離散数学

岡本 吉央

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講義資料

• (13) 8/5 集合の記法 (3)：集合の再帰的定義
  • スライド (8/7更新) | 印刷用スライド (8/7更新) | 演習問題 | 用語集
• (12) 7/29 証明法 (5)：数学的帰納法
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
• (11) 7/22 関係 (3)：順序関係
  • スライド (7/23更新) | 印刷用スライド (7/23更新) | 演習問題 | 用語集
• (10) 7/15 関係 (2)：同値関係
  • 前回の続きから始めるので，前回の資料も持ってきてください．
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 (2015/6/25更新) | 用語集
• (9) 7/8 関係 (1)：関係
  • スライド (7/9更新) | 印刷用スライド (7/9更新) | 演習問題 | 用語集
  • 次回が提出締切の演習問題番号：9.1, 9.2, 9.3, 9.7, 9.8
• (8) 6/17 関数 (2)：全射と単射
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
• (7) 6/3 関数 (1)：像と逆像
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
• (6) 5/27 証明法 (4)：集合に関する証明
  • スライド (5/27更新) | 印刷用スライド (5/27更新) | 演習問題 | 用語集
• (5) 5/20 集合の記法 (2)：直積と冪集合
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
• (4) 5/13 集合の記法 (1)：外延的記法と内包的記法
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
• (3) 4/22 証明法 (3)：「〜ならば…である」ことの証明
  • スライド (4/23更新) | 印刷用スライド (4/23更新) | 演習問題 | 用語集
• (2) 4/15 証明法 (2)：「任意の〜に対して…である」ことの証明
  • スライド (4/16更新) | 印刷用スライド (4/16更新) | 演習問題 | 用語集
• (1) 4/8 証明法 (1)：「〜が存在する」ことの証明
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 参考資料：嘉田勝，「証明を理解するための考え方」，数学セミナー，2009年5月号，日本評論社

• (13) 8/5 集合の記法 (3)：集合の再帰的定義
  • コメントありがとうございました．最後の授業でした．
  • 人がすくなくて，今日の授業はおどろきました
    --- 私も驚きました
  • 最後の授業 お疲れ様でした！！
    --- こちらこそ，ありがとうございました
  • 離散数学は学部2年の時に学習しておきたかった内容だと思いました．離散数学の大切さ，面白さを味わえる講義でした．半期という短い間でしたが，ありがとうございました．
    --- 「語学としての数学」なので，3年のときよりも2年の方がよいと私も思いますが，全体のバランスもあるので，カリキュラムとしてそう変更するのは難しそうですね．こちらこそありがとうございました．
  • 半年間の講義ありがとうございました．「集合」や「関数」など今までにない数学のおもしろさを感じることができました．「離散数学」をさらに勉強したいのですが，おすすめの講義や参考書を教えてください．
    --- こちらこそありがとうございました．2012年度の講義のときに作った文献案内があるので，そちらをご覧ください．
  • 半分くらいしか来れず，また半分くらい経ってからの入室だったので，実質4分の1くらい出席でした．去年おととしと比べると非常に良いです．テストがんばります．あと中間のテストって何点ですか？
    --- 下の方に中間試験の講評がありますので，そちらをご覧ください．
  • 離散数学が情報社会の基礎をなしているなと思いました．今回の$\Sigma=\{a,b\}$を$\{0,1\}$にしたら，情報通信はセキュリティ関係で応用されるなと思いました．
    --- その通りですね．それだからこそちゃんと勉強する必要があるということでもあって，カリキュラムに組み込まれているわけですね．
  • 半年間ありがとうございました！！ P.N ダンナもホモなんだ
    --- こちらこそありがとうございました．
  • わざわざ $\epsilon$ の存在を考える意味がわかりませんでした．例えば，$\ell(ab)$ なら $\ell(ab) = 1 + \ell(b) = 1 + 1 = 2$ となり，シンプルな記述になると思います．$\ell(b)$ が文字列1なのは明らかのような気がしてモヤモヤしました．
    --- 「例えば，」以降に指摘していただいている事項は正しいです．それなのにわざわざ $\epsilon$ の存在を考える理由はいくつかあります．その1つは，そうした方が文字列の理論を綺麗に作ることができるからです．例えば，$\Sigma^*$はモノイドになることが分かり，モノイドに関する理論を用いることで，文字列に対する理解が深められます．
  • およそ4か月の間ありがとうございました．証明問題には苦手意識があったのですが，講義前よりできるようになったかもしれません．テスト勉強がんばります．
    --- こちらこそありがとうございました．証明ができるようになることがこの講義の目標の1つなので，講義前と後でくらべて，それができるようになっていたのなら，目標が達成できた，ということなのだと思います．
  • 中間テストでミスをしたので期末テストで挽回できるかわかりませんががんばります．
    --- はい，ぜひ挽回して下さい．
  • 例がいつもおもしろかったです．「かいぶん」とか．ありがとうございました．
    --- こちらこそありがとうございます．できる限り，身近な例を出すように毎回考えていました．まだあまりよい例がつくれていないところもあるので，もしいいものが見つかったら教えてください．
• (12) 7/29 証明法 (5)：数学的帰納法
  • コメントありがとうございました．来週は補講で，期末試験の出題範囲には含まれませんが，ぜひお越しください．
  • 土曜日に事務室に出したレポートが今日まだ残ってました…次の週に返却する〆切は金曜日でしょうか？
    --- すみません．今週は月曜日の13:00頃に回収したのですが，そのときに見落としたのだと思います．来週お返しします．
  • 期末試験対策として何をすれば良いですか？
    --- 演習問題を解いて下さい．
  • テストこわいです．まんじゅうこわいじゃありません．テストこわいです．
    --- まんじゅうこわい，と同じだとすると，テストをたくさん与えてあげればいいんですけどね．でも，試験はあと1回だけです．
  • wikiや色んな本を読んだりしていると綺麗に整理されたハッセ図が描かれていますが，試験でハッセ図を描く必要があった場合 (レポートでもなんでも)，wikiなどのように綺麗に描く必要があるのでしょうか？ それとも，ハッセ図に描く要素，要素の関係が分かる程度に描いてあれば良いのでしょうか？
    --- 綺麗に描く必要はないです．ハッセ図である，という性質が満たされていればよいです．ただ，綺麗に描けるならば，そうできることに越したことはないです．
  • 上限と下限がピンときません．「Bの下界でBの他のどの下界よりも大きい」といった直感的格言の具体例がもっとほしいです．
    --- 例を挙げます．全順序集合 $(\mathbb{R},\leq)$ の部分集合 $B=(0,1)$ の下限は $0$ ですが，この$0$ は $B$ の要素ではありません．$0$ 以下の実数はどれも $B$ の下界で，それ以外に $B$ の下界はありません．なので，$B$ の下界でいちばん大きいものは $0$ であり，それが $B$ の下限です．
    別の例を挙げます．全順序集合 $(\mathbb{R},\leq)$ の部分集合 $B=[0,1]$ の下限は $0$ ですが，この$0$ は $B$ の要素です．$0$ 以下の実数はどれも $B$ の下界で，それ以外に $B$ の下界はありません．なので，$B$ の下界でいちばん大きいものは $0$ であり，それが $B$ の下限です．また，これは $B$ の最小元でもあります．$B$ の最小元が存在するとき，$B$ の最小元と $B$ の下限は一致します．
  • 帰納法をあまりやったことがなかったが，説明は良くわかった
    --- 演習問題を通して，理解を深めて下さい．
  • 初日に「ダイエットは明日から始める」と宣言していることを確認．そしてk日及び(k+1)日でも「ダイエットは明日から始める」と宣言していることを確認できたら，数学的にはやはりこの人は永遠に「ダイエットは明日から始める」と宣言し続けている＝痩せない，ということになるのでしょうか ('・ω・`) 私としては人間の強さが数学に勝ってほしいところです．
    --- その人が永遠に「ダイエットは明日から始める」と宣言し続けていることは正しいですが，それとダイエットを実際にしていることは関係がありません．ということで，「痩せない」ということにはならないと思います．
  • 帰納法のたとえ話を聞いて，「帰納法から何本髪があろうと人は皆ハゲだ．」と熱く語っていた高校の時の先生を思い出しました．
    --- これは，帰納法によって間違った推論を行ってしまう例として，よく知られたものですね．
  • 前回の昼間離散数学ですが「5,000円を持っている人の次に10,000円を持っている人のところからスタート」でしょうか．気になって朝も起きられません．
    --- 授業に来てるので，朝は起きられてますね ;-)
  • プログラムで再帰処理を行うと，メモリを使いすぎることがあります．授業と関係なくてすみません．
    --- 関係なくてもよいですし，実は関係あります ;-) 再帰的に定義された関数を実際にコンピュータでどのように評価するのか，ということは重要な問題です．それについては「アルゴリズム・データ構造および演習」でも扱われるはずです．
  • フィボナッチ数公式の中に黄金比 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ を見つけました．数学の面白さが見えたきがします．
    --- 確かに黄金比ですね．『黄金比とフィボナッチ数』という本があり，そちらでも詳しく説明されていますので，興味がありましたら，ぜひご覧ください．
  • 来週もおねがいします
    --- はい，よろしくお願いします．
  • 大変興味深い講義内容でした．離散数学以外にも講義されている科目があれば，岡本先生の授業に今後出席させていただきたいと思っております．
    --- はい，ぜひ出席して下さい．
• (11) 7/22 関係 (3)：順序関係
  • コメントありがとうございました．
  • やはり，組織図のような，数字が出てこない例が出てくるとわかりやすいです．
    --- 数字は出てきていないはずです．記号はでてきていますが．
  • 半順序ってかたまり魂みたいですね．
    --- 塊魂のことでしょうか？ どのあたりが半順序みたいなのかよく分かりませんでした．
  • 半順序の関係が $\mathrm{R}$ であるとき…などの問題で $\mathrm{R}$ の設定 ($\mid$ 約数，$\leq$ 大小関係) が非常に読み取りづらいです．
    --- 伝統的に数学で使われている記号なので，慣れてもらう，ということしか提案できません．困りましたね．
  • ハッセ図が美しいと思いました．もっと複雑で美しいハッセ図を教えてください．
    --- Wikimediaのハッセ図のページを見てもらうと，たくさん描いてあります．
  • 極と最がまぎらわしいです
    --- 確かに紛らわしいですね．半順序において，「$a \mathrel{\not\preceq} b$」と「$a \succ b$」が同値ではないことが，この2つを区別しなくてはいけない理由なのですが，別の言い方をすると，この2つが区別できるようになれば，半順序思考の理解にかなり近づいていることになります．しっかりと身につけて下さい．
  • 上限，下限の説明がよくわからなかったです．なんで $\{2\}$ の上限，下限が $2$ なんですか？
    --- $2$は$\{2\}$の上界です．しかし，$\{2\}$の上界で$2$以外のものはすべて$2$よりも大きいので，$2$が$\{2\}$の上限 (最小上界) になるのです．下限についても同様です．これは定義に基づいた説明ですので，定義をもう一度確認して，理解するようにして下さい．
  • Marvelous Proof Which This Margin is Too Narrow To Contain. これ便利ですね．
    --- 逃げ道としては便利なのですが (否定的な意味で「便利」といっています)，何も証明したことにならないのでお薦めできません．
  • 「ある劇場の入場料を5,000円とする．5,000円札しか持っていない $n$ ($\geqq 1$) 人と10,000円札しか持っていない $n$ 人の合計 $2n$ 人が劇場前の広場で勝手に円形の輪を作って開場を待っているとする．このとき劇場の入口の受付人はある適当な人から時計回りに集金すれば，つり銭に不足することがないようにできることを数学的帰納法を用いて示せ」という問題について
    $n=1$のとき，ある適当な人を5,000円札を持っている人にすれば成り立つ．$n=k$が成り立つとする．このとき$n=k+1$を考えると$2n=2(k+1)=2k+2$．$(2k)$ 人の場合成立するのは仮定より明らか．つまり最初と次の人が5,000円を持っているところからスタートすれば$n=k+1$も成り立つ (QED)
    と考えましたが，どうでしょうか？
    これ，I科後輩から質問された離散数学の課題ですが，やっていることが違ってびっくりです．
    --- 他の講義の課題に関する意見を私が言わない方がよいと思いますので，それについては割愛しますが，書いていただいた証明は正しくありません．数学的帰納法は次回扱いますので，お楽しみに．
  • 今朝，車と自転車で衝突してしまい，自転車を起こしている間にひき逃げされてしまいました．自転車が横断歩道に倒れていると他の方に迷惑だと思い，端に置くために起こしたのですが，やはり，そのまま放置して (他の方の通行に邪魔となってしまいますが) 追いかけたほうがよかったでしょうか？
    --- それはお気の毒です．お大事に．周りに他の人がいなかった，ということを想定しますが，ナンバーを控える，ということはとっさにやった方がよいようです．追いかけて追いつくことはかなり難しいと思いますので．
  • 先生が離散数学を専門にしようと思ったきっかけは何ですか．
    --- 数学を専門にしようと思ったとき，私が大学生のときに所属していた学科で数学を専門にしていた先生が少なく，その先生が皆さん離散数学を専門としていたので，私の専門も離散数学になりました．
  • 離散数学が悲惨数学とならないように頑張ります．
    --- はい，がんばって下さい．
• (10) 7/15 関係 (2)：同値関係
  • コメントありがとうございました．
  • 「 $\preceq$ 」  この記号の意味は何ですか？
    --- 半順序を表すためによく使われる記号です．
  • 「同値関係がある」ということから，完全性や反対称性について判定することはできるのでしょうか．
    --- 同値関係が完全性や反対称性を満たす必要はありませんが，満たすこともあります．しかし，それはとても限られた場合にしか起きません．完全性を満たす同値関係は結局「任意の$x,y$に対して，$x \mathrm{R} y$」となる (つまり，すべての2つの要素の間に両向きの矢印がある) 関係に限られます．「かたまり」のイメージでいうと，全体が1つのかたまりとなっているような場合だけです．また，反対称性を満たす同値関係は結局「任意の$x,y$に対して，$x \mathrm{R} y$ならば$x=y$」となる (つまり，異なる2つの要素の間には矢印がないが，各要素において自分自身に戻ってくる矢印は存在する) 関係に限られます．「かたまり」のイメージでいうと，1つ1つの要素がそれ自身でかたまりを作っている場合だけです．
  • 第9回スライド資料で，1以上の整数全体の集合として$\mathbb{Z}_+$，0以上の整数全体の集合として$\mathbb{N}$を使っていますが，$\mathbb{N}$を自然数全体の集合として覚えている自分は一瞬混乱しました．1以上の整数全体の集合は$\mathbb{N}$，0以上の整数全体の集合として$\mathbb{Z}_+$の方がいいと思います．もし以前に「これはベン図でなくオイラー図」と強調されたように，わざわざ一般的な集合表記を再定義した理由があれば教えてください．
    --- 実を言うと「自然数」というのは厄介なもので，数学の中でも，分野によって定義が異なります．それは「1以上の整数」と定義する場合と「0以上の整数」と定義する場合に分かれます．(それ以外の定義を見たことはありません．) Wikipediaの「自然数」の項目にも書かれているのですが，このような違いがあるので，$\mathbb{N}$という記号が自然数全体の成す集合を表すときには，どちらの定義で述べているのか，明示することが推奨されています．私は計算機科学に近いので，自然数を「0以上の整数」とする定義を使うことが多いです．今回の講義でもそうしました．そのため「1以上の整数」を表すために別の記号を使いました．その記法はWikipediaの「自然数」の項目でも挙げられている記法です．
  • 講義の後半のかけ足で，内容を少し見失ってしまいました
    --- しっかり復習をお願いします．
  • 定義が多くなってきて，ここがふんばりどころですかね．
    --- そうですね．定義は覚えなくてもよいので，内容が理解できるようにして下さい．
  • 分割することは，生物の分類にも扱われている方法なのではと思われる
    --- その通りですね．生物の分類は階層的な分類で，「階層」というのは半順序を通して次回扱います．
  • よく青森・秋田とごっちゃにされる岩手県民です (涙目)
    --- 本当にすみませんでした．
  • 文の最後に「←」をつけるのはなんなんでしょうか．どう思いますか．
    --- 私はないものとして扱ってます．
  • 良い服着てらっしゃいますね．沖縄のおみやげですか．似合ってます．
    --- はい，沖縄で買ってきました．
  • 先週の日曜日暑かったのでプールへ行きました．全く泳げなくなっていて驚きました．先生は何かスポーツをしますか？
    --- 最近は全然していません．
  • 今日の夕食はなんですか？
    --- カレー食べました．
• (9) 7/8 関係 (1)：関係
  • コメントありがとうございました．提出数が減ってきています．どしどしお寄せ下さい．
  • 前半の内容に比べて後半は急に難しくなったように感じました．復習をしっかしやりたいと思います．
    --- 後半は証明の部分ですね．証明はこの授業の前の方から引き続き行ってきたことなので，その部分を踏まえて理解する必要があります．復習をしっかりとして下さい．
  • 今日のグラフはオートマトンを連想しました．
    --- そうですね．ただ，オートマトンの場合は○が状態を表して→が遷移を表す，という動的な状況を表現しているわけですが，関係を表すグラフは静的な状況を表しているので，そのような違いはありますね．
  • 5つの性質のうち，完全性だけすべての○ (➀とか➄とか) 同士が関係をもつのは何故ですか？
    --- 質問の答えになっていないかもしれませんが，そういうものが完全性なのです．「どの2つの○同士にも矢印がある」という状況を伝える気持ちが「完全」とことばに込められているわけです．
  • 先生の授業を2週間も聞けず寂しかったです．仕方ないのでH×H読んで気を紛らわしていました．質問ですが，推移性に関して「そもそも仮定とすべき前提がないからは推移性がある」というのは強引に聞こえました．何かもっと詳しい解説があればうれしいです．あと体調治ったようでよかったです．
    --- 体調についてありがとうございます．質問についてですが，「仮定とすべき前提がない」わけではありません．「仮定とすべき前提が成立しない」のです．この2つは明確に違うことを意味しているので注意して下さい．仮定とすべき前提が成立しないときには，「『前提』ならば『○○』」という命題は真になるので，推移性が成り立つ，ということになります．
  • 追加問題8.7が分からないです．次の時間に解説をしていただけると嬉しいです．
    --- 特定の問題を解説することはしませんが，ヒントを書きます．まず，記法をしっかりと理解することが重要です．例にあるように，$X=\{-3,0,2\}$のとき，$\min X = -3$です．なので，$\{\min X\}=\{-3\}$です．($\{\min X\}$が集合であることに注意．) そして，$X-\{\min X\} = \{-3,0,2\}-\{-3\}=\{0,2\}$になります．つまり，$X-\{\min X\}$は$X$の中にある最も小さな整数を$X$から取り除いてできる集合を表しています．そのような理解をまずして下さい．あとは，全射と単射の定義を使って証明をして下さい．他の問題と同様です．
  • 図書館でソロモン・ゴロムさんの『ポリオミノの宇宙』を借りて読んでいます．組合せ論が好きなので面白いです．
    --- 私も買いました！ 時間がなくてまだ読んでいませんが，はやく読みたくてしかたありません．
  • 1ケタ点取ってる人いないみたいですが私はどこに行ってしまったのでしょうか．
    --- 身体が実在していないかもしれないので，いろいろな方法を使って，自分の存在をまず確認して下さい．
  • 期末テスト頑張ります．
    --- はい，がんばってください．
  • 3段おちは準備しておいて下さい．
    --- 失礼しました．何も準備しないまま話をしだしたのがよくなかったです．
  • 台風どうなるんでしょう．台風の中プールで泳ぐエクストリームなスポーツは楽しいですよ (経験談)
    --- 台風は困りました．今週は私にとっていろいろとやることが多い週なので．
  • 出張おつかれさまでした！
    --- ありがとうございます．
• (8) 6/17 関数 (2)：全射と単射
  • コメントありがとうございました．
  • 先生はワールドカップでどこの国が優勝すると思いますか？
    --- あんまり興味はないのですが，私の知り合いにドイツ人が多く，ドイツが優勝することを疑っていないようです．
  • 先生，喋るたびに息切れしてましたよ．海外出張も控えているそうなのでH×Hでも読んでお大事になさってください．
    --- ありがとうございます．
  • 5文字書かなかったんですがきになります．点数1ケタだったらたぶん私なのですがいますか？
    --- すみませんが，まだ採点が済んでいません．
  • 中間の結果が知りたいのですが解答用紙にキーワードを書き忘れてしまいました．教えてもらうことはできないでしょうか？
    --- 採点終了後に，私の居室へ直接お越しください．(教室では受け付けられませんのでご注意を．)
  • 新しい自転車を買いました．クロスバイクデビューです．
    --- おめでとうございます．自転車通学ですか？
  • 忙しさの最大要因はなんですか？
    --- やさしさです．
  • 中間テストの結果は開示されますか？開示されるならばいつ頃になるか教えてください．
    --- 試験問題用紙に書いてある通りです．
  • 一度，録画のない状態で講義を聞いてみたいです．
    --- おそらく，聞くに堪えないものとなるでしょう．
  • 追加問題8.7の1がよく分かりません．ヒント下さい．
    --- 定義通りに証明して下さい．任意の$Y \in 2^{\mathbb{Z}}$を考えて，$Y=f(X)$となるような$X$を見つけて下さい．
  • 新しいガジェットかうとわくわくしますよね．2週間は楽しそうです．
    --- 2週間で飽きてしまってはもったいないので，半年ぐらいは楽しんでください．
  • この授業はとても楽しいです．この授業で微分や積分の厳密な定義は出てきますか？
    --- 残念ながら，この授業で微分や積分の厳密な定義は出てきません．
  • 勝ったばかりの牛乳を放置していたら，ヨーグルト(?)になってしまいました．
    --- あるあるネタでしょうか？ この後に「チクショー」とかつけて読めばよいのでしょうか？
  • 全射や単射を証明する際に，逆像を用いることは可能ですか？
    --- 証明として正しいならば，使ってもよいです．どう使えばよいのかはわかりませんが．
  • 海外出張とはどこへ行くんですか？今までに行った海外でいちばん良かったところはどこですか？
    --- 出張先はドイツとスイスです．今までに行ったところで良かったところは旧東欧ですね．ハンガリーやチェコです．歴史を感じます．
• (7) 6/3 関数 (1)：像と逆像
  • コメントありがとうございました．
  • 5/27の「33/43」は理解困難．きっと前に戻ってよく考えればヒントがあるのかも知れません．
    --- 「空ゆえに真」という推論ですね．これは確かに難しいと思いますので，ここで再度説明を試みます．「○○ならば△△」という命題の真偽を考えると，○○が偽であるとき，「○○ならば△△」は真です．第3回スライドの7ページと8ページを見て下さい．ここで証明したいことは「$x \in \emptyset$ ならば $x \in A$」ですが，この「$x \in \emptyset$」が偽なので，「$x \in \emptyset$ ならば $x \in A$」は真になる，という推論です．
  • さすがにパーカー暑くないですか？日焼け対策ですか？
    --- 電車の中や室内の冷房ではちょうどいいのです．教室は暑いですが．
  • 書くのが遅いので中間テストが怖いです．毎年「ああこいつは時間さえあれば解けたかも」という答案はどれぐらい全体として存在するか，だいたいでいいので教えてください．あとH×Hが再開しました．いいことです．あといつもフォント指定聞いてくださり感謝です．
    --- そういう答案は見かけません．時間はちょうどいいと思ってます．
  • ここ1,2週間は，中間試験・レポートが大量にあるのでツライです…．
    --- がんばってください．
  • ご趣味を教えてください．
    --- DVDを見ること，といいたいところですが，最近は時間があまりなくて見てません．
  • テスト頑張ります．
    --- がんばってください．
  • もっとお母さんみたいにコメント返しをすればコメント提出率が増えると思います．
    --- そういうものなのでしょうか．この欄だけに時間をとることはできないので，勘弁して下さい．
  • ゴルフの松山さんが海外の大会で優勝してましたね．
    --- そうですね．ゴルフやサッカーや野球は大きく報道されるのに，バドミントン男子トマス杯優勝というのがあまり大きく報道されなくてなんでなんだ，とバドミントンが好きな知り合いが言ってました．
  • 彼女ができません．どのようにすればいいでしょうか！？
    --- 私も彼女ができません．どのようにすればいいでしょうか！？
  • $g\circ f$ (じーまるえふ) と他の教授も言ってた気がします．
    --- ありがとうございます．あとで読み方について調べておきます．
  • 演習を行うにしても，他の科目との時間のかね合いが大変です…
    --- 時間をとってやるようにしてください．
  • 分かっているような分かっていないような状態なので問題を解きなおしたいと思う．
    --- はい，よろしくお願いします．
  • 北海道の各地で真夏日 (あるいは猛暑日) が記録されています．北海道が陥落した今，おすすめの避暑地を教えてください．
    --- 私はヨーロッパに出張します．
  • 演習の答えがどーしても欲しいです！特に6回目！やっても分かりませんでした．
    --- 分からない箇所を直接質問して下さい．皆さんが私に直接質問をする，という量が少ないと思っています．直接質問して下さい．
  • 中々面白くなってきましたね．ところで，先生は「任意の〜」を英訳する際，何と書きますか？私は"any"や"any given"や"arbitrary"等をその時の気分とノリで使っていますが…．英語論文なんかを書くと仮定した場合，どんな語をあてるのが良いのでしょうか．
    --- 肯定文で「any」を使うのは避けて，「every」や「all」を使うようにしています．否定文では「any」を使うようにしています．
  • 自転車がこわれました．かなしい．
    --- 昔はパンク修理もかなり大変だったのですが，最近はよく分からない気体を注入すると治ったりするので，便利な世の中になったなぁと感じます．
  • 追加問題7.5が解き方がよく分かりません．最初にすべき仮定と大まかな流れのヒントをお願いします．
    --- 「$f(X\cap X') \subseteq f(X)\cap f(X')$」を定義に立ち戻って書きなおすと，「$b \in f(X\cap X')$ ならば $b \in f(X)\cap f(X')$」となるので，「○○ならば△△」の証明法に従って，「$b\in f(X\cap X')$」を仮定して，「$b\in f(X)\cap f(X')$」を導いて下さい．導きたい「$b \in f(X)\cap f(X')$」は $\cap$ の定義から，「$b\in f(X)$かつ$b\in f(X')$」なので，つまり「$b \in f(X)$」と「$b \in f(X')$」の2つを導ければ，証明が終わります．
  • リー代数の授業を学ぶ前に受けられたらもっととっかかりが楽であったのだろうと感じた．
    --- そうかもしれませんね．この講義の内容を習得してから，リー代数の授業でやったことを見直してみると，新たな発見があるかもしれません．
• (6) 5/27 証明法 (4)：集合に関する証明
  • コメントありがとうございました．コメント提出数が激減してます．これは私の生きがいですので，皆さんどしどしお寄せ下さい．
  • レポートの証明などを英語で書きましたがOKですか？(英語が正しいか自信は100%ではないですが...)
    --- はい，問題ありません．
  • 数学では，初等幾何学以外では，「図による説明ではなく，文章や式による解答によって証明になる」ということでしょうか．
    --- 初等幾何学であってもそうです．ただ，図は補助説明のためによく用いますし，補助説明のためならば，用いることが歓迎されます．
  • 今までのテストの持ち込みA4紙で，「これはすごい！」と思ったものがあったらどんなのだったか教えてください．
    --- 持ち込みの紙を回収していないので，分かりません．
  • 1, 2年の時はどの試験も持込不可だったので，試験用のA4用紙に何を書くか迷っています．
    --- おそらく，演習問題をやっていると，どのような情報にアクセスしたいのか，ということが明確になると思うので，その観点でまとめればよいと思います．
  • 5月20日の$2^{\{\emptyset\}}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$についての考察．
    $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$は空集合$\emptyset$と空集合$\emptyset$の集合を要素とする集合と考えました．この集合を「外延的定義」であらわすとどうなるのでしょうか？$\emptyset$は要素が存在しないので$\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}$と表記するのでしょうか．
    --- $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}$と表記は正しいです．
  • スライド資料を見るとしばしば証明中に改行された状態，つまりあたかも接続詞かのように「なので」が使われているので，非常にモヤモヤしています．このままいくと「"語学としての数学"を掲げているのに日本語文法知らないでやんの (^Д^)gm pgr!! www」と他の学生も思いかねないので，よければコソっと直しませんか？これしきのことで先生がdisられるのは耐えられません．P.N 今夜ゴンさん覚醒
    --- 今回のスライドに該当箇所はありませんが，前回のスライドにはありますね．その部分には句読点があり，「なので」の前に句点はないので「なので」が接続詞にはなりえませんし，接続詞であるかのように使われているわけでもありません．ちなみに，私は口語において「なので」を接続詞であるかのように使うことに抵抗はありません．
  • 最近風邪がはやっていますね．鼻水が出まくってのどがピリピリ痛いです．おかげで授業に集中できないので配信で復習します．
    --- はい，ぜひそうして下さい．
• (5) 5/20 集合の記法 (2)：直積と冪集合
  • コメントありがとうございました．
  • レポートにあった質問をこのコメント欄でも繰り返します．
  • 集合$A,B$において$A-B$と$A\cap \overline{B}$と同じことですか？ 教えて下さい．
    --- $\overline{B}$は「$B$の補集合」を意味すると思いますが，「補集合」というものを考えるときは，全体集合 (普遍集合) と呼ばれるものが何であるのか，規定する必要があります．一方で，「$A-B$」という表記において全体集合 (普遍集合) を規定する必要はありません．それに注意したうえで，全体集合が$A\cup B$を部分集合として含むときには，$A-B$と$A\cap \overline{B}$は同じ集合になります．
  • 授業中に受けた質問の回答もここで繰り返します．
  • 例題1の証明で，清書として書けばいいのはどの部分ですか？
    --- たしかにその点が明確ではなかったと思います．講義スライドのページ番号に沿って一例を説明します．
    • まず，証明すべきこととして書き換えたもの，つまり，26ページに書いてある「証明すべきことは$x \in (A-B)\cup (B-A) \Leftrightarrow x \in (A\cup B)-(A\cap B)$である」ということをまず書いて下さい．
    • そのあとで，論理に基づいた変形 (32ページと33ページ) を書いて下さい．これで清書としての証明は終了です．
    • 25ページ，27ページ，28ページに書いてあることは下書きだと思って下さい．
    ただ，このようにしなくてはならない，とうわけではないです．
  • 講義内容についての質問や感想
  • ド・モルガンの法則を記号を使わずに言葉で表現していましたが，言葉を使うことにどのような効用があるのでしょうか．
    --- 記号を定義する必要がない，という利点があります．論理で用いる記号は分野や本によって異なるので，講義で使おうと思うと必ず定義しないといけないのです．
  • $2^{A}\text{ の要素数 } = 2^{A\text{ の要素数}}$の証明はあるのでしょうか．
    --- 証明はできます．しかし，この授業では (後の方でも) 扱いません．
  • 数学を理解するということは，たとえ，数式や方程式であらわされていたとしても，言葉 (の論理) で理解していると，かねてより思っておりました．英語のS, V, O, Cよりなる文法構造やイデオムの語源を考えることと数学や物理の構造を調べることと似ているように思います．今日の勉強はいよいよ複雑さを増してきたように思います．
    --- 言語学における数学的アプローチがあり，理論言語学の一分野を作っているようです． この講義でやってる内容もそれの基礎になります．(この講義でやってる内容は数学を使うどの分野の基礎でもあるので，とりたてて言語学をこの講義で扱っているというわけではないことにも注意して下さい．)
  • 演習やレポートに関する質問
  • レポート用紙を切らしているときなど，ルーズリーフでの演習の提出は可能ですか．後，普段万年筆で筆記しているのですが，提出する分は耐水性の高いインクで書いた方がいいでしょうか．ボールペンを使うのが普通の解決策だとは思うのですが...．
    --- 万年筆でもよいです．ただ，私が見ているときににじませることがあるかもしれません．それについてはご了承ください．また，ルーズリーフでもよいです．複数枚にわたる場合はホッチキスなどで留めて下さい．
  • 添削について，"$\surd$"と"$\surd$ok"に違いはあるのでしょうか．
    --- 違いはありません．
  • 本日は母の誕生日なので今度こそまじめに質問します (・∀・)笑
    追加問題3.8について，私は(1)⇒(2)を証明する流れにおいて「$(x-3)(x^2-x+1)=x^3-4x^2+4x-3=0$となる．$x$は実数なので$x=3$となる．」と書いて「$x^2-x+1=0$となれないのは何故？」とツッコミをいただきました．私は「$x$は実数なので」と書くことで，「$x^2-x+1=0$の解，すなわち複素数の範囲を認めないから」$x=3$であることがいえると思ったのですが，いかがでしょう．ちなみに母にはお菓子袋買いして渡しました．微妙そうでした．
    --- $x^2-x+1=0$が実数の範囲で解を持たない，ということは正しいのですが，それほど簡単に分かることではなく，その部分に論証が必要だと思います．そのため，そのようなコメントを私は書きました．そういうことであると理解して下さい．
  • 前期はレポートを出す先生が多くて大変です．いつも雑ですみません．
    --- この授業ではレポートの提出を義務付けてはいないので，大変だと感じる場合は提出しなくてもよいです．しかし，提出をしてほしいとは思っています．
  • その他のコメントや要望
  • 交流戦が始まりましたね！
    --- 始まりましたね．交流戦をやるからといって，特に盛り上がるわけではない，と個人的には感じてるんですが，本当のところはどうなんでしょうか？
  • 最近暑い日が多いですが夜間生は夜こごえるのでまだまだ厚着です．かさばります．
    --- 昼夜間の気温差が大きいので，気をつけて下さい
  • 仮面ライダー555を先生は許せないだろうと感じた．
    --- 許せないとまではいけませんが，抵抗はあります．
  • ぼっちなう。
    --- 演習は相談しながらやることを推奨してますので，相談する相手を見つけて下さい．
  • 写像について詳しく説明していただけると幸いです (院試レベルで)
    --- 「院試レベルで」というレベルを私が理解していないのかもしれませんが，講義がその部分に差し掛かったとき，演習問題の一部は院試レベルだと思いますので，演習問題をしっかりとやって下さい．
  • 先生にとって講義をするとは何か？
    --- 2つあります．1つは仕事です．もう1つは社会貢献です．どんな職業でもそうだと思うのですが，行っていることは社会貢献です．その対価として給料をいただく．「仕事としてやっている」という言い方をすると，そこに否定的な意味合いが付与されがちですが，私は否定的な意味で「仕事としてやっている」わけではないです．楽しく仕事をしています．
• (4) 5/13 集合の記法 (1)：外延的記法と内包的記法
  • コメントありがとうございました．この欄は私の生きがいですので，皆さんぜひ質問，感想，雑談，なんでもよいのでお寄せ下さい．
  • オイラー図の説明は分かったのですが，では，ベン図とは何ですか？
    --- Wikipedia (日本語版) にあるベン図とオイラー図の説明を参考にして下さい．
  • 冨樫は6/2だそうです！！ ところで，先生はジョン・ベンに何か恨みでもあるんでしょうか？確かに私も若かりし頃 (高1) は「この程度の概念で数学史に名前を残すなぞ片腹痛いわ．もし私がジョンより先に生まれ閃いていたら"にゃんとワンダフル図"と適当な名前をつけていたのに」と思っていたときもありましたが，オイラーは他にも素晴らしい功績があるので，ベン図と読んであげてもいいと思います．(確かに，を書いて「ベン図だ！」と言ったら頭を叩いてもいいと思いますが．) 先生とベンの間に何が起きたか教えてください．あとパン屋は今度行きます．教えてくださりありがとうございました．
    --- 何も恨みはありません ;-) ベン図とオイラー図は違う概念ですが，私が描くものはオイラー図でありベン図ではないので，その点を強調しました．違いについては，上のコメントの回答にあるWikipediaのページにも書いてあるので，それをご覧下さい．そして，「ベン図」とか「オイラー図」という名称はおそらくベンやオイラー自身が付けたものではなく，後世になって別の人がそのように呼び出し，現在定着した，というものだと思います．
  • 次は，授業に関係した要望と質問です．
  • 中間テストの早めの告知ありがとうございます．講義の演習プリントの問題数が少なくて不安なのでおすすめの問題集がありましたら教えて下さい．
    --- 第1回の講義で挙げた参考書 (シラバスにも書いてあります) に問題が載ってますので，それが参考になると思います．
  • 去年は演習問題の提出締切はなかったと思います．他の課題等に時間をとられてしまい提出が間に合わないこともあるので，締切をなくす，もしくはもう1週くらい延長してほしいです．
    --- すみませんが，締切を次回の講義とすることは変更しません．確かに，去年は提出締切がありませんでした．しかし，次の理由から今年は締切を設けることにしました．(1) 復習としての効果．次回までに今回の内容の復習を兼ねて演習問題に取り組んでもらいたいという考え．(2) 継続的学習に関する効果．毎週時間をとって演習問題に取り組むことで，継続的に勉強する時間をとるという習慣をつけてもらうという考え．(3) 締切効果．締切がないとやる気がでない，という効果があるので，それに期待しています．実際，このレポートの提出は義務ではないのに，多くの人に提出してもらっています．去年よりも提出は圧倒的に多いです． (4) 私の都合．まとめて提出されると添削をするための時間を確保することができないおそれがあります．
  • $C-A\cup B$という表記はありえますか？ある場合は左から$(C-A)\cup B$と計算するのでしょうか？
    --- 表記として好ましくありませんし，避けるべきです．「コミュニケーション」という立場から言うと，その表記をした人に直接聞かないとその表記の意図は分からない，ということになります．
  • 旧E科ですが，この授業の履修は教務より認められませんでした．単位はもらえなくても結構ですが授業は受けさせてください．岡本先生の他の授業もあるなら受けてみたいです．
    --- はいどうぞ．私の他の授業は夜間にはありません．講義については，昼に，情報・通信工学科で，前学期金曜2限に「グラフとネットワーク」(3年生用)，後学期火曜1限に「離散数理工学」(3年生用) を今年度は担当します．それ以外に，大学院の講義とか実験とか情報工学工房も担当してます．
  • その他，授業に関係のあるコメント
  • 流派によって，$A \subseteq B$と書いたり，$A \subset B$と書いたり，まぎらわしいです．JIS規格のように統一された規格になったほしいです．
    --- 数学記号について，JISもISOも規格を出しています．JISはJIS Z 8201:1981，ISOはISO 31-00 1992，ISO 31-11 1992です．このように標準化を行うことは重要なのですが，流派の違いや学問伝統の歴史もあるので，守るべきであるという道徳を振りかざすものでもないと思いますし，実際，守られていない例は多くあります．しかし，数学記号についてよく分からないという人にとって，1つの指針となることは確かです．TeX Wiki内「表記の哲学」も参考にして下さい．
  • キャップとカップじゃまぎらわしいので，インターセクションとユニオンで覚えます．
    --- はい，そのようにして下さい．
  • わかりやすい解説のおかげで様々な集合に対する理解が深まりました．証明は苦手意識があるので克服していきたいです．
    --- 証明ができるようになることがこの講義の目的の1つなので，演習問題を通して身につけて下さい．
  • 最後に，くだけたコメント
  • 食事に誘った女の子から今は忙しいから会えない！と遠回しに言われました．これはもうあきらめるべきでしょうか！？個人的にはあきらめずにがんばろうと思います．
    --- あきらめずに頑張って下さい．
  • 蒸し暑いです．でも蒸し寒いです．
    --- 蒸し寒いってなんでしょう？
  • 隈取りTシャツso coooooool!!!人生山あり谷あり
    --- TAにそう伝えておきます．
  • 今日の晩ごはん何がいいか悩んでるんですが…
    --- もうそろそろ冷やし中華の季節でしょうか．
  • 先生の必殺技を教えて下さい．あとコマンドもお願いします．
    --- 何も殺さないので，必殺技はありません．
  • 先日胃に穴があきました
    --- お大事に．
  • かぜをひきました．この時期のものは長引くので嫌になりますん．
    --- お大事に．
• (3) 4/22 証明法 (3)：「〜ならば…である」ことの証明
  • コメントありがとうございました．提出数が減ってる気がしますので，皆さん出して下さい．
  • 今週はくだけたものからいきます．(なお「くだけた」とは，「授業に直接関係がない」という意味だと思って下さい．)
  • 髪の毛サッパリしましたね！！
    --- ありがとうございます．季節の変わり目に切ると風邪をひきやすいので，気をつけています．
  • 最近雨ばかりでいやです．
    --- そうですね．スカッと晴れた日がほしいですね．
  • 先生は服をどこで購入しているのですか？
    --- UNIQLOです．
  • 先生はアニメを見ますか？私のオススメは毎週金曜日東京MXで放送中(24:30〜)のジョジョの奇妙な冒険と，毎週日曜日東京MXにて放送中(22:30〜)のラブライブ！です．
    --- 見ません．ノイタミナ枠のは興味があるのもあるんですが，その時間まで起きていられません．
  • 阪大の教員がドーナツを穴だけ残して食べる方法を真剣に (笑) 考えた結果出版された「ドーナツを穴だけ残して食べる方法 越境する学問--穴からのぞく大学講義」という本がありますが，先生だったらどのようにして，ドーナツを穴だけ残して食べますか？ "離散数学"や"先生の専門"と絡めた上で独創的な方法を教えて下さい．
    --- ドーナツを数学的に「トーラス (を境界として持つ閉領域)」 だと思うことにすれば，トーラスであるということを保ちつつ食べられるだけ食べれば穴だけ残して食べることになると思います． もう少し詳細な説明には，もっと時間をかけた考察が必要だと思うので，今日はこの辺で許して下さい．
  • 続いて事務的な内容
  • 問題文を全部レポートに書くと時間がかかりすぎるので解答だけでもよいですか？
    --- よいです．
  • 腹が減りすぎて，集中力がとぎれそうになったら，こっそり授業を抜け出して食事をしてきてもいいですか．
    --- 秩序が乱れるので好ましくはありません．途中で食事をするのではなく，前もって食事をしてきて下さい．
  • 質問
  • 「任意の正実数$\epsilon$に対して$a<b+\epsilon$が成り立つならば$a\leq b$が成り立つ」の対偶「$a>b$ならば，ある正実数$\epsilon$が存在して$a\geq b+\epsilon$となる」の赤い部分で「任意」→「ある」になるのが解らない．
    --- 「任意の正実数$\epsilon$に対して$a<b+\epsilon$が成り立つ」の否定が「ある正実数$\epsilon$が存在して$a\geq b+\epsilon$となる」になります．否定の作り方は第2回講義のはじめの方を復習して下さい．
  • ∀と∃のかっこいい呼び方を教えてください！
    --- 記号そのものの呼び方として「∀」は「全称記号」，「∃」は「存在記号」と呼ばれることがあります． 数学の文として，たとえば「$\forall\ x\ (...)$」というものがある場合は，前から順番に記号を1つ1つ読むというよりは，意味を考えて，日本語に置き換えて読みます．例えば「任意の$x$に対して ...」と読むわけです．
  • 必要十分条件について高校の教科書で復習した方がよりよいですか？
    --- 「よりよい」という意味ではYesです．しなくてはならない，というわけではありません．高校の教科書を見直してみると，高校生のときには気付かなかった視点をいまでは持っているという感覚が味わえるかもしれません．
  • 証明で「裏」や「逆」などは今後出てきますか？
    --- 「証明で」ということではNoです．でてきません．用語として，「裏」は出てきません．これは数学においてあまり使われない用語です．一方，「逆」はよく出てきます．というのは，今回の授業でもあったように，「(1)と(2)が同値である」ということを証明するときには，まず「(1)ならば(2)である」ことを証明して，次に「(2)ならば(1)である」ことを証明しますが，証明を書くときに，「まず(1)ならば(2)であることを証明する」と書いて，証明を続けていき，後半は「次に(2)ならば(1)であることを証明する」と書く代わりに「次にその逆を証明する」と書くこともあるからです．また，「○○ならば□□である」ということが証明できたときに，その逆も正しいのかどうかということを数学者は常に考えます．もし正しいのならば，○○と□□が同値であることがわかるので，考察対象に対する理解が深まります．正しくないならば反例が存在するわけですが，その反例を見ることでも理解が深まります．そのため，逆を考えるということは非常に重要だとみなされています．
  • 以下，感想，意見，その他．
  • HPいつも楽しく拝見しています．冨樫が働くので私も真面目に質問します．$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$の「2つめの等号が納得いかない」とのことですが，これは「$x^2-3x+2=0$の左辺は$(x-1)(x-2)$と因数分解されるから，$(\text{与式})=(x-1)(x-2)=0$である」と脳内で処理するのも先生の中では許せない具合でしょうか？ ちなみに私は$2\times 3 = 6 \neq 0$の$\neq$が許せません．「$2\times 3=6$だから$2\times 3\neq 0$」だったらいいんですが．あと友人がリア充になったのかと妙な邪推をしてくるので，疑惑を晴らすため横浜でオススメの飲食店があったら教えてください．猫カフェでも可．
    --- なんかラジオ番組への投稿みたいですね．脳内処理についてですが，現実的に私はそのようにして自分を納得させています．ただし，1つの式でまとめるときには，書き手が1つ1つの等式にどういう思いを込めているのかということを明確にしないといけないと思うのです．あるいは，$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$という表現は下書きに書くべきものであって，証明という文章で書くものではないと思ってます．高校での数学にありがちだと思うのですが，黒板に書かれているものはたいてい下書きです．式が羅列されているだけで文章になっていないものは下書きだと思って下さい．そのような書き方で何を伝えられているのか，ということについて，高校数学や受験産業は真剣に考えてほしいと私は思ってます．(大学入試問題が悪いという批判については，私一人でどうにかなることではないですが，真摯に受け止めます．)
    そして，「$2\times 3 = 6 \neq 0$」の方ですが，文脈不足でどこが許せないのかわかりません．「$2\times 3=6$」も「$6\neq 0$」も正しいからです．ただ，「$2\times 3 = 6 \neq 0$」という式から「$2\times 3 \neq 0$」を導くこと (推論すること) には注意が必要ですね．これはこの授業のあとのほうで「同値関係」という内容を扱うときにもコメントをするつもりなので，そこまで待って下さい．
    最後に，横浜の飲食店．ウチキパンをひいきにしてます．普通のパン屋ですけど．
  • "偽"ならば"偽"であるという命題が真になる，と文字で見たときはよくわからずややこしいと思ったが，コインのゲームのたとえを聞いてスッと納得できた．
    --- この部分の説明はいろいろな本で違う方法によって行われていることもあるので，見比べてみると面白いかもしれません．
  • 久しぶりに使ったので忘れてました．
    --- 何を，ですか？
  • 去年度後期の授業「応用代数学」を受ける前にこの授業を受けたかったです．写像の証明をする理由とか，当たり前のようなことを証明済みとしてあつかえない理由がそのときは全くわからなかったです．
    --- なるほど．そう思って昨年度の授業の内容を見直してみると，理解が一層深まると思います．
  • だんだん難しくなってきたので復習をわすれないようにしなくてはならなくなってきました．
    --- はい，演習問題をしっかりやって下さい．
  • 証明の論述に加えて，数値の意味をよく考えなければ，対偶などは解けないと感じた．
    --- 対偶は今後も何度か出てくるので，復習をして下さい．
  • 否定と対偶がごっちゃになりそうです．
    --- 自分でノートを作ってまとめなおす，ということをするといいかもしれません．講義資料は講義の流れに沿って説明をしているだけなので，それを自分の理解できる順番でまとめ直すというのは重要だと思います．
• (2) 4/15 証明法 (2)：「任意の〜に対して…である」ことの証明
  • コメントありがとうございました．皆さん，割とまじめなコメントが多いですね．もっとくだけてもいいですよ ;-)
  • まずは質問から．
  • スライド35枚目の「$y=x^2+x+2$」にはどのようにたどりついたのでしょうか？ 先週の総当たりはできそうだったのですが，これにはテストの時間内にたどりつける気がしません…
    --- まず注意ですが「$y=x^2+x+2$」である必要はないです．私はそれを思いついたということだけですので．それを踏まえてなぜそれを思いつけたのか，ということですが，$x+y\neq 0$となるような$y$を見つけたかったので，$x+y > 0$となるような$y$を見つければ十分だということにまず着目しました．そして「実数の2乗」は必ず0以上になるので，それに1を足せば必ず0よりも大きくなる，ということに気づきました．それで$x$に何を足せば「実数の2乗＋1」という形にできるかを考えたら，$y=x^2+x+2$にたどり着きました．
  • より複雑な命題の証明，例題3について質問です．解答としては納得しているのですが，この「ある〜が存在して，…となる」型の命題ですが，第1回授業で「〜が存在する」は「1つでも真が存在すれば真」と教わった記憶があります．しかしなぜこれはそうならないのか，よく理解できませんでした．「〜＞…」という力量関係ではなく，「〜＝…」であるからでしょうか？ いつでも成り立たないと考えたら偽であるのを見抜くのはたやすいですが…．あと例3は具体的数値をあてはめて書いてはNGですか？
    ---質問が2つあるので，分けて答えます．1つ目の方から． これも「任意の実数$y$に対して，$x+y=0$となる」が真となるような実数$x$が1つでも存在すれば真，ということに変わりはありません．ただ，この命題 (ある実数$x$が存在して，任意の実数$y$に対して，$x+y=0$となる) は正しくないのです．実際に例題として挙げている解答が行っているのは，この命題の否定を証明することです．
    そして，2つ目の質問について． 例3 (これは同じ例題3を指しているものと思います) で挙げている命題は正しくないので，否定を証明すること，つまり，「任意の実数$x$に対して，ある実数$y$が存在して，$x+y=0$とならない」を証明することを考えます．この証明において，$x$と$y$の両方に具体的な数値を当てはめて書いた証明は正しくないと思います．なぜなら，$x$は「任意の実数」だからです．すべての可能性を考える必要があるので，具体的な数値1つではすべての可能性を尽くすことはできないのです．
  • スライド32/40の最後の行で，「したがって，$xy=0$となる．」を追加しましたが，「したがって，任意の実数$y$に対して，$xy=0$となる．」では間違いなのでしょうか．
    ---間違いではありません．証明の書き方には流儀がありますが，講義で出した流儀では「したがって，$xy=0$となる．」と書くことになります．他の流儀では「したがって，任意の実数$y$に対して，$xy=0$となる．」と書くことになります．誤解のおそれがあるので，もう少し詳しく書きますが，「任意の〜に対して…である」という命題を証明するとき，初めに「任意の〜を考える」と書きますが，最後に書くものの流儀として「したがって，…となる」と書くものと「したがって，任意の〜に対して，…となる」と書くものがある，ということです．
  • 1/0って実数ですか？ これってどう扱えばいいですか？
    ---質問にYesかNoで答えると，Noです．実数ではありません．より正確に答えようとすると，1/0というものは存在しません．そうなので，「1/0って…」と，あたかも1/0というものが存在するかのように問われると，ちょっと困ります．もう少し数学的に正しく答えようとするならば，「1/0」は定義されません，というのが回答になります．扱いとしては，「1と/と0をそのように並べても，意味がない」ということになります．0で割ることは許されていないのです．
  • 離散数学は具体的にいつ使うのですか？
    --- まず，この講義で扱っている離散数学が本当に離散数学ではない，という第1回の話を考慮して，2つに分けます．この講義の内容を具体的にいつ使うのか，という意味においては，いつでも使います．論理的な思考を行うとき，数学的な思考を行うとき，数学を用いて何かをするとき，いつでも使います．そして，本当の離散数学というものがある場合，それをいつ使うのか，という意味においては，現実世界にある現象や構造物を数学の言葉で表現するとき (これを数理モデル化といいます)，構造物を設計するときなどに使います．昨年度の講義ではリクエストを受けて「系統樹復元の離散数学」という講義を1コマ分やりました．これは「本当の離散数学」に近い内容で，「具体的に」という意味ではかなり具体的だと思います．
  • レポートに関する事項．
  • 添削していただいたレポートは次の週でしか受け取ることはできませんか？
    ---次の講義のときには返します．それより早く返すことは無理かもしれません．それよりも遅く返すことは可能です．毎回，講義のときに返そうと試みますので，不在の場合はそのまま私が持ち帰り，また次の週に返そうと試みます．
  • 追加問題だけをレポートとして提出するのは可能ですか？
    --- はい，可能です．追加問題だけでなくても，どの一部の問題だけでも提出可能です．提出することは義務付けていないので，もちろん提出しなくても構いません．
  • その他のコメントや意見．
  • はずれ
    --- 次回は豪華賞品を下さい．
  • 夜分までおつかれさまです．
    --- こちらこそおつかれさまです．
  • 今日の昼飯はラーメンでした．
    --- 調布近辺でオススメのラーメン屋があれば教えて下さい．
  • 友達と桜木町に映画を観に行きます．オススメの晩御飯のお店を教えて下さい．
    ---桜木町のお店でしょうか？ 桜木町には一度しかいったことがないのでわからないです．4年ぐらい前に，関内のすき家にいったとき，食事をしていたら，老夫妻(?)が入ってきて，押しているベビーカーで寝ていたのが人形だった，という恐怖体験をしました．本当に怖かったです．
  • 色チョークは特に見づらいものはないので積極的に使ってほしいと思いました．
    --- ありがとうございます．積極的に使っていくことにします．
  • 途中の補足がわかりやすかった．
    --- 質問があるときはどんどんお願いします．
  • 講義資料を印刷するのを忘れてきたが，スライドと板書が丁寧だったので理解できた．
    --- 突然理解できなくなることがあったり，演習をおこなうときの助けになるので，忘れずに持ってくるようにして下さい．
  • 学校のプリンターが不調らしく印刷できない場合が大半です．
    --- それは困りましたね．その場合はお金がかかるかもしれませんが，コンビニなどのコピー機では最近USBメモリやSDメモリーカードからPDFファイルを印刷できたりするので，それも活用してみて下さい．
  • 「印刷用スライド」と「演習問題」を1つのファイルにしていただけないでしょうか．演習問題を印刷するのを忘れることを防げると思います．
    ---これについてはすみませんが，PDFファイルを結合するアプリケーションを持ってないので，できません．
  • 遅刻してしまい，決まり文句が途中からになってしまい，つらかった．ビデオみます．
    --- はい，ビデオを活用して下さい．
  • 証明の形を覚えて順を追ってできるようにしたい．
    --- 「記憶する必要はない」というのは第1回でも言いましたので，その点は気に留めておいて下さい．
  • ”ある”と”任意”の順番で結果が変わることを考えていかなければいけないと思いました．
    --- はい，気を付けて下さい．
  • ∀と∃の説明がわかりやすくとてもよく理解することができました．
    --- はい，演習問題で理解が本当にできたか確かめて下さい．
  • ∀と∃の順序によって真偽が変わるのは，ある実数を先に固定してしまうからですね．実数を決めるのが後出しになる方が有利ですね．(ゲーム的に)
    --- 後の方がいつでも有利なのかと言われるとそうとも限らないので注意して下さい．
  • ゲームという考え方は非常に分かりやすかった．
    --- ゲームとして考える，ということを数学者は無意識のうちに行っているのですが，それがあまり強調されることはないのが現状だと思います．この授業では強調してみました．
  • 今まで受けたことのないタイプの数学の授業だった．
    --- キャッチフレーズは「語学としての数学」ですので，そのつもりで勉強して下さい．
  • 直感で命題の真偽を判断すると間違えていたので，よく復習しておきます．
    --- そうですね．確実に証明ができるように復習して下さい．
  • ていねいに説明して下さって分かりやすかったです．
    --- 演習問題で理解度を確認して下さい．
  • テスト対策お願いします．
    --- 演習問題を解いて，答案をレポートとして提出することがテスト対策です．励行して下さい．
  • 証明の仕方で言葉の使い方を誤らないよう気をつけて取り組まないければならないと今日の授業で理解できました．
    --- 日本語は微妙なもので，見た目がちょっと違うだけで意味が大きく変わることもあります．気を付けて下さい．
  • 文章の修飾部と節 (S+V) が逆になると「解」が異なることに新鮮さを感じた．
    ---そうですね．言語の難しさが如実に表れていると思います．
  • 複雑な命題の証明から少しずつややこしくなってきた．しっかり復習しようと思います．
    ---この部分は難しい部分なので，すぐに分からなくても悲観する必要はないと思いますが，その一方でとても重要な部分なので，しっかりと復習をして下さい．
  • 「任意の出席に対して単位を落とす学生が存在するのは，学生の学業に対する自己認識の甘さがある」だって電通大だもの…
    ---「任意の出席に対して」というところの意味がちょっと分かりませんでした．
  • 今年もお世話になります！
    --- よろしくお願いします．
  • 今期初めて授業受けに来ました．お変わりなさそうでなによりです．今年もよろしくお願いします．と去年書いた人です．今期初めて授業受けに来ました．お変わりなさそうでなによりです．今年もよろしくお願いします．
    --- できるだけ休まずに受けに来て下さい． と去年私は応えてますね．できるだけ休まずに受けに来て下さい．
• (1) 4/8 証明法 (1)：「〜が存在する」ことの証明
  • コメントありがとうございました．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
  • まずは質問とその回答．
  • 命題が真であったとき，否定は必ず偽になりますか？それとも必ず真になりますか？
    --- 命題が真であったとき，その否定は必ず偽になります．
  • 「満たす」と「成り立つ」は同義ですか？
    --- 用法は「条件を満たす」，「条件が成り立つ」であり，この2つは同じ意味をあらわすと思ってもらってよいです．
  • 用語集はどのように使えばよいでしょうか？
    --- 用語集の目的は，用語の正しい読み方と英訳を確認することです．用語は日本語なのですが，技術的な専門用語なので，正しい読み方ができるかどうかということが技術者としての基本的な素養となります．講義に出られないときや講義に出ても聞き取れなかったときに，用語集を見て，用語の読み方を確認して下さい．案外，数学用語を正しく読めない研究者はいます．たとえば，「共役複素数」を「きょうえきふくそすう」と読んだりする人がいます．正しくは「きょうやくふくそすう」なので，そういう間違いを予防する目的があります．一方，英訳の方は，将来的に英語の文章を読んだり書いたりするときに役立つように，と思ってつけてあります．
  • 参考書はどこのページを見ればいいですか？
    --- すみませんが，自分で確認して下さい．ただ，講義で扱った内容が参考書にそのまま書いてあるという保証はないので，その点は注意してください．あくまでも，参考書はこの講義に続く勉強や関連する事項の勉強に用いるために挙げてあると思って下さい．
  • 本当の離散数学はいつ勉強できますか？
    --- 2つ方法があります．1つは離散数学に関する書籍で自習することです．参考書として挙げたものを参考にして下さい．もう1つは昼間の授業にでることです．I科の3年生の授業として，前学期に「グラフとネットワーク」，後学期に「離散数理工学」というものを私が担当します．この2つの科目は皆さんの持っている履修要覧には載っていませんが，皆さんは履修できます．
  • "本物"の「離散数学」は電通大では開講されていないのですか？
    --- 上のコメントの回答にもありますが，I科の3年生の授業として，前学期に「グラフとネットワーク」，後学期に「離散数理工学」というものを私が担当します．この2つの科目は皆さんの持っている履修要覧には載っていませんが，皆さんは履修できます．
  • pdfを見るための携帯電話の使用は可能ですか？
    --- はい，可能です．
  • 次は要望，および，それに類するもの．
  • 証明終了の記号がつぶれていました．もうすこし各スライドを大きく，フチなしでPDFを作成してください．
    --- ご指摘ありがとうございます．今回の資料は印刷したものを再度コピーしているので，線が鮮明にでていませんでした．印刷した原本では線が鮮明にでてるので，次回以降，皆さんが印刷するものでは問題がないと思います．
  • スライドを使うとのことでしたので字が汚いかと思いましたが，きれいで読み易いと思いました．ただ，時々口ごもってしまった部分が見受けられたので，もう少しはっきりと話をして頂ければうれしいです．
    --- 口ごもる点についてはすみません．興奮してくると早口になって，何を言ってるのか分からなくなるということがよくありますので，そういうときは落ち着くようにします．
  • 本日の講義中に講義資料のURLへアクセスしましたが，接続できませんでした．
    --- すみません，私はできました．URLの打ち間違いの可能性が高い気がしますが，このページを既に見ることができているならもう心配はないと思います．ブックマークに登録しておいてください．
  • 資料をwebにあげるには一週間ほど前ぐらいからにして頂きたい．
    --- このコメントの内容が講義に反映されるということを1つの理由にして，かなり前に準備することはとても難しいので，「一日前の掲載」ということでお願いします．
  • 感想，質問，プライベートなど，雑多なことが後は続きます．
  • 前期の間よろしくお願いします．
    --- こちらこそよろしくお願いします．
  • 半年間よろしくお願いします．
    --- こちらこそよろしくお願いします．
  • 初回なので特に何もありません．よろしくおねがいします．
    --- はい，よろしくお願いします．
  • 特に無いです
    --- はい，ありがとうございます．特に無くても，この紙をこのように出してもらえるとうれしいです．
  • 演習問題の時間が設けてあるのはよいと思う．
    --- 私は演習を重視してますので，毎回演習の時間を楽しみにして下さい．周りの人と相談もできるようにして下さい．
  • レポートをがんばろうと思いました．
    --- はい，がんばってください．
  • 単位とります！がんばります！
    --- はい，がんばってください
  • 「語学としての数学」のタイトルに共感．英文法が好きな自分としては数学でも物理でも言葉であり，文法も言葉そのものであると思って来たので，今後の授業展開に期待しています．
    --- 期待に沿えるようにやっていきたいです．
  • 証明は興味深い分野なので，このまま理解を深めていきたい．
    --- いろんな証明法が出てきますので，ぜひ身につけてください．
  • 論理的な考え方は好きなので楽しみな授業です
    --- はい，ぜひ楽しみにしていて下さい．
  • 否定のところが早過ぎてよくわからなかったです．
    --- 次回はその復習と補足から始めます．
  • 否定とか頭がグルグルしてしまう．
    --- 次回は復習と補足から始めます．
  • ∀の否定，∃の否定あたりから少し難しくなってきた．
    --- 来週はその復習と補足から始めます．
  • とても楽しい授業でわかりやすかったです．命題の否定は難しかったです．
    --- ありがとうございます．否定については次回復習と補足から始めます．
  • 命題の否定では否定の書き方が複数個あるのでまさにコミュニケーションの数学だと感じた．
    --- そうですね．「数学は答えが1つに決まるものだ」という変な言説があるのですが，それは正しくなく，論理的な思考を言語化するツールが数学であるので，普段の言語生活と同じように，数学による表現というのは1つに決まるわけがないのです．
  • すみません．ねてしまいました．
    --- 十分睡眠をとってから来てください．
  • 今日はいい天気でした．
    --- そうですね，毎週こうだとうれしいです．
  • 最近雨が多く，少し物悲しい．
    --- 花散らしの雨ですね．どんどん夏に近づいているということでしょうか．
  • スライドを使った説明は分かりやすくてよいと思います．
    --- 板書だけで授業を行ってもよいのですが，そうするとおそらく，皆さんが腱鞘炎になります．私も腱鞘炎になります．なので，スライドを使って体を労わっています．
  • 今年はパーカーじゃないんですか？
    --- パーカーもフリースもあります．
  • 結婚してますか？
    --- 独身です．
  • 海外出張はやはり学会でしょうか？どこの国に行くのでしょうか？
    --- 学会というものが何を指すのか，ということが私はよく分からないのですが，とにかく，私が行くのはドイツとスイスです．この辺りは毎年行ってます．
  • 滑舌がとても良い
    --- 自分自身はあまり滑舌がよいと思っていないので，そのような感想をいただき驚いています．
  • K-1の桜庭に似てる!! (笑)
    --- たまに言われます ;-)
  • 22/52 6つの文が7つに見えるのでもうだめです．
    --- 23/52でしょうか．疲れてるのかもしれないので，しっかりと栄養を蓄えてから来て下さい．
  • 火曜日だけが1コマの日なので集中できそうです．
    --- はい，集中してがんばっていきましょう．
  • 声が大きくてききとりやすい
    --- マイクのおかげですね．ありがたいです．
  • ありがとう いい夢見ろよ！
    --- はい，いまから就寝します．

• 全体の成績
  • 成績 = min{100, 中間試験の素点+期末試験の素点}
    
  • 得点分布 (中間試験と期末試験の少なくとも一方を受験した受講者のみ対象)
    
    
  • 受講者数 (履修登録者数相当) は100で，90点以上 (S) が18人 (約18%)，90点未満80点以上 (A) が15人 (約15%)，80点未満70点以上 (B) が18人 (約18%)，70点未満60点以上 (C) が16人 (約16%)，60点未満 (D) が33人 (約33%) です．
  • 中間試験と期末試験の少なくとも一方を受験した受講者数は83で，90点以上 (S) が18人 (約22%)，90点未満80点以上 (A) が15人 (約18%)，80点未満70点以上 (B) が18人 (約22%)，70点未満60点以上 (C) が16人 (約19%)，60点未満 (D) が16人 (約19%) です．
  • 中間試験と期末試験の両方を受験した受講者数は79で，90点以上 (S) が18人 (約23%)，90点未満80点以上 (A) が15人 (約19%)，80点未満70点以上 (B) が18人 (約23%)，70点未満60点以上 (C) が16人 (約20%)，60点未満 (D) が12人 (約15%) です．
  • 中間試験と期末試験の素点の関係 (散布図)
    
  • 読み方：1つの点が1人の受講者を表します．1か所に何点かが重なってる場合もあり．横軸が中間試験の素点，縦軸が期末試験の素点．青い点線よりも左上にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも高い人．右下にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも低い人．赤い点線は右上から順に，成績がS，A，B，Cとなる境界を表していて，右上にいけばいくほど成績がよくなります．
  • 中間試験と期末試験の両方を受験した人全体で，中間試験の素点と期末試験の素点の相関係数は約0.49でした．「相関はあるが，強くない」という傾向が見られます．
  • 期末試験の素点が0点になっている人は，期末試験を受けていません．中間試験で30点以上の素点を得ている人で，期末試験も受けている人は，全体として60点以上になっています．
• 期末試験
  • 試験問題
    • 試験問題 (8/8実施) 受験者数3
    • 試験問題 (8/12実施) 受験者数76
  • 採点：1問15点満点，合計60点満点
  • 得点分布 (8/8実施分と8/12実施分を合わせたもの)
    
  • 受験者数は8/8と8/12を合わせて79人．平均点は37.41 (60点満点)．45点以上 (S相当) が18人 (約23%)，45点未満40点以上 (A相当) が10人 (約13%)，40点未満35点以上 (B相当) が25人 (約32%)，35点未満30点以上 (C相当) が9人 (約11%)，30点未満 (D相当) が17人 (約22%) です．
  • 得点掲示 (辞書順に並べています)

    +1nen	12
    0206hr	33
    02232	40
    024024	35
    03927	29
    052703	45
    060906	49
    067SS	38
    10jqka	32
    111477	34
    11707	37
    1219	36
    12334Z	60
    16858	36
    17320	60
    174828	47
    18274	40
    23092	35
    24410	53
    246911	18
    2ABQC	38
    30301	32
    32327	45
    34501	25
    3632	37
    45144	36
    50705	32
    551444	58
    64637493	44
    70381	39
    7g5s1	48
    801180	35
    807142	29
    81100	39
    86420	30
    88914	32
    89327	40
    90421	37
    92505	36
    9916	35
    A0125	53
    AbabAb	29
    aieae00	40
    AIEEE	50
    akprs	46
    alice	60
    BEAST	34
    BTOOM	36
    dMath	32
    EDIFS	28
    GO7180	40
    japan	40
    K1226	26
    LFF14	37
    momom	40
    Mt. Fuji	27
    OTs14	48
    SaItEnn	37
    sayart	50
    spczk	28
    tatat	37
    tkmkdc	45
    tkswb	27
    tutns	37
    wpsmm	48
    YRA83	28
    YZW25	40
    zxuiz	37

  • 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
  • 講評
    • 8/8実施分：受験者数が3で，細かい部分に立ち入ると，とても個人的になる可能性があるため，表面的なコメントにとどめます．
      • 問題1：演習問題7.1，7.4の類題．像，逆像，関数の合成の理解を確認しています．よくできていました．
      • 問題2：演習問題8.3と同じ問題．全射と単射の定義が理解できているか確認しています．講義でやった問題であったこともあり，よくできていました．
      • 問題3：演習問題9.1，9.7の類題．あまりよくできていませんでした．何を問われているのか，ということが理解できていない感じがしました．
      • 問題4：演習問題11.1の一部と同じ問題．ハッセ図を描く問題．よくできていました．
      • 問題5：演習問題10.3と同じ問題．同値類に関する証明問題．あまりできていませんでした．演習問題と同じ問題なのですから，準備してきてもらいたかったです．
      • 問題6：演習問題12.6の類題．数学的帰納法で証明をする問題．できにばらつきがありました．
    • 8/12実施分
      • 問題1：演習問題7.1，7.4の類題．像と逆像が理解できているか確認しています．よくできていました．
      • 問題2：演習問題7.5と同じ問題．像に関する証明問題．集合に関する証明ができるかどうか，中間試験に引き続き，再度確認しています．これはできが悪かったです．演習問題と同じ問題なのですから，準備してきてもらいたかったです．演習問題7.3を参考にして証明しようとしている人が多かったように思いますが，演習問題7.3とこの問題の大きな違いを認識する必要があります．演習問題7.3は「○○ならば△△」という形の命題ですが，この問題には「○○ならば」に該当する部分がありません．そのため，証明の構造は異ならなくてはなりません．
      • 問題3：演習問題8.3と同じ問題．全射と単射の定義が理解できているか確認しています．講義でやった問題であったこともあり，よくできていました．
      • 問題4：演習問題10.4の類題．商集合の定義を理解できているか，確認しています．できが悪かったです．そもそも商集合というものが何なのか理解できていないようなので，しっかりと復習して下さい．
      • 問題5：演習問題11.1, 11.2, 11.6, 11.8の類題．(1)はハッセ図を描く問題．よくできていました．(2)は上界と下限の定義の理解を確認しています．こちらはできが悪かったです．定義がしっかりと理解できていない印象を受けました．
      • 問題6：演習問題12.3と同じ問題．数学的帰納法による証明ができることを確認しています．基底段階を書いていない答案がいくつかありました．基底段階も含めて証明が完了するので，省略してはいけません．
• 中間試験 (6月10日実施)
  • 試験問題
  • 採点：1問10点満点，合計60点満点
  • 得点分布
    
  • 受験者数は83で，平均点は38.47 (60点満点)．45点以上 (S相当) が28人 (約34%)，45点未満40点以上 (A相当) が14人 (約17%)，40点未満35点以上 (B相当) が8人 (約10%)，35点未満30点以上 (C相当) が11人 (約13%)，30点未満 (D相当) が22人 (約27%) です．
  • 得点掲示 (辞書順に並べています)

    0000	18
    0206hr	27
    02232	45
    03927	37
    067SS	57
    09916	34
    10140906	44
    10jqka	17
    11007	49
    11244	33
    11929	41
    1219	13
    15351	40
    17320	59
    19250	50
    23098	25
    2707as	60
    2ABQC	42
    3F64	32
    44444	35
    4QQ1e	40
    5260	42
    5453abc	28
    596321	37
    5gA3f	57
    61047	49
    64637493	44
    70581	41
    71340	28
    80891	45
    86420	60
    89327	45
    89XYZ	24
    93731	25
    94690627	30
    9K876	37
    A0125	60
    a2610T	37
    ABABABA	60
    aieae0000	56
    ainhb	22
    akrsp	35
    AYSER	57
    BJACK	48
    BVB42	45
    d2krm	54
    dmath	29
    EDIFS	49
    epiad10	31
    f914a	27
    GITUM	40
    Gouchi	33
    jbc2	44
    K14E11	24
    Ka01s	57
    kspcz	37
    LEXPR	43
    LFF14	26
    mkrxs	44
    nakaj	27
    NM207	40
    OTs14	53
    sayart	52
    tatat	45
    tkmkdc	49
    tkswb	14
    tunas	34
    tutns	41
    TUYMNO	19
    VWXYZZ	28
    wpmme	52
    wx5ck	19
    X431Z	45

  • 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
  • 講評
    • 問題1：存在することを証明する問題．演習問題1.8と同じ問題．よくできていました．ほとんどの人ができていました．
    • 問題2：対偶によって証明を行う問題．演習問題3.5と同じ問題 (講義でやった問題)．対偶で証明するように指示してますので，そうでない証明は0点にしてます．意味を分からず写しているだけだと思われる答案もありますが，それが間違っていて意味が通らない場合は全く点がありません．
    • 問題3：集合に関する演算の結果を答える問題．基本的な問題で，直積や冪集合がなんだか分からない人は必ず復習をして下さい．
    • 問題4：集合に関する証明問題．演習問題6.7と同じ問題．推測ですが，試験の場ではじめて考えて解くことは非常に困難だと思います．しっかりと準備をしてきてください．$A-(B-C)=A-B+C$ という変形をしている答案がありますが，$A-B+C$ という集合は何なのでしょうか？ 「$+$」という演算を集合に対して行ったことは，講義にて一度もありません．
    • 問題5：集合に関する証明問題．これはできている人とできていない人の差がはっきりと分かれています．
    • 問題6：集合に関する証明問題．空集合がでてくるのでちょっと難しい問題です．$A-B=\emptyset$ という仮定から $A=B$ を導いている答案が少なからずありましたが，これは正しくありません．

• 4/8 証明法 (1)：「〜が存在する」ことの証明
• 4/15 証明法 (2)：「任意の〜に対して…である」ことの証明
• 4/22 証明法 (3)：「〜ならば…である」ことの証明
• 4/29 祝日で休み
• 5/6 振替休日
• 5/13 集合の記法 (1)：外延的記法と内包的記法
• 5/20 集合の記法 (2)：直積と冪集合
• 5/27 証明法 (4)：集合に関する証明
• 6/3 関数 (1)：像と逆像
• 6/10 中間試験
• 6/17 関数 (2)：全射と単射
• 6/24 休講 (海外出張)
• 7/1 休講 (海外出張)
• 7/8 関係 (1)：関係
• 7/15 関係 (2)：同値関係
• 7/22 関係 (3)：順序関係
• 7/29 証明法 (5)：数学的帰納法
• 8/5 集合の記法 (3)：集合の再帰的定義
• 8/12 期末試験

• 離散数学 (2013年度前学期，先端工学基礎課程)
• 離散数学 (2012年度前学期，先端工学基礎課程)