- コメントありがとうございました．
-
この半年間を通して，「グラフ」というものに対する見方が大きく変わりました．また，「つながり (ネットワーク)」や「アルゴリズム」といったものについても違う視点でとらえることができるようになりました．
--- それはよかったです．勉強した甲斐があったと思います．:-) -
すばらしい授業をありがとうございました！ (試験は合格できないかもしれないけど)
--- こちらこそありがとうございました．試験もよろしくお願いします． -
1学期間ありがとうございました．テスト頑張ります！
--- こちらこそありがとうございました．試験の準備をしっかりしてきてください． -
1学期分ありがとうございました．今回のようなモデル化ができるようになるには相当特訓が必要そうです．
--- こちらこそありがとうございました．今回の内容は少し意外な応用だったのですが，おっしゃる通り，これには慣れが必要で，それだからこそ，モデル化は重要なのだということになります． -
半年間、授業、レポート、コメント返信ありがとうございました．
--- こちらこそありがとうございました．楽しんでいただけたのなら幸いです． -
ありがとうございました。
--- こちらこそありがとうございました． -
ありがとうございました．
--- こちらこそありがとうございました． -
露天掘の投資決定が最大流問題につながっているとは驚きでした．
--- そうですね，意外な応用ですね．このような形にモデル化できる問題は最大重み閉包問題と呼ばれていて，露天掘り問題以外にもいろいろな応用があります． -
現実世界の事象を例に出しての話はわかりやすく、面白かったです．
--- ありがとうございます．「グラフとネットワーク」ではそれを心がけていました．おそらく，2年生までの授業では，あまり，現実世界とのつながりが見えなかったと思いますが，モデル化という考え方を通して，数学を使っていくという立場を強調したかったのです． -
はかりを使おうと思いました
--- どうぞ ;-) -
来週の試験、がんばります！
--- はい，しっかりと準備してきてください． -
前期の講義、ありがとうございました．説明が丁寧で解りやすかったです．
--- こちらこそありがとうございました． -
露天掘り問題で
となるstカットを考えると容量が16なので、どちらにせよ総利益は0になるのですが、掘ってみるまで利益は分からないと思って掘りたいですね。(この問題は分かっているので無駄な労力を使うだけだが)
--- 「掘ってみるまで利益が分からない」と考えてモデル化することもできるかもしれません．例えば，掘ったときの利益が「6」だと明確な値として分かっているのではなく，確率変数であるとか，誤差を含むような値であるとか，そういう場合に，例えば，期待値の意味で利益を最大化しようとするのか，リスクも考えて (例えば，利益の分散を考えて) 利益を最大化しようとするのか，など，不確実性を伴う最適化問題のモデル化にはいろいろな方法があります．その意味で，今回の講義で扱ったのは，それらの前段階にあたる準備的考察，という意味合いが強いのかもしれません． -
--- 露天掘りをして下さい．安全です． -
--- 重力に従って掘って下さい ;-) -
--- 有象無象が出現しましたね (-_-;
- コメントありがとうございました．
-
この講義をとってよかったです．ありがとうございました．
--- こちらこそありがとうございました． -
講義内容 非常に面白かったです。ありがとうございました！
--- 面白く思ってもらえてこちらもよかったです． -
4か月間ありがとうございました．4コースの人も3コースの研究室に配属を希望することはできますよね？？
--- 卒研配属については改めて正式な連絡がありますので，それをお待ちください．こちらこそありがとうございました． -
まだ証明でつまずくことが多いので、テストまでに理解を深めます。
--- しっかりと準備をしてきてください． -
第14回の半分くらいはテスト範囲の復習，特に演習問題の解説をしてほしいです。
--- 前にも書いた通り演習問題の解説はしません．あしからず． -
来年またお世話になりそうです．．．
--- よろしくお願いします． -
今日の内容は面白かったです．
--- それはよかったです :-) -
3連休 どこにも行かず 無駄にする
--- 無駄だと思うかどうかは自分次第ですね ;-) -
5色をご食に誤植
--- 「ご食」ってなんでしょう ;-) -
来週出ます (´・＿・`)
--- よろしくお願いします． -
都道府県はトンネルと橋でつながっているハズ。
--- そうつながっていても地図の塗り方は変わりません． -
--- あんまりうまく描けませんでした (-_-; -
吹き抜けのある美術館 監視したい。
--- 美術館監視問題にはいろいろな変種があり，吹き抜けのある場合を考えることもあります． -
美術館内で雇う監視員の数を最小にしたいなら監視員を巡回させるか壁をくりぬいて凸多角形にするのが良いと思います．
--- 「監視員」というと人を思い浮かべるかもしれませんが，センサであるとか，カメラであるとか，そういうものを配置するときも「監視員」だと思っていると考えて下さい．そういうものを総称して「監視員」ということばで表現しています． -
チーズの地図
--- 例えばこれでしょうか． -
双対グラフは何故"双対"と名付けられたのでしょうか．(きっと最適化における双対性と同様強力な利点があるのだと推測します)
--- 多面体における双対性に対応します．多面体Pから平面グラフGを作れるとき，Pの双対多面体から作られる平面グラフは平面グラフGの双対になります． -
彩色や平面グラフの内容は図形的な要素が強く，難しいと感じました．しかしながら，応用範囲が広く，難しいながらも楽しく学ぶことができました．
--- たしかに慣れが必要だと思いますが，こういうものもよくでてきますから，ぜひ慣れて下さい． -
任意の平面的グラフは4彩色可能とは、クリーク数5以上の平面的グラフが存在しないことを示せばよいかと思ったんですが、それではダメなのでしょうか？ また平面的グラフにおいてクリーク数5は存在できないことは頂点数5以上の完全グラフは必ず線と線が交わることを言えばいいと思いました．この考え方なら高々数ページ以内で証明できそう．．．と考えてしまったのですが、なぜ証明できないのでしょうか．教えてください。
--- いくつかに分けて答えます．
「クリーク数5以上の平面的グラフが存在しない」ということは正しいです．これはまさに「頂点数5の完全グラフが平面的グラフではない」からです．前回の講義で証明済みです．
「クリーク数5以上の平面的グラフが存在しないことが証明できれば任意の平面的グラフが4彩色可能であると示せる」というのは正しくないです．クリーク数は染色数の下界なので，「クリーク数5以上の平面的グラフが存在しないこと」が証明できても ，そこから染色数の上界は得られないのです．実際，クリーク数が2だからといって，2色でぬれるとは限らないのです． -
G 平面的，|V| ≧ ε
但し ε＝3とする。
↑こうすればOK
--- たしかに！ -
planarity.netの紹介が前にありましたが，私はSimon Tatham's Portable Puzzle Collectionをおすすめします．planarity.netと同じパズルのほか，地図の塗り分けパズルもあります．
--- こちらですね．すごいですね．ありがとうございます．
- コメントありがとうございました．
-
正二十面体が平面的グラフになるとは到底信じられない。
--- たとえば，これを見て頂ければ信じられるかもしれません． -
「凸多面体のグラフは平面的グラフ」の所で実演で少し感動した．他の例も見てみたい．(自分で試してみたい．)
--- スライドで出した図はPOV-Rayを使って描きました．ぜひ試してみてください． -
planarity
--- ここです．試して下さい． -
--- それはプラナリアです ;-) -
オイラーの公式の証明では頂点削除の場合の証明はなかったのですが，これは，「辺の削除」と「孤立点の削除」に分解でき，後者は v'=v-1 かつ k' = k-1 として明らかということで証明していない感じですか？
--- 辺の数に関する帰納法により証明を行っているため，孤立点の削除を考える必要はなく，証明には現れていません．孤立点を削除する際に，v'=v-1とk'=k-1が成り立つことは正しいです． -
- 平面的グラフの部分グラフは平面的グラフである。
- 任意のグラフ G=(V,E) に対して，|V|≧2 かつ Gが平面的グラフならば
- 任意の辺e∈Eに対し，G-eは平面的グラフである。
- 任意の頂点v∈Vに対して，G-vは平面的グラフである。
--- どれも正しいです． -
オイラーの公式について，去年の離散数学ではこの公式は「オイラーの多面体公式」と呼ばれていました．ということは，この公式には呼び名がいくつか存在するのでしょうか？
--- 「オイラーの公式」と呼ばれるものが複数あるので，区別する場合に，この公式を「オイラーの多面体公式」と呼んだり， -
オイラーの公式がありすぎてすごい。
--- そうですね．オイラーが数学，つまり，科学や工学に対してどれほど大きな貢献をしたのか，分かりますね． -
コンピュータグラフィックスの絵は「うさぎ」ですか？
--- そうです．Stanford Bunnyと呼ばれています． -
立体交差の件について。「アンパス」という言葉を聞いたことがあります。別の関連用語かもしれませんが…。
--- 調べてみると，「アンパス」という用語がよく使われるようですね． -
おそらく，アンダーパス？
--- アンダーパスを略してアンパス，だそうです． -
立体交差式地下道
--- 漢字ではこう書くようですね． -
跨下橋
--- このことばは調べてみても出てきませんでした．ありがとうございます． -
ウィズダム英和／和英辞典によると
陸橋：overpass
underpass：ガード下，アンダーパス，低路交差
--- 「カード下」はここで意図しているものとは違う気がします． -
テストは前回の後からの演習をしておけば大丈夫ですか？
--- 大丈夫かどうかは人によりますので，答えられません． -
選挙速報見てたらレポートが終わらなかった orz
--- また都知事選で同じような状況にならないよう，注意して下さい．;-) -
req: john coltrane
--- 検討します．:-) -
ギターはレスポールの甘い音が好みです
--- エレクトリックの話ですね．私はアコースティックの方が好きです． -
海の日どうすごされますか？
--- 仕事という名のボランティア活動をします．
- コメントありがとうございました．
-
電通生の熱気で教室が暑い...
--- 熱気があってよいです :-) -
8/1の予備日に、岡本先生の研究していることについて講義して頂きたいです。
--- 講義でやるようなことではないと思うので，勘弁して下さい． -
予備日の講義は、昨年の離散数学で大いに期待されながら遂に行われなかった「吉央チャレンジ」を是非。
--- 行ないません ;-) -
予備日ーム！！びびびっ！！
--- ……そのテンションについていけません -
どんどん貪欲どーんといこう (GURANETO)
海の日 ⇒ 祝日
祝日 ⇒ 全休
∴ 海の日 ⇒ 全休
--- そのテンションについていけません…… -
"スモールワールド"と今までの講義はどんな関係になるのでしょうか？
--- スモールワールド性は世界をネットワークであると捉えたときに出てくる可能性のある性質の1つです． -
おのれ．Windows 10...
--- 私が設定し忘れていただけなので，私が悪いのだと思います．たぶん． -
今のままでいいです．
--- わかりました．ありがとうございます． -
ジャバスケジューリング
--- 風呂掃除のスケジュールでしょうか？ -
11.2の問題は $\chi(G) = \omega(G)$ ではないのでしょうか？
--- 「あるクリーク $C$ が存在して…」と書いてあるので，いまのままで正しいです． -
単位円グラフについて，2つの単位円 $v_p$ と $v_q$ が「接する」とき，$v_p$ と $v_q$ は辺で結ばれるのでしょうか
--- はい，辺で結ばれます． -
区間グラフの必要条件は$\Delta(G)=|C|$だったりしますか？
--- $|C|$ は $\omega(G)$ のことだと思って答えますと，$\Delta(G) = \omega(G)$ でなくても，区間グラフであるものは存在します．例えば，完全グラフ $K_n$ は区間グラフですが，$\Delta(K_n)=n-1$ で，$\omega(G) = n$ です．また，区間グラフ $G$ において，$\Delta(G)$ と $\omega(G)$ の差は任意に大きくなりえます．例えば，完全二部グラフ $K_{1,n}$ は区間グラフであり，$\Delta(K_{1,n}) = n$ で，$\omega(G)=2$ です． -
他のモデル化の講義 (マッチング，最大流) と比べて，面白さがあまり理解できなかった．
--- 違う風味のものを扱ってるから，好き嫌いは否めないのかもしれません． -
単位円グラフでない時や $\chi(G) \geq \frac{\Delta(G)}{6}+1$ を示す時に単位円を6等分してとあるが、この6はどこから来るんですか？
--- 半径が2の円を6等分したときにできる扇形を見たとき，それの中のどの2点間の距離も2以下になるようにしています．これは5等分にすると成り立ちません．一方，7等分にしても成り立つのですが，そうすると，得られる不等式は $\chi(G) \geq \frac{\Delta(G)}{7}+1$ となってしまい，講義で示した不等式よりも悪いものになってしまいます． -
実問題に対応させると解くための様々なメソッドがあり、工学らしいと感じた
--- そうですね．数学を実際に使っていくという視点が重要だと思います． -
多くの問題がグラフの問題としてモデル化できることは分かりましたが、逆にグラフとしてモデル化しづらいような現実の問題としてはどのようなものがあるのでしょうか．また連続量をグラフとして扱うような考え方は (区間で区切るなどせず) あるのでしょうか．
--- モデル化しづらい問題はあると思いますが，具体的に思いつきません．どのような学問分野あるいは技術についても言えるのですが，それの現状，それの理想形，そして，それの未来を区別することが重要です．現状の技術で難しくても，将来に渡る発展によってそれが可能になることはあります．つまり，グラフとしてモデル化しづらい問題があるとすると，それはグラフを用いたモデル化という技術が十分に発達していない証拠なのだと思います．グラフを用いたモデル化を行うべきなのかどうかという点も議論しなくてはなりませんが，モデルの良し悪しは様々な側面から評価され，時代背景によっても価値基準が変化するので，1つの手法を追究することは重要だと思っています． -
あきらめないでがんばります！
--- あきらめないでがんばってください -
お腹が空いてきました。先生は月曜の昼食、よく行かれるお店はございますか？
--- 西食か鯉寿司によく行きます．
- コメントありがとうございました．コメントの提出数が減ってきてます．どしどしお寄せ下さい．
-
よろしい、ならばクリークだ
--- Kriegではありません -
よろしい ならば戦争だ。
--- Kriegではありません -
よろしい ならばクリークだ．
--- Kriegではありません -
クリーク数って，戦争起こしそうですね。
--- Kriegではありません -
クラークC「グラーフG」
--- クリークです． -
ドン・クリークをご存知ですか？
--- ドン小西なら知ってます． -
貪
--- 貪小西ではありません． -
クッキー
クリーカー？
--- それはクリッカーです ;-) -
いろいろないろ
どんどん貪欲
びっくりクリーク
たいへんな辺彩色
--- 最初は彩色ではないのですね． - お遊びはここまで :-)
-
クリークとは完全グラフである部分グラフ？
--- クリークは完全グラフであるような部分グラフの頂点集合ですね．頂点集合のことをクリークと呼びます．空集合もクリークなので注意して下さい． -
クリーク ＝ 部分グラフとして持つ完全グラフ
--- クリークは完全グラフであるような部分グラフの頂点集合ですね．頂点集合のことをクリークと呼びます．空集合もクリークなので注意して下さい． -
クリークの定義について，「無向グラフ G=(V,E) の部分グラフのうち，完全グラフであるものをクリークと呼ぶ」という定義でも問題はないでしょうか？
--- クリークは完全グラフであるような部分グラフの頂点集合ですね．頂点集合のことをクリークと呼びます．空集合もクリークなので注意して下さい． -
$\omega(G)$ と $|C|$ は同じ？
--- ある特定のクリーク $C$ の要素数が $|C|$ で，グラフ $G$ の中にあるクリークの要素数の最大値が $\omega(G)$ です． -
数え上げ論法が未だによく分かりません．
--- だいぶ戻って復習して下さい．慣れてくればルーティンです． -
時間割作成の例では辺彩色が現れているものとしなくても適当にかぶらないようにわりふればできそうな気がしたので、彩色の例としてはよく分かりませんでした。
--- 確かにご指摘通りだと思います．しかし，もう少し複雑な時間割作成やスケジューリングを行なおうとすると，辺彩色の考え方が活きてきます．そのような例を出すには時間が足りなかったので，すみません．来年度に向けて考えておきます． -
強双対性という言葉はありますか？ もしないのでしたら どうして「弱」双対性と言うのでしょうか？
--- 強双対性という言葉はあります．第6回講義スライド43ページを見てみてください． -
今回の講義のスライドには色が多用されてますが，色の違いが色以外の要素でも表現されていて大変ありがたかったです．私は色弱なので，こういう工夫がないと非常に苦労することがあるのです．(地図の色分けで表現された統計とか，路線図とか．似たような色がなければ大抵問題ないのですが…)
--- これは，まさに同じコメントを昨年いただいたので，形で区別できるようにしました．活かされてよかったです． -
彩色グラフの色に形も加えていただいたので 白黒印刷でもよくわかります
--- 活かされてよかったです． -
「容疑者Xの献身」で4色問題について知りました
--- 四色問題は後の講義で扱います． -
四色問題をコンピュータを用いないで証明する人は現れるでしょうか
--- 「四色定理の証明の複雑さ」がよく分からないので，なんとも言えないです．そもそも「証明」というものが何なのか，そして，どうあるべきなのか，という議論も必要です． -
彩色を書く問題のために期末には色ペンとか持ち込むべき？
--- 赤色以外なら用いてもよいです．(赤は採点に使います．) -
前回の講義は楽しくなかったが今回の講義は面白かった
--- 前回も楽しんでください ;-) -
逆カイ二乗分布
--- これも英語読みなのだと思います． -
今日のBGMは何でしょうか。
--- フュージョンです． -
フュージョンいいですよね。T-SQUAREが好きです。
--- F-1ですね． -
イギリスのEU離脱で世界がやばい
--- すぐに落ち着くでしょう． -
8/1の講義希望
以前の授業で「i」や「確率」をグラフに導入する場合があるとのことでした。どのような展開ができるのでしょうか？
--- 今回はあまり希望を書いていただけなかったので，次回もう一度お伺いします． -
予備日は演習問題の解説をしてほしいです．
--- 演習問題の解説はしません．あしからず．
- コメントありがとうございました．
-
新たに学んでいることも以前学んだことの延長という感じがします。しっかり復習してついていきたいです。
--- はい，しっかりと復習をして下さい． -
量が丁度良い
--- 質が伴っていればもっとよいのですが． -
後半が難しかったので復習頑張ります
--- はい，しっかりと復習をして下さい． -
眠い時どうすればいいですか．
--- 寝て下さい． -
授業後半で内容が難しく眠くなった。
--- 寝て下さい． -
カッパー。空気抵抗の係数として利用されるので一昨年よく書きました。個人的には先端をクルッと丸めるのがカッパーっぽいなと思っています。
--- カッパーではなくカッパですね．カッパーは銅のことになります． -
どうしてs,tがよく使われるのですか？ sはstartの略だから？
--- sはsource，tはtargetを表すとよく言われます．交通の分野では，ODペアという用語があり，Oはorigin，Dはdestinationを表します． -
モデル化する工夫の仕方がすごい。
--- モデル化を行うことは難しいです．それだからこそ重要なわけです．みなさんは数学 (のようなもの) をたくさん勉強している (あるいはさせられている) と思いますが，それが使えるようになるためにはモデル化を行わなくてはなりません．そのステップを気にかけることがまずは重要です． -
このコーギの内容を実生活で使ったことがあるか．
--- 日々使っています．:-) -
今回，有向グラフの連結性を表す単語として「強連結」というものがありました．では，「弱連結」という単語はあるのでしょうか？
--- あります．有向グラフの弧の向きを無視してできる無向グラフが連結であるとき，もとの有向グラフは弱連結であるといわれます．強連結である有向グラフは弱連結でもありますが，逆は必ずしも成り立ちません． -
無向グラフを有向グラフに変換は大変な作業なので省略。と言っていたと思いますがどれくらい大変なのですか。この講義中に出てきますか。
--- 出てきません．やろうと思えば10分ぐらいでできます．変換自体は簡単ですが，なぜその変換でうまくいくのか説明しようとすると大変です． -
15ページで大域辺連結度で $\lambda(G) = \lambda_{a,f}(G)=1$ とのことですが，これは一例で，他にも $\lambda(G) = \lambda_{a,d}(G) = 1$ などもありますよね？
--- 正しいです．これは一例です． -
Mengerさんの顔写真が印象的でした。
--- 夢に出てきてうなされないとよいですね． -
目がーの定理
--- 私は大佐ではありません． -
さあ始まるざますよ
いくでがんす
メンガー
--- メンガーはドイツ人で，フンガーはドイツ語だそうです． -
完全二部グラフでの連結度が楽しそうだなと思いました。(こなみ．)
--- なぜでしょう？ ;-) -
連結…ムカデ人間…
--- ムカデ人間の点連結度は1です． -
小さい紙への返答でよくグラフを描いておられますが、あれは何のソフトを使って描いているのでしょうか？もしかしてTgif？
--- IpeかWindowsのペイントを使ってます． -
演習問題の先生のコメントの「✓」はどういう意味でしょうか？「いいよ」でしょうか？「ダメだよ」でしょうか？
--- 「いいよ」です．チェックマークと呼ばれます． -
回が進むにつれて演習問題が軽くなってきた気がした。
--- それはよかったです．期末試験では満点を目指してください． -
過去に中間0点期末60点を取った人はいたのだろうか
--- 私の記憶の限りではいません -
期末がんばる？
--- 私にがんばるかがんばらないか聞かれても困ります ;-) -
中間の細かな採点結果の開示はできますか？
--- 問合せがあれば，答案用紙を見せられます．学生証をもって私のところまで来てください． -
中間試験の成績が低すぎで恥かしかったです。自分が正しく証明できた問題をけっきょく間違っていました．今後毎回レポートを出すようにがんばります．
--- 恥ずかしいということはないと思いますが，レポートはよろしくお願いします． -
中間試験の採点おつかれさまでした。来年もよろしくおねがいします。
--- どの講義についても言えることですが，来年も私が担当するのかは決まっていません．担当する場合はよろしくお願いします． -
どうやら中間試験で必要以上に点数をカットしてしまったようです... (^o^)
--- 顔文字に葛藤の跡が伺えます． -
ジラフとネットワーク
--- 違います ;-) クジラとネットワークでもありません． -
直盛り or セパレート？
--- いわゆる「弁当」にしたことはありません． -
危機感を感じる
--- 「○○感を感じる」という用語法が浸透することに危機感を抱く人は多く，私もそうなので，気をつけて下さい． -
オシャンティなBGMすこ。
--- 私はオキャンティではありません． -
Back street boysの曲のアレンジが流れていて良かったです
--- なぜだか，私に教えてください． -
知っていそうで知らない曲がながれると、集中できないことが分かりました。
--- 新たな知見が得られて良かったです (？) -
つらぽよ （´・＿・`）
--- (o尸’▽’)o尸゛
- コメントありがとうございました．
-
今日流れてた曲の詳細が知りたいです
--- カーペンターズです． -
今日のBGMはカーペンターズっぽい気がしましたが当たりですか？
--- 正解です．月曜日に雨だったので． -
季節の変り目はキツイです．
--- そうですね．体調管理に気をつけて下さい． -
雨の日はトイレが近いですね。
--- トイレの方から近づいてくるわけではないので，気をつけて下さい． -
最近湿度が高いので講堂の授業がしばらくないのは嬉しい。
--- 講堂はかび臭い感じがするので，湿度が高い日に使うのは確かに嫌ですね． -
中間試験の結果はいつ頃分かりますか？？
--- 採点は終わりました．ご確認下さい． -
中間試験の成績が最小流になりそうです。
--- 値が負になることはないので，安心して下さい． -
勉強さぼってたら中間ひどいできだった。期末がんばります。
--- さぼっていてひどくなるのは当たり前です．頑張って下さい． -
if(midexam.getPoint() < 30) { midexam.setPoint(30); }
--- ということはありません ;-) -
"本物の離散数学"の力を先週思い知ったので、これからはちゃんと演習をやります…
--- はい，ちゃんとやって下さい． -
授業に参加する人が減った気がしました。
--- それはそれでよいと思います．出席することを要請はしていませんから． -
復習Q8.1の(1)はモデル化というと頂点s, tを追加し、容量を書くところまで作れば良いでしょうか。
--- それを行って，その最適解 (最大流または最小s,tカット) が元の問題の何に対応するのか，述べて下さい． -
最大流の手計算がしんどい．
--- 増加道法で求める必要はありません．流れの値と同じ容量を持つs,tカットを見つければいいのです． -
追加問題8.3で全員救護できませんでした…。無念…。
--- そういうこともあり得ます．現実は受け止めなければなりません． -
二部グラフG=(V,E)，部集合A,B
上図ではAの頂点をすべて飽和するマッチングがありますが、|S|=2, |N(S)|=1 より |S|>|N(S)| となってしまう気がします。
--- 残念ながら，Aの頂点をすべて飽和するマッチングはありません． -
Hallの結婚定理の証明はよくわからなかったです…
--- 記法がいろいろと出てきているので複雑に感じるかもしれませんが，行っていることは単純なので，見直して下さい． -
「König-Egerváryの定理」の「König」の読みは「ケーニヒ」だと思われます．
--- これはケーニグで正しいです．Königではなく，Kőnigなのですが，öとőは異なります．ハンガリー人なので，ドイツ人のように呼ぶのはふさわしくないかと思います． -
2005年の日本シリーズ 阪神対ロッテといえば 33-4 ですね．
--- みなさん，これ好きですね． -
優勝 ☝
--- 人さし指を立てるようになったのは，駒大苫小牧 (2005年の甲子園？) が最初でしょうか？ -
ブルージェイズ，確か昨年まで川崎が居たので，今もあると思います．
--- その通りですね．モントリオール・エクスポズと混同していました． -
優勝できないことが分かってしまうのはちょっと寂しいものですね．
--- そういう現実はしっかりと受け止めた方がよいと思います． -
全員優勝
--- それがないように勝者を決めないといけません． -
優勝可能性判定がNP困難の方がゲームとしてはおもしろいのかも知れませんね
--- そうかもしれませんね．ゲームとしての面白さ，NP困難であることの意味など，考察する必要がありますね． -
NP困難おもしろい
--- 3年後学期の『計算理論』で詳しく扱いますので，そちらをお楽しみ下さい． -
引き分けという要素が増えると、一気に難しくなりますね．
--- 引き分けがあるだけでは難しくならないので注意して下さい．一つの試合で決まった勝ち点を分け合う，という形になっていないと難しくなる，ということです． -
リーグ戦優勝判定問題について，「負け」の数については考える必要はないのでしょうか？
--- 試合数から勝ちの数を引けば負けの数になります．間接的に負けの数を考えていることになります． -
人の手では解けない規模のモデル化の例も知りたいです。
--- たとえば，除雪の問題は人の手では解けない規模のものになります．この講義の演習問題としては手で解ける規模のものに抑えています． -
砂漠で楽しくサバイバル
--- 威張ってきたら酢でしめましょう． -
最大流モデル化は期末テストにも出るかな？
--- 道がでるかどうかは未知です． -
モデル化できるかどうかの区別はどうすればいいのでしょうか。
--- これは難しいです．どのようにモデル化することができるか，どのようにモデル化すべきか，ということは，経験による指針しかありません．それだからこそ，経験を積んでうまくできるようになることが重要で，そのために演習問題などがあります． -
Tensorflowも教えてください
--- 自分で勉強して下さい．なお，この講義では特定のソフトウェアやアプリケーションの使い方を教授することはありません．(そのような知識はすぐ陳腐化します．この講義で扱う価値はないです．)
- コメントありがとうございました．掲載が遅れてすみません．
-
{s,a,d}はs-tカットと言えますか？ もし言えるとしたら容量はいくつでしょうか？ 6ですか、それとも8ですか？
--- {s,a,d}はs-tカットであり，その容量は9です． -
有向グラフ $G=(V,A)$、容量 $c\colon A\to\mathbb{R}$、2頂点 $s,t \in V$ のとき、弱双対性を用いて最大流を見つけることになると思いますが、このとき $S$ が最小s-tカットであることを証明する必要はあるのでしょうか？ (Sがs-tカットであることを説明すれば val(f) ≦ cap(S) となり、最大流の上界を説明できると思います)
--- 最後のカッコ内に書かれた指摘は正しいです．その意味ではSが最小s-tカットであることを証明する必要がありません．しかし，最大流であることを証明するためのSは必ず最小s-tカットになるので，そのようなSを見つけている時点で，Sが最小s-tカットであることは自動的に証明できています．(ただし，証明できていることを記述しなければ，文章として証明とは見なされないので，注意も必要です．) この但し書きも踏まえて，Sが最小s-tカットであることを証明する必要はありません． -
スライドP57にあるグラフの例はホールの結婚定理の否定「Aの頂点を飽和するマッチングをGが持たない ⇔ 任意の頂点集合 S ⊆ A に対して，|S| ≦ |N(S)| が成り立つ」を表しているのでしょうか？
--- 否定を表しているのは正しいですが，否定が間違っています．正しい否定は「Aの頂点を飽和するマッチングをGが持たない ⇔ ある頂点集合 S ⊆ A に対して，|S| ＞ |N(S)| が成り立つ」です． -
Hallの結婚定理の例示で「結婚できない女性が生じる」設定から「結婚できない男性が生じる」に変更するとき，political correctnessについてつぶやいていましたが，PCの見地からはそう変更することが望ましいのですか？
--- 個人的な見解ですが，男性が女性を大事にする，女性が男性を大事にする，という観点の言葉遣いだと思っています．平等性を言い出すと厄介になると思ってます． -
Hallの結婚定理は以前から内容を聞いていたけど、証明を聞いて、やっぱすごいなと思いました。
--- Hallの結婚定理の証明はしていません (-_-; 次回行います． -
結婚定理 (結婚できるとは言っていない)
--- 結婚できないとも言っていない -
Hallの結婚定理を説明する ⇒ 結婚できない
--- 偽です．(^^; -
7.6を見て研究室にそういうパズルが多い理由がわかりました．(モデル化はできませんでした)
--- 研究室公開に来てください． -
問7.6は二部グラフのマッチングに関してモデル化するとのことですが，他にも二部グラフにモデル化できるような図形問題を教えて下さい。
--- 「図形問題」というものが何を指すのかよく分からないので答えにくいのですが，「あります」とはいえます．計算幾何をやっているとよく出てきます．あと，行列と二部グラフは相性がよいので，数値計算のアルゴリズムをつくるときに，二部グラフをよく使います． -
大分前の話ですが…握手補題の証明の際に，無向グラフ $G=(V,E)$ に対して $M \in \mathbb{R}^{V\times E}$ という行列を定義していましたが，この $\mathbb{R}^{V\times E}$ というのはどういうものだと解釈すればよいのでしょうか？ (どのような行列かというのは資料から読み取れたのですが，$\mathbb{R}^{V\times E}$ の意味が良くわかりませんでした。)
--- 一瞬，大分県の前の話なのかと思って，なんのことだか考えてしまいました
それはともかく，$\mathbb{R}^{V\times E}$ というのは，行の添え字が集合 $V$ の要素であり，列の添え字が集合 $E$ の要素であるような実行列全体の集合だと思って下さい．よく，$\mathbb{R}^{2\times 3}$ と書きますが，これは行の添え字が集合 $\{1,2\}$ の要素であり，列の添え字が集合 $\{1,2,3\}$ の要素であるような実行列全体の集合で，その記法を一般化して，どんな集合でも添え字集合として使えるようにしていると思って下さい． -
近傍は頂点集合の場合の定義をしっかり覚えようと思った。
--- 最近あまり言っていなかったので，今一度言います．覚えようとしてはいけません．覚えるのは無駄です．忘れたときに調べて思い出せるようにして下さい．それで十分ですし，そのようにできることが重要です． -
習った定理などを整理して問題を解きながら身につけていきたいと思います．
--- はい，そのように取り組んで下さい． -
レポートを継続的に出せるようにしたいです．
--- 継続できるように習慣づけることが重要かもしれませんね． -
二部グラフは扱いやすいイメージです。
--- 確かに扱いやすいです．それでいて，応用上も重要なので，二部グラフだけを扱った本もあります． -
文献が少なくて分からないところを調べるのが大変です…
--- ひとつコツをいいます．英語で調べて下さい．日本語の情報は限られています．専門性が高くなればなるほどそうなります．当然です．英語で調べて下さい． -
授業は面白いけど証明がつらいです
--- 簡単な証明ができるようになることは講義の達成目標の1つなので，しっかり努めて下さい． -
床屋さんで「最小s,tカットで」と頼んでみます
--- 結果を教えて下さい． -
眠くて授業どころではなかったので，今度からはちゃんと家で寝てくるようにします．
--- そうしてください． -
演習問題は解けると楽しい 解けないと
--- 解けないと何でしょう -
中間試験頑張ります
--- しっかりと準備をしてきてください． -
やっぱりトランプはバイシクル！
--- そうですよね．:-) -
行きつけのお店を教えてください
--- 遭遇したくないので，イヤです ;-) -
今回も演習問題全回答はできませんでした…すいません許して下さい！何でもはしませんから！
--- 何でもはしないなら，どうでもいいです ;-) -
6/6は1限に講堂で授業があるので、遅れる人が出てしまう可能性があります。
--- 可能性についてご連絡ありがとうございます．それでも，試験は定時に開始します． -
演習問題では道や流れをグラフの上に色ペンで書き足して示していたのですが、試験でもやっても良いですか？
--- 赤でなければ良いです． -
「うそはうそであると見抜けるアルゴリズム」について教えて下さい．
--- 研究室公開に来てください． -
実験の進度と講義の進度違うのは1年生のときからのことなのでなれました．
--- 完全にシンクロさせることは難しいです．これはカリキュラムが悪いのですが，日本の大学のカリキュラムは演習や実験を (これでも) 軽視しているので，仕方がないです．
- コメントありがとうございました．
-
風呂の流れ (フロー)
--- 風呂は流れていません．流れているのは風呂水です． -
フローが好きになりそうです。
--- ついでにFLOWも好きになって下さい．(まわしものではありません．) -
90分かけて行われるマルちゃん正麺の巧妙なステマだった…？
--- …かもしれません ;-) -
緑派です．
--- 私はきのこ派です． -
今度ファミレスのドリンクバーでオレンジジュースとファンタグレープとメロンソーダと桃のジュースを混ぜてみてください (スライド47ページ，ジョナサンならできそう？)
--- やりません ;-) -
うりゅー！ (生流？)
--- 名字で「生流」さんという方はいないようです (ここ調べ)．読みが「うりゅう」さんの方の場合，漢字は「瓜生」や「羽立」と書くことが多いようです． -
『一週間フレンズ』をよろしくお願いします。(聖蹟と関係があります)
--- お願いされても困ります (-_-; -
川の流れに身をまかせるように行きたいです。
--- でこぼこ道や曲がりくねった道の中で，あなたの色に染められてください． -
この際 演歌を流してみてはどうでしょう？
--- 何がこの際なのかわかりません (--; -
今日のBGM非常に好きです。
--- 授業の内容も好きになってください -
JazzっぽいBGMが聞きたいです
--- ありがとうございます．いつか採用します． -
自分でアルゴリズムの手順通りの実例を書いてきちんと理解したいと思います。難しい…
--- 簡単ではないので，しっかりと復習して下さい． -
理解に時間がかかりそうです．
--- 演習問題を通して理解して下さい． -
今日は復習を特にがんばります．
--- はい，よろしくお願いします． -
中間試験の前に5/23に提出するレポートを返していただきたいのですが，5/30が休講だとそれは難しいでしょうか？ 研究室に直接訪問等はダメでしょうか。
--- 返却法は別途指示します． -
最近演習問題をほとんど解けていないので、今回 (第6回) の分は最低でも7問解いて出します。(宣言しておくことでモチベーションを高める)
--- はい，お待ちしております．(^-^) -
増化道の証明が難しかったので復習しようと思う
--- 「増化」ではなく「増加」なので，間違えないようにして下さい． -
今回の授業は内容が多く復習がより多く必要だと感じました．ですが，有名なアルゴリズムには必ず数学的な背景があることを再認識することができました．
--- その認識は重要ですね．いままでの内容では，アルゴリズムの正しさは簡単に確認できることが多かったと思うのですが，今回のアルゴリズムはなぜ正しいのか，ということをしっかりと考えることが重要なのです．そのような例は今後も出てきますのでお楽しみに． -
数年前に画像カットしようとしていたとき，Edmonds-Karpの理解の前段階として先生のスライドを非常に参考にした覚えがあります．ありがとうございました．
--- コンピュータビジョンにおいて，最大流問題 (というか最小カット問題) がよく出てきて，最近一大ブームを巻き起こしているのですが，それについては講義では扱いません．皆さん，興味がありましたら，いろいろと調べてみてください． -
val(f)をf+(s)-f-(s)で定義するためにはf+(v), f-(v)をそれぞれ定義してからということですか？
--- その面もありますし，他の証明のところでもf+(v), f-(v) は出てくるので定義しています． -
Dijkstra法よりFord-Fulkersonの方が古いとは意外
--- Ford-Fulkerson法は1956年の論文に出ていて，Dijkstra法の論文出版は1959年なので，そういう意味ではDijkstra法の方が新しいということになりますね． -
最小流
--- どの弧にも0を割り当てれば，それが最小流です． -
$\text{val}(f) \leq \text{cap}(S)$ の証明を行う時に補題として $\text{val}(f) = \sum_{(u,v)\in A, u\in S, v\not\in S} f((u,v)) - \sum_{(u,v)\in A, u\not\in S, v\in S}f((u,v))$ を用いていたが，テストで $\text{val}(f) \leq \text{cap}(S)$ を証明するときはこの補題も一緒に証明する必要はあるのですか？
--- 必要があると考えて下さい． -
void f() { std::cout << "停止性大事" << endl; f(); }
--- 停止しません (-_-; -
<script>alert("にゃーん");</script>
--- 残念でした ;-)
- コメントありがとうございました．
-
無駄を抑える辺の引き方の話が面白かったです。
--- そうですね．「無駄を抑える」というのが最適化の考え方ですね． -
不変条件を見つけることにむづかしさがあります
--- そうですね．それだからこそ，慣れや練習が必要なのだと思います．この点は「技芸」に近い部分であり，それだからこそ，Knuthは「The Art of Computer Programming」という本を書いているのだと思います． -
後手必敗のもので最善の手というのをどのように決めるかというのが気になります．最善手と対人戦で勝ちやすい手というのはしばしば異なることがあると感じています。
--- 「最善手」といっているので，それが必勝戦略ならば，従うことで必ず勝てます．一方，「対人戦で勝ちやすい手」となるものを考える意味があるのは，(1) 最善手を見つけることが難しい場合，(2) 最善手に従っても勝てるとは限らない場合，(3) すでにそれが最善手である場合，のどれかです．ゲームの本質がどこにあるのかということを見極めるのはとても重要なので，考察してみてください． -
ボードゲーム等の必勝法を考えていきたいです
--- 岡本研へどうぞ ;-) -
なぜ最小重み完全マッチングは最大重み(最大)マッチングを探せばよいのでしょうか。
--- 演習問題です．考えてみてください． -
辺の重みの求め方がわからないです…。元々辺自体に指定されているもの？
--- 元々辺自体に指定されている場合を考えています． -
回路と閉路はちがうのでしょうか？
--- 回路では同じ頂点を何度も通って良く，閉路では同じ頂点を一度しか通れない，と思って下さい． -
現実の問題をどのように特徴づけ，モデル化しているかというのに強い関心を持ちました．様々なケースを見てみたいと思います．
--- 今後もでてきますので，お楽しみに． -
講義前半で最小重み完全マッチング問題を最大重みマッチング問題に帰着する内容を扱ったので，後半でも完全グラフで上記の内容を扱うようなモデルを紹介していただきたいなあと思いました。
--- 時間が足りず，できませんでした．いろいろな応用がありえるので，自分でも考えてみてください． -
今回初めてモデル化というものを学び，グラフの考え方が現実の身近なところに応用されていることがわかり驚きました．
--- 今後もそういうのが出ていますので，お楽しみに． -
グラフを現実の問題のモデルにする例に興味がわきました。
--- 自分の周りの問題に対しても試してみてください． -
僕には兄しかいないので，コテンパンにされてこようと思います。
--- よろしくお願いします． (?) -
ペテルセングラフで調べたら色んな形のペテルセングラフが出てきたりハミルトン路はあるがハミルトン閉路が無いとか出てきて……これ以上調べるのはやめておこう
--- ペテルセングラフはいろいろなものの例としてよくでてくる，重要な例として知られています． -
スリザー面白かった．使っていきたい
--- 何度でも遊べるので，試して下さい． -
辺の重みをわざわざ「非負」と言っていましたが，負で考える例を教えて下さい．
--- 辺を選ぶことで利益が得られる，と考えるわけですが，その利益が負の場合は負の重みを考えることがあります． -
これまでよりも現実の問題と結びつけて考えられていて分かりやすかった
--- 「モデル化」の回はこのような趣になります．簡単でない場合もあるので，今後は注意して下さい． -
無駄のない無駄な除雪計画
--- 「無駄な除雪計画の無駄をできるだけ小さくする」ということですね．重要なことは，少しの無駄は避けられない，ということと，それでも省ける部分があるかもしれない，ということです． -
SELECT * FROM edges; s | t ---+--- 1 | 2 1 | 3 2 | 3 2 | 4 2 | 6 3 | 4 4 | 6 5 | 1 5 | 3 5 | 4 PREPARE search(INTEGER) AS ( WITH RECURSIVE rev(v) AS ( VALUES($1) UNION SELECT t FROM edges, rec WHERE s = v ) SELECT v FROM rec ORDER BY v ); EXECUTE search(5);
--- MySQLでしょうか． -
軽みグラフ
--- 「軽み」という日本語はないようです．不思議ですね． -
ありがとうございました
--- こちらこそ :-) -
書く内容が思いつきません．
--- 思いついたら書いて下さい ;-) -
演習問題が急に重くなって驚いた．
--- いままでの蓄積がありますから，ある意味で，重くなっていくのは当然だと思います． -
追いていかれる！
--- ついてきてください -
だんだんごっちゃになってきたので自分でまとめプリントつくります… (--;)
--- 自分でまとめるのは重要なので，励行して下さい． -
レポートやりました！
--- ありがとうございます！ -
唐揚げ
--- 昼休みはこの後です．我慢して下さい． -
復習がんばります！
--- はい，よろしくお願いします． -
先生は聖蹟桜ヶ丘をよく使うのですか？
--- 近くに住んでいるのでよくいきます． -
音量丁度良いです。ジャズ以外ならボサノバがおすすめ。
--- 今回はボサノバだったはずです． -
食後の鈴鹿サーキット
--- ポールポジションをとることが重要なレースですね． -
日本酒や焼酎が飲めないんですが，どうすれば飲めるようになりますか？
--- 無理に飲まなくてもよいです ;-) -
昔 "Back To The Future" を見た時に "Time Circuit" という単語を聞いて「何でここでレース場の話が出るんだろう」とか思ってました…
--- 私の憶測ですが，「回路」という意味と「時間をぐるぐる回る」という意味をかけているのではないかと思います． -
この紙を提出することの重要性を痛感した (前回のレポートを提出し忘れた)
--- はい，重要ですので忘れずに提出して下さい． -
3年はみんな1限東なので移動が大変です。
--- 慣れて下さい． -
用語集にそれがどういうものであるかを書いていただけるとありがたいです。
--- これは復習として自分でやって下さい． -
前回の講義を休んでしまったことをここに懺悔します．そして懺悔という字が書けなくて調べたこともここに懺悔します．
--- 休むかどうかは自分のことですので，自分で決めて下さい． -
今日のBGMは良い感じの曲でした (ただし眠くなる)
--- 前もって寝てきてください． ;-)
- コメントありがとうございました．
- 演習とレポートについて
-
再提出に期限はありますか．
--- 学期末以外にはありません． -
期限遅れのレポートは受理していただけないと仰っていましたが、ヒントだけでもいただけないでしょうか．
--- 何をどれだけ考えたのかにより，ヒントは変わります．それを私が理解できなければ，私からヒントを出す方法が分かりません． -
過去の演習問題 (レポートの締め切りが過ぎたもの) を現在解いていて，レポートを提出していないのですが，この場合わからない問題や合っているかどうか不安な問題について授業後や空いた時間にコメントを頂くというのは可能でしょうか．
--- 可能です．活用して下さい． -
発展問題をもっと出して欲しい．
--- 毎回1つぐらいにします． -
演習問題を解くときに前から解くべきですか？
--- 前から解く必要はありませんし，途中が飛んでいてもよいです． -
来週こそはレポート出します．後どうでもいいですが最近刃牙にはまりました．
--- はい，提出お待ちしてます．よろしくお願いします． - 講義に関係するもの
-
Bergeさんの証明がすごいなと思いました。
--- 定理自体は，Bergeよりも前に知られていたようです． -
増加道法を思いついた人は普段どんなことを考えて暮らしていたのか気になる。
--- 増加道はグラフにまつわる色々な問題の解法で重要な役割を果たすので，はじめに思いついた人は偉いと思います． -
最大マッチングは頂点の数/2以下なので，基本的には頂点被覆の数の方が大きくなり，|M|=|C|となることが少ないと思います。
--- |M|=|C|を満たすMとCが必ず見つかるわけではありませんが，見つかるときには大きな威力を発揮します．これについては後の方の講義で扱います． -
新しく出てきた要素が難しく感じたのでしっかり復習しようと思う。
--- はい，しっかりと復習をして下さい． -
保証されると安心できます。嬉しいです！幸せです！
--- 保証されるという安心感を味わって下さい． -
"マッチングの味わいを楽しむ"のは仲々むづかしかった
--- 最小最大定理は今後もでてくるので，慣れていって下さい． -
マッチングのゲシュタルト崩壊
--- よくでてくるからといって，崩壊させないで下さい ;-) -
今日の講義もグレートでした
--- 私はGTOではありません． -
性質やその関係を身につけて使うのが難しいので精進します．
--- そうですね．演習問題を通して復習して下さい． -
実験であいまいだったところが補強されました
--- 実験と講義が補完しあう形になっているので，理解を深めて下さい．なお，実験だけでも実験の内容は理解できるようになっているはずですので，その点はご了承ください． -
実験やる前に受けたい講義でした！
--- 同上です．実験だけでも実験の内容は理解できるようになっているはずなので，その点はご了承ください． -
今回の話は基本的に無向グラフを用いて説明されましたが，有向グラフの場合はどうなるのでしょうか？ 実験であったように，二部グラフで考えることになるのですか？
--- マッチングは無向グラフの概念なので，有向グラフではマッチングを考えないと思って下さい．実験で有向グラフを考えていたのは，コンピュータ上で無向グラフを直接扱うことは難しく，有向グラフを通して無向グラフを表現するという方法を使っているからです． -
頂点被覆の確認がしづらい
--- すべての辺を見ていけばよいです． -
最小頂点被覆を見つけるのが大変ですね…
--- 一般に，見つけるのは大変です．演習問題の例は小さいので，頑張って見つけて下さい． -
空集合として $\varphi$ を使っている教科書多いですよね．TeXでも\emptysetつかっていない例多い気がします
--- 昔のタイプライターでは，空集合の記号がなかったため，φで代用することもあったかもしれません．今は，写植の技術が発達したので，ちゃんと $\emptyset$ を使うべきだと思っています． -
空集合 $\phi$
空集合 $\Phi$
空集合 $\varphi$
--- つまり，この中のどれも正しくないということです．注意して下さい． -
授業が何となくわかるようなわからないような微妙な感じです…
--- 難しくなってきているので，しっかりと復習をして下さい． - その他のコメント
-
今日の音楽
オシャレCafe感！！！
--- 次回も音楽かけます． -
風邪ひきました．
--- お大事に． -
毎週月曜日はCoCo壱番屋！
--- 聖蹟桜ヶ丘のCoCo壱番屋にはマンガがたくさん置いてあります． -
海苔食ってノリノリ
--- 落ち着いて下さい ;-) -
先生はグラブってる？
--- グラブってないです -
寝ってしまいました
--- 「ねむって」は「眠って」と書きます． -
はじめて遅刻せずに来れました．
--- 次回もお願いします． -
院に行くか，就職するかでとても迷っています。先生は迷いましたか？
--- 私は迷いませんでした．大学にいる価値がないと思ったら，就職した方がよいと思います．他の大学にも大学院があることを忘れずに． -
--- これは有向グラフですね ;-)
- コメントありがとうございました．
-
レポートの再提出は返された用紙に答えを書かなければなりませんか？
新しいレポートの後に付け加えてもよいのでしょうか。
--- 後者が好ましいです． -
演習問題に対して丁寧なコメントを有難うございました
--- こちらこそありがとうございました．継続は力ですので，できる限りレポートを提出して下さい． -
前回の演習問題2.9が難しかった。(5時間くらい使って結局解けなかった)
--- 難しいのは承知の上なので，どのように考えたのか，どこでつまったのか，ということをレポートに書いてもらえれば，ヒントを出せます．宜しくお願いします． -
今日の証明は理解はできたのですが，演習問題を見てみた限り自分にはあのような鮮やかな解き方は思いつかないと感じました．
--- 慣れが必要なこともあります．とりあえず時間をかけて取り組んでみることが必要だと思います． -
任意のグラフ$G=(V,E)$に対し，「$G$が木である $\Rightarrow$ $|E|=|V|-1$」が成立するならば，その対偶「$|E|\neq |V|-1$ $\Rightarrow$ $G$は木ではない」も成立し，各種の証明に使うことができるのではないでしょうか。例えば任意の基において任意の辺が切断辺であることや、任意の木において任意の葉でない頂点が切断点であること、等が証明できるようなきがするのですが。
--- ご意見は正しいです．ただ，その場合，背理法を使うことになると思うので，間違えないようにするため，何が仮定であり，何を結論として導きたいのかということを，明確にしながら証明を進めて下さい． -
面白かった。グラフの考えを現実に応用した話をもっと聞きたいです。
--- モデル化の話は次々回あたりに出てきます．お楽しみに． -
難しい内容でした
--- 内容を易しくしようとは思わないので，がんばって勉強して下さい． -
森と林の話を聞いて思ったのですが、同じ物事を分野によって違う呼び方することってありますよね。電場 (理学) と電界 (工学)、log (理学) と ln (工学) とか。まぎらわしいのに何故統一しないのでしょうか？
--- 理学と工学の違いなのかはわかりませんが，例えば，「電場」と「電界」は訳語の違いです．どちらも英語ではelectric fieldですから．一方，logは微妙で，これは訳語の問題ではありません．どちらかというと，底を何とすることが自然であるか，あるいは，よく用いられるのか，という基準で考えられているとおもいます．よく使われる底は2, e, 10であり，それらが同時に使われるときには違う記号を用いる必要が出てくるということなのだと思います． -
木？
--- 木です． -
--- 都市伝説です． -
証明だらけでコンランしてます。でも即興で出来たら…かっこいいですね ♥
--- 証明であるから混乱するというのは不思議で，1, 2年次の講義でも証明はさんざんやってきているはずなのです．証明ができるようになるよい機会なので，しっかりと勉強して下さい． -
証明のおすすめされないやり方やコメントの「自明」の扱いについての話がおもしろかったです．
--- 正しく考えることと，それを正しく表現すること．どちらも重要ですので，身につくようにして下さい． -
グラフについての知識などは感覚としてはわかりやすいですが、証明となると意外と苦戦しますね。
--- 証明ができるということは重要な技法なので，ぜひ身につけて下さい． -
帰納法の説明がとても勉強になりました。
--- 間違った使われ方をすることが多いので，今後注意して下さい． -
数回で幾つかの証明方法が与えられたが，使い分ける為の着眼点などはあるのか？
--- どのように証明しようか考えていると思いつきます．その方法で証明しようとしてみて，できなければ，おそらくできないのです． -
「実は...今まで僕達が使っていたのは数学的帰納法じゃなかったんだ！」
「な、なんだってー！？」
--- 今まで使っていたのは数学的帰納法です．内容の理解が歪んでいるので，しっかりと復習して下さい． -
証明きついです．
--- 「証明」ということばを忌避しているのではないかと思います．日本語を理解しようとしているだけなので，いやからずに慣れて下さい． -
帰納法の正しい使うことをしることができたのがよかった
--- 日本語の正しい使い方も一緒に勉強して下さい． -
今回の内容はすこし難しかった気がしました．
--- 演習問題を解いてみて下さい．自分でやってみれば，難しくないと気づけるかもしれません． -
木が葉を持つことの証明で，$|V|=2$ のときには，最大の道 $P$ の端点から隣接する頂点に辺を伸ばしても閉路にはならないので，この場合だけ分けるべきではないでしょうか．(重箱のすみをつつくようですみません)
--- 確かにそうだと思います． -
今回の講義は証明が多く，少々難しいと感じました．ここで一つ疑問なのですが，「$G$ が連結 $\Rightarrow$ $G$ の全域木が存在」の証明の後半において，$G$ に閉路が2つ以上あり，辺数が $k-1$ 以下になったとしても仮定した条件 ($|E|=k$ のとき条件が成り立つ) は使えるのでしょうか．
--- 質問の意図を正確に理解できていないかもしれないので，的外れな回答となっていたら，すみません．仮定した条件は「$|E|=k$ のとき条件が成り立つ」ということなので，$|E|$ が $k-1$ 以下になったら，仮定した条件は使えません． -
ある無向グラフ $G$ があり，これは木であるとします．このグラフ$G$は木が1つの森であるはずです．この時，グラフ $G$ からある切断辺，あるいは切断点を取り除いて連結成分が増えた時 (株分け)，グラフ $G$ は木が増えて，より一般に言う森らしくなるということで良いでしょうか。
--- 数学的には「森らしさ」という概念がない (あるいは，講義では定義していない) ので，「森らしさ」を考えるのは適切ではないかもしれません．森であるかないか，ということは二値的に決まるものなので，森であることに程度はありません．その意味で，木は森であり，そこから切断辺，切断点を取り除いても，森のままです． -
定義はしっかり暗記しておきたいですね
--- 暗記してはいけません．初回に行った注意を今一度思い出して下さい． -
離散数学で，証明するとき十分性を認識したり示したりすることが難しいように思います。
--- 証明を無意識に行なおうとすると難しく感じると思います．1つ1つのステップを意識的に行うことが重要です．情報科学の本質の1つは無意識に行っていることを意識の俎上に載せることです．プログラミングも同じです．勉強することで身につきますので，できるようになって下さい． -
第3回の授業はハヤイと感じた。
--- 毎回早いです．しっかりと復習をして下さい． -
復習問題見たときに、証明のおおまかな流れはわかるのに、用語とかがでてこなくてスライドを見返してしまって悔しいです
--- 見返して思い出せるならば，それでよいですし，それで十分です．覚えようとはしないで下さい． -
内容についていくのが大変になってきました．次の講義資料のアップを早めてもらうことはできますか？
--- できる限り努力しますが，確約はできません．あしからず． -
木から葉を取除いていく操作、再帰呼出を思い起こしました。
--- 再帰呼出そのものです．講義の最後にあった格言を見直してみて下さい． -
無向グラフ $G=(V,E)$ において木であることとは
- $G$は連結である
- $G$は閉路を部分グラフとして含まない
--- 「存在するはず」という部分を正確に記述する必要があります．なぜ「はず」だと言えるのか，説明する必要があるのです． -
番号のついた頂点を順に辺で結び全て繋ぐと何かの絵になる そんな遊びを思い浮かべていました
--- 「点つなぎ」ですね．似たものは去年実験第二でやりましたが，今年もやるかどうかはわかりません．(実際は全然似ていない．) -
来週のこの講義がなければ７連休です．悔しい．
--- 休めばいいです．出席をとってないのですから． -
ゴールデンウィークなのに3, 3, 2連休と穴空きすぎィ
--- ゴールデンウィークとはそういうものです． -
1限キャリアつらいです
--- つらいと思えば何でもつらくなります．楽しむ方法を見つけて下さい． -
おなかがすきました
--- 食べてきてください． -
いつも遅刻してすみません．わざとじゃないんです．
--- 他の学生に迷惑がかかっていないのならよいです． -
てめぇらの血は何色だぁ！！
--- おれはきさまの血で化粧がしたい -
部屋が寒いです。どうにかなりませんか。あと僕たちは天使でしたよね
--- 換気をしていましたが，おそらく，換気をしないと暑いです．換気の程度を調整してみます． -
寝てしまった反省しました…。
--- 寝ていても構いません．どんどん寝て下さい． -
いつもパーカーですね
--- フリースジャケットであるときもあります． -
友利奈緒
--- ともりなお -
ところで最近、油ものが辛くなってきて、食べると気持ち悪くなってしまいます
--- 油もの以外にも食べるものはたくさんあるので，そちらを食べて下さい． -
音楽はあった方が良いです
--- 次回は検討します． -
最近暑くなりました．(汗
--- 夏に近づいてきていますね． -
このような完壁な講義を受けれるとは、私はなんと幸福な市民なのでしょう！
--- 完璧という漢字が間違ってます -
LaTeXでスライドを作っていると思うのですが、図はどのように作っていますか。(何のソフトやアプリケーションか)
--- ipeです．
- コメントありがとうございました．あまり人数が減っていないことにも驚きましたが，来週もよろしくお願いします．
- 音楽について．来週はなしにします．
-
自分の場合は音楽が無い方が集中できる気がします．
--- 来週はなしにしてみます． -
BGMはもう少し音量小さめだと良いかと。
--- 来週はなしにしてみます．喫茶店などのBGMはあんなもんだと思います． -
音楽を流すのも悪くないと思います。
--- ありがとうございます．来週はなしにしてみます． -
コメント返信ありがとうございました．やはり音楽はなしが…です．
--- ためしに，来週はなしにしてみます． -
BGMはどうやって探していますか。先生は普段どんな曲きいてますか．
--- YouTubeで適当に探してます．普段は音楽を聴きません． -
BGMは良いと思います。
--- 来週はなしにしてみます．なしの場合の意見もお願いします． -
音楽いいですね．Jazzだけでなく，Rock Popもいいと思います．
--- 落ち着ける雰囲気のものに限定したいと思っています． -
この選曲は眠くなる．
--- じゃあ，ゴルドベルク変奏曲をかけます． -
BGMは良いが数曲取り入れてほしい．
--- BGMの選択にあまり時間をかけていられないのでご容赦下さい． -
BGM良かったです。
--- 来週はなしにしてみます． -
BGMよかったです。
--- 来週はなしにしてみます． - 進め方についての質問・要望
-
演習の解答はアップしないとありましたが，ヒントをもう少しほしいと感じました。
--- ヒントの必要性は個人個人違うと思いますので，ヒントが必要な場合は個別に尋ねて下さい． -
レポートを提出すれば，やれなかったり，できなかった問題のアドバイスやヒントなどをもらえるのですか？
--- できたところまでをレポートで書いてもらえれば，アドバイスやヒントをコメントとして返すことはできますが，それがなければ，ヒントの出しようがありません．そこまでは自分でやって下さい． -
先週の演習問題1.7，1.8.2の解答 or 説明 or hint お願いします
--- 上で答えた通り，これではヒントの出しようがありません．よろしくお願いします． -
講義中に水を飲むことは許されますか？
--- 他の人の邪魔にならなければ許されます． -
人は単位を取らなければならないのか
--- 取らなくてもよいです．卒業できないだけなので． - 講義内容や演習問題に関する質問
-
前回の課題の $\displaystyle \sum_{v \in V}\deg_G(v)^2$ とは $\displaystyle \sum_{v \in V}\{\deg_G(v)\}^2$ ということですか？
--- その通りです． -
握手補題は証明の際に自明なこととして用いて良いのですか？
--- 握手補題を証明するということが目的でないならば，知っていることとして用いてよいです．ただし「自明なこととして」ではありません．みなさんは「自明」ということばをどこで覚えるのでしょうか．このことばは証明において決して使ってはいけないことばなので，注意して下さい．(そもそも，一部の数学者 (呼んでもいい人々) も「自明」ということばの意味を知らないのではないかと思える事例が多く存在します．) -
最大性論法の証明で，$\delta(G) \geq k-1$ の流れがよく分かりませんでした。
--- 「$\delta(G) \geq k-1$」は仮定です．仮定を使って証明を進めています． -
証明問題の書き方がわからないので「例題と解答」みたいな感じで参考にできる問題が1題ほしいです。(講義資料とは別に)
--- 講義資料のものだけです．それを参考にして下さい．証明の書き方は，今までの数学に関する授業でやってきているはずですので，それを復習して下さい． -
こういう無向グラフっぽいもの (授業の定義に外れるもの) は，グラフ理論では扱わないのか．
--- 「グラフ理論では…」という問いに対する答えは「扱う」です．ただし，(自己閉路を持つグラフと呼ばれますが) このようなものを数学的に定義しようとするとちょっと厄介なことになるので，この講義では扱いません．また，関係ないことではありますが補足すると，この講義はグラフ理論の講義ではありません．注意して下さい．ここにもちょっと書いてあります． -
「グラフ{は, が}連結している」という言い方は便利だし，直感的だと (個人的には) 感じるが，それを認めないのはなぜか．
- グラフの連結性は属性であってグラフの動作ではないから
- グラフ理論の文脈でそのような用法がこれまでなかったから
- 他の概念と混同する・混乱するから
- 信条が許さないから
--- はじめの理由「グラフの連結性は属性であってグラフの動作ではないから」が最も当てはまります．連結性は静的な属性 (性質) なので，そのように表現すべきだと思っていますし，ちゃんとした本ではそのように書かれています．例えば「グラフが連結している」という表現があったとすると，「何と連結しているのか？」と聞きたくなってしまいます．連結性とはそういうものではないので，表現としてふさわしくないと考えています． -
最大性論法を用いた証明はどのような問題に対して有効なのでしょうか？ (例えば，「すべての自然数について…が成り立つことを証明しなさい」→数学的帰納法など)
--- これは，証明に対する慣れがないと分かりにくいのですが，授業でやった命題 (最小次数がk-1以上ならば，頂点数kの道が存在する) を，最大性論法を用いずに証明しようとしてみると，味わいが分かるかもしれません．
また，「『すべての自然数について…が成り立つことを証明しなさい』→数学的帰納法」というのは正しくない (あるいは数学的帰納法を使おうと思うには不十分な) ので，注意して下さい．数学的帰納法は次回扱います． -
Pが長さ最大の道のとき，v1に隣接する頂点はすべてPの頂点である理由の説明をもう一度お願いします。
--- そうでないと仮定して矛盾を導きます．そうでないとすると，v1に隣接するがPには含まれない頂点が存在することになります．その頂点をuとしましょう．そうすると，uからv1を経由してvlへ至る道が存在することになりますが，これはPよりも長い道です．つまり，Pが長さ最大の道であったことに矛盾するのです． -
最大性論法を用いた証明の中で出てきた「k」がいったいなんなのか分からず、証明説明中ずっと探していました。
--- 見つかりましたか？ 「最小次数がk-1以上であるならば…」という仮定で登場しています． - 三角関係について
-
--- これだと男女の位置が分からないです． -
--- すいません，あまり好きじゃありません (-_-; -
三角関係：ある人物Aが同時に2人の人物B, Cと恋愛関係にあり，これを三者共が認識すること．(from wiki)
つまり恋愛関係ではなく認識関係ととらえれば三角関係では？
--- これは難しい解釈ですね．{A,B}と{A,C}という関係をA, B, Cが認識している，ということなので，それをモデル化するのは次のようなグラフだと思います．
-
三角関係とはこういう事では？ (要するに辺の種類が二種類ある)
--- 今のところ，これが一番納得できます． -
三角関係のもう一辺は恋敵の二人が友人・知人関係であるということでは…
--- 一つ前の人と同じような解釈ですね． -
四角関係についてですが
のように全員が別の相手をターゲディングする関係を観測したことがあります。
--- それはなかなか複雑な状況ですね ;-) -
×四角関係⇒K2,2関係？
--- K2,2のことを四角形と呼ぶこともあるので，四角関係はそれでよいです． -
--- 確かにいろいろな関係を考えられますね． ;-) -
Km,n (mはnより十分に大きい) のような人間関係はこわいですね
--- すみません，その感覚を共有できません… (-_-; -
さよなら三角またきて四角
--- 強さは互角と見ました！ - 講義の感想やその他
-
岡本先生にDANDAN心惹かれていきます (笑)
--- じゃあ，ロマンティックをあげます． -
ウルトラソウッ！！
--- ヘイ？ -
キャリアのあとの岡本先生はいやされます
--- それは，なにか，間違ってます．:-) -
頭が働かないです．
--- 十分に寝てきてください． -
ぽんぽんぺいん
--- お大事に -
いあ．いあ．はすたー
--- 召喚しないで下さい． -
にゃーん
--- なんか違うものが召喚された気がします． -
次の時間が実験なので、つらい気持ちになりながら授業をうけています．
--- 「実験は楽しい」と思いましょう． -
昼寝が気持ちいい気候になってきましたね．
--- 気候はそんなに変わりません．季節でしょうか？ -
暖かくなってきましたね！
--- そのうち梅雨の時期が来ますので，ご注意ください． -
「日本語感覚の破壊」は面白かった．
--- 正しく用語を使うことが重要なので，気をつけて下さい． -
最大性論法が難しかったです。
--- 演習問題を通して身につけて下さい． -
証明が良くわからないので、練習が必要だと思った
--- 演習問題を通して身につけて下さい． -
証明の例をもっと沢山見てみたいです。
--- 後の講義でもたくさんでてきますので，お楽しみに． -
今回取り扱ったような性質をもっと知りたいです．
--- 後の講義でもたくさんでてきますので，お楽しみに． -
急に難しいです．
--- 「何がわからないのかわからない」という状況かもしれませんが，「何がわからないのか」までは自分で理解して下さい．そこまで来れたら，分からない点を質問して下さい．分からない点を具体化することが大切です． -
説明が分かりやすいです
--- ありがとうございます．突然難しくなるかもしれないので，気を抜かないようにして下さい． -
今日の講義は前より理解出来た気がします
--- だんだん慣れてきているのかもしれませんね． -
証明楽しい
--- 楽しめるようになるといいですね．次回はまた別の証明法を扱います．
- コメントありがとうございました．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
- あいさつから
-
よろしくお願いします！
--- こちらこそよろしくお願いします． -
離散数学でもお世話になりました．今年もよろしくお願いします（￣＾￣）ゞ
--- はい，よろしくお願いします． -
履修しようと思います。よろしくお願いします。
--- よろしくお願いします． -
今年もよろしくおねがいします。
--- よろしくお願いします． -
今期もよろしくお願いします．ところで実験のガイダンスの場所がわかりません
--- よろしくお願いします．ガイダンスはもう終わってますね… -
半年間よろしくお願いします。昨年の離散数学の講義ではお世話になりました。
--- はい，よろしくお願いします． -
専攻したい分野においてグラフとネットワークはとても重要な要素になってくると思っています。よろしくお願いします。
--- こちらこそよろしくお願いします． -
半年間よろしくお願いします．
--- よろしくお願いします． - 音楽について．賛否両論あるので，次回は試しに流してみます．その様子を経験して，またご意見を下さい．
-
演習時間中の音楽、いいと思います。
--- 次回は試しに流してみます． -
インストDJに期待
--- DJではありません ;-) -
演習中BGMほしいです
--- 次回は試しに流してみます． -
音楽流してよいと思います．
--- 次回は試しに流してみます． -
演習中の音楽はあってもいいかも
--- 次回は試しに流してみます． -
休憩時及び演習時のBGMは有った方が良いと思います。
--- 次回は試しに流してみます． -
音楽はあった方が良いと思います。
--- 次回は試しに流してみます． -
音楽は流して下さい。
--- 次回は試しに流してみます． -
音楽はかんべんして下さい。
--- このように否定的な意見もありますので，次回は試しに流してみて，様子を見ましょう． -
音楽は無しがいいです．
--- 否定的意見2票目ですね．音楽以外で，演習の時間に相談しやすい雰囲気を作る方法があれば是非ご提案下さい． - 講義の進め方や事務的事項に関する要望や質問
-
ゆっくりしゃべってください
--- すみません．早口になる傾向があるので，気をつけます． -
早口ですね
--- あまり良くないと思うので気をつけます． -
声が少し聞こえにくいのでもう少しマイクを口に近づけてほしいです。
--- 「早口」という意見にも関係するかもしれません．次回ちょっと試します． -
マイクの音量をもう少し上げてほしいです。
--- マイクの音量自体を上げず，近づけてみます． -
声が聞きとれない箇所があります。おそらくは声の大きさとかではなく，話し方によるものだと思います。
--- 次回以降，気をつけます．永遠の課題なのですが． -
講義中に飲料を飲むことは可能でしょうか？
--- 可能です．飴ぐらいなら舐めてもよいです． -
中間試験・期末試験の過去に行われた問題を公開する予定はありますか？
--- 既に公開しています．活用して下さい． -
復習問題は自らの言葉で再構成する，といった意図なのか？
--- どのように使っていただいても構いません．再構成する，という気持ちで取り組んでいただいたもよいですし，授業でやったものを書き写す，という取り組み方でもよいです．まず，復習問題に書いてある内容が授業で扱われたということを認識することから始まりますので，復習として，それを確認して下さい． -
レポートの提出に際して、なにか制限はありますか？ (全ての問題を解かなくてはいけない、○○の用紙に△△と書かなくてはいけない etc...)
--- 制限はありません．解けたものだけまとめて提出してもらえればよいですし，解けなかったものについても，どのように取り組んだのかを書いて提出してもらえれば，それに沿ってヒントを出すこともできます．用紙についても制限はありませんが，綺麗な状態でとじて提出して下さい． -
レポートの書式について注意する点があれば教えてください．
--- 綺麗な状態で，閉じて，提出して下さい．それ以外には特にありません． -
離散数学が単位は取れたけどあまり理解できていない、という状態なのですが、この授業を取っても大丈夫でしょうか？ (理解できますでしょうか？)
--- まず役に立たないことをいいますが，取ることを止めることは私からできません．ということなので，ご自身でお考え下さい．と言ったうえで，もう少し役に立つことをいいますが，離散数学の理解が不十分であった原因の1つは，離散数学を実際に使ってこなかったことかもしれません．その意味で，この講義では離散数学を使うので，それを通して離散数学自体の理解も深まり，グラフとネットワークについても理解が深まっていく，という可能性もあります．その立場で勉強していけばよいのではないでしょうか． -
先生も教科書出して授業で使えば、先生に良いことあるのではないですか？
--- あまり考えていません．教科書を出版するというのは割とハードルが高く，このクラスの人数では，出版社が出版自体にOKサインを出してくれません． - 講義の内容に関する質問や要望，感想
-
出次数って言いづらくないですか？
--- 言いづらいですが，そのような用語ができてしまったので，仕方ないです． -
スライド24/46の「$V$ の要素数2の部分集合の集合」は「$2^V$ の要素数2の部分集合の集合」とは違うのですか？
--- 違います．例えば，$V=\{1,2,3\}$ の場合，「$V$ の要素数2の部分集合」を全部書くと，$\{1,2\}$，$\{1,3\}$，$\{2,3\}$ になりますが，「$2^V$ の要素数2の部分集合」を全部書くと， $\{\emptyset, \{1\}\}$， $\{\emptyset, \{2\}\}$， $\{\emptyset, \{3\}\}$， $\{\emptyset, \{1,2\}\}$， $\{\emptyset, \{1,3\}\}$， $\{\emptyset, \{2,3\}\}$， $\{\emptyset, \{1,2,3\}\}$， $\{\{1\}, \{2\}\}$， $\{\{1\}, \{3\}\}$， $\{\{1\}, \{1,2\}\}$， $\{\{1\}, \{1,3\}\}$， $\{\{1\}, \{2,3\}\}$， $\{\{1\}, \{1,2,3\}\}$， $\{\{2\}, \{3\}\}$， $\{\{2\}, \{1,2\}\}$， $\{\{2\}, \{1,3\}\}$， $\{\{2\}, \{2,3\}\}$， $\{\{2\}, \{1,2,3\}\}$， $\{\{3\}, \{1,2\}\}$， $\{\{3\}, \{1,3\}\}$， $\{\{3\}, \{2,3\}\}$， $\{\{3\}, \{1,2,3\}\}$， $\{\{1,2\}, \{1,3\}\}$， $\{\{1,2\}, \{2,3\}\}$， $\{\{1,2\}, \{1,2,3\}\}$， $\{\{1,3\}, \{2,3\}\}$， $\{\{1,3\}, \{1,2,3\}\}$， $\{\{2,3\}, \{1,2,3\}\}$ となります． -
辺のないグラフはグラフですか？ $(V, \emptyset)$
頂点がない場合は？ $(\emptyset, \emptyset)$
--- その通りです．null graph とか empty graph という用語もありますが，それが何を意味するのかいうことは，著者によって異なるので注意する必要もあります． -
握手補題の中の $\displaystyle \sum_{e \in E} M_{v,e} = \deg_G(v)$ および $\sum_{v \in V}M_{v,e}=2$ のグラフの理解がうまくできませんでした。
--- 前者は，頂点 $v$ に着目したときに，$\displaystyle \sum_{e \in E}M_{v,e}$ を考える，ということなので，$v$ に接続する辺の数，つまり，$\deg_G(v)$ になります．後者は，辺 $e$ に着目したときに，$\displaystyle \sum_{v \in V}M_{v,e}$ を考える，ということなので，$e$ に接続する頂点の数，つまり，2になります． -
手を動かした方が集中できるので，板書をたくさんして下さい．
--- 私がたくさん板書をするこということはあまりありません．皆さんは，私の口から出てくる言葉をメモすることも心がけて下さい．黒板に書かれるものだけが重要であるわけではないのです．あるいは，白黒で印刷してきたら，それにマーカーなどで色を付ける，ということをやってみてもいいかもしれません． -
楽しかった。講義はもう少し早足で良いので、演習の時間を伸ばしてくれると嬉しいです！！
--- 今日は初回でまだあまり内容がなかったのですが，次回からは内容も増えていくので，これぐらいのペースか，あるいは，それよりも遅いぐらいがちょうどよいかと思っています．演習の時間の15分はしっかりと確保していきたいです． -
入次数の $\deg_G^-(v)$ という表記が混乱しそうです．他の表記はありますか？
--- $\text{in-deg}_G(v)$ という表記もあります．また，組合せ最適化の一部の研究者は入次数を $\rho(v)$ と表し，出次数を $\delta(v)$ で表すことがあります．これもちょっと紛らわしいと個人的には思っています． -
スライドを読み解くのが大変だった．
--- そうですね．たくさん書いてあって，そのすべてが講義内で読まれるわけではないので，復習のときに見直して下さい．あるいは，講義資料は講義前に入手できるので，予習しておく，という勉強の仕方もあると思います． -
図や表で解説があると分かりやすくて良かったです
--- 図は大切なのでたくさん載せるようにしています．皆さんは知らないかもしれませんが，グラフに関する論文に全く図がないことはよくあります．すべてことばで説明するのです．それによって，直感に頼らない，強固な証明が記述されるわけですが，それを読むときにはもちろん図を描きながら直感を働かせつつ理解しようとする必要があります． -
講義内容がわかりやすかった。
--- ありがとうございます． -
わかりやすい授業でした。
--- 次回以降難しくなるかもしれないので，気を引き締めていきましょう． -
おもしろそうな講義でした．
--- ありがとうございます．しっぽははえてません． -
おもしろかったです．しっぽははえてません以外の解答でお願いします．
--- 技を封じられた… -
ゲームみたいで面白そうな科目。
--- 離散数学にはゲームやパズルのような雰囲気が漂っている気がしますが，そのような味わいを存分に感じて下さい． -
熱血授業に血が湧き立ちます
--- そんなに熱血でやってるつもりはないのです ;-) -
かなり丁寧な講義で，履修しようと思う気持ちが一層強くなりました．
--- 丁寧にやるように努力しますが，丁寧さが失われたときは叱って下さい． -
楽しんで授業にのぞんでいきたい
--- そうですね．楽しんで下さい (^^) -
この講義を受けて幸せになりました！！ (20代男性)
--- 効果には個人差がありますので，ご注意ください．;-) - 以下，一言コーナー
-
ちくわ大明神
--- 誰だ今の -
麻雀
--- しません．できますけど．
