離散数学
電気通信大学先端工学基礎課程
2017年度前学期
木曜7限 (19:30-21:00)
教室：A201
岡本 吉央
ショートカット：
講義資料 |
コメント |
試験・成績 |
公式シラバス |
スケジュール |
過去の講義 |
過去の試験問題
講義資料
- 7/20
- 7/13 (11) 証明法 (4)：数学的帰納法
- 6/29 (10) 関係 (1)：関係
- 6/22 (9) 写像 (2)：全射と単射
- 6/8 (8) 写像 (1)：像と逆像
- 6/1 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- 5/25 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- 5/18 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- 5/11 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- 4/27 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- 4/20 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- 4/13 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
コメント
- 7/20 前回の続き
- コメントありがとうございました．残すは期末試験のみとなりました．しっかりと準備をしてきてください．
-
半年間ありがとうございました。
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こちらこそありがとうございました．
-
ありがとうございました．
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こちらこそありがとうございました．
-
講義ありがとうございました。
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こちらこそありがとうございました．
-
説明がとても丁寧でとても理解しやすい授業でした
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ありがとうございます．早口になったりしてうまく伝わらない部分もあったと思いますが，ビデオを見てよく復習して下さい．
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半年間、ありがとうございました。
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こちらこそありがとうございました．
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半期間お世話になりました。先生面白かったです。
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こちらこそありがとうございました．
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前学期間ありがとうございました ⌣ しっかりとした授業構成のおかげで楽しく学習できたこと、うれしく思います．Thank you and Goodbye 離散数学 forever...
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こちらこそありがとうございました．
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今までありがとうございました！とても興味深い授業でした。最後まで頑張ります！ Thank you and good bye 離散数学 Forever ... (KING OF PRISM - PRIDE the HERO - を見てください)
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こちらこそありがとうございました．おそらく見ません (^^;
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中・高証明が苦手でしたが、授業が分かりやすく、証明が苦ではなくなった気がします。ありがとうございました☆
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証明は重要な技術なのでしっかりと身に付けて下さい．ありがとうございました．
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離散数学，とてもおもしろかったです！ ありがとうございました。
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こちらこそありがとうございました．
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最後の授業 (講義) が自分の誕生日 (7/20) なので運命を感じました。
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おお，おめでとうございます！
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試験がんばります。
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はい，しっかりと準備してきてください．
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テストに向けて勉強がんばります。
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はい，しっかりと準備してきてください．
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期末ガンバリマス
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はい，しっかりと準備してきてください．
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テスト頑張りたい．
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はい，しっかりと準備してきてください．
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期末テストがんばります
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はい，しっかりと準備してきてください．
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前学期の間，ありがとうございました．期末試験がんばります．あと，今日の先生のシャツがとても良いなと思いました．
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はい，しっかりと準備してきてください．
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アロハシャツは沖縄で買われたのですか？
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このアロハは沖縄で買ったものではないです．沖縄で買ったものもいくつかもっていますが．
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とてもセンスのある柄シャツですね．ぼくも柄シャツはよく集めてるので参考になります...？
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参考になれば幸いです...？
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電通大の新しく出来る食堂の名前を考えてください．
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いままでの2つは「ハルモニア」と「ロイヤル」だったので，「ル」がつかないといけないようです (？)
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中間試験同様、期末試験にも演習問題から30点分出題されると思いますが、期末試験の30点分は中間試験以降の演習問題からの出題という認識で間違っていないでしょうか？よろしくお願いします．
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期末試験の出題範囲は「第7回講義資料の最初から第11回講義資料の最後まで」です．
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スライドのページを見ると、毎回最後までいっていない様に思います．(今日は41/43が最後)
この数ページはどうなっていますか？
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鋭いですね ;-) その数ページは自習範囲だと思って下さい．
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説明はとてもわかりやすかったです．本当はレポートを提出しみていただきたかったですができませんでした。例題 (答えつき) が多いとよかったと思います．
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例題はこれでも多い方だと思っています．これ以上増やすと焦点がぼける気もします．
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帰納法は面白い
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演習問題もしっかり取り組んでみて下さい．
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授業アンケートとこの紙はどちらの方が重要ですか。(特に今回)
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どちらも重要です．役割が異なります．授業評価アンケートは大学全体で (正確には大学教育センターが) 集めているので，他の授業との比較や，全体としての傾向を掴むためにも利用されます．
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傾向的に中間と期末の平均点はどちらが上ですか？
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過去の講義の記録があるので，そちらをご覧ください．
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今更ながらなぜこの講義名は「離散数学」なのでしょうか。
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離散数学に関する (しっかりとした) 教科書を見てみると，この講義で扱った内容がはじめの章にでてきたりしています．その意味では離散数学です．しかし，これだけで離散数学になるわけではありません．別の言い方をすれば，この講義の内容は離散数学の序章にしかすぎないわけで，それはどんな数学，どんな理工学にとっての序章でもあるのです．
-
数列の項が $a_1, a_2, a_3, ...$ とあると，「...」は無限に続くと教わったのですが，どうしても無限のイメージがつかめず，よく分かりません。無限について，なにかおすすめの本があれば教えてほしいのですが，どうでしょうか。
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マーチン・ガードナーの『The Paradox Box 逆説の思考』という本がありますが，その中に無限に関するお話があります．イメージは湧きやすいと思います．おそらく絶版で，入手困難かもしれませんが，よい本です．
- 7/13 (11) 証明法 (4)：数学的帰納法
- コメントありがとうございました．次回で最終回になります．よろしくお願いします．
-
期末テストは他の曜日 (木曜日以外) になる可能性があるという認識で良いですか？
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はい，その通りです．
-
期末テストの代わりに期末レポートを課すのはいかがですか？提出日を8/3(木)にすれば良いと思います。そうすれば、表向きには8/3(木)が試験日であるということにできますね。
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ご提案ありがとうございます．しかし，レポートでは自分自身が解答したことを保証できないので，評価できません．ということで，試験により評価を行います．
-
テスト前にここまで教わったそれぞれの証明文を持ち込み用紙に書き込まねばならないと思うと、気が重い。書き写すのにかかる時間の逆算は怖くて出来ない。
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「書き込まねばならない」わけではないので，自分の判断で行って下さい．
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せっかくなので，次回の休憩時間に音楽を流してほしいです。リフレッシュできるような気がします．
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次回は休憩時間がないかもしれません…
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冬への扉を探しています。
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猫をかわいがってください．
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特にありません。
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ありがとうございます．それでもよいので，この紙は出し続けて下さい．
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書くことがないヨー （´・ω・`）
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書くことが内容です．
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emacsは最高
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私もemacsを使っています．
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今日は舌を噛みそうだなと思ってました．
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痛かったですよ ;-)
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全順序，半順序はきっちり整理しようと思います．
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そうですね．数学では「順序」といったら「半順序」を指すので注意して下さい．
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「無意識を意識する」というのはなるほどと思いました。
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私としても，気に入っている格言です (^^)
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「任意の正の整数 $k$ を考える」と「$k \in \mathbb{Z}_+$ を考える」と (証明で) 書いても大丈夫ですか。
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大丈夫です．
-
高校の時、帰納法の証明の際に
「(i) n=1のとき
(ii) n=kのとき …が成り立つと仮定する。…[1]
n=k+1のとき…となり、[1]より…は成り立つ
(i) (ii) より…は成り立つ」
というように証明を書いていたのですがそのかきかたでもよいのですか？
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よいですが，n=k+1のときに証明すべきことを書いた方がわかりやすくなり，よいです．
-
帰納法において「証明すべきは〜である」の部分を書き忘れても減点にはなりませんか？
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書かなかったことのみが理由として減点にはなりません．しかし，書くことをお薦めします．
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帰納法がなつかしかった
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しっかりと使えるようになって下さい．
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数学的帰納法では k+1 でどんどん先の自然数を確かめるイメージですが、ふと思いました。自然数に最大の自然数はあるのでしょうか。(自然数の集合は無限だから最大の自然数は存在しない…？証明できない…？)
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「最大の自然数は存在しない」というのは正しいです．それを証明するためには最大の自然数というものが (あるとすると) どのように定義されるのか，ということをしっかりと考える必要がありますね．
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先生はふだんどの消しゴムを使っていますか。
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ふだん、消しゴムを使っていません。
-
来週もよろしくお願いします。
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はい，よろしくお願いします．
- 6/29 (10) 関係 (1)：関係
- コメントありがとうございました．来週は休講です．お間違いのないようにお願いします．
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8月10日にテストを行わないでほしいです。
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8/10は試験実施期間に含まれていないので，8/10に期末試験が行われることはないはずです．(期末試験日程を私が決めることはできません．決めるのは教務課です．)
-
8/10以前にテストを行って下さると幸いです。
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8/10は試験実施期間に含まれていないので，8/10に期末試験が行われることはないはずです．(期末試験日程を私が決めることはできません．決めるのは教務課です．)
-
8/10は休みが良いです．
---
8/10は試験実施期間に含まれていないので，8/10に期末試験が行われることはないはずです．(期末試験日程を私が決めることはできません．決めるのは教務課です．)
-
中間テストの素点を知ることができるのはいつ頃になりそうですか？
---
すでに掲載しています．
-
中間があまり、というかかなりできませんでした。自分の解き方に自信がなくなり、自習してもその進み方で良いかわかりません。期末が全範囲だと思うと、ただ演習をやるだけでいいのか不安になります。どうすれば良いでしょうか？
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そのためにレポートがあるのです．活かして下さい．
-
中間の点数が悪かった．期末試験で頑張りたいと思います．
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はい，挽回して下さい．
-
飲み物をペットボトルでなくパックにすればふたの心配がなく，飲みやすさも上がると思います。
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ありがとうございます．ただ，飲みきれなかったときに持ち運べないので，不便です．ということで，ペットボトルは継続します．
-
過去の授業では音楽をかけていたようですが、今回はかけないのですか？
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そのような要望がないのでかけていないだけです．
-
蚊に刺されました。バッテンするのかムヒか放置プレイなのかおすすめは何ですか。
---
私はムヒを塗ってます．
-
とても涼しくて勉強しやすいです。すばらしい温度設定だと思います。
---
教室に入ったとき，少し肌寒く感じるほどでしたが，授業を進めている間に体が温まってきて，ちょうどよく感じました．
-
とくにないです。
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はい，それでも結構ですので，この紙を出し続けて下さい．:-)
-
「何も書くことがない」と書こうとしましたが、「何も書くことがない」ということを書くことができることになり矛盾してしまいます。どうしたらこの紙に「何も書くことがない」と示すことができますか？
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他の紙を使えばよいです．
-
演習の提出期限が再来週で助かります。次回もよろしくお願いします。
---
はい，よろしくお願いします．
-
補足問題9.7の2番
$g$ が単射なのはなんとなくわかるのですが $f$ が単射なのがいまいちわかりません。
---
その問いにおいて，$g$ が単射である必要はありません．実際，$g \circ f$ が単射であるのに，$g$ が単射ではない例はあります (つくれます)．
-
推移性について質問です．
授業スライドの36ページの右上が推移性を持つということは
だけでなく
も成り立つ様に思えるのですがよく分かりません．
と思ったのですが書いている途中で分かりました．
自分で改めて書いて考えるのも大切でした．
---
そうですね．誤解のないように補足しておくと，推移性を書き換えると次になって，これが成り立っていることになります．
-
反対象性がややややこしかった
---
ややややこしいですね．反対称性ですので，ご注意を．
-
対称性を持つならば必ず反対称性は持たないですか？
---
そうとは限らないです．講義の例4は対称性も反対称性も持つ例です．
-
対称性を持つ集合は反対称性をもたない，とは限らないのですね。
---
対称性を持つ関係は反対称性をもたない，とは限らない，です．
-
有向グラフの矢印
は， 
と描いてはいけませんか。
---
描いてもよいですが，あまり好まれません．
-
集合上の ＝ を示す
の矢印の回転は時計回りでないといけないのですか？
---
時計回りでなくてもよいです．
-
個人的には可算基数の話が面白くて好きなので，この授業で取り扱われることがなさそうなのが少し残念
---
時間は限られていますので，しかたないですね．;-)
-
電車の内に広告を出すとするとどこが1番効果があると思いますか。
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扉の周りは人が集中するので，その辺りがよいと思います．
- 6/22 (9) 写像 (2)：全射と単射
- コメントありがとうございました．
-
この紙が重要である理由が知りたいです。
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皆さんが授業に対するフィードバックを即座に，かつ効果的に行なえるからです．初回の講義でもお伝えしていると思うのですが，学期末に行う授業評価アンケートは皆さんが今受けているこの講義を改善するためには，何も役に立ちません．今受けているこの講義を改善するためには，すぐにフィードバックを行う必要があるのです．そのため，この紙は重要です．
-
レポートのコメントつけには、毎回、どのぐらいの時間がかかっていますか？
---
提出数によります．最近は1時間から1時間半程度です．
-
「理由をつけて答えよ」「説明せよ」「証明せよ」の違いは何でしょうか。(特に答案する時において)
---
違いはないと思って下さい．
-
「答えよ」と問われた時も証明をした方が良いのでしょうか。ただ単に答えるだけで良いでしょうか。(例題5では、"答えよ"とありますが，証明してあります。これは授業上の都合ですか．)
---
「答えよ」と問われたときも証明をした方がよいです．不要な場合はそのように私が書いておきます．
-
テストの点数は公開するということですが、どこを間違えたかは聞きに行った場合、教えてもらえるのでしょうか？
---
はい．メールにてアポイントメントをとって，直接私の居室に来ていただくことになります．
-
講義配信で授業内問題を解答する場面が収録されていません。意図的でなければ、収録をお願いしたいです。
---
意図的に撮っていません．欠席した場合はレポートとして提出して確認する，などの方策をとってください．
-
沖縄では梅雨が明けたそうです
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関東の梅雨明けはまだまだのようですね．
-
夜うまく寝れません...
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昼間にしっかりと疲れることが重要かもしれません．そうすれば，夜はぐったりとしてすぐ寝れます．
-
迷彩柄の服とてもよくお似合いです。サバゲー帰りですか？ ⌣
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ありがとうございます．しかし，迷彩柄ではありません ;-)
-
黒板を消しながらお茶を飲むには、ペットボトルにストローを挿してそれで飲みつつ消せば、簡単です。
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本当に簡単なのか信じられないのですが，ストローを挿しておくためには，ふたを開けたままにしておかねばならず，それは危険なので，折角のご提案ですが，採用はしないこととします．すみません．
-
お昼の食堂の席も全単射になればいいのになあ
---
そのためには，食堂に学生と職員全員分の席を作らないといけないので，とても非効率ですね ;-)
-
別の大学で集合論を学んだとき，担当の先生が射撃：{人}→{人} 全射⇔皆殺し，単射⇔無駄打ちなし と言っていたのを思い出しました．写像の考え方は，日常の中でも適用できるな，と思いました．
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日常的に狙撃をする人にとって，その例はとても日常的ですね．;-)
-
全単射であることの証明は全射であることの証明と単射であることの証明を並べれば良いのでしょうか？
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はい，その通りです．
-
写像や逆像を忘れていたので復習しなければいけないと思った
---
そうですね．しっかりと復習をして下さい．
-
全射，単射，全単射の区別について少し難しく感じたが概ね分かったと思う
---
演習問題を通して理解を深めて下さい．
-
等しくないことを示す≠について、≠でなく
でも同じなのでしょうか。
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どちらで書いても通じると思いますが，普通は≠と書きます．
-
こういった数学文法の講座をせめて高校までの必習にしておけば日本人の論理的思考力が上がり、文理問わず、全ての学力が上昇するだろうにと思う。
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抽象的な思考力を必要とするので，高校生には難しいかもしれません．しかし，抽象的な思考ができるようになることは大事なので，その訓練として導入するという考え方もあると思います．
-
6月10日に公開された映画「KING OF PRISM - PRIDE the HERO -」を見て下さい。「KING OF PRISM - PRIDE the HERO -」を見て下さい。(大事なことなので2回書きました)
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すみませんが，たぶん見ないです．;-)
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来週もよろしくお願いします。
---
はい，来週もよろしくお願いします．
- 6/8 (8) 写像 (1)：像と逆像
- コメントありがとうございました．
-
お茶を飲みながら黒板を消せるように応援しています。
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おお，ありがとうございます．
-
初めてコメント返しの所をじっくり読みました。色々な人のギモンが見れるのはおもしろいシステムだと思いました！ ためになります。
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はい，うまく活かしていって下さい．
-
1回休んでしまった時は次の授業の後にその前のレポートを出しても良いのでしょうか。
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出してもよいですが，私が見る保証はありません．
-
今週分レポート出せなかった．．．
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それは残念です (-_-;
-
中間が不安です．
---
しっかりと準備をしてきてください．
-
テストが不安です．
---
しっかりと準備をしてきてください．
-
中間テストがんばります 💪
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しっかりと準備をしてきてください．
-
来週のテストがんばります．
---
しっかりと準備をしてきてください．
-
今回の演習問題の提出期限が中間テスト終了後でとても助かります。
---
試験のときには解答用紙を集めるだけで精いっぱいなので，他のものを集めている余裕はないのです…
-
演習問題を1枚にまとめてもらえませんか？ 2枚目の印刷は紙がもったいないです。私のプリンタは両面印刷なんて高級機能は付いていません。
---
ご提案ありがとうございます．すみませんが，1枚にまとめようとはしません．現状も2枚にまとめているわけではなく，偶然，2枚に収まってしまっているだけです．同様に，講義資料 (スライド) の方も，ある特定の枚数に収めようとはしていません．
-
(授業) その日のゴールは授業内問題が解けるようになることでいいのでしょうか？
---
最低限のゴール，だと思ってもらえるとよいです．
-
今日の授業内問題の4番で，$f^{-1}(\{1\}) = \emptyset$ と書かれていましたが，外延的定義で答えよという場合でもこの答え方で良いのですか？ ($\{\}$ ではないのですか．)
---
$\{\}$ でも $\emptyset$ でもどちらでもよいです．$\emptyset$ は $\{\}$ を表すための記法なので．
-
講義の最初の方で話されそうで話されなかった「例え」が何なのか気になります。教えて下さい。
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すみません．何を考えていたのか忘れました．(^^;
-
今まで僕が関数であると思っていた $f(x)$ は実は $x$ に対する関数 $f$ の応答だったのですね…ということを初めて知りました。
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そうですね．講義中でも言及しましたが，関数型プログラミングというのを勉強すると，その辺りがよく分かるようになるかもしれません．
-
写像は $f$ や $g$ が用いられますが $x$ や $y$ で代用してもいいのでしょうか。
---
回答は2つあります．
(1) よいですが，普通は $x$ や $y$ で写像を表さないので，止した方がよいです．数学 (やどのような業界) でも記号に関する慣習があるので，それは守った方がよいです．
(2) 実をいうと，既に $x$ や $y$ を写像として使っていることがあります．例えば，$x$ を3次元実数ベクトルだとしましょう．すると，$x$ は $x=(x(1), x(2), x(3))$ という形で3つの実数を使って表せますが，これは $x\colon \{1, 2, 3\} \to \mathbb{R}$ という写像を定義しているとも見れます．この視点は線形代数においてとても重要で，線形写像全体も線形空間になるという線形空間の双対性というものにつながってきます．
-
恒等写像の使い道は何ですか？
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「なにもしない」というものが重要な役割を果たすことはよくあります．足し算において「なにもしない」ことを表す0であったり，それに似たものは集合において空集合 ∅ になりますが，そのような役割を恒等写像は果たすことになります．次回，そのような役割で登場しますので，ご期待ください．
-
論理の根拠を考えていったら、自分の認識力に自信を持てなくなってしまった。物質も時間も信用できなくなり、そもそも定義するという行為の意味、そして定義を自分の中で解釈できてしまうことが恐ろしくなった。"解かってしまう"ということの根拠をどこに置けば良いでしょうか。妥協以外に方法があれば教えて下さい。
---
妥協以外の方法ということなので，そうすると突き詰めるしかなくなりまして，そういうものをよく「研究活動」と呼ぶのだと思います．これは「哲学」でよく考えられている話題なので，その文献を見てみるところから始めるとよいと思います．
-
土曜公開の映画が授業あって見に行けない (´・ω・`) これだからK課程は…
---
日曜日に見に行けばよいのです (^^)
-
友人のバースデープレゼントに悩んでいます。欲しいものを聞くと「なんでもいい」と言うのですが、やっぱり嘘ですか…？ 予算3000円でもらってうれしいものを教えて下さい ;)
---
3000円程度でしたら日用品がよいかと思います．
-
次回もよろしくお願いします。
---
はい，よろしくお願いします．
- 6/1 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- コメントありがとうございました．
-
集合の直積：補足 20/34
$A\times B\times C$ と $(A\times B) \times C$ と $A \times (B\times C)$ は全て異なる
↓
わかったようでわからないような…スッキリしません。何か具体例があれば教えていただきたいです．
---
具体例と言われると難しいのですが，例えば次のように考えてみます．
$S=\{a,b\}$, $T=\{c,d\}$とすると，$S\times T = \{(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)\}$ となります．ここで2つの場合を考えます．
1つ目の場合．まず，$a=(1,3)$, $b=(2,3)$，$c=4$, $d=5$ と置くと，$S = \{(1,3), (2,3)\} = A\times B$，$T = \{4,5\} = C$ となり，つまり，$S\times T = (A\times B)\times C$ になります．
このとき，$\{(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)\}=\{((1,3), 4), ((1,3), 5), ((2,3), 4), ((2,3), 5)\}$ となるので，結論として，$(A\times B)\times C = \{((1,3), 4), ((1,3), 5), ((2,3), 4), ((2,3), 5)\}$ が得られます．
2つ目の場合．$a=1$, $b=2$，$c=(3,4)$, $d=(3,5)$ と置くと，$S = \{1,2\} = A$，$T = \{(3,4), (3,5)\} = B\times C$ となり，つまり，$S\times T = A \times (B\times C)$ になります．
このとき，$\{(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)\} = \{(1,(3, 4)), (1,(3, 5)), (2,(3, 4)), (2, (3, 5))\}$ となるので，結論として，$A\times (B\times C) = \{(1,(3, 4)), (1,(3, 5)), (2,(3, 4)), (2, (3, 5))\}$ が得られます．
-
直積 $A\times B \times C$，$(A\times B) \times C$，$A \times (B \times C)$ がそれぞれ異なるということでした．又、直積は順番であるという表現もありました．$A\times B \times C$ は分かるのですが、他の2つはどの様な順番であると考えれば良いでしょうか？
---
別の説明を試みてみます．3個組や順序対を次のような図として表すこととすると，違いがわかるかもしれません．
-
直積について質問
$A=\{a, c\}$，$B=\{b, d\}$ として
$A\times B = \{(a, b), (a, d), (c, b), (c, d)\} = \{(a, b), (c, b), (a, d), (c, d)\}$ のように ( ) の中の順番は一致して，{ } の中の順番が違う場合は＝となりますか？
---
はい，なります．正しい理解です．
-
今回の混乱ポイントは、先生の説明がわかりやすかったのであまり混乱しませんでした。
---
混乱ポイントは多いので，今後とも注意していて下さい．
-
$2^A$ を考える際は特に集合と順序対の違いをはっきりさせておかねば間違えると思った．空集合 $\emptyset$ の扱いも難しい。$A\times \emptyset$ と $A \times B$ ($B=\{\emptyset\}$) ではそれぞれどうなるのかも考えていた．
---
それは演習問題の内容ですので，考えてみて下さい．
-
有限集合と空集合の直積は0で合っていますか。
---
間違っています．「有限集合と空集合の直積」は集合ですが，「0」は自然数なので，その2つは異なります．
-
上の質問と合わせて、$\emptyset$ の扱い方が計算によって様々で、現時点では複雑に感じる。
---
何を行うときにも「定義に基づいて考えている」ということは意識して下さい．その立場に基づけば，計算によって扱い方が変わるということはないはずです．
-
集合の集合というのがいまいち理解できなかった。なぜ巾集合になると $\emptyset$ を入れるのか？
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巾集合になると $\emptyset$ を入れるわけではなく，定義に基づいて考えるとそうなるのです．冪集合の定義と部分集合の定義をもう一度見直して下さい．
-
確率統計の授業でもべき集合が出てきて，そこでは $\mathcal{A}$ (Aの筆記体？) という記号が当てられていた気がします。
---
いわゆる確率空間を定義する際，(標本空間が有限集合であれば) 冪集合を使うこともありますが，一般には (標本空間が有限でない場合など) 冪集合でなくてもよいため，冪集合の記法を使わないで定義することが多いような気がします．
-
テスト中に｛ ｝を { } のように表記してしまっても、減点にはなりませんか。
---
すみません，｛ ｝ と { } の違いがわかりません．私には違いがわからないので，どちらでも構いません．
-
巾集合とは必ず2であるのか疑問に思った。
---
$|2^A| = 2^{|A|}$ が成り立つという式が直感的なので，$2^A$ と書くのだと思います．
-
ギモン べき集合の2は何だろう。
---
$|2^A| = 2^{|A|}$ が成り立つという式が直感的なので，$2^A$ と書くのだと思います．
-
全てに矛盾がないように定義し、拡張させていった先人はすごい。尊敬する。
---
たしかにそうですね．
-
ベキが書けない
---
正しく書けないならば，ひらがなやカタカナでもよいです ;-)
-
集合の直積をしているとベクトルや行列に似ている所があるなと感じました。
---
確かにそのような側面があると思います．ただ，異なる面もあるかもしれないので，気をつけて取り扱うようにして下さい．
-
日本語が難しく感じた
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この講義は「語学としての数学」をやっているのですから，日本語に対する感覚が研ぎ澄まされていくのは重要な進歩です．よいと思います．
-
印刷プリントはカラーと白黒どちらが良いですか？
---
どちらでもよいです．自分で決めて下さい．
-
演習6が難しかった。証明が進みません。
---
質問をして下さい．自分ひとりでできると思わない方がよいです．
-
証明問題のウェイトが重すぎて、うまくいかないとイライラします。
---
質問をして下さい．自分ひとりでできると思わない方がよいです．
-
中間テストの問題は演習問題の中の授業内問題と復習問題から6題出るという認識で良いですか？
---
その認識は正しくありません．発展問題以外の問題から3題出ます．
-
中間試験の難易度は過去問と同レベルですか？
---
何をもって難易度と呼ぶのか分からないので，答えられません．
-
中間大変そうです
---
しっかりと準備をして下さい．
-
気づいたら
中間まで2週間
だったんだなあ
みつを
---
しっかりと準備をして下さい．
-
毎週のこの講義が楽しみで朝も起きれません．
---
健康には気をつけて下さい ;-)
-
中間試験の点数公開はしていただけますか？ また、模範解答は公開されますか？
---
何をもって公開と呼ぶのか分かりませんが，試験を受けた人が試験の素点を知る機会は設けます．模範解答はありませんので，公開もされません．
-
教室の湿度が高かったです。
---
A棟の教室の湿度は高くなりがちだと感じます．
-
先生は演習問題のプリントを作る際，何というソフトウェアを使用していますか？
---
ソフトウェアという質問には答えられていないかもしれませんが，LaTeXを使っています．
-
とくになし
---
質問など何か出てきたら，ぜひ書いて下さい．
-
ありがとうございました．
---
こちらこそありがとうございました．
-
来週もよろしくお願いいたします。
---
来週もよろしくお願い致します．
- 5/25 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- コメントありがとうございました．
-
特にありません
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「特にない」でもよいので，提出し続けて下さい．ありがとうございます．
-
試験のときに証明問題があった場合証明問題1問あたりの解答時間の目安はありますか。
---
目安はありません．
-
レポートは、木曜日の何限までに出せば木曜日に返ってくるのでしょうか？
---
締切までに出すと，締切の後の次の講義のときまでに返ってきます．それだけしか確約はできません．締切の前に出すと，締切のときの講義に返ってくることがありますが，それはただ単に私が働きすぎているだけです．それは期待しないでください．
-
間違えた演習問題の答えは教えていただけないのでしょうか？ あと前回の演習問題難しかったです。
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レポートとして提出して下さい．再提出ができます．
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この紙に解き方が合っているかの質問を書いてもいいんでしょうか？
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書いていただいても構いませんが，おそらくそれには回答をしません．レポートとして提出して下さい．
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次こそはレポートだしたいと毎週思っています．
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ぜひ出してください，と私も毎週思っています．;-)
-
今回は少し複雑な気がした。
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前回までの内容を踏まえて進んでいますので，しっかりと復習をして下さい．
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だんだん難しくなってきたので、予復習に力を入れてがんばりたいと思います。本日も講義ありがとうございました。
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そうですね．しっかりと復習をして下さい．
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復習がどんどんたまってます...
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溜めないように計画を立てることが重要ですね．復習のための時間を確保することから始めて下さい．
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だんだん難しく感じてきました。テストが心配です。
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分からない所は質問をするようにして下さい．
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記号が多くなり、解かり難くなったが、図に助けられている．
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図は直感的な理解を助けます．しかし，それは直感でしかないので，しっかりと論理に基づいて思考ができるようになって下さい．
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証明の最後に"したがって"が重ねて書かれているのが、少し気になった。
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私も気になります．本来は，最後の部分をもっと整理して，清書としないといけないのですが，私がそれを少しサボっていると思って下さい．
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与式を変形し証明することは可能でしょうか。
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授業内でも言ったのですが，同値変形で証明ができる (より正確に言うと，同値変形で間違いなく証明を書くことができそうである) のは，集合に関する等式で，しかも，仮定が無い場合です．そうでない場合は，文章として証明を書くことをお薦めします．「可能か」という観点に関して答えると，可能です．しかし，間違えずに書くことはそれほど簡単ではないため，お勧めしません．
-
授業内問題がむずかしかった
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そうでしたか．授業内問題はあまり難しくない問題を出しているつもりなので，しっかりと復習をして下さい．
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"共通部分の定義"といった決まり文句がまとめられた資料は何番でしょうか．
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第2回講義資料の30ページにあります．確認して下さい．
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つかれた。
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私も疲れました．お疲れ様でした．
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来週もよろしくお願いします。
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はい，よろしくお願いします．
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肩こりがひどいのですが先生オススメの改善方法は何ですか？
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私も肩こりがひどいので，教えていただきたいです．
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講義後に回収されるこの紙の質問返しには、どのぐらいの時間がかかりますか？
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体感上，1時間ぐらいです．実際はもっと短いかもしれませんが．
- 5/18 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．この紙の提出が減っていますので，どしどし提出して下さい．
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特にないです
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「特にない」でもよいので，提出し続けて下さい．ありがとうございます．
-
スライドがわかりやすかったです
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ありがとうございます．スライドについても何か気が付いたら，こちらでお知らせください．
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スライドを印刷するのを忘れました (T^T)
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では次回は忘れないようにして下さい．;-)
-
シャーペンの上の消しゴム使う派ですか？
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そのような派閥には属していませんが，普段はボールペンを使っています．
-
よく先生を食堂で見かけます
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「食堂」が「生協食堂」を意味するならば，生協食堂は基本的に木曜の夜しか使わないので，よく見かけられたとしても，私がよくそこにいるわけではないので，ご注意ください．
-
授業中暑いです...
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窓を開けて下さい．
-
$\aleph_0$、かっこいい
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$\aleph$ はヘブライ文字ですね．私は数学記号として漢字やひらがなを使おうと何度も試みるのですが，たいていうまくいきません．(-_-;
-
あまり大したことではありませんが、演習問題のプリントは、今まで通り授業内課題から書いてくださると助かります
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すみません，授業内問題を書くのを忘れてしまったため，慌てて後ろに付け足した，ということになっています．そういうことが無い限り，冒頭に置かれることになっています．
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演習問題の発展問題を増やしてほしいです
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ありがとうございます．検討します．
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演習5.20は「$x^2=1$ つまり $x^2-1=0$ と仮定する」と書いてもOKですか．
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OKです．
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「実数 $x$ が $x^2=1$ をみたすとき，$x=1$ または $x=-1$ がなりたつ。」を $\exists\ x\in\mathbb{R}\ (x^2=1) \rightarrow (x=1 \lor x=-1)$ としたのですが、これは間違っていますでしょうか。
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はい，間違っています．書いていただいた $\exists\ x\in\mathbb{R}\ (x^2=1) \rightarrow (x=1 \lor x=-1)$ を日本語として書こうとすると，例えば，「$x^2=1$であるとき，$x=1$または$x=-1$となる実数 $x$ が存在する」となります．元の文が考えているものは，$x^2=1$ を満たすような任意の実数 $x$ なので，$\forall$ を使うことが適切なのです．
-
証明の際、文末が数式になる際に、数式の後に「。」を付けて良いですか？ (例えば、「よって、$x=114514$。」という感じです。)
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付けて良いです．よく知られていないかもしれませんが，「数式は文章の一部」なので，文章の一部に現れるときは，普通の文章と同じように，句読点を付ける対象となります．
-
例題の解説の図についてなのですが、証明終了を示す□は論理構造を示す四角形の入子の外側にあるべきではないでしょうか。
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構造を重視するという立場からは，外側にあるべきで，それは正しいです．一方，文章として証明を書くという立場では，証明終了記号は証明の最後の文の末尾に置かれます．その意味では，内側にある方がよいことになります．スライドにおいては，構造を重視しているので外側にあるべきですが，それが内側にあるのは，私が横着をしているからです．そのように捉えて下さい．
-
対偶と背理法を使い分けるときの目安や基準のようなものはありますか。
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時と場合によるので，目安や基準を挙げることは難しいですが，まずは，下書きでいろいろと試してみる，ということが重要だと思います．普通に証明しようとしてうまくいかない場合に，対偶による証明や背理法を考えてみる，という発想転換の1つだと思ってもらえればよいです．
-
証明にも様々な方式があることが分かった。
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証明は文章なので，いろいろな書き方があります．どのような書き方であっても，証明したい命題の論理構造を意識して，それに沿った文章構造を練ることが重要ですね．
-
高校では書いてこなかったことを改めて書くことでよく分かった
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高校数学の教科書には，案外証明がたくさん書いてあります．この授業でやったことに気を付けながら今一度見返してみると，新たな発見があるかもしれません．
-
証明として解こうとするとやはり難しく感じてしまう．文章として成り立っているために問題という意識に向きにくいのかもしれない．
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「考えたことを羅列しても，考えたことは伝わらない」という気持ちが大事ですね．それはいわゆる計算問題でも同じであって，しっかりと一つ一つのステップを踏んで，整理した記述を行うことが大切だと思います．その意味で，下書きと清書を明確に区別してもらいたいと思います．
-
複雑な命題証命が難しく感じた。
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「証命」ではなく，「証明」ですね．訓練が必要なので，演習問題にしっかりと取り組んで下さい．
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いつも頭の中で考えていることを言葉にするのって難しいですね。演習問題で感覚をつかんでいきたいです。
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そうですね．だからこそ訓練が必要なのだと思います．
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論理的な考えが身につきそうでとても勉強になります。
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「つきそう」ではなく，つけてください (^^)
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だんだん難しくなってきた気がします
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はい，私自身も簡単なことをやっているつもりはありません．しっかりと復習をして下さい．
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難しい
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分からないところは直接質問して下さい．よろしくお願いします．
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困惑すること、学問にとって大事だと思います
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そうですね．どんなものであっても，一つ一つのことを省みて進めていく必要があると思います．
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先生がこんらんさせるために言ったことによって少しこんらんした
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私の思うつぼじゃないですか (^^;
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頑張って混乱しないようにします。来週もよろしくお願いします。
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はい，よろしくお願いします．
- 5/11 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．遅れてきてしまい，すみませんでした．
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第4回参考資料のリンク先が存在しませんでした．
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ありがとうございます．確認不足でした．再度確認したところ，資料は現在非公開となっているようです．そのため，リンク自体を削除しました．図書館等で雑誌のバックナンバーを探して頂ければ，記事自体は読めます．
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教室暑いです…
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窓を開けて下さい．
-
教室が暑いです．
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窓を開けて下さい．
-
資料に出てきた $\leadsto$ は，普通の矢印 $\rightarrow$ とは違う意味があるのでしょうか。
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この講義では今のところ，「$\rightarrow$」は含意 (「ならば」) を表すためだけに使っていますので，それと区別するために別の矢印を使いました．大きな意味はありません．
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「$\leqq$」と「$\leq$」の違いは何ですか？
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今のところ，違いはないと思ってもらってよいです．
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一度提出したレポートでどうしても分からない問題があったとき、ヒントをもらうことはできますか？
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できます．直接聞いて下さい．
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前回の課題を次回出してもいいのですか？
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各回には提出締切があります．提出締切を過ぎたものを提出してもかまいませんが，それを私が見るかどうかはわかりません．
-
先生の解説のときは、TAの方は座っていただけるとおちついて、聞けます。
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では，そうするようにします．ありがとうございます．
-
授業とは直接関係ないですが、Q.E.D.の代わりに□を使うようになった理由について興味を持ちました。
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実をいえば，証明終了の記号の選択は割と自由です．書籍によっては「なんじゃこりゃ」といいたくなるような証明終了記号が使われることもあります．
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$\forall$ や $\neg$ の記号が並ぶ命題が顔文字に見えてしまうのは私だけでしょうか
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では，そのような方が他にもいらっしゃったら，コメントにてお伝えください．
-
個人的に，証明を書くときに，改行とインデントがないと読みづらいような気がします．例えば，スライドp.19の証明より，p.20の証明の方が読みやすいと思います．p.19のように書き連ねなければいけませんか？ それと，p.34のように，「任意の実数 $x$ を考える」も，日本語が長いので，「$\forall\ x\in \mathbb{R}$ を考える」というふうに書いた方が楽なのになぁ，と思いました．
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残念ながら，文章には形式があります．改行をするための規則は決まっています．その意味では，p.19のように書き連ねなければなりません．また，「$\forall\ x\in \mathbb{R}$ を考える」という書き方も文章としては好ましくありません．ご注意ください．
-
証明の文章に段落は必要ないということでしょうか
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段落を使い分けることもあります．今回の授業で紹介した証明は短いので，2つの段落に分ける必要はありませんが，今後，証明が長くなってくる場合には，段落を分けることで構造をより明確にすることがあります．
-
証明の文章の中で数式の途中で改行したいときはどうすれば良いでしょうか．
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数式の途中で改行します．本来，数式も文の一部なのです．
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数字を見つけることに20分かかった．
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見つけることには慣れが必要な場合もありますので，たくさん演習をして下さい．
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証明の際に、「このとき」の「とき」を「時」と漢字で書いたり、「したがって〜」の「したがって」を「従って」、「以下のとおり」の「とおり」を「通り」のように、漢字で書けるものは漢字で書いても良いですか？ (市販のテキスト等ではこれらは平仮名で書かれていますが、私自身が書く際は紙のスペース節約の為に漢字で書きたいと思っています。不適切であるのならばもう辞めます。)
---
便法は，「漢字にしたときの意味が薄れている場合は平仮名書きにする」というものです．「とき」については，形式名詞である場合は漢字で書かずひらがなで書くことが推奨されています．「したがって」についても，「従う」という意味から離れているので，平仮名書きを行うことが多いように思います．「とおり」も同様です．参考になるのは，『記者ハンドブック 新聞用字用語集』という共同通信社が出している本で，私は第11版を持っています．そこでは「代名詞，連体詞，接続詞，感動詞，助詞，助動詞・補助用言，形式名詞は，平仮名を主体とし，副詞は平仮名と漢字を使い分ける。(503ページ) 」と記載されています．ただ，「したがって」のところには「従って」と書かれています．
-
大学受験で使用できた、繰り返された文章内容の略記記号"〃"はこの授業 (試験) で使用可能でしょうか。
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文章を書く，という意味では，使えないと思って下さい．「大学受験で使用できた」という規準を私は知らないのですが，まず重要なことは，黒板に書かれること (いわゆる板書) は全部メモ書きであり，清書された文章ではないということです．そのように捉えて下さい．その意味で，黒板に書かれている通りの書き方で文章になる，ということはほとんどありません．気をつけて下さい．
-
論理的に正しい無駄のない文章は興奮する
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落ち着いて下さい (^^;
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構造で証明見たときすごく分かりやすかったです。
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構造を意識することは重要です．励行して下さい．
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高校生の頃証明問題が苦手だったので参考書の解法を何度も写して証明の流れを学んでいました。証明に至るまでの構造を考えたことはなかったので大変参考になりました。
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証明は文章だと思うと，構造を考えることはとても自然になります．そのような意識を持つことはとても重要ですね．
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分かりやすい説明の難しさを感じました。
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証明は自分の考えを伝えるための手段ですから，他の人に説明をするための技法として今回の講義の内容は捉えてもらえるとありがたいです．
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今までは、下書き部分と清書部分が明確にされず右往左往していたが、明確にしてもらい、自分が何をすれば証明したことになるのかがよく分かった．
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そうですね．下書きと清書はしっかりと区別して下さい．
-
長文の証明って腕が疲れますよね (´・ω・`）
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文章を書くわけですから，疲れることもあるでしょうね ;-)
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「題意」という言葉は証明の文章中でどのように使われますか。
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おそらく使われません．私は「題意」という単語を一般の数学書で見たことがありません．対応する英語も知りません．おそらく「題意」とは受験用語です．忘れて下さい．
-
テスト等では、文法的処理よりも命題の解決が困難な問題も出題されるのでしょうか。
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すみません，聞かれていることが何なのかよくわかりません．
-
離散数学とは、数学の文法を整理する学問あるいは科目という捉え方で良いでしょうか。
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その捉え方ではよくないです．この科目は『離散数学』という名前がついているものの，やっている内容は離散数学と違います．むしろ，離散数学を行うための基礎をやっていて，実をいえば，それはどのような数学，どのような理工学をやるための基礎でもあるので，その意味で，この科目は『理工学基礎』といってもよいぐらいのものです．本物の離散数学は全く別のところにあります．
-
自分の知識が足りないのでしっかり学習し、レポート提出したいと思います。
---
はい，よろしくお願いします．
-
スライド一授業分を作るのにどれくらい時間がかかりますか？
---
担当初年度の初期投資は毎週5〜6時間ぐらいです．その後の年からは，大きく変更がなければ，毎週1〜2時間ぐらいです．
-
本日もありがとうございました。来週もよろしくお願いします。
---
はい，よろしくお願いします．
- 4/27 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- コメントありがとうございました．5/4は祝日のため，講義はありません．
-
講義配信を更新してください。
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気づきませんでした，ありがとうございます．講義配信は自動的に更新されるので，私が何か手を下すことはできません．事務室には連絡をしました．今は直っていると思います．
-
前半 (70分ぐらい) 講義で最後に演習だと、講義の途中で集中力が切れてきます。演習を2, 3回に分けて分散させてもらえたら集中力が続きやすい気がするのですが、どうでしょうか。
---
すみませんが，これは私の力不足のため，難しいです．理由は以下の通りですが，(1) 演習を分けると，演習の集中力が続かない，(2) 演習に使える時間が講義をしてみないと分からない，(3) 演習を最後にまとめて行うことで，時間通り終えることができる，ということになります．講義に対する集中については気にしているので，そのため，1分ぐらい休憩があります．休憩の時間中，演習問題に取り組んでもらってもよいです．
-
前半どうしても眠かったのですが、休憩のおかげで目が覚めました。
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はい，そのような形で休憩を活かして下さい．
-
「全ての実数 $x$ に対して、$x^2$ は非負である」という命題で、「非負」という表現が用いられていますが、単純に「正」という表現ではダメですか？「非負」という表現がアリなら、「偶数」を「非奇数」と呼んだり、「奇数」を「非偶数」と呼んでも良いことになりますが、そのような表現方法は実際に使われますか？
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「非負」と「正」は違います．0は非負ですが，正ではないからです．「非負」というのは「0以上」を一語で表すための表現であり，よく使われます．一方，「偶数」と「非奇数」は確かに同じですが，「偶数」と言えば足りるため，「非奇数」という表現が使われることはあまりありません．
-
∀や∃を文字の左上に小さく書いてある参考書を見たことがある気がするのですが、意味は同じですか？
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はい，意味は同じで，そのように書くこともあります．
-
「∀」を「ターンＡ」，「∃」を「ターンＥ」と呼んでも良いですか？
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呼ばない方がよいと思います．意味の通じない和製英語ほど困ったものはありません．英語として意味の通る言い方にするならば，まずは文法的に正しく，turned A や turned E とすることが最低限必要です．しかし，それでも通じるとは限りません．
-
キタ━━━━━━(°∀°)━━━━━━!!!!
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はい，きました．
-
D={a, b} のとき，∀x∈D (P(x)) は a はP(a) である かつ b は P(b) であると読んで良いのでしょうか？
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よくないと思います．P(x) は 「P(x) である」と読むわけですから，このときは「P(a) であり，かつ，P(b) である」と読むことになります．
-
波かっこが上手に書けず，そのせいでここ一週間はよく眠れていません。どうしたらよいでしょうか。
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記号の書き取り練習をするとよいと思います．私はたまにします．
-
長い述語論理式になると構造を見るのが大切なのだと思いました。
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その通りですね．常に構造を意識して下さい．
-
記号や定義について確認できました。
---
数学の基本は定義と記法の理解ですので，その点はいつも心に留めておいてください．
-
複雑な形になると難しく感じたが、考える順序がわかれば案外明快
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構造を見て，ひとつひとつ処理していく，という感覚が重要なので，それを身に付けるようにして下さい．
-
プログラムで考えるとわかりやすいと感じた
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そうですね．「変数」という考え方はプログラムとの類似で考えると分かりやすいと思いました．
-
頭の中が混乱しているのでちゃんと整理しようと思いました
---
いろいろな概念や法則が出てきていますので，しっかりとまとめておいて下さい．
-
授業良かったです
---
ありがとうございます．
-
ゲームのやり方がわかりやすかった
---
そうですね．述語論理をゲームとして捉えることはあまり強調されることがないのですが，とても重要なので，ぜひ身に付けて下さい．
-
ややこしい述語論理式の問題を "後だしじゃんけん" に例えた説明は大変分かりやすかったです。
---
三目並べの例はいまいちだと思ったので，来年から廃止するかもしれません．
-
自分と相手という考え方とても分かりやすかった。
---
はい，その考え方で演習問題もやってみて下さい．
-
石取りゲーム (3つの山に石が置いてある．自分の番で3コまで取れる．最後の石を取った山が多い方が勝ち) を今回学んだことで必勝法を証明できそうだな、と思った。
---
実際のゲームにおける戦略も論理を使って考えることが多いので，ぜひ試してみて下さい．
-
最近、「くつ下の片方だけよくなくなります。」
これの否定は「くつ下はなくならない。」でしょうか？ とりあえず、はけるくつ下が減って困っています…。
---
「くつ下の片方だけよくなくなります。」の正確な意味に依存しますが，その否定は「くつ下がなくなるときは、両方ともなくなることがよくあります。」です．
-
2ケタの自然数のうち一番好きな数は何ですか？
---
好き嫌いはありません．
-
今まで信じていた「暗い場所で本を読むと目が悪くなる」というのが間違いであるという話を聞きました。どう思いますか？ もしくはどちらが本当かご存じですか？ ※皮肉とかじゃないのです。念のため。
---
「ご存じですか」に対するお答えは「存じ上げません」です．
-
次回もよろしくお願いいたします。
---
はい，よろしくお願いします．
- 4/20 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- コメントありがとうございました．この紙の提出数が少ないと感じますので，みなさん，どしどし提出して下さい．
-
聞き逃してしまったのですが、レポートを授業当日に出す場合は授業に持ってくるということでしょうか？
---
はい．レポートを授業当日に出す場合は授業に持って来て授業終了時に提出して下さい．
-
次から課題を出したい
---
是非お願いします．お待ちしております．
-
レポートは全問解答しなければいけませんか。分からない or 解答に自信がない問題のみレポートで提出してもよろしいでしょうか。
---
全問解答しなくてもよいです．むしろ，後半に書かれているように，自分が提出したい問題のみ提出してもらうほうがよいです．
-
レポート再提出の際は、前回のレポート用紙の続きから追記しても良いですか？ それとも、新しいレポート用紙を用意して書いた方が良いですか？ (追記しても良い場合は、日付を書く等して、追記の内容であることを明確化させます)
---
追記しても良いです．その場合は，どこから追記になっているのか，分かるようにして下さい．
-
印刷してくるのを忘れました。次回気をつけます。
---
よろしくお願いします．
-
できれば課題はプリントにして配ってほしいです
---
すみませんが，これはできません．単純に，紙の無駄だからです．初回の講義では資料を印刷して持っていきましたが，30部程度をただ単に捨てました．無駄です．お手数をかけますが，各自で用意して下さい．印刷する必要はなく，スマートフォンやタブレット上に用意していただいてもよいです．
-
前回の演習1.9のケース3の夫はマグレガーになんの恨みがあったんですか？
---
虫の居所が悪かったのでしょう ;-)
-
命題論理の∧∨と集合の∩∪は丁寧に書かないと間違って読まれると思ったので∧∨の角を強く意識して書こうと思います。
---
よい心がけだと思います．(^^)
-
演算上は問題にならないのだが、「"⇔"を使った集合の変形」は論理式であるのか、そうでないのか疑問に思った。集合は論理式演算上のツール？もしそうならば、その逆は成り立つのか？
---
論理を用いて集合を定義しています．一方で，証明には論理しか用いることができないと思って下さい．その意味で，集合に関して何かを証明する場合には，定義に立ち戻って，論理を用いて証明を行います．これについては，後の方の講義で改めて扱います．
-
複素数 $i$ は自然数 $\mathbb{N}$ の要素ですか？？ 虚数は自然数でないように思ったのですが、「$n \in \mathbb{N}$ かつ $n^2 = -1$」という問題を見てもやもやするばかりです…＞＜；
---
虚数単位 $i$ は自然数ではありません．それを踏まえて考えてみて下さい．
-
物を数えるときに，「1, 2, …」と数えていくので，なんとなく自然数に0は含めないイメージでした．可算集合 $A$ の元にナンバリング $\exists f: \mathbb{N}\to A$: bij をするときに，0からはじまるのは自分の中ではうーんというかんじです．(それとも，$\exists f: \mathbb{N}\setminus \{0\} \to A$: bij とかく…？) どんな場合に自然数に0を含めると，便利ですか？
---
ナンバリングという意味では，0を含んでいようがいまいが，全単射の存在性は変わらないので，どちらの定義でも変わりません．自然数に0を含めると便利なのは，自然数をしっかりと (形式的に) 定義する場合です．wikipediaの自然数の項目を参考にして下さい．
-
空集合 $\emptyset$ とファイ $\phi$ が違うものだと始めて知りました。塾だろうが学校だろうが「くうしゅうごうふぁい」という読みで習っており、驚きです。
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ファイ $\phi$ が空集合の記号 $\emptyset$ の代わりに用いられることがあります．例えば，昔の教科書等では，$\emptyset$ という活字がないために，その代わりに $\phi$ を用いている場合があります．しかし，これは「代用」ですので，ファイと読むべきではないと私は思います．wikipediaの空集合の項目もご覧ください．
-
$\leftrightarrow$ と $\Leftrightarrow$ の違いがわかりづらいです…
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命題 $P\leftrightarrow Q$ が恒真式であるとき，$P \Leftrightarrow Q$ と書くことにしています．
-
$A\cap B$ や $A\cup B$ に $x\in$ を付けると命題として扱えるという認識でいいですか？
---
誤解を招くといけないので，私のことばで答えますが，$A\cap B$ は集合であり，$x \in A\cap B$ は「$x$ が 集合$A\cap B$ の要素である」という命題です．
-
「$\{ \emptyset \} = \{ \{ \} \}$ 空集合のみを要素として持つ集合」は確かにややこしいと感じた。要素として集合があるのだなと思った。
---
はい，ややこしいです．しかし，集合を要素とする集合を考えることはよくあります．箱の中に箱が入っているイメージを思い浮かべてもらえばよく，皆さんもそのように小物を整理することがあると思います．数学でも同じことを行うのです．
-
今年の編入生です。前回の大学で論理学を落としてしまったのですが今回の内容は非常にわかりやすかったです。真理値表を使わない証明が目からうろこでした。
---
同値変形はとてもよく使うツールなので，使いこなせるようになって下さい．
-
公式を覚えるのではなく，正しく使えるようにするという考えは大いに同意できました。
---
ありがとうございます．覚えようとすると，学ぶべき目標を見失います．本来は「覚えようとする」のではなく「自然と覚えてしまう」となればよいのですが，そこまで皆さんに求めることはできません．正しく使えるようになることが重要ですので，それを目標として勉強して下さい．
-
同値変形が少し難しく感じた。
---
演習問題を通して身に付けて下さい．
-
論理的になれた気がした
---
よいですね．その調子で論理に慣れていって下さい．
-
等式の証明において，どの定義や法則を用いるのかを迷った。証明におけるコツはありますか。
---
コツは自分で見つけられるとよいです．証明すべき事項をじーっと観察して，どの法則を使うとよさそうか考えると，コツがつかめるかもしれません．
-
集合と論理の対応のイメージが分かりやすくつかめました。
---
いろいろと間違えやすいポイントがあるので注意して下さいね．
-
おいしいけど、おいしい (同一則)
---
わかるけど，わかる．
-
まだ、きいたことのある問題が多かったのでかんたんだと感じた．
---
すぐに難しくなるので，油断しないようにして下さい．;-)
-
分かり易かった
---
分からないところがでてきたら，ぜひ質問をして下さい．
-
来週もよろしくお願いいたします。
---
はい，来週もよろしくお願いします．
- 4/13 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
- コメントありがとうございました．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
- まず，挨拶から
-
半年間、よろしくお願いいたします。
---
こちらこそよろしくお願いします．
-
よろしくお願いします
---
こちらこそよろしくお願いします．
-
半年よろしくおねがいします
---
こちらこそよろしくお願いします．
- 次は質問．
-
レポートは表紙を用意しないと駄目ですか？ (用意しなくて良いのなら、学籍番号と名前はレポートの最初のページの上部分の余白に書きます)
---
表紙はなくてもよいです．学生番号と氏名を必ず書くようにして下さい．
-
レポートを期限前に提出した場合 (つまり、K課程事務室のレポートボックスに出した場合)、レポートの返却をその週の講義前にしていただくことは可能ですか？ (先生によるコメントが早期になされた場合で構いません)
---
出来る限りそのようにします．
-
レポート返却はいつごろされるのでしょうか？
---
講義の中でお返しします．
-
模範解答をなんらかの形で入手できないのでしょうか。
---
レポートを出してください．解けなかった場合は，どのように考えて解けなかったのかを書いて出してください．場合によっては，ヒントを与えます．
-
同じ時間に他の科目を受講していても中間と期末テストで単位は認められますか？ ※この講義は楽しみです．
---
「受講」ということばの厳密な意味に依存しますが，履修登録をしなければ，単位は認められません．
-
離散数学の離散とは何なのでしょうか
---
「ばらばら」という意味だと思って下さい．例えば，微分・積分のように連続であったり「つながっている」ようなものを扱うわけではない，という意味です．
-
離散数学の離散とはどういう意味なのでしょうか。
---
「ばらばら」という意味だと思って下さい．例えば，微分・積分のように連続であったり「つながっている」ようなものを扱うわけではない，という意味です．
-
松山市は愛姫県ですか？
---
愛姫県ではなく愛媛県ですが，松山市は愛媛県ではありません．;-)
-
真理値表の右下の"□"の意味は何ですか？
---
「証明終了」を表す記号です．
-
含意の逆 (つまり、$P \leftarrow Q$，$P \subset Q$) はありますか？
---
通常，そのように書くことはありません．
-
真理表の命題の順番が違う場合正解になりますか。(ただし右端は求めたい命題)
---
左に書いてあるものから右に書いてあるものが作られる，という規則が守られていれば，問題ありません．例えば，問題1.1の場合，「$P$, $Q$, $\neg P$, $P\rightarrow Q$, $\neg P \lor Q$, $(P\rightarrow Q)\rightarrow (\neg P \lor Q)$」という順であっても，「$P$, $Q$, $\neg P$, $\neg P \lor Q$, $P \rightarrow Q$, $(P\rightarrow Q)\rightarrow (\neg P \lor Q)$」という順でもよいです．
-
王が眠っていると王の信じるものが間違い、王が起きているとき王の信じるものが正しいのであれば、王が自ら眠っていると信じている場合、王が本当に眠っているというのなら理論上起きていることになり矛盾する、王が本当に起きているというのなら理論上眠っていることになり矛盾する、と思ったのですがどうなっていますか？
---
その場合に「矛盾する」というのは正しいです．講義で挙げたパズルでは，二人とも眠っていると王さまが信じていることが重要です．つまり，「王さまが眠っていると信じる」ことと「王さまと女王さまがともに眠っていると信じる」ことは違うのです．後者では矛盾が起きないのです．
- 最後に，感想や要望
-
説明がとてもわかりやすく声もききとりやすいです
---
分からなくなったら質問をするようにして下さい．お願いします．
-
解説・プリント両方わかりやすかったです。
---
分からなくなったら質問をするようにして下さい．お願いします．
-
分かり易くて良かったです。
---
分からなくなったら質問をするようにして下さい．お願いします．
-
理解できた。
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分からなくなったら質問をするようにして下さい．お願いします．
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文字や記号の意味から説明があり、とてもわかりやすかったです。
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分からなくなったら質問をするようにして下さい．お願いします．
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良い授業でした。出席ないの嬉しいです．
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出席しているかしていないか，ということは，講義で身に付けるべき目標を達成しているかどうかに関係ないので，出席をするだけでは1点も加点されません．その意味で出席はとりませんし，全部出席したからといって合格するわけではないので，気をつけて下さい．
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声が大きくてわかりやすい
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声が大きいと思えるのは，マイクのおかげです ;-)
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演習時間に相談はいいのですが問題をとかずにおしゃべりばかりしている人がちょっぴり気になります
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ありがとうございます．少し工夫をしてみようと思います．
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レポートのフィードバックをうけられるのは、いいシステムだと思いました。
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是非活かして下さい (^^)
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これからの講義を楽しみにしています．
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はい，お楽しみに．
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パズルが好きなのでおもしろそうだと思いました．
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毎回パズルをやるわけではないので，変な期待はしないでくださいね．
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具体例沢山で面白かったです。「パズルランドのアリス」のような論理パズルは楽しいですし、これからの離散数学の講義も楽しみです。
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例を多く出すように気をつけています．例を通して理解できることは多いからです．しかし，例だけではなく，定義をしっかりと理解することが重要なので，その点も忘れずにいて下さい．
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小学生の頃にやっていた論理パズルを思いだしてとてもなつかしい気持ちになりました。今思うと、あれらも数学的思考を使って解いていたのかと感動しました。
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そうですね．論理的に考えるということは数学的思考の第一歩だと思います．
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くらいです。
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後ろの方はわざと暗くしています．前の方に座って下さい．
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暗いが、聞き易く、集中できた
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後ろの方はわざと暗くしています．前の方に座って下さい．
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調布市は広いと思います
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個人の主観ですね (^^;
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ガロア
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「ロ」が「□」(四角) に見えて，空欄を埋めるクイズなのかと思いました (^^;
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ときどき挟まれるネタがおもしろい
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さて，何のことでしょう？ :-)
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気持ちゆっくりしゃべってほしいです。
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すみません．よく言われ，気をつけているつもりなのですが，直りません．早口になったと思ったときには，言い直すようにしています．
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2年の時に学習した内容と似ている部分もあり取り組みやすかった。引き続き受講して行きたい。本日はお疲れ様でした。
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今回は復習のような内容が多かったと思いますが，だんだんそこから離れていきますので，お楽しみに．
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「構造を理解する」大切さが身にしみて感じられました．(たすかりました．)
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そうですね．論理式や数式だけではなく，文章を読んだり書いたりするときにも構造に注意して下さい．
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四国の例がとても分かりづらい
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分かりやすい例がありましたら，是非お知らせください．例を考えることもよい訓練になると思います．
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例について、もう少し分かりやすい例示が欲しかった。
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あえて分かりにくい例を通して，「分かった気にならず，つっかえた気分を味わう」ということも重要かと思います．それによって本質がよくわかることもある気がするからです．
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例がわかりやすかったです。
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よい例がありましたら，是非お知らせください．例を考えることもよい訓練になると思います．
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「含意」が理解できませんでした。
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含意は難しいですね．Wikipediaの含意 (論理包含)の項目にも，「しばしば哲学的な議論の主題になる」と書かれているので，哲学者にとっても難しいのでしょう．
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含意は自分の常識をベースとせず、そのルールが合っているのか、間違っているのか考えると良いのかなと思いました。
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私はそのように理解しています．
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→を除いて分かりやすかったです。
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含意は難しいので，慣れが必要です．それに慣れることで，論理的な思考が着実にできるようになります．しっかりと身に付けて下さい．
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論理はア・プリオリ
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実をいうと，「論理」と呼ばれるものはたくさんあって，基盤とする論理によって，異なる数学が生まれます (生まれる可能性があります)．いろいろと気をつける必要があるものなのです．
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集合が今まであやふやだったので、今講義で理解できるようになりたい。
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ぜひ理解できるようになって下さい．
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非常に新鮮な経験だった 平易な日本語に置きかえることが必ずしも理解の助けにはならないということは今後の役に立った．
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私たちが本当に日本語を理解できているのかどうか，ということも疑う必要があるのかもしれません．
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レイモンド・スマリヤンの"What is the name of this book?"という本を読んだことがあります。
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邦題は『この本の名は？』ですね．レイモンド・スマリヤンは今年逝去しましたが，論理学や論理パズルに関する多くの本を残し，世界に多大な影響を与えました．
試験・成績
- 中間試験と期末試験を行います．
- 成績 = min{100, 中間試験の素点+期末試験の素点} (小数点以下切り上げ)
つまり，中間試験の素点+期末試験の素点が59.5点の人の成績は60点で，合格になります．
- 得点分布 (受講者数全員分，試験を受けていない人も含む)
- 受講者数 (履修登録者数相当) は77で，
90点以上 (S) が21人 (約27%)，
90点未満80点以上 (A) が9人 (約12%)，
80点未満70点以上 (B) が16人 (約21%)，
70点未満60点以上 (C) が7人 (約9%)，
60点未満 (D) が24人 (約31%) です．
- 期末試験
- 期末試験問題：8月7日6限実施 | 8月7日7限実施 | 8月17日実施
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 受験した人の数は3回の試験を合わせて66，平均点は41.66 (60点満点)．
45点以上 (S相当) が26人 (約39％)，
45点未満40点以上 (A相当) が15人 (約23％)，
40点未満35点以上 (B相当) が8人 (約12％)，
35点未満30点以上 (C相当) が8人 (約12％)，
30点未満 (D相当) が9人 (約14％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| <br> | 43 |
| 0024 | 46 |
| 02020 | 26.5 |
| 041891 | 58 |
| 10jqka | 28 |
| 110210 | 58 |
| 13069 | 52.5 |
| 15680 | 49.5 |
| 1606A | 31.5 |
| 1e22f | 40.5 |
| 1Zone | 60 |
| 253389 | 45 |
| 27dni | 34 |
| 31752 | 54 |
| 37102 | 35 |
| 38615 | 41.5 |
| 4274t | 54.5 |
| 441n4 | 34.5 |
| 4541a3 | 34.5 |
| 46453 | 47.5 |
| 5yAmAk | 42.5 |
| 7450n | 40 |
| 75230 | 58 |
| 761010 | 45.5 |
| 81018 | 42.5 |
| 81019 | 31.5 |
| 970331 | 41 |
| A1BAT | 15.5 |
| ar463 | 51.5 |
| bering | 40 |
| d2177 | 39.5 |
| ghtyk | 46.5 |
| HELPME | 42.5 |
| I47107 | 55.5 |
| k1324 | 38 |
| K6639 | 20 |
| ke015 | 27.5 |
| KOPmite | 60 |
| M1012 | 36 |
| m6111 | 60 |
| ma2ai | 1 |
| MCR32 | 38.5 |
| omochi | 54.5 |
| oto55 | 41 |
| rmtaka8 | 41 |
| S0721 | 35.5 |
| SBA10 | 41.5 |
| ss310 | 40.5 |
| t0369 | 25.5 |
| t1028 | 57.5 |
| TH322 | 48.5 |
| tnsn3 | 46 |
| u8864 | 58 |
| uecnn2 | 42 |
| utwrd | 33.5 |
| V-334 | 39 |
| Wq71A | 36 |
| x001 | 52.5 |
| yk114 | 34 |
| 向井理 | 45 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評 (8月7日6限実施)
- 総評：受験者数が3のため，細かい講評は控えます．なお，「演習問題から3題出題する」という約束が守られていないので，問題3については全員正解としています．すみません．
- 問題1：直積と冪集合を答える問題．演習問題7.8と同じ問題．
- 問題2：像と逆像を答える問題．
- 問題3：全射と単射に関する問題．演習問題9.4と同じにするつもりが，間違えてしまいました．すみません．
- 問題4：関係の性質を答える問題．
- 問題5：数学的帰納法を用いて証明する問題．
- 問題6：集合に関する証明問題．Aは演習問題7.12と同じ問題．Bは演習問題8.8と同じ問題．
- 講評 (8月7日7限実施)
- 総評：よくできていたと思います．基本的な問題をしっかりと答えられた人はほとんど合格できたと思います．
- 問題1：直積と冪集合を答える問題．平均点は7.67．要素数を答えていない答案が散見されました．
- 問題2：像と逆像を答える問題．演習問題8.5と同じ問題．平均点は7.24．小問5について「定義されない」と答えている答案が割とありましたが，実際は定義されます．
- 問題3：全射と単射に関する問題．演習問題9.4と同じ問題．平均点は8.00．授業中の例題と同じだからでしょうか，よくできていました．
- 問題4：関係の性質を答える問題．平均点は6.54．そもそも「関係を表すグラフ」というものが何なのかということが分かっていない答案が多くありました．性質を持つのかどうかは，勘で答えても半分正解することが期待できるので，本来の理解度は割と低いのではないかと思います．
- 問題5：数学的帰納法を用いて証明する問題．平均点は7.94．帰納法の仮定が正しく書けていない答案が多かったです．数学的帰納法は，分かった気になったようで，全然分かっていないものの典型例なので，しっかりと復習をして下さい．
- 問題6：集合に関する証明問題．Aは演習問題7.9と同じ問題．Bは演習問題8.7と同じ問題．平均点は4.43．Aを選択した人の数は18で，Aに対する平均点は5.61．Bを選択した人の数は42で，Bに対する平均点は4.13．Aを選択しているのにBを解答している答案や，その逆の場合もありました．注意して下さい．平均点を見ると，Aの方が簡単なのか，と思われるかもしれませんが，実際はそういうわけではなく，よくできている人がAを選ぶ割合が高かった，という印象を持っています．Aは同値変形が分かっていれば簡単に証明できます．Bは演習問題8.4 (これは授業内の例題) の類題ですが，例題の証明をそのまま書いて，Bの解答としようとしている人もいました．ダメです．そもそも逆像の定義が何なのか分かっていない気がしました．
- 講評 (8月17日実施)
- 総評：受験者数が1であるため，細かい講評は控えます．
- 問題1：直積と冪集合を答える問題．演習問題7.8と同じ問題．
- 問題2：像と逆像を答える問題．
- 問題3：全射と単射に関する問題．
- 問題4：関係の性質を答える問題．演習問題10.1と同じ問題．
- 問題5：数学的帰納法を用いて証明する問題．
- 問題6：集合に関する証明問題．Aは演習問題7.12と同じ問題．Bは演習問題8.6と同じ問題．
- 中間試験
- 中間試験問題 (6月15日実施)
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 受験した人の数は73，平均点は34.75 (60点満点)．
45点以上 (S相当) が21人 (約29％)，
45点未満40点以上 (A相当) が7人 (約10％)，
40点未満35点以上 (B相当) が11人 (約15％)，
35点未満30点以上 (C相当) が5人 (約7％)，
30点未満 (D相当) が29人 (約40％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| #982! | 19.5 |
| 10jqka | 22.5 |
| 11039 | 25 |
| 13069 | 42.5 |
| 1401D | 43.5 |
| 1507A | 51.5 |
| 1568 | 35.5 |
| 210210 | 60 |
| 31752 | 47 |
| 35ac2 | 19 |
| 381021 | 43 |
| 3d0ra | 35 |
| 4541a | 23.5 |
| 5yAmAk | 47 |
| 6n3RP | 22.5 |
| 71422 | 23 |
| 7610a | 47.5 |
| 77777 | 40 |
| 7N2H0 | 37 |
| 81018 | 52 |
| 9N460 | 32 |
| a10sb | 14 |
| a1523 | 29.5 |
| a15b3 | 49.5 |
| A17qW | 45 |
| a1a1a | 20 |
| A1ABT | 28 |
| a4r63 | 58 |
| a6326 | 14 |
| atwrd | 38 |
| bering | 21 |
| BNR34 | 22 |
| Cd0n1 | 37 |
| cr7rm | 36.5 |
| d2177 | 36.5 |
| E1129 | 25 |
| e23mo | 29 |
| ey31 | 20 |
| F6AUG | 9 |
| gg555 | 19.5 |
| h4076 | 43 |
| i8z8u | 10.5 |
| IG504 | 15 |
| k6137y | 37.5 |
| KATTUN | 29 |
| ke015 | 49.5 |
| m137s | 54 |
| m6111 | 60 |
| mazai | 24 |
| merrcy | 57.5 |
| o0024 | 30 |
| o5910 | 24.5 |
| omcaln | 38 |
| S0721 | 37.5 |
| SS310 | 43 |
| sush1 | 53 |
| t0369 | 47 |
| t0s07 | 35 |
| t13lc | 30 |
| t5079 | 46.5 |
| TDN16 | 22.5 |
| u8864 | 48 |
| uecnn | 45 |
| V33-4 | 15 |
| vjm3a | 31 |
| YDK48 | 60 |
| yk114 | 31 |
| Yotsuba&! | 51.5 |
| Z2a5Yb | 19.5 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：得点分布を見てもわかる通り，できている人とできていない人の差が大きく，答案にたくさん書いていても，それが点数に結びつかない人も多くありました．あまり点がとれなかった人は期末試験でしっかりと挽回して下さい．また，点がとれている人も期末試験では油断をしないようにして下さい．以下，各問題に対するコメントです．平均点も記します．
- 問題1：平均点は9.19．(a)は命題論理の問題．演習問題2.5.1と同じ問題．(b)は集合を答える問題．演習問題1.8と同じ問題．どちらもよくできていました．
- 問題2：平均点は6.44．同値変形によって集合に関する等式を導く問題．演習問題にはない問題．できている人はすんなりとできていて，できていない人は全然できていませんでした．そもそも同値変形として何を書くべきか分かっていない人がいて，愕然としました．
- 問題3：平均点は4.11．演習問題5.14と同じ問題．あまりできていませんでした．これは「正しくない」が正解ですが，反例をしっかりと挙げて下さい．演習問題と同じ問題なので，しっかりと準備をしてきて，ちゃんと解いてもらいたかったです．
- 問題4：平均点は5.81．背理法による証明を書く問題．演習問題5.19の類題．思いの外できていませんでした．背理法が正しく書けていない人が多いです．それだからこそ出題しているわけですが，しっかりと内容を確認して下さい．
- 問題5：平均点は5.51．集合に関する証明．演習問題にない問題．平均点は割と高いですが，それは採点基準のせいで，体感上はあまりできているとは思えませんでした．仮定すべきことが正しく書けていない場合が多かったです．
- 問題6：平均点は3.68．集合に関する証明．演習問題6.11と同じ問題．これは「正しくない」が正解で，あまりできていませんでした．反例をしっかりと挙げて下さい．これも演習問題と同じものなので，ちゃんと準備してきてもらいたかったです．
公式シラバス
こちらをご覧ください
スケジュール (予定)
- 4/13 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
- 4/20 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- 4/27 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- 5/4 みどりの日
- 5/11 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- 5/18 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- 5/25 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- 6/1 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- 6/8 (8) 写像 (1)：像と逆像
- 6/15 中間試験
- 6/22 (9) 写像 (2)：全射と単射
- 6/29 (10) 関係 (1)：関係
- 7/6 休講
- 7/13 (11) 証明法 (4)：数学的帰納法
- 7/20 (12) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- 7/27 休講
- 8/3？ 期末試験
過去の講義
注意：内容や説明法は毎年変化しています．
過去の試験問題
注意：内容や説明法，試験範囲は毎年変化しています．
[Teaching Top]
[Top]
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