離散数学 (2012年度・先端工学基礎課程)

2012年度「離散数学」（岡本）のページです．授業の資料などを置きます．
注意：この授業の担当は武永先生ではありません．

講義配信 → http://video.fp.uec.ac.jp/ (第1回の講義はうまく録画できなかったようです．すみません．)
文献案内 → literature.html
証明テンプレートのまとめ → prooftemplate.pdf

2012/8/8 採点・講評

採点が終了しました．登録をしていたのに受験しなかった人が14名います．情報・メディア・通信コースの人にとって，「離散数学」は必修なので，心配します．来年度必ず取るようにして下さい．
得点分布
横軸が得点，縦軸が人数です．0点になってるのは受験しなかった人です．
受験しなかった人を除いた平均点は75.3点．
成績は秀17人，優5人，良7人，可14人，不可24人 (受験しなかった人含む)，です．およそ1/3以上の人が不可となったので，残念です．
以下，問題ごとの講評

第1問．問1.1はほとんどの人ができていました．真理値表の中の一部の真理値が間違っている解答は軽微な減点．問1.2はできている人とできていない人の差が大きかったです．途中の過程に飛躍がある解答は減点．
第2問．これが割とできていなくて衝撃を受けました．特に，問2.1と問2.2．問2.2で多かった誤答は「{32, 64, 128}」です．冪集合の定義を見直しておいて下さい．問2.4は素直な問題ではないかもしれなくて，間違いが多かったです．正解は「{1,2,4}」ですが，誤答として「{∅,1,2,4}」というものを散見しました．7に対応するAの要素がないからといって，∅を逆像の要素にしてはいけないです．
第3問．これは授業でやった演習なので，授業でやったとおりそのままの証明を書いた答案を多く見ました．もちろんこれはよいことです．この部分をしっかり復習したかどうかが，できたかできなかったかの分かれ目のように思いました．定義が分かっているか，仮定をしっかりとしているか，という観点で部分点あり．
第4問．これも授業でやった演習なので，授業でやったとおりそのままの証明を書いた答案を多く見ました．(もちろんこれはよいことです．) この問題，できる人はすんなりできて，できない人は全然できていない，という問題だったので，到達度を見るにはよい問題だったと思います．定義が分かっているか，という観点で部分点あり．
第5問．高得点の人はだいたいこの問題がちゃんとできています．ハッセ図は多くの人が正しく描けていました．5.2の方はあまりできていませんでした．苦し紛れかどうか分かりませんが，両方とも「存在しない」と書いている答案もいくつかありました．残念ながら両方とも不正解です．
第6問．多くの人が正しく解答できていました．n=kのときに仮定をして，n=k+1のときに証明をするわけですが，そのときに証明しなくてはいけないことを使える性質だと思って証明を進めている解答がいくつもありました．使える性質と導く性質をきちんと分けることが重要です．また，n=3のとき，n=4のとき，...，と進めている解答もありましたが，これは数学的帰納法ではないので，ダメです．n=3のときの証明ができてる箇所，帰納法の仮定を述べている箇所，帰納法の仮定を正しく使っている箇所には部分点あり．

授業でやった第1問の2，第3問，第4問がちゃんとできているかどうかは，しっかりと復習しているか，ということと，しっかりと試験準備をしているか，ということが試されたと思って下さい．不可になっている人はここら辺で点数が取れていないです．全体の得点分布や成績を見ると分かりますが，できている人は本当にできています．こんなに秀の人がいるとは予想してなかったです．秀，優の人はここら辺の問題もほとんどできています．
試験問題を作るときに問題のボリュームについて悩んでましたが，結果的にこれくらいがちょうどよさそうです．
採点結果，採点内容，成績に関しての個別問い合わせはメールや電話では応えられません．(重たい個人情報の扱いには個人確認が必要だと思うため．) その種の問い合わせについては，私まで直接 (西4号館206) までお願いします．不在の日が多いので，メールなどで事前予約をお薦めします．

2012/8/7 期末試験

19:30～21:00 (いつもの時間)
場所 A201 (いつもの場所)
A4用紙1枚，両面自筆書き込みのみ，持ち込み可
6問中3問以上正答で合格
期末試験問題
解説と出題意図

第1問は論理の問題．問1.1は演習問題1.5.1と同じで，真理値表が書けることと恒真命題の定義の確認．問1.2は演習問題3.6と同じで，同値変形ができること，特に「P→Q」と「￢P∨Q」が同値であることと，∀の否定が取れることが重要な項目．
第2問は集合，関数の問題．演習問題にない問題だけど，似た問題は演習問題にあります．問2.1は直積の定義の確認，問2.2は冪集合の定義の確認，問2.3は像の定義の確認，問2.4は逆像の定義の確認．
第3問は集合，関数の証明問題で，演習問題7.3と同じ．特に∀と∃が登場する証明ができることと，像の定義の確認．
第4問は関数の証明問題で，演習問題8.3と同じ．全射と単射の定義の確認と，構成による証明 (反例による証明) ができることの確認．
第5問は半順序集合の問題．問5.1は演習問題11.6と同じで，ハッセ図が描けることの確認．問5.2.aは演習問題11.8.3と同じで，下界の定義の確認．問5.2.bは演習問題11.8.6と同じで，極大元の定義の確認．
第6問は数学的帰納法の問題で，演習問題12.3の数字を変えた問題．数学的帰納法の証明ができることの確認．

2012/7/31 第13回グラフ

補講です．いつもの場所，いつもの時間です．
[注意] この補講の内容は期末試験の範囲から除外します．
スライド
印刷用スライド

11ページの図を授業で述べた通り修正しました．

演習問題
用語集
コメントありがとうございました．今日は10人ぐらい出席者がいました．

金輪際「矢印」と言わないのは難しいと思うので，僕が「矢印」ということを許可します．--おおお，ありがとうございます．これでこれからは「矢印」と言える！
グラフの読み方が分かったが，やはり証明になると難しいですね．講義有難うございました．--やはり証明は難しいですけど，はじめの頃に比べれば慣れることができたんじゃないかと思います．こちらこそありがとうございました．
難しいけどおもしろかったです．ありがとうございました．--こちらこそありがとうございました．
論理的に考える内容だったので，計算より楽しかったです．--ありがとうございます．この講義の目的はまさに「論理的に考える」ということだったので，それを楽しんでもらえたならとてもうれしいです．
先生と過ごした日々を忘れることはないでしょう．先生と共に生きた時間Priceless --ありがとうございます．こういう縁があったということは大切にしたいです．

2012/7/24 第12回数学的帰納法

スライド

印刷用スライド

一部修正しました (v.2) 修正箇所は以下の通りです．(7/25)
16ページ，17ページ：「証明したいこと」という枠の中の不等号を「<」に変更．
36ページ：「n>0のとき」のまえに開きカッコを挿入．

演習問題

問題12.11を変更しました．

用語集
コメントありがとうございました．

補講がまだありますが，お別れのことばから．
来週は英語に出るので今日が最後の授業です．とても難しかったですが楽しかったです．ありがとうございました．---楽しんでもらえたのならうれしいです．こちらこそありがとうございました．
先生の講義を受けられて良かったと思います．ありがとうございました．---こちらこそありがとうございました．
僕は先生の講義を通して，命や愛の大切さを知ることができました．人格構成授業だと思いました．---なんと！(^o^) 私はあんまりそういう気持ちではなかったですけど，そう感じてもらえたのならうれしいです．
この授業を通してK課程の学生に対してもった印象は？---こういういい方は期待されてないかもしれないですが，集団としての印象は特にないです．もう少し個人個人を見る時間があればよかったですが，なかなか難しかったです．でも，いろいろと小さい紙にコメントを書いてきてもらえるのはとてもありがたいです．
次，試験について
範囲が広くて大変．試験的な意味で．---そうですね．やったことは盛りだくさんなので，ちゃんと復習して下さい．
期末テストの山は？---口頭で「どんな問題が好きですか？」という質問ももらいました．私が好きな問題は基本的な問題です．
単位をとれる気がしません---とれる気がなくなってしまうと本当に取れなくなるので，取れるように努力して，是非とってください．
パターン等のまとめを作成するとかしないとかはやはり作成して下さらないのでしょうか？---忘れてました．思い出させてもらい感謝します．作りますが，どれくらい見やすいものになるかはちょっと自信ないです．(7/25：作りました．こちらからどうぞ．)
とても難しいです．単位がほしいです．---難しいことやらないと大学じゃないですから，そこら辺は我慢してください．単位取れるように準備をしっかりとしてください．
補講で復習をしてくれるとうれしいです．．．---すいません，そういう予定はないですが，補講の演習の時間に今までの授業のところでの不明な点とか質問してもらってよいので，そういう活用はぜひして下さい．
次は，今日の講義内容から
数学的帰納法の再帰バージョン，忘れていたのか，はじめてか分からないけど，分かってよかったです．---それはよかったです．数学的帰納法はいろんなところで出てきますから，もしまた忘れても，再び思い出せると思います．
式変形や数値代入だと分かり易いですが，応用するのが難しいです．---おそらく皆さんのいままでの数学は式変形や数値代入が多かったと思うのですけど，離散数学はそれとは違う味わいを持ってるんです．今日の授業では数学的帰納法の基礎的なことをやったので式変形や数値代入が例として多くでてきましたが，もう少し進むと，そうじゃないような帰納法も出てきます．もし興味があったら「構造的帰納法」とか「超限帰納法」とか調べてみて下さい．
フィボナッチ数列と黄金比が関係しているのは初めて知りました．---授業の中ではいいませんでしたが，そうですね．指摘ありがとうございます．「黄金比」に関する本が実はたくさんあるので，そういうのを読むと，世界のいろんなところに黄金比が出現してるんだというのが分かりますよ．
最初の方にやったトートロジーがこんな形で使われているのだなぁ．と実感できた．---実はいろんなものがいろんなところで絡み合っていたりします．これは1つの科目の中だけじゃなくて，他の科目の間にも関係があったりして，そういう関係とか似てるところとか，探っていくと，面白い発見があるかもしれません．
その他のコメント．
今日は他にやらなきゃいけないことをやっていたので授業をきいていませんでした．すいません．---それはいけないですね．しっかり復習をするようにして下さい．
数式とか論理式を口に出して先生みたいに速く言えないです．---はやく言う必要ないから気にしないで下さい (^^; 私も舌がうまくまわらないのに早口になるのはよくないと思ってるので，そこは直したいのですが，直せないです．
今日のアロハシャツ，すごく似合ってます．おせじじゃなくて，そのシャツのデザイン自体は私は好きでなくて，先生との組み合わせがいいです．ぜひ先生の勝負シャツにすることをおすすめします．---どうもありがとうございます．本当はもっとアロハシャツがあるはずなんですが，引っ越しのどさくさに紛れて，見つからないです．困ってます．
来週も来れるように頑張ります．---是非また来週会いましょう．

2012/7/17 第11回順序と同値関係 (3)：順序関係

前回の残りからやるので，第10回のスライドと演習問題も持ってきて下さい． (第11回のものも持ってきて下さい．)
スライド
印刷用スライド

修正をしました．修正箇所は以下の通りです．(7/18)
31ページ：「極大元とは？」を「極小元とは？」に修正

演習問題
用語集
コメントありがとうございました．

小文字のxとxの違いがわからない．---すいません，違いはないです．気分で書き分けてます．
知識（覚えること）が多すぎてすでにパンクしています．---覚えるということにほとんど意味はないので，覚えなくてもよいです．忘れたときに調べて思い出すことができれば十分です．そのため，試験では両面を自由に書き込んだA4の紙1枚を持ち込むことを許します．(第1回の授業のときに言った通りです．) なので，試験ではそれを見て思い出しながら解答する，という風にして下さい．この世は情報・知識で溢れているので，いちいち覚えようとするとやっぱりパンクします．忘れたときに思い出すためには，情報を整理して，まとめておくことが大事だと思います．
早口だったので聞き難かった．---指摘ありがとうございます．今日は無理矢理終わらせようと思ってしまったので，早口だった自覚はあります．
新しい単語が多くて難しいです．---上界，下界，極大元，極小元，最大元，最小元，上限，下限のイメージがつかみにくかったと思いますので，ここで補足します．
半順序集合(A,≤)と部分集合B⊆Aを考えます．Bの上界とは，Bのどの要素よりも大きいか等しい要素のこと．Bの極大元とはBの要素でそれよりも大きな要素がBにないもののこと．Bの最大元とは，Bの要素でBの他のどの要素よりも大きいもののこと．Bの上限とは，Bの上界の中で最も小さいもの (Bの上界全体の最小元)．
これらの「大きい」を「小さい」，などとして大小をひっくりかえしたものが，下界，極小元，最小元，下限．つまり，Bの下界とはBのどの要素よりも小さいか等しい要素のこと．Bの極小元はBの要素でそれよりも小さい要素がBにないもののこと．Bの最大元とは，Bの要素でBの他のどの要素よりも小さいもののこと．Bの下限とはBの下界の中で最も大きいもの (Bの下界全体の最大元)．
新しく習ったもの（下界とか極大元とか）がぐちゃぐちゃになりました．---演習をやりながら，確認をしてみて下さい．
なんとなくわかるのですが，こういうことですよね？と聞くためのこういうことがうまく説明できません．---質問をするのもなかなか大変だというのは分かります．もやもやした感覚があるときでも口に出して話をしていくことで考えがまとまることもあるので，とりあえず質問をしようとしてみて，それから考えをまとめていく，っていう方法もあると思います．私に対する質問はそんな感じでもよいので，どんどんお願いします．(ただ，そういう質問の仕方をすると怒り出す人もいるので，注意が必要ですが．)
極大元，極小元の例がもっと欲しかったです．---駆け足になったので例が不足していましたね．離散数学の本やwebページにいろいろあると思うので，見てみて下さい．
追加問題11.6の半順序集合のハッセ図，アメーバみたいになりました．そんな感じになるものでしょうか？---ちょっとアメーバのイメージができないので，なんとも言えないですが，たぶんそんな感じです．
問11.6のハッセ図で数を増していくと難しくなりました．---まぁ，数字も12までなので，なんとかやりきって下さい．
ハッセ図が分かり易かったです．---図に描いて理解するというのは非常に重要ですね．数学をやっていると計算の中での式変形や，証明の中での表の変形などに気持ちを奪われて，その本質がどこにあるのか理解することが難しくなったりします．そういうときに，図から直観を仕入れるというのは考え方を整理することもできますし，理解が進むと思います．
分割がとっても理解しがたかったです．---指摘ありがとうございます．しっかりと復習を．
上界なのに集合じゃなくて要素なのが意外でした．界は集合っぽいです．---普通の日本語の感覚だと「上界」っていうのは「天上界」のことで，集合っぽいかもしれないですが，数学では違うんですよね．
証明がだんだんわかってきました．---素晴らしいです．慣れてきた証拠だと思います．その調子で．
数えていないのですが資料の枚数が異常に多過ぎると思います．両面で印刷してこの量って．---少なくて訳わかんなくなるよりはいいと思ってそうしています．ご容赦ください．
先生が今まで書いた中で一番複雑なハッセ図はどんな集合ですか？---あんまりそういう意識をしていないので，はっきりとした答えはないですが，本当に複雑なものは自動的に描くアプリケーションを使って描いてます．
尊敬する数学者は？とその理由---尊敬するって言うのはなかなか難しくて，私は知らない人を尊敬することができないですし (知らない人をけなしているわけではないのでご注意ください)，あんまり軽々しく尊敬しているということを言うのもはばかられます．ただ，どんな職業であれ，働いている身としては，この人のようになりたい，というようなモデルとなる人は何人かいます (尊敬というのとは少し違う気がします)．名前は挙げないですけど．そういう人のよいところをまねして，それにプラスして自分らしさを出していくのが私のスタイルですね．
今日はすごく良い天気でしたね．何だか，裏切られた気がしました．---私が裏切ったわけじゃないので (^^)
どうすれば禁煙できますか？2ヵ月で挫折しました．最近気管支の調子が悪くて困ってるんですけど煙草は止められないです．---私は愛煙家じゃないので，よく分からないです．すいません．ただ，最近「禁煙外来」というのをいくつかの病院でやってるようなので，本当に困った場合はそういうところにいくのもいいんじゃないかと思います．
イラスト似顔絵2件．---ありがとうございます．

2012/7/10 第10回順序と同値関係 (2)：同値関係

前回の残りからやるので，第9回のスライドと演習問題も持ってきて下さい．(第10回のものも持ってきて下さい．)
スライド
印刷用スライド
演習問題
用語集
コメントありがとうございました．まず，進め方について．

正確な試験日程を知りたいです． ---すいません，私も正確には知らないのです．決まり次第連絡します．
演習は各自でもできると思うので本来予定していた講義をその時間内に行うことはできないでしょうか？ ---これは可能ですが，そうしてしまうと，質問をする時間がとれなくなって，私も皆さんの理解度を推測することが難しくなります．時間配分が悪いのは私の責任ですが，演習の時間は必ずとりたいと考えています．
黒板使わないで下さい．プリントは何の為にあるんですか？どっちかにして下さい． ---すいません，黒板○派の方が多数になりましたので，黒板を使うことにします．証明については，下書きの部分（つまり表）だけを黒板に書きます．これはその表が「下書き」であることを強調するためです．表だけでは証明になりません．プリントに書いてある「文章」が証明です．なので，その使い分けをしていると思って下さい．
証明の手順は黒板に書いてくれたほうがよいです． ---意見ありがとうございます．そうします．
スライドは情報を多く載せられるが，ペースが速くなっている気がするので，補足として黒板を使用してもらえると分かりやすいと思う． ---黒板は証明の下書きを書くのに使っていきます．
黒板使っても良いと思います．でも書く時間が欲しくなります． ---黒板の内容をノートに取るというのはなかなか難しいことですが，書く時間をしっかりとるようにします．しかし，短い時間で要点をノートに書き留めるという技術も重要なので，それにも慣れて下さい．
使える性質と導く性質のリストがpdfにあった方が後で見直しやすいです． ---これは検討します．ただ，以前のようにスライドに入れてしまうと，上に書いたような下書きとしての役割が強調できないので，別に用意する，という形になるかと思います．その方法をもう少し考えてみます．
私はレポート提出したいのですが，むずかしく，なかなかでいないのですが，皆さんの提出率ってどんな感じなのですか？ ---ほとんど提出はないです．今まで２，３です．皆さんどんどんどうぞ．
次は内容について．
いよいよ難しくなってきた ---今回はずっと証明でしたからね．しっかり復習を．
先生の黒板の書く文字がとても見やすいです．しかし内容にはついていけてません． ---自分の字は昔の方がもっときれいだった気がするんですが，だんだん汚くなってる気がします．歳のせいですね．
第5回あたりから全くわからないというか手もつけてないのですが今から真剣に取り組めばテストに間に合いますか？ ---間に合いますのでとりあえず手をつけましょう．
図では理解できても証明が書けません ---図は理解の第一歩なので，証明が書けるようになればさらに進みますね．演習問題に取り組んで，証明の書き方を身につけて下さい．
演習問題難しいので復習問題からしっかりやります． ---はい，ぜひそうして下さい．復習問題は授業の中で一度やった問題ですが，それをやることで本当に自分が理解できてるか確認できると思います．
証明の中で突然使われる考え方（理論，論理）をどう導けばよいのでしょうか？ ---これは難しいですね．証明の中には，決まり決まった定型的な部分と，新たな着想が必要な部分があります．定型的な部分はテンプレートに沿い，定義に戻って書きなおすことで大体解決できますが，後者の方はそうではないので，難しいですね．これはいろいろな証明を自分で行うことで経験を身につけていく，ということしか，私には解決策が思いつかないです．世の中に「数学者」という人々がいるわけですが，そういう人々はこの後者の方に長けているわけです．そして，ある種の着想が繰り返し使われるようになると，それが「証明手法」として確立します．そうやって数学という学問分野は進んでいる，ということになってます．
離散数学はどんな分野に役立つのか？ ---一般的なことを書きます．この授業で扱ってる「離散数学」は実を言うとあんまり離散数学っぽくなく，それよりは，「数学の基礎」という役割を担っています．それは何かというと，「論理的に考える」ということです．「証明を書く」というのは数学だけのことのように思われるかもしれないですが，これは「論証する」とか「仮定を使って，推論を行う」といったディスカッションやディベートの基本技術です．それを身につけるというのが大きな目標なので，役立つ分野に限りはありません．むしろ，人生に役立ちます．私自身そう感じます．
オイラーの公式ってすごいと思いませんか？ ---eのiπ乗が-1になるというのですね．思いますし，複素数の不思議さを如実に表す例にもなってますね．
以下，くだけたコメント
先週，くだけたコメントをした覚えがないのにくだけたコメントの方に分類されていたので，悲しく思いました． ---すいません．私の主観で分けてるのであまり大きな意味はないと思って下さい．
アロハシャツ好きなんですか？ガラが悪いので嫌いです．着て来ないで下さい． ---禁じられると困ります．夏は大体アロハを着てるので，これは許して下さい．
髪切りましたか？爽やかですね．花柄のシャツも夏らしくて好きです． ---アロハを大体着ます．
最近とても暑くなってきましたね．離散数学の勉強をしているとき（他の勉強のときもですが）暑くて集中できません．先生はどのようにして暑く集中できないときを乗り越えてきましたか？ ---涼しいところにいきます．逆に，冬は暖かいところにいきます．
だいぶ暑くなりました．冷房がこいしいです．つけてください！ ---夜なので冷房はあまり要らないと思いますが，次回始まるとき皆さんに聞いてみます．
先生が何かを言い間違えた瞬間に出してしまう「っあぁ」って声がかわいいです． ---なんと．私の口調は癖があるらしいですが，これについては知りませんでした．
晴れました ---晴れましたね．よかったです．
何で雨降ってないんですかねぇ．たまげたなぁ ---これからずっとこうなりますよ．たぶん．

2012/7/3 第9回順序と同値関係 (1)：関係

コメントありがとうございました．今日はくだけたものから．

なんでそんなに雨降らすんですか？おかげで火曜日が嫌いになりました．---私も嫌いになりました．
不思議と今日も雨ですね ---不思議ですね．ここまできたら，学期末までずっとこの調子でいてほしいです．
ここまでくると笑えないです．雨男，先生だけじゃないのでは！？ジメジメしますね．まあ類は友を呼ぶという言葉がありますから，そのとおりなのでしょう…．--- 私は雨男ではないです．おそらく別の人です．
雨男の先生が嵐を起こしている間に私は□kgやせました．あたたかい食べ物のにおいをかぎながら，ゆっくりかんで食べるといいみたいです．---アドバイスありがとうございます．私は食べるのがはやいので，ゆっくり食べるようにしてみます．はい．
お腹だいぶ成長していませんか？ ---そうかもしれないし，そうじゃないかもしれないです．体重計は変化なしです．
ありがとうございました．--- こちらこそありがとうございました．
なんで先生は電通に来たんですか？給料良いんですか？---これはくだけた話かとおもいきや，割とまじめな話です (^^) 大学の教員というのはとても難しい職業で，毎年求人があるわけではないですし，求人があっても専門分野が限定されることが多く，また，最近は任期付きの職も多いのです．私の前の職は1年毎に更新が必要なもので，専門分野も私がいままでやっていたこととは違うものでした．それにくらべて今の職は更新が必要ではなく，専門分野も私がいままでやっていたことと同じです．そういう意味では今の職の方がよく，私はハッピーです．給料ですけど，国立大学ならばどこも大体同じです．
以下，授業内容の話
今日の関係のお話，かなりおもしろかったです．演習問題を解こうとすると，フリーズしてしまいましたが，家でじっくり考えます．--- 聞いただけの感覚だと演習問題は難しいかもしれないので，じっくりやって下さい．
性質の数が多くて面白い ---多くて面白いというのは思いもよらない意見でした．これらの性質はただあるだけではなくて，いろんなところで登場するという意味で重要なのです．後の授業でも出てきます．
復習をしないとやばいです．---やばいと思ったら即復習を．
謎は深まるばかりです．---謎が謎を呼んでるかもしれないので，第一の謎から解決していって下さい．
いまからがんばります．---がんばってください．
全然わかりません．---ちょっときついかもしれないですけど「どこがわからないか」というところまでは自分でたどりついてください．「どこがわからないか」までを私が突き止めるのは難しいです．そこまで来れたら，次にそこを私に質問してください．根気が大事です．
泥沼ですよー．抜け出れるかなぁと思います．---抜け出れるようにやっていきましょう．底のない沼はないです．ただ底が深いだけですから．
理由を述べよという問ですが，証明だけでなく，別に理由を明文化するべきなのでしょうか？ ---証明があれば，他になにもいりません．証明が理由になります．
追加問題9.7について．それぞれの関係についてx,y∈Rに対してすべての場合を考えるという方法しか思いうかばず，x,y∈Rの場合について証明する方法を理解するのに苦労しています ---「すべての場合」というのが何を指してるのかちょっと分からないので的外れな回答になるかもしれませんが，性質を持つ方の証明は場合分けをしなくてもすんなりといくはずです．性質を持たない方の証明は，持たないことを示すための反例を考えるということになります．反例は1つ挙げればよいので，そこも場合分けはいらないはずです．空いてる時間にもう少し詳しく質問してもらえますか？お願いします．
[おしらせ] 演習問題のレポート形式を導入しましたが，あまり活用されていないです．是非活用して下さい．提出は私に直接か，先端工学基礎課程事務室まで．

2012/6/26 予定通りの休講
2012/6/19 第9回順序と同値関係 (1)：関係

台風のため休講になりました．前回までの内容をよく復習しておいて下さい．第9回の資料は次回使います．予定も変更します (たぶん，グラフを1回減らします)．
スライド
印刷用スライド
演習問題
用語集

2012/6/12 第8回関数 (2)：全射と単射

前回の残りから始めます．
スライド
印刷用スライド

修正しました．(v.2) 51ページ「Aの逆像」を「Yの逆像」に．

演習問題
用語集
コメントありがとうございました．今日は出席自体少なかった気がします．出られなかった人はビデオも見て復習を．

特にありません．---特にないのにちゃんと出してくれてありがとうございます．
なかなかおもしろくなってきました．---ありがとうございます．次回からちょっと毛色の違う話になるので，そこでもおもしろみを感じてもらえるとうれしいです．
もうダメかもしれません ---あきらめちゃだめです！今ならまだ間に合うので，始めの方から復習を．
この先全て「証明せよ」が関わってくるのでしょうか？もう証明について行けないのですが． ---期待に沿うことができないですが，答は「Yes」です．しかし，例えば「f(x)=sin xをxについて微分すると cos x になる」というのも証明です．数学的なものすべては証明です．ただし，(推測で言いますが) 皆さんが慣れ親しんできた数学は「等号の数学」だと思うのです．つまり，何かと何かは等しくて，それを連ねていくことで，最終的に，何かと何かが等しい，ということを導く，というような格好になっていると思います．それに対して，いま離散数学で扱っているのはそういうものとは趣きが異なっています．なので，その異なる趣きを持つ証明に慣れる，ということが重要ですね．
間隔が空くとわからなくなりますね．---授業が始まる前とか，前の日に，前回のスライドを１回眺めるだけでも，その日の理解が変わると思うので，ぜひやってみて下さい．
楽しいです．後期もやりたいです．---残念ながら後期に離散数学はありません ;-) しかし，アルゴリズム，データ構造，セキュリティの授業の基盤になるので，そのような授業では離散数学のフレーバーが味わえるはずです．お楽しみに．
今日の全射，単射，全単射の話は感覚的にはわかりやすかったと思う．---感覚的に理解できることは重要です．その感覚と，論理による形式化のどちらもできれば完璧ですね．
全射と全単射の違いは終域が１対１対応していないかしているかで良いのでしょうか？ ---「１対１対応」ということばの意味が人によって異なるので，敢えてその言葉を使わずに説明しますが，全射の場合，終域の各要素に入ってくる矢印は１つ以上，単射の場合は１つ以下，全単射の場合はちょうど１つになっています．
条件がRで与えられたときの始域と終域のグラフが分かり易かった．---絵で描けるのは重要ですね．演習問題ではRではなくてNとかZとか出てきているので，そこでひっかからないように気をつけて下さい．
B棟にレポートBOXができたなんて，超うれしいです!! 時間管理がムズカしい社会人には助かります．早くだせるようにがんばります!! ---よろしくお願いします．
他の授業も同じなのですが，各先生の出す課題などがつもりつもって毎日何かのレポや小テストがあり，死にかけで，離散数学の演習をするのが辛いです．--- 死なずに頑張って下さい．そして，離散数学の演習をする時間がとれればなお素晴らしいです．
ナダルがジョコビッチに勝ちました．---おめでとうございます．テニスは（見るほうとしては）まさに「固唾をのんで見守る」ということばがぴったりのスポーツですね．
雨萎えー ---まぁ，暑いよりはましだと思って我慢して下さい．
先生が授業をすると，大地が潤い地球が喜びますね．---喜んでくれているうちは問題なし，ということで，勘弁して下さい．
２通りの服しか見たことがない気がするんですが服持ってないんですか？---２通りしかないわけではないです．しかし，季節の変わり目は着る服に困る，という傾向があります．

2012/6/5 休講
2012/5/29 第7回関数 (1)：関数，像と逆像

前回の残りから始めます．
スライド
印刷用スライド

15ページの図で，真ん中のものと右側のものが同じになってるのは間違いです．右側のものは授業中に提示したものに修正する必要があります．スライド自体の修正は次回に残りの部分を終えてからにします．(5/30)
15ページの図を改訂しました．(v.2)

演習問題
用語集
コメントありがとうございました．提出数がだんだん減ってる気もしますので，どしどしお願いします．

その前に，第5回のスライドを一部修正しました．修正箇所は第5回のところに書きておきましたので，確認して下さい．
まずは，前回までの内容についてのコメント
5月8日(第4回)の99/103の証明の清書4行目「定義とド・モルガンの法則からx∉Aまたはx∈A∩Bとなる」とありますが，この「定義」とは部分集合の定義と差集合の定義のことと思いますが省略した書き方でもよいのでしょうか？ ---この「定義」は∉の定義と差集合の定義のことですね．ご指摘の通り，資料では省略して書いていますが，省略して書くことはよくないです．私が横着をした (あるいは，スライドのページに収まるように配慮してしまった) ということで，よくないです．ガイドラインとしては以下のように考えて下さい．
「(1) 省略はよくない，というのが原則．(2) その一方で，証明は書き手と読み手のコミュニケーションであるので，読み手が省略部分を理解できると想定できる場合は，省略をしてもよい．」
これは難しい問題をはらんでいます．証明に見えるものには「正しい証明」と「間違った証明」があります．省略はよくないのですが，省略されているからといって間違った証明とは言えず，正しい証明であるものはたくさんあります．しかし，正しい証明の中にも「よい証明」と「悪い証明」があります．悪い証明の典型例は1つ1つのステップが明示されていない証明です．よく「論理の飛躍」といういい方をしますが，これはまさに，証明において，省略がある場合にみられる現象です．しかし，気をつけないといけないのは，「論理の飛躍」というのは主観的なもので，読み手が違えば，同じ証明の一部分でも論理の飛躍のあるなしについて感じ方も違ってきます．そういう意味で，私が書いた証明に論理の飛躍を感じられたということだと思うので，私のその証明は悪い証明だったのだと思います．皆さんはできる限り，省略のないよい証明を書くようにして下さい．
証明をするにあたり「～の定理から」となる「．．．」内の要素は丸暗記しないといけませんか？まとめを作って頂きたく思います．要素要素が点在しすぎていて，よくわからなくなってしまいます． ---丸暗記はしなくてよいです．試験のはなしでいうと，試験にはA4の紙を持ちこめます．そこに自分でうまくまとめるということが試験対策になります．自分でまとめるということは重要です．なので，自分なりの理解の仕方 (それが正しいかどうかは別にして) を見つけて，知識を編集する，というプロセスが経られるととてもよいと思います．それでリクエストとしていただいた私によるまとめですが，テンプレートについては最終的にまとめをつくろうと思っています．
次は今日の講義と演習についてのコメント
[これ，ちょっと重要] 問題の12の(g∘f)^-1(X)について解き方を教えて下さい ---g∘fがどんな関数になるのか，実際に調べてみて下さい．答えなくてはならないものは，g∘fによるXの逆像です．ちなみに，11番もそのようにやります．見ていたところ「(g∘f)(X) = g(f(X))」という変形をしている人がいましたが，これは正しくないかもしれないです．まぁ，本当は正しいのですけど，これが正しいことは証明しないとわからないです．どうしてでしょう．関数の合成の定義では「(g∘f)(x) = g(f(x))」と書きました．このとき，xはfの始域の要素でした．xがfの始域の要素だったら，このように書けるわけです．しかし，11番にある「(g∘f)(X)」におけるXはfの始域の部分集合です．なので，(g∘f)(X)=g(f(X))という等式が成り立つかどうかは (証明をしないと) 分からないのです．その違いに注意して下さい．
(g∘f)^-1({8,9})={1,2,3}であってるんですかね？---上と同じ問題についてですけど，結論をいうと合ってます．
今日の授業はあまり難しいところではないですか？割とスラスラと解けました．---だんだんと慣れてきている証拠なのかもしれないですね．
もう少し授業のスピードが速くてもいいかも？---スピードは出席者の中間層より少し下に合わせているつもりなので，これ以上速くするのは難しいと思います．ただ，「つもり」なので，実際は中間層より少し下というところに合ってはいないのかもしれないです．そういうことなので，コメントが減ってくると困るというわけです．
分かり易い講義でした．---ありがとうございます．演習問題を解いて理解を確認しましょう．
今回の講義は大学受験勉強中に高校の授業ではなく，難しい参考書の最初に乗っていた，関数の定義と似ていて，初心にかえった気分でした．---なるほど．実は，高校の数学の教科書にも「関数は何か？」ということが書いてあったりするのですけど，あんまりちゃんとやらなかったり，または，関数といっても，出てくるものは実数の集合から実数の集合への関数が多いので，あまり関数自体について掘り下げて考えることがなかったかもしれないです．数学の研究をしていると，世の中のいろんなものが集合とか関数とか，それに関連するものに見えてきます．これは頭が狂っているわけじゃなくて，世界の捉え方の問題です．それを突き進めた一つの形がプログラミング言語であり，プログラミング言語がたくさんある理由は，それを作っている人によって，世界の捉え方が違うからです．なので，集合や関数で世界を捉える人はそのようなプログラミング言語を実際に作っていて「関数型プログラミング」と呼ばれてたりします．
以下雑談
グラフと木の時間をとってくださってありがとうございます．---いえいえ．あんまり深くグラフについて扱うことはできないかもしれないですけど，とりあえず定義や記法については説明をしたいと思っています．
離散数学を勉強して，苦手を克服したいので，履修登録はしなくていいので勝手に受講してもいいですか．---はい，もちろんいいです．よろしくお願いします．
インパルスの堤下と先生は何の関係もないというのは本当ですか？---何の関係もないです．
雨男最強---授業終わるまでは雨降らなかったんですけど，終わって数十分経ったら，大雨になってましたね．とりあえず，授業中は持ちこたえたっていうことで許して下さい．
今日は雨が降りませんでしたね---授業終わるまで，束の間のやすらぎでしたね
今日も雨が降ると思ったので歩いてきたのですが雨が降らなかったので損した気分です---最終的に雨が降ったので，許して下さい．
私にもお土産買ってきて下さい．学生差別はよくないです．---これは差別じゃないです．報酬です． (^o^)
身長と体重はどのくらいですか？ BWHもお願いします．---見た目で判断して下さい．
ダイエット勝負ですが，私は体重の1の位の目標のうち○→●まで減り，1kg以上減です!!先生は順調でしょうか!?---何もしてませんが1kgぐらい減ってました．油断すると増えそうなので，キープします．

2012/5/22 第5回集合 (3)：集合の演算など

新しい資料はありません．5/15の資料をそのまま使います．
コメントありがとうございました．

理解できてるかどうか不安だという声が少なくないので，レポート形式を導入します．演習問題を解いてみて，うまくできたかどうか不安ならば，解いた演習問題をレポートとして提出して下さい．レポート提出は手渡しでもメールでもよいです．提出の1週間後まで，または，次の講義までに私がコメントをつけて返却します．(ただ，間違っていたり不十分であったとしても，コメントにて解答を提示することはないと思って下さい．よいか悪いか，十分か不十分か，どこら辺を補う必要があるか，といったポイントは書きます．) レポート提出は必須ではありませんし，レポートを提出することそのものが成績に対して加点・減点の対象になることはありません．提出してもらうレポートには名前を書いて下さい (返却のときに必要となるからです)．そして，どの問題に対する解答を書いているのか明示して下さい．
板書しながら説明している速度の方が分かり易いので，スライドも同じぐらいの速度で説明して欲しいと思います．---スライドだけだとどうしても早くなってしまうようなので，気をつけます．
黒板を使う意味がわからない．スライドだけの方が集中して聴けるからムダに黒板使わないで欲しい．---ムダに使ったつもりではなかったのですが，ムダだと思われないように使いたいと思います．
「A={1,2}の要素」と「A×B={(1,3), (1,4), ...}の要素」の違いを詳しく知りたいです．(1,3)と(3,1)で違う要素になる理由は何ですか？(1,3)とは何者なのでしょうか？数列？配列？ ---後ろの方の質問から順番に答えます．(1,3)を数列だと思ってもらっても配列だと思ってもらってもよいです．ただ，数学では「順序対」と呼ぶので，この講義でもそうします．(1,3)と(3,1)の違いは(1,3)と(3,1)をxy平面上の点だと思ってもらえば分かりやすいと思います．(1,3)はx座標が1でy座標が3になってる点，(3,1)はx座標が3でy座標が1になっている点です．なので異なります．{1,2}という集合の要素は数です．{(1,3), (1,4), ...} という集合の要素は順序対です．どんなものでも集合の要素になれます．はじめの集合は数を集めた集合，2つ目の集合は順序対を集めた集合なのです．
{1,(3,5)}と{1,3,5}の違いは具体的に何になりますか？---どう説明すると具体的になるのか分かりませんが，違いをいろんな角度から説明します．1つ目の集合の要素数は2で，その要素は「1」と「(3,5)」です．2つ目の集合の要素数は3で，その要素は「1」と「3」と「5」です．1つ目の集合は要素として1つの数と1つの順序対を持っています．2つ目の集合は要素として3つの数を持っています．「3」は1つ目の集合の要素ではありませんが，2つ目の集合の要素です．
何となくですが，∅と{∅}の違いが分かったような気がします．---1つ前の質問と同じように答えると，∅の要素数は0だけど，{∅}の要素数は1です．{∅}は要素として1つの集合を持っています (集合を要素とする集合です)．∅は{∅}の要素です．
(A×B)×Cのカッコの意味がわかりません！---すいません，ちゃんと説明していませんでした．カッコは「×」を取る順番を表しています．まず，A×Bを考えます．これはAとBの直積です．その後に，(A×B)×Cを考えます．これはA×BとCの直積です．なので，(A×B)×Cの要素はどれも順序対になります．
確認しておきたいのですが，例えばA={(1,2), (1,3)} ((1,2), (1,3)は順序対) のとき，(1,2) ∈ A であって，(1,2) ⊂ A ではないのですよね？一般に，対は集合の要素として扱ってもいいのでしょうか？---「(1,2) ∈ A であって，(1,2) ⊂ A ではない」というのは正しい理解です．対は1つで要素としての役割を持っていると思って下さい．
直積とべき集合は分かりました．でも証明がまだ慣れていないので練習したいと思います．---証明には慣れが必要なので，演習問題を通じて慣れるようにして下さい．
とてもむずかしくなってきた…---そうですね．易しくなることはおそらくないので，これからもどんどんむずかしくなります．がんばりましょう．
冪集合がはんぱない---冪集合は集合を要素として持つ集合なので，分かりにくいですが，離散数学の深く面白いところの入り口の役割をしているので，避けて通れないです．私は冪集合と一緒に生活していると言っても言い過ぎではないぐらいです．
丁寧に証明を説明していたので分かりやすかったです．自分で証明をしろといわれるとまだ不安ですが．---不安を払拭できるようにするために，レポート形式を導入します．
結論のない一人での繰り返しはとても難しいですね---結論に近づけるようにするため，レポート形式を導入します．
以下，くだけたコメント
やっぱり雨男なんですね．---いわれのない中傷です (^^) 火曜日だけですから！
いいかげん雨やめてくれませんか．自転車使えなくて困るんですケド---だから，いわれの(以下略) 私も困ります．強烈な晴男・晴女を募集します．
腹筋くらい毎日やって下さい．本当に肥満が原因で死にますよ．---健康を気遣ってもらえるとは感激です，ありがとうございます．
晩ごはんをフルーチェにおきかえるダイエットはどうですか？---「フルーチェダイエット」っていうのが実際あるんですね．知りませんでした．
ダイエットネタが多いので私も便乗してみます．体重の1の位で-4kg先に減らす勝負しませんか？ちなみに，私は今○なので，●を目指しています．先生も1の位教えて下さい．(コメント，一部伏せ字にしました．)---いま量ったら，1の位が4でした．これが0になればよいということですね．じゃあ目指してみます．ちなみに，私はよく季節の変わり目に体調を崩すので，そういうときには体重が急激に落ちます．
先生の板書の字が意外ときれいでビックリしました．---「意外と」ってどう思われてたんでしょう (^o^) あまり自分の字はきれいじゃないと思ってるので，そういう意見をもらえるのは素直にうれしいです．
先生の論文(?)をネットで見ました．パズルを解くプログラムを参考に雑誌の答え合わせをしています！個人的にスリザーリンクが好きです．---私はスリザーリンクが苦手です (嫌い，というわけじゃないですが)．ある時期，かなり訓練したんですけど，スリザーリンクは途中でよく間違えます．
先生のコメント楽しみです．---こんなもの楽しみにしなくてもいいです (^^) ありがとうございます．

2012/5/15 第5回集合 (3)：集合の演算など

前回の残りから始めます．
スライド
印刷用スライド

修正をしました．修正箇所は以下の通りです．(5/30)
11ページ，16ページ，18ページ，27ページ：「y∈C-Aならばy∈C-B」を「y∈C-Bならばy∈C-A」に修正
11ページ，16ページ，18ページ，21ページ，24ページ，26ページ，27ページ：「C-A⊆C-B」を「C-B⊆C-A」に修正

演習問題
用語集
コメントありがとうございました．

今日の授業まとまりがないので聴いててイライラしました． ---たぶん単調で，起伏がなかったんだと思います．この「証明の書き方」はもっと早い段階で一回やっとけばよかったかもしれないです．今回まとめてしまったので単調になってしまった気がします．これは来年度以降の課題ですね．
激烈難しい ---しっかり復習を．次回もう一度補足から入ります．
今日は難しくて分かりませんでした． ---しっかり復習を．次回もう一度補足から入ります．
今日から難しくなりました． ---しっかり復習を．次回もう一度補足から入ります．
まだ各性質の法則を覚えていないので時間がかかりました． ---覚える必要はないです．慣れていてほしいとは思いますが，覚えてもこういうのはすぐに忘れます．必要となったときに感覚を取り戻すことができるぐらいの慣れが身につけられれば，細かい規則を記憶する必要はないです．
講義の時間は限られています．人と話し合っている程時間をとれない人はどうすれば良いと思いますか？ ---講義時間中でもそうでないときでも可能ですが，私に相談するという手があります．メールでアポイントをとってもらえれば，時間をとりますので，ぜひどうぞ．私の部屋は西４号館の２階ですが，ふらっときていただいてもOKです．ただし，あまりいないかもしれないので，やはりメールでアポイントをとってもらえれば一番確実です．
テストについてですが，演習問題を頑張って理解しておけば大丈夫でしょうか？ ---初回の講義のときに言ってるのですが，試験は６問出題，その中の４問は演習問題そのものです．１問２０点で採点するので，演習問題を頑張って理解しておけばそれで合格はできます．
x∈Aかつx∉(B∩C) ⊆ x∈Aかつx∉(B∪C)のとき，∩よりも∪の方が広いので左辺は右辺に含まれてると書けないのが不満です． ---いまやってる証明の書き方は面倒だと思われるかもしれないですけど，これは今後もっと複雑な証明をやるための布石で，練習として慣れるためにやっていると思って下さい．
いい感じで難しくなってきました．希望としてはグラフと木をがっつりやりたいです． ---「いい感じで」ってすごいですね．なんか余裕を感じます．グラフと木は最後の話題なのですが，ちょっと進度が遅れているのでがっつりとはできないかもしれないです．でも，１回は必ずやります．
スライドも分かりやすく，復習しやすくてとてもありがたいです． ---ありがとうございます．スライドは印刷しただけで勉強した気になってしまいがちですが，そうならないように復習に活用して下さい．
オイラー図のヒント，助かりました，やっぱり初心も大事だなぁと思いました． ---そうですね．証明自身は形式的に進めていくわけですが，その中には直観とかヒラメキが必要なステップがあったりすることもあります．直観と形式の間を自由に渡り歩くことができると証明ができるようになる気がします．
もっと格言が欲しい． ---すいません，今回なかったですね．あえていえば「『A=B』の証明は『A⊆B』と『B⊆A』を証明すること」でしょうか．これは集合に関する証明の基礎の1つで，本当によく出てきます．
前回例解が欲しいと言った者です．例解とは，演習問題の解ではなく講義資料の中で，別のアプローチを示して欲しいということです． ---勝手に勘違いしてしまいすいません．これは時間が許せば是非やりたいです．数学は解が１つであるもののように世間では思われがちですが，実際はそうでもなく，特に証明を書くという場合には，その方法がいくつもあることがあります．今回の内容でもどの規則をどのタイミングで使うか，あるいは別の規則を使うのか，といったことで，違う証明が得られることもあります．
１回，先生が証明を導く作業を板書でデモしてほしいです． ---演習時間でまわっているときに，それをやった方がよかったかな，と思いました．次回やってみます．きれいな部分はスライド，汚い部分は黒板，と役割分担してやることを考えます．
講義中に紹介した書籍など，推薦図書のリストをアップロードしてもらえると助かります． ---ありがとうございます．後で用意します．
とても分かりやすかったです．これまで自分でも集合論の入門書を読んだことがありますが，証明の方法をこんなに丁寧に書いてる本は見たことがないです．とても勉強になりました． ---今回は難しいという意見がほとんどだったので，分かりやすいという意見には少し驚きました．授業でやった方法は他の本であまり出てくるものではなく，授業でやった例題の証明も，普通の本だと数行ぐらいで簡単に終わってることが多いです．そういう意味では割と丁寧にやったつもりだったんですけど，丁寧過ぎると起伏がなくなるという，バランス感覚が難しいです．
今日の授業を元に本格的な証明が出来るよう自習していこうと思う． ---修行あるのみです．がんばりましょう．
以下，くだけたコメント．
先生は今日も絶好調でした． ---どこですか？あんまり調子良くなかった気がしてます．
この授業の日は高確率で雨が降っているような気がするのですが，先生は雨男なんですか？ ---雨男じゃないと思うんですけどね．私がイベントを企画すると，電車が遅れるっていうのはよくありますが．
毎日パーカーがカラフルで楽しい(?)です ---純正ユニクロです．
お腹に風船入れてるんですか？ ---いれてない！
そんなに太ってて体支えられるんですか？ ---支えられてます！
腹筋すればお腹のお肉はなくなります． ---ありがとうございます．継続しにくいダイエット法ナンバー１のような気もします．
フラフープおすすめです．ただ太ってる人は回せないから大変です．まずは回すことから始めて下さい． ---回せないとなると効果は薄そうですね．
青い服はいつ着てくるの？ ---着てこようと思ったんですが，寒かったので違うの着てきました．
「なんとかならばなんとか」は何が間違ってるんですか？ ---間違ってないんですけど，はじめの「なんとか」と２つ目の「なんとか」を区別しようと思うと，「なんとか」だけでは紛らわしいな，と思ったんです．だから「なんとか１」と「なんとか２」にしたんですが，それでも紛らわしかったです．

2012/5/8 第4回集合 (2)：論理を用いた証明

予定を変更して「論理を用いた証明」を先に行います．
その前に，前回の最後に残った「述語論理における恒真性の証明」をやります．その部分の演習も5/8にやります．
スライド
印刷用スライド

修正しました (5/15)
28ページ：「導く性質」を「使える性質」に，「使える性質」を「導く性質」にそれぞれ変更
55ページ：「導く性質」の中の2行に赤と青の色をつけた

演習問題
用語集
コメントありがとうございました．

「スライドを録画するの忘れましたね」 ---はい忘れました．．．すいません，気をつけます
「だんだん難しくなってきました」 ---そうだと思います．しっかりと時間をとって復習をするようにして下さい．全くついていけなくなってどこから質問してよいのか困ってしまう前に，質問して下さい．
「『T』へたどりつくための条件がわからない」 ---Tは恒真ということです．例えば「P∨￢P」にたどりつけば，「P∨￢P」は恒真なので (排中法則)，「P∨￢P」を「T」に置き換えることができます (これは同値変形です)．ここは授業でちゃんと言わなかったところでしたね．質問してもらえてありがたいです．
「口調が早口になると分かりにくいです」 ---気をつけてるんですけど，いけないですね．活舌が悪いのも負の影響を与えてると思うので，また早くなってるときがあったら指摘して下さい．
「式を黒板に並べるよりもスライドを見て説明を聞きながら自分の分かりやすいメモを書き込んだ方が理解しやすいし忘れにくいと思います．いつも書く作業に追われて頭に入りにくかったりするので，この方法で助かってます」 ---ありがとうございます．私自身は学生を板書マシーンにしてしまいたくないので，この方法を好んでいます．(昔，スライドを使わずに黒板に書くだけの授業をやったことがあったのですが，そのとき，学生の一人から「手がつりそうになった」と言われて，これは悪いことをした，と思った経験があります．) ただ，この方法に向いてる人と向いていない人がいるかもしれないので，一概に良し悪しをいうことはできないかもしれないです．補足しておくと，これは最後に少し演習の時間をとっていることと関連していて，実際に演習問題を解くときに，自分のメモをもう一度見直すということが重要です．取りっぱなしのメモだと，後から見たときに自分の書いたメモの意味が分からなくなることがありますが，すぐに見直すと，記憶の定着がよくなります．この方法に向いていないと思う人は私のスライドと授業のときにとったメモから，自分のノートを作ってみて下さい．そうすると，頭が整理されると思います．
「なんか今日の講義はつまらなかったです」 ---式の変形や機械的な証明はどうしてもつまらなくなってしまいますね．次回もそのような味わいになってしまうので申し訳ないですが，次々回からはまたいろんな例を出せると思いますので，ご期待下さい．(もちろん，内容自体はどんどん難しくなっていきますが．)
「絵やイラストがあると，視覚的，直観的に分かると思います」 ---その通りだと思います．難しい概念をイラストで表現できるということは，その概念を深く理解していることの証になります．そういう意味では，まだ私も深く理解できていないんだと思います．まだまだ修行が足りないですね．
「一つのページにたくさん書いてあって見にくい部分があると思う」 ---詰め込み過ぎてるところとか，カッコがたくさんあって何が書いてあるか分かりにくい部分は確かにありますね．見やすいレイアウトになるように工夫してみますが，もしかしたらあまり効果がでないかもしれないです．何かいいアイディアはないでしょうか？
「授業の意見は少数決ですか？多数決ですか？」 ---どちらでもないです．取り入れることが妥当だと私が判断するものは取り入れます．授業に関する意見は，一人から出てきたものは，潜在的に十人ぐらいが思ってることだと勝手に信じてます．なので，数が多いか少ないかということよりは，それを取り入れるとどういう効果が出るか，ということを重視しています．
「先週，途中からついていけなくなったと書きましたが，問題を楽に解けるようになりました．ゲームの解き方はよいと思いました．」 ---素晴らしいです．勉強の甲斐が出てますね．今日のところももう一度復習してみれば，できるようになるはずですので，挑戦して下さい．
「慣れていないのでもっと例解がほしい」 ---解については，教員・TAに直接聞いてもらうか，周りと考えを突き合わせる，ということにして下さい．授業の中で出てきた例題を自力でやってみると，授業の中では簡単だと思っていたところでも案外できなかったりするので，それも並行して試してみて下さい．
「同値変形のコツで『ならばを消す (含意の除去)』とおっしゃっていました．あと，やり方は1つではないということでしたが，使う法則を考えるとき，先生的な優先順位があれば教えてほしいです」 ---個人的な意見ですが，∀や∃は扱いにくいので，分配法則を使ってまとめたり (数を減らしたり)，できるだけ外側 (左側) にこの2つの記号が来るように変形したりすると，分かりやすくなる感じがします．
「例の徳川とかオリンピックとかよいと思いますけどね．数字があまり好きではないので (笑)」 ---数学というと，微分積分とか線形代数とか，そういうものを真っ先に思い浮かべますが，そういうものだけが数学ではないと気付けるのが離散数学のよいところだと思ってます．微分積分や線形代数があまり好きではないとすると，それはそれでちょっと困るのですが，離散数学が好きになってもらえるのはうれしいです．
「先生の年齢が知りたいです」 ---公開情報があった気がします．http://kjk.office.uec.ac.jp/Profiles/0001/0006184/profile.html
「ダイエットした方がいいと思います」 ---成功例がありましたら，是非教えて下さい．伝聞ではなく，自身の成功例でよろしくお願いします． (^^)
「記号が絵文字にみえて集中できませんでした」 ---(^∀^) ←例えばこういうのですか？これは困りましたね．おそらく声に出して読んでみればいいです．そうすれば「∀」の意味に集中できるようになるかと思います．「∀ x」は「すべてのxに対して～」です．

2012/5/1 第3回論理 (2)：述語論理

スライド
印刷用スライド

修正をしました．修正箇所は以下の通りです．
1ページ：「第3回」に修正
28ページの「述語論理式の例」と36ページの最初の例 (この2つの式は同じものです) で，閉じカッコが1つ足りないところを修正
58ページの同値変形で，証明が始まったところの左辺の最後の閉じカッコがなかったので，修正して付け加えました
59ページの同値変形，始めのステップで赤くなっている箇所を修正 (印刷用スライドでは色がついてないので関係ないです)

演習問題
用語集
コメントありがとうございました．

今日のところは難しいけど重要なので，復習を念入りに．「恒真性の証明」のところは次回もう一度やります．
「ゲームとして考える」と余計に分からなくなる，という印象を持ってる人も見受けられました．「∀ x」は「相手がどんなxを選んでも」，「∃ x」は「自分がうまくxを選ぶと」と読み替えて，最後の命題関数の部分は自分の勝利条件だと思って下さい．このとき，自分に必勝戦略があることと，論理式が真となることが対応します．
最後に駆け足になるのがよくない ---その通りだと思います．時間がなくてもしっかり説明するか，次回にまわして，今後は駆け足にならないようにします．
はじめに授業の到達点を示してほしい ---一応，始めのスライドに「今日の目標」というのを書いてるのですが，あんまりそれが意識に上がって来ないのがいけないのだと思います．もっと意識できるように組み立てます．
∀∃∧∨のような記号を色分けした方がいい ---これができるといいのですが，なかなか難しいです．今回も色を使ってるのですが，使って効果的な色の数が限られていて，記号以外のところを強調するために使うと，記号に使える色がなくなってしまいます．記号で書かずに日本語で「ならば」とか「かつ」と書いた方が分かりやすいかもしれないので，記号が不要なところではそうします．
「∈」の否定を表す斜め線は右上から左下に書いてますが，それを左上から右下に書いてもよいか ---回答は「それでも意味は通じるけど，一般的な書き方ではないので，あまり薦めない」です．ただ，右上から左下に書くということを覚えることは脳の記憶領域の無駄なので，覚えるために努力が必要だとするならば，あまり気にせずに，線を引いて下さい．(試験でもそれを理由に間違いとする，というような理不尽なことはないです．)
「標語的に書くと」の説明がほしかったです ---そうですよね．これは授業内容が練られていない証拠なのですが，申し訳ないですけど，あの部分は見なかったことにして忘れて下さい．
徳川の例が分かりづらい ---これもすいません．いろんなジャンルから例を作ろうと思って，今回は歴史を持ってきたのですが，あんまりよくなかったかもしれないです．前回のオリンピックもいまいちでしたし．よい例を作ることが毎回私のチャレンジです．
演習問題のシステムは非常によい ---演習問題の重要さは私が強調しているところなので，賛同してもらえるのはありがたいです．どんどん演習問題をやりましょう．
以下くだけた感想
Gott in Himmel! ---どこにそう思ったのか不明なので反応できないです (--;)
先生の授業は聞いていて楽しいので頑張って下さい ---ありがとうございます．自分で自分の講義のビデオを見ても私は全然楽しくないんですけどね．
オレンジのパーカーがなぜか食欲をそそります ---青は食欲を減退させる色らしいので，今度は青い服探して着てきます．
先生とっても可愛いです ---そうやって大人をたぶらかすのはよくないです (^^)

2012/4/24 第2回集合 (1)：集合とは何か？

スライド
印刷用スライド

スライド，印刷用スライド一部修正 (v.2)
16ページ：集合Wの要素を並べる記法が出てくるところを修正 (スライドのみ)
22ページ：「A∩B」を「A∪B」に修正

演習問題

演習問題一部修正 (v.2)
追加問題2.5の2：「n < 10」を「0 ≦ n < 10」に修正

用語集
コメントありがとうございました．提出数が減ってきました．これが生きがいなので (←半分嘘ですが) 是非出して下さい．

難しくなってきてるという意見が出てきました．しっかり復習をしてくださいね．わからないところの質問はいつでも歓迎します．
前日でも印刷が間に合わなかった，という意見が少しありました．確約できるのは月曜の正午ですが，できるだけがんばります．
「間違いがあるともう一回印刷するのが面倒」という意見がありました．確かにそうだと思いますので，印刷せずに済むように，修正箇所を書いてますので，手書きで修正してもらえればよいかと思います．
「{∅}と∅が違うことは分かったが，例を用いてどういうときにどちらが{∅}または∅なのか説明してほしいです」という意見がありました．これについては，4回目か5回目でもう少し例が出てきます．そこら辺で「集合を要素として持つ集合」を扱うので，そのときもう一度やるようにします．
巡回したときに気付きましたが，「∨」と「∪」は厳密に使い分けないといけません．「∨」は論理の記号で「∪」は集合の記号です．なので「P∨Q」と書いたら，PとQは命題変数です．一方「P∪Q」と書いたら，PとQは集合です．区別して使うようにして下さい．
以下，くだけた感想
「かみなりとかに作用されすぎです」---失礼しました．みんなが気にしてたので私も気になっていまいました．
「どこでカミを切ったのですか？」---家の近くです．
「インパルスの堤下さんにどんどん似てきています」---はじめて言われました．「どんどん」っていうのも少し気になります．前も似てたのかって．

2012/4/17 休講 (健康診断)
2012/4/10 第1回論理 (1)：命題論理
- スライド
- 印刷用スライド
- 演習問題
- 用語集
- コメントありがとうございました．もっとくだけた感想もいただけるかと思ったら，そうでもなかったです (^o^)

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