離散数理工学

岡本 吉央

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講義資料

• 1/26 (13) 離散確率論 (6)：マルコフ連鎖 (発展)
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 講義動画
• 1/19 (12) 離散確率論 (5)：マルコフ連鎖 (基礎)
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 講義動画
• 1/12 (11) 離散確率論 (4)：乱択データ構造とアルゴリズム (発展)
  • スライド (1/22修正) | 印刷用スライド (1/22修正) | 演習問題 | 用語集
  • 講義動画
• 1/5 (10) 離散確率論 (3)：乱択データ構造とアルゴリズム (基礎)
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 講義動画
• 12/22 (9) 離散確率論 (2)：確率的離散システムの解析 (発展)
  • スライド (12/24修正) | 印刷用スライド (12/24修正) | 演習問題 | 用語集
  • 講義動画
• 12/8 (8) 離散確率論 (1)：確率的離散システムの解析 (基礎)
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
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• 12/1 (7) 離散代数 (3)：全域木の数え上げ
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 前回の続きからやります
  • 講義動画
• 11/17 (6) 離散代数 (2)：非交差経路の数え上げ
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 前回の続きからやります
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• 11/10 (5) 離散代数 (1)：行列式とパーマネント
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 (11/16修正) | 用語集
  • 講義動画
  • 演習問題5.1と5.5以外の提出締切は延長．
• 10/27 (4) 数え上げの基礎 (4)：漸化式の解き方 (発展)
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
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• 10/20 (3) 数え上げの基礎 (3)：漸化式の解き方 (基礎)
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
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• 10/13 (2) 数え上げの基礎 (2)：漸化式の立て方
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 講義動画
  • 演習問題2.5(2)の提出締切は延長
• 10/6 (1) 数え上げの基礎 (1)：二項係数
  • スライド | 印刷用スライド | 演習問題 | 用語集
  • 講義動画
  • 演習問題1.5，1.6, 1.7, 1.8, 1.13, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18の提出締切は延長．
  • 離散確率論の復習

• 1/26 (13) 離散確率論 (6)：マルコフ連鎖 (発展)
  • コメントありがとうございます．講義は終了しました．レポートを忘れずに提出して下さい．
  • ありがとうございました。
    -- こちらこそありがとうございました．
  • 今までありがとうございました。
    -- こちらこそありがとうございました．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそありがとうございました．
  • 4ヶ月間ありがとうございました。履修できてよかったです。
    -- こちらこそありがとうございました．
  • 講義ありがとうございました。レポート頑張りたいと思います。
    -- はい，レポートにしっかりと取り組んで下さい．
• 1/19 (12) 離散確率論 (5)：マルコフ連鎖 (基礎)
  • コメントありがとうございます．今回はたくさん提出していただけて，うれしいです．
  • ありがとうございました。
    -- ありがとうございました．
  • 第11回授業スライド16ページの二項係数の式が直っていないように思います．
    -- ありがとうございます．直しました．
  • 毎回Google Classroomのストリームを下まで遡ってZoomのリンクに辿り着いていたのですが、今日は何故か途中までしか遡れなくなり入室に手間取ってしまいました。
    -- 自分の手元に1つのファイルで授業のアクセス方法をまとめておくとよいと思います．いまさら，かもしれませんが．
  • πは円周率としてよりも分布として用いる方が個人的に好きです。
    -- 円周率にπという記号を使い始めたのはウィリアム・ジョーンズだと言われています．それは1706年のことだそうです．歴史があるのですね．
  • 状態遷移図とか久しぶりに見ました
    マルコフニコフは名前は聞いたことしかなかったので少しは理解できたかなと思います
    -- マルコフニコフではございません ;-)
  • 他の講義でもレポートが続々出されてきているので計画的にこなしたいです
    -- はい，計画的に進めて下さい．
• 1/12 (11) 離散確率論 (4)：乱択データ構造とアルゴリズム (発展)
  • コメントは1つしかいただけませんでした．この5倍ぐらいは授業に参加していたと思いますので，皆さん是非コメントは投稿するようにして下さい．
  • ありがとうございました。
    -- こちらこそありがとうございます．
• 1/5 (10) 離散確率論 (3)：乱択データ構造とアルゴリズム (基礎)
  • コメントありがとうございました．
  • あけましておめでとうございます
    年明け一回目でした。忘れてる内容もありました
    -- あけましておめでとうございます．
  • ありがとうございました。
    -- ありがとうございました．
  • 新型コロナが収束する気配全然ないですね。
    -- 皆さんは，基本的な感染対策を励行して下さい．特に，接触確認アプリの利用がまだの方は，導入して下さい．
• 12/22 (9) 離散確率論 (2)：確率的離散システムの解析 (発展)
  • コメントありがとうございました．必須レポートの提出期限は1月4日です．忘れないようにして下さい．
  • 昨日で年内の授業終わりだと思ってました。。。
    -- そういう勘違いは誰にでもありえます．記憶に頼る習慣があると，のちのち困るので，スケジュール管理をするためのツールを使いこなせるようにしておくとよいですね．
  • 冬休みに帰省するかどうか迷い気味です
    -- 個々人によって状況は違うので，自分自身でしっかりと考えて下さい．
  • 来年もよろしくお願いします。
    -- 来年もよろしくお願いします．
  • ありがとうございました。よいお年を
    -- よいお年を．
  • ありがとうございました。
    -- こちらこそありがとうございました．
  • ありがとうございます
    -- こちらこそありがとうございました．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそありがとうございました．
• 12/8 (8) 離散確率論 (1)：確率的離散システムの解析 (基礎)
  • コメントありがとうございました．
  • ありがとうございました。
    -- こちらこそありがとうございました．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそありがとうございました．
  • 冬は暴食気味です。
    -- お気をつけください．
  • 1限があると朝日が見れる心地よい朝を迎えられるので助かります
    -- 1限がなくても，朝早く起きてよいのですよ ;-)
  • 難しい内容が多いように感じられた
    -- いままで勉強した確率論を使っているだけなので，しっかりと復習して下さい．
  • 誕生日問題、意外と早い時点で1に近づくんですね
    -- そうですね．そのように，直感と反するので「パラドックス」と呼ばれているのだと思います．
  • 将棋の振り駒は公平なのかとふと思いました．裏表に違う文字が書いてありますし．サイコロもそうですね．
    -- ある会社が世界一フェアなサイコロを実際に作成して販売しています．興味があったら，ぜひ試してみて下さい．(ただし，かなり高価です．)
  • オススメの本とかあったら教えてください（離散数学に関係あってもなくてもいいです）
    -- よく『理解の秘密』を薦めています．私が学生のときに読んで非常に感銘をうけました．品切れのようですが，電通大図書館に蔵書されているようです．
• 12/1 (7) 離散代数 (3)：全域木の数え上げ
  • コメントありがとうございました．
  • よろしくお願いします
    -- よろしくお願いします．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそ，ありがとうございました．
  • 今日は天気がいいですね
    -- そうですね．日に日に寒くなってきているので，体調には気をつけて下さい．
  • 冬に食べるみかんは美味しいですね
    -- 同感です ;-)
  • 遠隔と対面混ざるときついですね…
    -- そう思います．そのため，この授業は何もかも遠隔でやるようにしています．
  • 閉路を定式化する方法を学べました
    -- それはよかったです．私自身は閉路を定式化する方法を説明したつもりはないので，そこから何かが読み取られたようで，素晴らしいと思います．
  • 途中から理解が追いつかなくなったので頑張って復習してみます
    -- はい，復習をよろしくお願いします．
  • 電通大の推薦を志望していた高校の後輩が落ちていたようで残念でした。
    -- それは残念ですが，まだ入試はありますので．
  • 第7回講義資料(handout07)の6ページ目にあるラプラス行列の定義について、
    現在の資料だと R V×V (Rの右肩にV×V)と記載されていますが、正しくは R |V|×|V| (Rの右肩に|V|×|V|)ではないでしょうか
    -- これは $\mathbb{R}^{V\times V}$ で正しいです．説明が必要だと思うので，説明します．
    $\mathbb{R}^{|V|\times |V|}$ と書くと，これは $n=|V|$ のとき，$n\times n$ 実行列全体の集合を表すことになります．つまり，$\mathbb{R}^{|V|\times |V|}$ の要素である行列 $A$ の成分は2つの自然数 $i,j$ を使って $a_{ij}$ と書かれることになります．一方で，$\mathbb{R}^{V \times V}$ と書くと，これは行の添え字が $V$ から取られ，列の添え字が $V$ から取られる実行列全体の集合を表すことになります．つまり，$\mathbb{R}^{V\times V}$ の要素である行列 $A$ の成分は $V$ の2つの要素 $u,v$ を使って $a_{uv}$ と書かれることになります．
    より一般的に，有限集合 $X, Y$ を使って，$\mathbb{R}^{X \times Y}$ と書くと，これは行の添え字が $X$ から取られ，列の添え字が $Y$ から取られる実行列全体の集合を表すことになります．
    ただ，ここまでの説明は「こう考えると考えやすい」というもので，ちょっとごまかしている部分があるのも確かです．本来の説明は以下のようになります．自然数 $k$ に対して，$\mathbb{R}^k$ と書いたら，これは $\mathbb{R}$ を $k$ 個並べた直積 $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}$ を表します．一方で，集合 $K$ に対して，$\mathbb{R}^K$ と書いたら，これは $K$ から $\mathbb{R}$ への写像全体の集合を表します．$K$ から $\mathbb{R}$ への写像は，添え字集合を $K$ とする実ベクトルと同一視できるので，上の段落の説明が正当化されます．
• 11/17 (6) 離散代数 (2)：非交差経路の数え上げ
  • コメントありがとうございました．
  • 特になし
    -- はい，「特になし」でもよいので，このコメントは出すようにして下さい．
  • 特になし
    -- はい，「特になし」でもよいので，このコメントは出すようにして下さい．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそありがとうございました．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそありがとうございました．
  • ここ数日暖かめですね。
    -- そうですね．季節の変り目ですので，体調には気をつけて下さい．
  • 今日は早起きできました．
    -- それはよかったです :-)
  • 卒研配属の希望状況全体が見れることを昨日初めて知りました。
    -- それはよかったです．ただ，全体が見られるのは11月23日の17:00までであるはずです．
  • 前回からの講義の遅れはどのくらいで挽回する予定なのでしょうか
    (予備日である2/2にも講義があるのかが気になっています)
    -- 「離散代数」の内容については，次回で終わるようにします．(終わるように内容を調整します．) 予備日の2/2に行うかどうかは，まだ分かりません．
  • 後学期は休講も多くて時間の経過がとても早く感じる
    -- 休講が多いことと時間の経過が早いことの因果がよくわかりませんが，とりあえず，年を取ると，時間の経過を早く感じるようになるそうです．ジャネの法則と呼ばれてます．
  • 今までの別講義でのグラフの話や行列の話などが出てきて数学的なつながりを感じた
    -- それが伝わっていれば，私の目的はだいたい達成できています．この授業は「結局すべてはつながっている」ということを認識するためのものなので．
• 11/10 (5) 離散代数 (1)：行列式とパーマネント
  • コメントありがとうございました．コメントの提出が少なくなっている気がします．出席した人は必ずコメントを提出するようによろしくお願いします．
  • 特になし
    -- はい，「特になし」でもよいので，このコメントは出すようにして下さい．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそありがとうございました．
  • 今回の範囲は難し型の出、復習をしっかりしたいと思います。
    -- 「むずかしかったので」だと見なします．しっかりと復習をして下さい．
  • sgnを使った計算、線形第2でやったようなやってないような
    -- 覚えていることは重要ではないので，忘れたら調べて思い出せるようにして下さい．
  • 理解の浅さを痛感している もうちょっとこの授業に時間を割こうと思った
    -- はい，分からない部分がありましたら，ぜひ質問して下さい．
  • 去年に続いて出た2回目のICPC国内予選はかなり微妙な成績でしたが、一応アジアに進めるみたいです。がんばって挽回します。
    -- それはおめでとうございます．よい成績が残せるようにしっかりと準備ができるとよいですね．
  • 研究室配属が心配です
    -- 心配していても，行われるものは行われるので，いろいろな情報を収集して，決断をして下さい．
• 10/27 (4) 数え上げの基礎 (4)：漸化式の解き方 (発展)
  • 時間配分など大変かと思いますが、ちょっとした雑談も毎回密かに楽しみにしています。
    -- ありがとうございます．計画された雑談ほどつまらないものはないと思います．その場で思いついたり思い出したことを話しています．
  • 余談ですが私は西武ファンです
    -- クライマックスシリーズに出られるとよいですね．
  • 心なしか最近休講が多く、この講義に限らず復習が捗っている気がする。
    -- それはよかったです ;-)
  • オンライン授業ばかりで運動不足になりがちなのですが、日ごろ何らかの運動はされていますか？
    -- 歩くようにしてますが，歩きすぎると血圧が下がりすぎるので，ほどほどにしています．
  • 演習問題3.9のヒントってもらえないでしょうか。
    -- $q_n \leq Cn$ を満たすような定数 $C$ を見つけて下さい．証明は数学的帰納法を使えばできるはずです (あるいは，数学的帰納法で証明できるような $C$ を見つけて下さい)．
  • p41の式の2行目から3行目にかけての変形がまだしっくりきてないです
    -- おそらく，$\displaystyle \left(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\right)\left( \sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{1}{\ell!}x^{\ell}\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)x^n$ という等式のことだと思います．授業の中でちゃんと説明しなかったので，少し補足します．
    まず，$\displaystyle \left(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\right)\left( \sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{1}{\ell!}x^{\ell}\right)$ は書き直すと，$(1+x+x^2+x^3+\cdots)(\frac{1}{0!}1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots)$ になります．これを展開すると，$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)x^n$ になります．
    なぜ，展開するとそうなるのか説明します．そのために，$x^n$ の係数が $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ になることが分かればよいです．$x^n$ の係数を考えるためには，$x^n$ を展開によって作るときに，右の$(\frac{1}{0!}1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots)$ から $\frac{1}{k!}x^k$ を選んで，左の $(1+x+x^2+x^3+\cdots)$ から $x^{n-k}$ を選んで，掛け合わせると $\frac{1}{k!} x^n$ を作れることが分かります．そのような $k$ のとりうる範囲は $0$ から $n$ まであるので，$x^n$ の係数が $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ になると分かります．
  • (講義中に質問のあったnの範囲について)
    「漸化式の時点ではn>=1という制約が付くけれども、和を取ると、nが1→∞を動くため制約がなくなる」という部分について質問です。
    例えばn'=n-1と定義すれば、nが1→∞を動くとき、n'は0→∞を動くので、確かに答えはnの値に依存していない感じがします。ただ、nが動く範囲が有限になった場合はnに依存する(式にnが出現する)と考えています。
    そうなると、和をとる時にnの範囲が有限である場合(そのような場合が数学的に意味があるかどうかは分かりませんが)は、和をとる操作をしたあともnの範囲に気を付けなければならないということでしょうか。
    -- 説明が正確ではなかったかもしれないので，もう一度説明してみようと思います．まず，有限和であっても無限和であっても，$n$ に関して和をとっているので，最終的に得られる式は $n$ に依存しません．例えば，数列 $\{a_n\}$ に対して，無限和 $\displaystyle \sum_{n=k}^{\infty}a_n x^n$ を考えると，これは $n$ に依存しませんが，$k$ には依存します．そして，有限和 $\displaystyle \sum_{n=k}^{\ell} a_n x^n$ は $k$ と $\ell$ に依存します ($n$ には依存しません)．
    重要なことは何かというと，無限和であっても有限和であっても，その和が $n$ に依存せず，$x$ の式として書き表せることです．(つまり，$n$ に依存しない，という性質は無限和だから得られるものであるわけではない，ということです．) 一方で，無限和 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ (つまり母関数) は数列 $\{a_n\}$ の情報を「すべて」含んでいる，ということが重要です．数列 $\{a_n\}$ の情報をすべて含んでいるので，そこから一般項 $a_n$ を導き出すことができるわけです．
  • 高校数学と大学一年で習った内容がたくさんあったのでいい復習にもなりました。
    -- いままで習ったことを存分に使っていきます．そのつもりで勉強して下さい．
  • 部分分数分解って言葉を久しぶりに聞いた
    -- ぜひ復習をして下さい．
  • 部分分数分解の解法はokです　
    -- それはよかったです．演習問題もやってみて下さい．
  • 前半の方はやはり少し難しく感じました
    -- おそらく，細かい計算が難しかったと思います．細かい計算の前に，まずは考え方を理解して下さい．
  • 今までとは違う数列の解き方で面白かったです
    -- 「数列を解く」という表現は用いないと思います．できる限り正確な日本語表現ができるように心がけて下さい． :-)
  • 独自に部分分数分解を進めたら級数展開できない形になってはっとした
    -- まず，自分の考え方でやってみる，というのは大事なので，どしどしやって下さい．
  • 今回の内容は、すんなりと理解できた。
    -- 演習問題にも取り組んで，理解できたか確かめてみて下さい．
  • 収束しない場合の母関数の解法で、e^xが現れたところで少し長くなるかと思ったが、意外と簡潔に導けて感心した。
    -- そうですね．もう少し難しい話になると，三角関数のテイラー展開がでてきたり，母関数を導くために微分を使う場合があったりして，ややこしくなります．
  • 計算理論と同じようにコメント送信は終了後1時間半あると勘違いしていました 前回コメント送信しそびれました
    -- どちらも終了後30分と設定してますので，お忘れなきようお願いします．
• 10/20 (3) 数え上げの基礎 (3)：漸化式の解き方 (基礎)
  • コメントありがとうございました．出席者数に比べてコメント提出数が少ないので，出席した人は必ずコメント提出をお願いします．
  • ありがとうございました。
    -- こちらこそありがとうございました．
  • 説明が分かりやすくて助かります。
    -- 授業を聞いていると分かった気になってしまいますが，演習問題にも取り組んで，本当に分かったかどうか確認してみて下さい．
  • １限がやはり少しきついが、講義聞いてると集中力が上がるりました。
    -- それはよかったです．休憩もうまく活かして下さい．
  • 途中で線形結合の話が出て、これまでに学習した内容とつながっていることに気づけて良かった。
    -- そうですね．いままで勉強したことで使えるものは何でも使います :-)
  • 式変形に微分ですか(驚愕)
    -- そうですね．いままで勉強したことで使えるものは何でも使います :-)
  • 行列の復習が必要とかな思った
    -- はい，復習は大事なので励行して下さい．
  • 母関数という考え方がこれからどう役に立つのか気になりました。
    -- これは次回の内容になります．お楽しみに．
• 10/13 (2) 数え上げの基礎 (2)：漸化式の立て方
  • コメントありがとうございました．
  • 任意の演習問題だけ解いて提出は可能ですか？
    -- はい，可能です．すべてを解く必要はないですし，私もすべての問題が解かれることを想定しているわけではないです．取り組みたい問題だけ取り組んで下さい．
  • 演習となっている部分もレポート提出期限がすぎたら公開していただきたいです
    -- すみません，何の公開が求められているのか分からないので，答えようがないです．
  • お疲れさまでした
    -- こちらこそお疲れ様でした．
  • 急に難しくなった。よく復習したい。
    -- はい，よく復習をお願いします．
  • よく復習しておこうと思った。
    -- はい，よく復習をお願いします．
  • 計算量を求めるのは苦手なので、漸化式を立てるのに苦労しそうです。
    -- ぜひ演習問題に取り組んでみて下さい．
  • テキストのプログラムを実際に動かしてみて様子を見てみようと思います。
    -- 自分でやってみるのは重要ですね．ぜひ試してみて下さい．
  • 大学入試を思い出した
    -- 生まれる前の記憶が蘇るとよかったのですけどね．
  • 説明がとても丁寧でありがたいです。
    -- 授業を聞いていて分かった気になるのは危ないので，演習問題もやってみて下さい．
  • 分かった気になっても試しに手を動かすと取りこぼしが多いためあと一段階集中力が欲しい。
    -- 集中力で何とかなるのかどうかは分からないのですが，分かった気になっているだけで止まらないのは大事ですね．
  • 今までの内容を別角度から確認できて面白いです。
    -- はい，そういうつもりで授業を設計しています．
  • ３段の格子の完全マッチングの話は大変興味深かったです
    -- この話を4段，5段…としていくと，というのが後で待っています．
  • グラフとネットワークを取っていたので今回の授業は理解しやすかった
    -- いろいろな授業のはなしがつながっていますからね．つながりを意識するのは大事なので，他の授業とのつながりも見つけてみて下さい．
  • 漸化式は好きなので楽しく受けられました。ありがとうございました。
    -- こちらこそありがとうございました．
  • マッチングがフィボナッチで数えられるのか
    -- それがフィボナッチ数の組合せ的解釈の1つである，ということです．
  • 今回は非常に分野が多岐に渡っていたこともあり、理算数理工学というのがいまいちどう言った学問なのか疑問を持つ様になりました。
    -- 「離散」ですね．離散数理工学ということばは一般に使われるものではないと思います．この授業のために作られた造語だと思って頂いてもよいです．離散数学を工学的に用いる，という側面と，工学に現れる離散数学を探究する，という側面を持っていると思って下さい．
  • 研究室配属が今から不安です
    -- しっかりと考えて配属希望を出してください．
  • 岡本研いきたいです
    -- 先日の説明会でもあったとおり，いろいろな研究室についてみることが大事だと思います．研究室見学や面談を活用して下さい．
• 10/6 (1) 数え上げの基礎 (1)：二項係数
  • コメントありがとうございます．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
  • 申し訳ありませんが中間発表を見ており参加できませんでした。
    -- はい，出席はとってませんので，ご自由に受講して下さい．
  • 中間発表みてるので録画を見ます。第5セッションのテーマが面白そうでわくわくしてます
    -- わくわくできるのはよいですね．;-)
  • 休憩中にお菓子を食べると案外気持ちの切り替えが上手くいって良いかもしれない
    -- 休憩時間の使い方は皆さんの自由ですので，使い方をいろいろと考えてみて下さい．
  • 講義中に何度か挟まれる休憩ですが、学生側も集中力の回復に役に立つため有り難いです。
    -- それはよかったです．ぜひ活かして下さい．
  • よろしくお願いします。
    -- はい，こちらこそよろしくお願いします．
  • よろしくお願いします。
    -- はい，こちらこそよろしくお願いします．
  • ありがとうございました
    -- こちらこそありがとうございます．
  • 半年間よろしくお願いいたします。
    -- よろしくお願いします．
  • 授業形式を把握しました
    -- 把握していただけてよかったです :-)
  • 今のところ簡単
    -- すぐに難しくなるので，待ち構えていて下さい ;-)
  • かなり分かりやすかった
    -- それはまやかしかもしれません :-)
  • 説明が分かりやすかったです。
    -- わかりにくい部分がありましたら，ぜひ質問をして下さい！
  • 講義用スライドを見ながら受けるとどのスライドに飛んだかわかりにくい部分がありました
    -- スライドの右下にページ番号が書いてあるので，参考にして下さい．
  • 朝から話さなくてはならない内容が多く、先生も大変だなぁと思いました
    -- そういう仕事なのです (^^)
  • スライドやテキストが充実してて良かった
    -- 充実していると思うとそれで止まってしまうので，自分なりに付け加えてより充実させて下さい．
  • わかりやすくかみ砕いていただいて助かります
    -- それはよかったです．皆さんも自分なりの理解を心がけてみて下さい．
  • スライドがとても見やすいです
    -- 「こうするとよくなる」という点がありましたら，ぜひお知らせください．
  • 数学は暗記してはいけないということが身に染みて感じられた
    -- そうですね．暗記をすることは無駄なので，やめて下さい．ただ，自然に覚えてしまうことは仕方ないので，それまで止めるつもりはないです ;-)
  • 同じ計算でも複数の組み合わせ的解釈があるのが面白く感じました。
    -- そうですね．それが組合せ論の面白い点の1つだと思います．
  • パスカルの三角形の式がどういうふるまい方をしているかの解釈が面白かったです。納得できました。
    -- 自分で納得できるのは重要ですね．自分なりの解釈も考えてみて下さい．
  • パスカルの三角形ってそういう考え方でできたんですねぇ…
    -- そうですね，いろいろな考え方がありますね．
  • 久々に数学の内容をやったので、演習問題で復習していきたい。
    -- 演習問題で復習することは大事なので，励行して下さい．
  • 組み合わせ的解釈の図がわかりやすかったです
    -- 図を描くことは重視しています．図が描けないと思えるような概念でも，図で説明できるようになると，理解が深まると思います．
  • 意味を考えていくのは面白いと思いました。
    -- 等式や公式の意味を考えるのは重要です．例えば，テイラー展開の $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ という式の意味を考えてみて下さい．
  • 今までに組み合わせ的解釈を行うことが少なかったので、馴染みのある内容にも新たな側面を感じることができました。これからトレーニングしていこうと思います。
    -- 講義では二項係数の解釈を3つ紹介しましたが，他にも解釈のしかたはあるはずです．考えたり，調べたりしてみて下さい．
  • 二項係数のあの形で大学入ったときに何これって混乱したのを思い出しました。
    -- 私も混乱した覚えがあります ;-)
  • 私見ですが、nCrだとnは自然数しか許されないことに対し、(n r)は定義によっては実数も入り得るという点で区別がされているのかなと思いました。
    もしくは歴史的な経緯があるのかもしれません。
    -- なぜいろいろな記号があるのか，私はよく知らないです．大抵，学問の黎明期では，同じ概念が異なる用語や異なる記号で表されることがあり，年月を経て統一されていくことになります．二項係数もそうなのかもしれません．
  • この講義もそうですが、リモートで不便が多いなりに各講義とも工夫してリモートならではの良さも生み出しているのが面白いです。
    -- そうでないと，リモートでやっている意味はないと思うので，いろいろと考えてます :-)
  • 2回のレポート提出はいつぐらいに行われるのでしょうか。
    -- 12月と2月です．

• 2回のレポート提出により，成績の評価を行います．
• レポート1
  • レポート課題，提出要項
  • 提出自体はGoogle Classroomで行って下さい．
• レポート2
  • レポート課題，提出要項
  • 提出自体はGoogle Classroomで行って下さい．

• こちらをご覧ください

• 10/6 (1) 数え上げの基礎 (1)：二項係数
• 10/13 (2) 数え上げの基礎 (2)：漸化式の立て方
• 10/20 (3) 数え上げの基礎 (3)：漸化式の解き方 (基礎)
• 10/27 (4) 数え上げの基礎 (4)：漸化式の解き方 (発展)
• 11/3 文化の日
• 11/10 (5) 離散代数 (1)：行列式とパーマネント
• 11/17 (6) 離散代数 (2)：非交差経路の数え上げ
• 11/24 調布祭片付け
• 12/1 (7) 離散代数 (3)：全域木の数え上げ
• 12/8 (8) 離散確率論 (1)：確率的離散システムの解析 (基礎)
• 12/15 (*) 中間レポート出題 (講義はお休み)
• 12/22 (9) 離散確率論 (2)：確率的離散システムの解析 (発展)
• 12/29 冬期休業
• 1/5 (10) 離散確率論 (3)：乱択データ構造とアルゴリズム (基礎)
• 1/12 (11) 離散確率論 (4)：乱択データ構造とアルゴリズム (発展)
• 1/19 (12) 離散確率論 (5)：マルコフ連鎖 (基礎)
• 1/26 (13) 離散確率論 (6)：マルコフ連鎖 (発展)
• 2/2 (14) 予備 (期末レポート出題になるかもしれない)
• 2/9 (*) 期末レポート出題

• 離散数理工学 (2019年度後学期，I類 (情報系))
• 離散数理工学 (2018年度後学期，I類 (情報系))
• 離散数理工学 (2017年度後学期，情報・通信工学科)
• 離散数理工学 (2016年度後学期，情報・通信工学科)
• 離散数理工学 (2015年度後学期，情報・通信工学科)
• 離散数理工学 (2014年度後学期，情報・通信工学科)

• 2019年度： 中間試験 | 期末試験
• 2018年度： 中間試験 | 期末試験
• 2017年度： 中間試験 | 期末試験
• 2016年度： 中間試験 | 期末試験
• 2015年度： 中間試験 | 期末試験
• 2014年度： 中間試験 | 期末試験