばPでもある」という意味です．
- 今回のパズルで，P↔¬(P∧Q)が真のときは1つしかありませんでしたが，問題によっては2つ以上真のときがあり，P，Qが定まらないことがあると思います．そのようなときには，あまり上手くないパズルということなのですかね． ---そうですね，あまり上手くないパズルということになります．
- その他，パズルや論理について
- 論理パズルの問題が解いてて面白かった ---面白いと思ってもらえたならうれしいです．
- 論理の「パズルランドのアリス」のような問をもっと解いてみたいと思った ---古本しかないのですが，是非入手して下さい．これはスマリヤンという人が書いた本なのですが，彼の本はどれも論理パズルがあってとても面白い (よう) です．
- 高校までで習った「命題」は単純なものばかりだったのだと違いを感じた ---複雑なことができるようになったのは成長した証だと思うのです．
- 今日やった「パズルランドのアリス」のパズルはパズルランドの中のレベルでいうとどのくらいですか？ ---今日のパズルは論理パズルの中では簡単な方ですが，この本には論理パズルの他にも算術的なパズル (方程式を解くようなもの) もあります．
- 論理パズルは昔から好きだったので楽しかった．数学はあまり得意でないので，不安だったががんばりたい ---実を言うと「離散数学」は不思議な科目で，今までの数学が得意か不得意かということと離散数学の理解度はあまり関係ないように見えます．私はこの講義でやるような内容こそが数学だと思ってるという偏った観点を持っているので，あまりあてにならないかもしれませんが，いままで得意でなかったということはあまり気にすることではないと思います．
- 論理思考面白い ---今後も論理的な話がいろいろと出てきます．お楽しみに．
- 論理的思考が物事を見やすくするのを実感できた ---数学は思考の道具箱なので，数学を使うという立場が大事ですね．
- 論理学を独学でやっています．『論理学をつくる』の問題をといています．とても興味があるので楽しみです． ---『論理学をつくる』はよい本ですね．実はスライドの58ページでもおすすめしています．しかし，この講義は論理学の講義ではないので，論理学自体を深くやっていくわけではないです．その意味ではご期待に沿えないかもしれません．
- 次，その他の一般的なコメントと質問
- 高校でも学んだ内容でしたが，今回受けてみて，見方を変えるととても面白いものなのだと思いました． ---そうですね．同じ対象も見方を変えると異なるもののように思えてきます．
- 講義の進め方が面白いと感じました．これからよろしくお願いします． ---はい，よろしくお願いします．
- 前列の方で寝落ちしかけててすみません． ---私はフリスク愛用してます．あるいはお茶飲んで眠気を飛ばします．
- よいプログラムが書けそうです． ---論理的に考えることと整然としたソフトウェアを設計することは関係してますから，是非マスターして下さい．
- 自分の想像と大きく違った内容でしたが，むしろ楽しめそうだなと思いました． ---私はむしろ始めの想像が気になります．よい方向で期待を裏切ることができたのならば，それはうれしいです．
- 再履修です．今年もよろしくお願いします． ---はい，よろしくお願いします．
- つかれました ---なんか今日は去年の第1回よりも人数がすごく多い気がしました．私も疲れましたが，がんばります．
- よろしくお願いします． ---こちらこそよろしくお願いします．
- わかりやすそうな授業でした． ---今後どんどん難しくなっていくので気を抜かずにやっていきましょう．
- 難しいかと思って受けたけど，意外に楽しくて好きになれそうです． ---是非好きになって下さい．
- 離散数学のどのあたりが「離散」なのかがよくわかりません．何が離散しているのかが全く… ---数学において「離散」ということばは「連続」ということばと対比して使われます．何が離散であり，何が連続であるのか，ということについてはっきりと定まった見解があるわけではないですが，「離散」というのは「つながっていない」とか「数えられるだけしか要素がない」とか「バラバラである」とかそういう意味合いで使われます．信号処理でいう「デジタル」と「アナログ」の違いがそのまま「離散」と「連続」に対応しているという考えもあります．
- 先生の授業をまた受講できることプライスレス． ---ほう，ありがとうございます．
- 高校数学を思い出して楽しかったです． ---復習は今回と次回までで，今後どんどんと新しい内容がでてくるので，それも楽しんで下さい．
- あばばばば ---『あばばばば』は、芥川龍之介の小説なんですね．はじめて知りました．
- 解説が分かりやすかったです ---どうもありがとうございます．
- 難しいです ---なんだかんだ言って，やはり数学なので難しいと感じることもあると思いますが，復習をしないと絶対に身につかないものなので，復習をして，分からないことがあったらどしどし質問を下さい．直接質問することができるというのが大学のよいところなので，それは積極的に活かして下さい．
- いい復習になりました ---復習は大事なのですが，ただ復習だけやるのではなくて，ちょっと味付けもしたつもりです．
- おもしろかったです ---ありがとうございます．
- わかりやすく，おもしろかった ---ありがとうございます．今後もこの調子でいければいいのですけど．
- 先生のキャラが独特で講義も楽しく受けられました ---キャラクターについてはすいません．と謝るべきなのかどうかは分かりませんが，半年間よろしくお願いします．
- 先生の研究室にとても興味があるので，近いうちに訪問したいと思います． ---是非どうぞ．6月5日にオープンラボ，7月14日にオープンキャンパスとどちらでも研究室公開をしようと思ってるので，是非お越しください．
- 答えが無い学問だと聞いてカオスだと思った． ---世の中のほとんどのものには定まった答えがありません．なので，答えを探究するのではなくて，様々存在する答えのようなものの間の関係を見ることで世界は捉えられるのではないかと思います．
- 暖かくて眠たかったです ---今日は予想以上の人数だったので熱気がすごかったと思います．暑くなったら窓でもあけましょうか．
- 大学でこそ習うべき授業だろうと感じて充実していた ---どうもありがとうございます．特に，数学は一人で勉強するということが難しいものなので，大学の良い点を活かしていけたらよいと思ってます．
- 木構造はプログラムのソートでも使うので，改めて勉強できて良かった ---一つのことを繰り返し勉強することも重要ですね．いろいろな見方で一つのことを捉えることができるようになりますし．
- 最後，くだけた質問．こういう質問も歓迎してます (^-^)
- 先輩から聞いたのですが，服はユニクロなんですか？ ---はい，だいたいそうですし，今日のもそうです．