離散数学
電気通信大学情報理工学部情報・通信工学科 I3クラス
2016年度前学期
金曜3限 (13:00-14:30)
教室：西8-132
岡本 吉央
ショートカット：
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スケジュール |
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過去の試験問題
講義資料
- 7/29 (14) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- 7/22 (13) 証明法 (4)：数学的帰納法
- 7/15 (12) 関係 (3)：順序関係
- 7/8 (11) 関係 (2)：同値関係
- 7/1 (10) 関係 (1)：関係
- 6/24 (9) 写像 (2)：全射と単射
- 6/17 (8) 写像 (1)：像と逆像
- 6/3 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- 5/27 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- 5/20 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- 5/13 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- 5/6 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- 4/22 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- 4/15 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
- 4/8 休講
コメント
- 7/29 (14) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- コメントありがとうございました．
-
おつかれさまです
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おつかれさまです
-
ありがとうございました。
---
ありがとうございました．
-
ありがとうございました．
---
ありがとうございました．
-
1年間ありがとうございました
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半年ですね，ありがとうございました．
-
楽しいです！
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楽しんでいただけてよかったです．
-
僕の証明能力の高まりを感じる
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感じるだけではなく，しっかりと高めて下さい :-)
-
複雑なところも徹底して単純な要素に分解して解説されたので分かりやすかったです。まぁ何よりありがたいのはテストが120点満点非圧縮なところですが。
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「複雑なところを単純な要素に分解する」というのは重要なことですね．それを「分析」と呼びます．そういう意味では，分析をする手法をこの講義では扱ったのだと思います．
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授業のスライドが演習の授業の役に立ちました．ありがとうございました．
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それはよかったです．今後も役に立つことがあるかもしれないので，活用して下さい．
-
離散数学の講師が岡本さんで良かったです。ありがとうございました。
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こちらこそありがとうございました．
-
数学における日本語への抵抗が少なくなったと思います。ありがとうございました。
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日本語の使い方をしっかりと勉強することができたなら，目標は半分ぐらい達成できてます．こちらこそありがとうございました．
-
離散数学面白かったと思います。生徒に授業に集中することを強制するのではなく集中しやすい環境を作ろうと考えていらっしゃるように思われました。教授に好感が持て、素直に話を聴いていました。
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生徒ではなく学生ですね．休憩をいれたり音楽を流したりするのは，いろいろな工夫を重ねてきた末の方法論なのですが，まだ最終形態ではないと思いますので，今後また変わっていくかもしれません．
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非常に面白い講義だった。途中寝てしまった部分もあるけれども。機会があるなら また御教授願いたい。たくさんの思ひ出をありがとう。
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はい，こちらこそありがとうございました．
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離散数学楽しかったです。ありがとうございました。来週の期末も頑張ります。
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楽しんでいただけてよかったです．ありがとうございました．
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試験頑張ります！
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しっかりと準備してきてください．
-
回文がおもしろかったです。
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ここですね．たくさんあるので，お気に入りを見つけて下さい．
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私が言えることはもはや何もない。
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私からも，このコメント欄は最後になります．ありがとうございました．
- 7/22 (13) 証明法 (4)：数学的帰納法
- コメントありがとうございました．掲載が遅くなりすみません．
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ポケモンgoやりますか？
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やりません．
-
先生はポケモンGOをやっていらっしゃいますか？
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やってません．
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ポケモンGOが配信されたので、ポケモンマスターになろうと思います。
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ほどほどにしてください ;-)
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ポケモンGOよりIGO (囲碁) の方が好きです。演習がんばります．
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でも，象さんの方がもっと好きです．
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がんばります。
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がんばってください
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復讐は何も生まないが復習は多くを生む
今考えた言葉です
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「復讐は何も生まない」のかどうかということについては諸説ありますが復習が多くを生むのは確かだと思います．復習してください ;-)
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離散数学の単位が離散しそう
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自分でなんとかして下さい．
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単位ください！
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私が与えるものではないので，注意して下さい．皆さんが取得するものです．
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スライドだと $6n < 3^n$ なのに演習問題13.3は $6n \leqq 3^n$ になってますね (後者は前者を含む)
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ありがとうございます．同じように証明できるので，13.3は修正しないことにします．
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今回は比較的頭に入りやすかった。
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演習問題でしっかりと復習して下さい．
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29日に出すレポートはいつごろ返却BOXに入れていただけますか？
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8/1を予定してます．
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今日の範囲は計算は難しいですが理解はしやすかったように感じました．帰納法が自力で解けるかと聞かれるとなんとも言えませんが．．．。
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自分でできるようになるのが重要なので，しっかりと取り組んで下さい．
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理解できたと思います
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それはよかったです．
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特になし。
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また何かありましたら，よろしくお願いします．
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ずっと写像の辺りが分からなくて混乱しています。．．．
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ぜひ質問をお願いします．
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自分としては今日聞いた音楽よりもこれまで聞いていたクラシックの方が勉強している間リラックスできました。
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いろいろなパターンを試してみた結果なのですが，私もそう感じました．
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試験がんばるぞい！
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しっかりと準備をお願いします．
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大学教授を目指すきっかけになったのは何ですか。
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大学教授を目指そうとも思ったことはないですし，目指してもいません．
- 7/15 (12) 関係 (3)：順序関係
- コメントありがとうございました．
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先日，大学から駅に向かって歩いている途中，ふと隣を見たら岡本先生が歩いていてびっくりしました。
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それは私の妹かもしれません．;-)
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他人の金で焼肉が食べたい
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あまり健全な考えではないですね ;-)
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お腹が痛いです
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病院に行って下さい．
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ズバリ先生にとって数学とは？
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日常です．
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一度解いて間違えた演習問題を再度出してもいいですか (締切り後に)
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よいです．以前に提出したレポートも一緒に付けて提出して下さい．
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ちゃんと聞いてたらけっこう分かりました
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それはよかったです．演習問題もしっかりと取り組んで下さい．
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先生の言っていた「憶えないでください」という言葉の意味がわかってきました。憶えようとすると混乱しそうです。
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その通りだと思います．「調べれば思い出せる」という整理が重要だと思って下さい．
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これは持ち込み用紙が期末で活躍するやつですね…BGMがフランツ・リストの超絶技巧練習曲だったのもあってボス感がすごい
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ボス感を出そうとしたわけではありません (-_-;
-
ややこしい分野だなと思った。
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「定義に基づいて考える」ということが重要です．「なんとなく…」というのは危ないので，しっかりと理解して下さい．
-
最大元と極大限の区別があいまいになってしまいます．
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「極大限」ではなく，正しくは「極大元」ですので，注意して下さい．
-
極大元あたり難しい。
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そうですね．いままでやってきたことの上に成り立っていますから，しっかりと復習をして下さい．
-
極大元と最大元はどのような時に使い分けるのですか？
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最大元というのはある意味で「最もよいもの」を表しているので，最もよいものを見つけたい，ということは，つまり，最大元を見つけたい，という問いと同じになります．これは頻出する状況です．
しかし，最大元は存在しないこともあるので，その場合は，極大元を見つけることになります．空集合ではない集合には必ず極大元が存在するので，「極大元を見つけること」は必ず可能です．演習問題12.5にもありますが，最大元は必ず極大元になります．その意味でも，極大元は最大元の代わりとしての役割を果たすことになります．
その他に，最大元が存在していると分かっていても，見つけることが大変である場合には，極大元を見つけることにして，最大元の代わりとすることもあります．
-
数字を答える問題はできるけど証明ができない
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証明の書き方に従って証明は行って下さい．自己流でやろうと思わないことが重要です．証明は文章なのですが，文章には書き方があります．書き方の定型を身につけることはどのような文章を書く上でも重要です．
-
演習ちゃんとやります。
---
はい，よろしくお願いします．
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追加問題12.9において
上限＝最小公倍数
下限＝最大公約数
ってことですよね？
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上限や下限が存在する場合は，その通りです．
-
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$A \preceq B$ を「役 $B$ が出来たとき，必ず役 $A$ も出来ている」と定義すれば，この $\preceq$ は麻雀の役の集合の上の関係になりますが，半順序となるためには反対称性を満たす必要があり，その確認には気をつけなければなりませんね．
-
約数のときは何で | の記号なんすかねぇ
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すみませんが，私も知りません．
-
英語はどのように勉強しましたか？
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幼いときのことを言えば，NHKラジオ講座を聞いてました．毎朝．
-
大学時代は遊びましたか？
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誤解を恐れず答えれば，遊びました．遊びだけをしていたわけではありませんが．
- 7/8 (11) 関係 (2)：同値関係
- コメントありがとうございました．
-
これは一瞬理解した気がするけど実際全然理解できてないやつですねぇ 演習しないと…
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はい，演習問題に取り組んでしっかりと理解して下さい．
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なかなか複雑になっていくなと感じた。
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そうですね．しっかりと復習をして下さい．
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関係に入ってから一気に内容が難解になった。
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内容が抽象的なので，しっかりとイメージができるようにして下さい．
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むずかしくてわからない
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どこがわからないのか，というところまでは自分で理解して下さい．それができたら質問して下さい．
-
$a \mathrm{R} a'$ から $[a]_{\mathrm{R}} = [a']_{\mathrm{R}}$ というのがどう成り立つのでしょうか
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これは演習問題です．取り組んで下さい．
-
演習難しい
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10回も講義をやってるわけなので，それは段々と難しくなっていきます ;-)
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証明が多くて難しかった
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いままでの積み重ねで成り立っているので，よく見ればそんなに難しいわけではないと気づけるはずです．復習をお願いします．
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証明がわからない
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4回目ぐらいの講義から復習して下さい．講義は積み重ねで構成されています．
-
画面が小さい気がする
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いつもと同じです．
-
あつい
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私に言われても困ります ;-)
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疲れました。
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お疲れ様でした．
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寝てしまいました…復習します。生活リズムの乱れを直したいです。
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生活リズムを整えることは重要なので，乱れたとき，すぐに直せるようにしておきたいですね．
-
疲れすぎて眠ってしまいました。
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私は構いません．
-
はい
---
はい
-
期末考査には同値関係，同値類，分割，商集合の定義をまとめたA4用紙を持ち込むことにします。とても覚えられないので。
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覚えることは想定していないので，持ち込んで下さい．
-
思っていたより中間試験の点数が低くてショックでした。期末頑張ります。
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はい，しっかりと準備するようにして下さい．
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ば…ばかな！？自己採点では50点だったはず…！？これは何かの陰謀なのか…！？
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ただ，自己採点が間違っていただけです．3割ぐらいの人の答案には壊滅的に意味不明な日本語が混ざっています．日頃，自分が用いている日本語が論理的であるかどうか，注意しながら暮らして下さい．
-
期末は良い点数取りたいです！
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その心意気を大切にして下さい．
-
W東 ドラ3 満貫です．
---
東がドラだったのでしょうか．
-
どこの国の研究者といっしょに研究しますか？
---
どこでも，です．
-
海外の生活は楽しかったですか？
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楽しかったです．もう二度とできないでしょうけど．
-
どこの県出身ですか？
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愛知県です．
-
友達いますか？
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みんな友達です :-)
- 7/1 (10) 関係 (1)：関係
- コメントありがとうございました．
-
中間の結果首長くして待ってます
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首を洗って待っていて下さい ;-)
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テストまだかなーww 期末は8月5日じゃない場合は12日ですか？
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12日は試験期間を外れてますので，おそらく8月5日になるのではないかと思います．(試験日は私が決められるわけではないのです．)
-
期末のときは「関係」の問題を少なくしてください。難しかったです．
---
ちゃんと準備をするようにして下さい．
-
今まで完全性と言われても意味がわかりませんでしたがやっと理解できました。ありがとうございます。
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状況によって適用すべき定義が異なりますので，注意して下さい．
-
複雑な分野だなあと思った。
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用語を覚えようとしないで下さい．忘れたときに思い出せるように整理しておくことが重要です．
-
対称性について、スライドに「任意の $x,y \in A$ に対して $x \mathrm{R} y$ ならば $y \mathrm{R} x$」とかいてありましたが、これだと
は○ではないのでしょうか。
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$x$ と $y$ を入れ替えると，「$y \mathrm{R} x$ ならば $y \mathrm{R} x$」になるので，これも禁じられます．
-
関係のグラフ、描くのはまだ簡単ですが、そこからどの性質を持つのかを見ていくのは意外と難しいですね。
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確かにそうですね．漏れのないようにしっかりと見定めて下さい．
-
こういうのもグラフって言うんですね
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こういうものをグラフといいます．
-
授業中の先生の話はわかりやすいですし、プリントの内容も頭に入ってきます．しかし、演習の問題が解けません (特に証明系)．離散数学の参考書とか読んだ方が良いんですかね？
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第1回の講義のときに参考書を挙げてますので，そちらを参考にして下さい．
-
頑張った
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お疲れ様でした．
-
頑張ります！
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お願いします．
-
最近難C
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しっかり復習をしてほC
-
前回よりは簡単でした。
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油断せずに，しっかりと復習して下さい．
-
ありがとうございました。
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どうも．
-
タイルのしきつめは回転を区別しても最初の定理みたいなもの (局所的な変形を繰り返すとすべてのパターンを網羅できる) は成り立つのでしょうか
---
これは考え方によって，成り立つとも言えますし，成り立たないとも言えます．ここで説明するのはちょっと難しいですが，次回の「同値関係」にも若干関係するので，次回関連する話題を紹介します．
-
fが全単射じゃなかったら f-1 の( )内には集合しか入れちゃダメってことですか？
---
はい，そうです．レポートを見ていて気になったのは，逆像の定義を勘違いしている回答が多かったことです．写像 $f\colon A\to B$ と集合 $Y\subseteq B$ に対して，逆像 $f^{-1}(Y)$ の定義は，
$\{a \mid a \in A \text{ かつ，ある } b \in Y \text{ が存在して，} b=f(a)\}$ であって，
$\{a \mid a \in A \text{ かつ，ある } b \in Y \text{ が存在して，} a=f^{-1}(b)\}$ ではないのです．
2つ目の間違った方の中にある「$f^{-1}(b)$」は $f$ が全単射のときにしか定義されない (意味を成さない) のです．
-
院試の離散の問題は先生が作りますか？
---
はい，先生と呼ばれる人が作ります．
-
水素水って胡散臭くないですか？
---
そう思いますが，世の中に胡散臭いものは多いので，それほど気になりません．
-
チック・コリアが好きです．
---
次回，検討します．(実は，既に検討していて，いつか出そうと思ってました．)
-
海外の研究者といっしょに研究したりしますか？
---
そちらの方が多いです．
-
お腹も空いたし疲れたんでもうお家に帰りたいと思います。
---
お疲れ様でした．
- 6/24 (9) 写像 (2)：全射と単射
- コメントありがとうございました．
-
ゾーンディフェンスは全射ですか、単射ですか
---
写像の始域と終域をまず定めなければなりません．ゾーンディフェンスは，一方のチームのプレイヤーの集合から他方のチームのプレイヤーの集合への写像と考えることができないため，別の始域と終域を考える必要があります．
-
$\sin x$ において $f\colon (-\infty,\infty) \to (-\infty, \infty)$ は全射でも単射でもなく、$f\colon (-\infty, \infty) \to [-1,1]$ は、全射であるが、単射ではなく、$f \colon [-\pi/2, \pi/2] \to [-1,1]$ は全単射である、ということですね。
---
その通りです．そのため，「三角関数の逆関数」というときに始域や終域をしっかりと意識しないといけないわけです．
-
全単単単全単全全単単全単単
---
「てんてんどんどんてんどんどん」ではありません．
-
間違えやすい間違えやすい間違えやすい間違えやすい間違えやすい間違えやすい間違えやすい間違えやすい間違えやすい間違えやすいって言ってもらったところ 何を間違えやすいのか聞き逃してしまいました。
---
逆像と逆写像の違いです．間違えないようにして下さい．
-
説明がわかりやすいです．これからもよろしくお願いします．
---
こちらこそ．
-
先週の8.7と8.8が難しくて方針すら立てられなかった
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「定義に立ち戻る」ということが重要なので，定義に立ち戻って証明して下さい．
-
演習8.8の証明で途中自分が何を書いているのか分からなくなりました。
---
証明の書き方に従って証明を書いていくことが重要です．それに従っているかどうか確認しながら取り組んで下さい．
-
証明がうまくできません
---
証明の書き方に従って証明を書いていくことが重要です．それに従っているかどうか確認しながら取り組んで下さい．
-
結構証明たのしいです。好きです。
---
突然告白されても困ります (-_-;
-
演習頑張ります。
---
はい，よろしくお願いします．
-
9.10(4)はどちらでもないという答えになりますか？
---
ここでは答えられないです ;-) レポートにして出してください．
-
1年の頃理解できていなかった全射、単射を理解できました。ありがとうございます
---
それはよかったです．演習問題を通して理解を深めて下さい．
-
全射と単射がより分かったと感じた。
---
今後もよく出てくるので，しっかりと復習して下さい．
-
全単射，全射，単射を理解できても証明はわからない
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おそらく，その段階では，まだ理解できていないのだと思います．しっかりと理解できるように取り組んで下さい．
-
完全にねてしまいました。復習します…
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はい，よろしくお願いします．
-
ラーラーララー ララー ララー
ララー ラララララー
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これだけから曲名をあてることは難しいです (-_-;
-
授業中イギリスが大変なことに
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すぐ落ち着きます．大丈夫です．
-
イギリスのEU離脱が決まりましたが、どう思いますか？
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どうも思いません．
-
町田市の東京都離脱に賛成ですか？ 反対ですか？
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興味がないです．
-
あ！
---
あ？
-
ありがとうございました。
---
ありがとうございました．
-
眠いけど頑張った。
---
それはよかったです．;-)
- 6/17 (8) 写像 (1)：像と逆像
- コメントありがとうございました．
-
もうちょっと目が覚める音楽を流してくれるとありがたいです．
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ありがとうございます．そうなるように考えます．
-
都知事選に立候補してください
---
都知事に興味がありません．
-
難しい！
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質問して下さい．どこが分からないかということが分かるところまでは自分で頑張って下さい．「難しいから簡単にしろ」という要求にはもちろん答えられません．
-
むずすぎる
---
質問して下さい．どこが分からないかということが分かるところまでは自分で頑張って下さい．「難しいから簡単にしろ」という要求にはもちろん答えられません．
-
難しかったです
---
質問して下さい．どこが分からないかということが分かるところまでは自分で頑張って下さい．「難しいから簡単にしろ」という要求にはもちろん答えられません．
-
線形代数第二で写像が嫌になりました．
---
嫌になったら困るのは自分なので，その覚悟をもって臨んで下さい．
-
像や逆像は難しかったです。
---
混乱する箇所ではあるので，しっかりと復習をして下さい．
-
写像のハンイは自分が少し苦手とするので、がんばっていきたいと思います．
---
はい，がんばってください．
-
現代数学入門Aで苦戦した分野であるので，頑張っていきたい。
---
はい，がんばってください．
-
難しかったから復習頑張るね
---
頑張ってね
-
ややこしいですね
---
ややこしく，間違いやすいので，しっかりと演習問題に取り組んで下さい．
-
演習問題の解答例はないのですか？
---
ないです．
-
6回？集合の証明がムズかしいです．
---
ひとつひとつ手順を追って進めて下さい．変にアレンジを加えないことが重要です．
-
用語の説明がわかりやすくて理解の助けになりました。
---
ややこしいところなので，演習問題を通して確実に理解するようにして下さい．
-
前回の補足＋追加問題が多くて難しくて解ききれなくて残念。A4レポート用紙5枚半書いて全体の半分強しかできなかった
---
集合の要素数に関する部分が多かったかもしれませんが，取捨選択をしながら取り組んでもらえれば，と思います．
-
僕はサイクロイド曲線が好きなのですが、半径1の円についてのサイクロイドは式で書くと $x=t- \sin t$，$y = 1 - \cos t$ と表されるのですが、これは写像で書くと $f\colon (-\infty, \infty) \to ((-\infty, \infty), [0,1])$ となるということでしょうか。
---
サイクロイドはこのことだと思いますが，「$t$ を決めれば $(x,y)$ が決まる」という意味では写像と見なせます．正しく書けば，$f \colon (-\infty, \infty) \to (-\infty,\infty) \times [0,1]$ となります．順序対を表すために使う集合は直積ですので，注意して下さい．
-
$f\to g$ で $f(\emptyset)$ と $f(\{\emptyset\})$ はどう異なりますか？ それぞれ $\emptyset$ と $\{\emptyset\}$ で良いのでしょうか？
---
「$f \to g$」というのが何を表すのかわからないので，答えられません．
-
資料1枚だけ印刷し忘れた。
---
ドンマイ ;-)
-
先生の好きな花は何ですか．
---
特にないです．サクラは好きです．
-
もう1枚GTX1080がほしい
---
購入して下さい．
-
中間試験の結果が楽しみです．
---
現在採点中です．すぐには終わりませんが，もう少しお待ちください．
- 6/3 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- コメントありがとうございました．
-
中間試験がんばります
---
頑張って下さい．
-
中間試験頑張ります。
---
頑張って下さい．
-
来週の試験頑張ります。
---
準備も頑張って下さい。
-
テストに向けて準備してます。不安ですが頑張ります。
---
はい，よろしくお願いします．
-
去年は中間1, 2とありましたが、クラスごとに問題を変えている、ということでしょうか？
---
私は1つのクラスしか担当していませんし，他のクラスの試験問題を作ることもしていません．中間1, 2とあるのは，本来の中間試験の日に都合がわるい学生がいたため，違う日に別の問題で中間試験を行ったからです．
-
がんばり
---
がんばれ
-
難しい．
---
質問して下さい．どこが分からないかということが分かるところまでは自分で頑張って下さい．「難しいから簡単にしろ」という要求にはもちろん答えられません．
-
難しいです
---
質問して下さい．どこが分からないかということが分かるところまでは自分で頑張って下さい．「難しいから簡単にしろ」という要求にはもちろん答えられません．
-
かいとうがほしいです
---
レポートを出してください．
-
今日は新しい範囲で，今日の範囲はよくわかりました。
---
毎回新しい範囲なので，毎回よくわかってください．
-
集合の集合はわかりにくいです．
---
よくでてくるので，慣れて下さい．
-
$2^{\emptyset}$と$2^{\{\emptyset\}}$の説明，理解できました．ありがとうございます。
---
混乱しやすいので，気をつけて下さい．
-
高校のとき要素数をn(A)と書いていたのですがそのように|A|などと書いた方がいいですか？
---
|A|などと書いた方がいいです．n(A)という書き方は国際的に通用しません．|A|ならば通用します．
-
冪集合を$2^A$のように表記するのは何故ですか？
---
一説には，$A$の冪集合の要素数が$2^{|A|}$になるから，と言われています．
-
$A\cap B \subseteq \overline{A}\cup B$は証明なしに用いてもよいですか？
---
よくありません．正しいですが．
-
BGMのセンスが良い
---
今日はメンデルスゾーンです．
-
先生は生き物だそうですが，私も生き物です。
---
奇遇ですね ;-)
-
学生時代は数学が得意でしたか？
---
そういう観点で考えたことはなかったですが，得意ではなかったと思います．普通です．この講義でも普通のことしかやっていません．
-
Ph.D.取得は大変でしたか？ 英語での口頭試問は難しかったですか？
---
英語しかしゃべらずに暮らしていたので，英語だから難しかったということはないです．
-
7日間のサバイバルを生き抜いた北海道の少年についてどう思いますか？
---
朝7:00ごろ家を出ていたため，このコメントではじめて発見されたことを知りました．
-
先生はカバディをご存知ですか。
---
知っていますが，やったことはありません．
-
右耳の2ミリ右にミニ右耳
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そのミニ右耳は体から離れてませんか？
-
四暗刻単騎
四槓子
大四喜
字一色
八連荘
直立
一発
門前清摸和
ドラx8
門風牌
荘風牌
---
「直立」ではなく「立直」です．門前清摸和も違います．そもそもツモになってません．
- 5/27 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- コメントありがとうございました．
-
今日はジブリが流れていましたね？
---
はい，流れていました
-
久石譲ってすごいですよね．ジャズ調にしてもかっこいいしボサノヴァでもすてきですし原曲は感動するし、もっとたくさん曲かいてほしいです。久石譲って本名じゃないんですよ
---
クインシー・ジョーンズから来てるんですよね
-
ジブリメドレーよかった
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よかったと思ってもらえてよかったです．
-
ジブリいいですね．
---
親しみやすい曲が多いですね．
-
アザーース！！ リクエスト聞いていただき感謝感激雨嵐です！ 勉強がいつもの114514倍進みました！
---
こちらこそありがとうございます．ナイスな心意気のつもりです．
-
良い音楽で集中できました。
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うるさくない程度の音楽にしていきたいと思います．
-
音楽流れているのは気分がすぐれて勉強がはかどります．
---
それが目的です．はかどらせてください．
-
バルス！
---
休憩は2分程度です．3分も待ってません．
-
今日は休憩時間が短かったです．
---
あまり長くするのも集中力が切れますので，ご留意ください．
-
好きな作家はだれですか？またその作家のおすすめの本は何ですか？
---
最近はあまり (小説のような) 本を読む時間がとれないのですが，村上龍の「69」は好きで，いろんな人に薦めてました．じきに映画化されましたが．
-
訛りって、どこ出身ですか？
---
愛媛県となぜか間違えらえる愛知県です．
-
雨は嫌です
---
私も嫌です
-
ちょうどいい室温でした。
---
冷房がいつから入れられるのか分からないので，暑いときは窓と扉を開けましょうか．
-
少し教室が寒かったです．授業は分かりやすかったです
---
温度調整が難しい季節になってきましたので，それで健康を害することがないように，服装等に気をつけて下さい．
-
ありがとうございました。
---
こちらこそありがとうございました．
-
難しいなと思った。
---
今後の内容の基礎となるので，しっかりと身につけて下さい．
-
知識の欠落が多くて授業について行けなくなりました。中間までには何とかします。
---
入念に準備してきてください．
-
演習難しくなってきました。
---
そうですね．質問をするようにお願いします．そのために演習の時間やレポートがあるのですから．
-
テスト頑張る
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頑張って下さい
-
テスト勉強がんばります
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持ち込みができますので，準備をしてきてください．
-
中間試験満点で単位確定ですか？
---
その通りです．
-
空集合は空集合の部分集合といえますか？
---
いえます．正しいです．
-
「$\subseteq$」で思い出したんですが「$\geqq$」は「$\geq$」って書いた方がいいんでしょうか。
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実数の大小関係については「$\geqq$」を使っても「$\geq$」を使ってもどちらでもよいです．集合の包含関係についても「$\subseteq$」ではなく「$\subseteqq$」を使うことがあります．
-
任意の正実数 $\epsilon$ とは、限りなく ($a$ や $b$ より) 小さいという仮定のもとで証明を行っているのですか？ (復習5.8)
対偶を考えずに元の命題で $a=2, b=1$ を考えると $\epsilon > b$ とすると、$a < b + \epsilon$ が成り立つが $a \leq b$ は成り立たないです。ご指摘お願いします。
---
「任意の正実数 $\epsilon$」はどんな正実数でもよいです，$a$ や $b$ より限りなく小さいという仮定はありませんが，「任意の正実数 $\epsilon$ に対して $a < b+\epsilon$ が成り立つ」と言うときには，どんな正実数 $\epsilon$ に対しても $a < b+\epsilon$ が成り立たなければなりません．つまり，$a=2, b=1$としたときに，「任意の正実数 $\epsilon$ に対して $2 < 1 + \epsilon$ が成り立つ」という命題が正しいかどうか考えなくてはなりません．これは正しくありません．正しくないことを証明するためには反例を挙げればよいです．正実数 $\epsilon = 1$ を考えれば反例になります．
- 5/20 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．
-
ここちよく寝てしまいました。おはようございます！
---
おはようございます！
-
眠くなる曲は控えてもらえませんか。
---
眠くなる場合は動いて下さい．
-
毎回、最後の方で気を失ってしまいます。失礼しました
---
気を失ったままにならないなら，問題ありません． ;-)
-
今日流していた音楽は何のやつですか？
---
たぶんこれです．
-
BGMはどのように決めていますか？ また、今日のBGMの曲名は何ですか？
---
前回「ケルト音楽」についてコメントをいただいたので，ケルト音楽風のものにしてみました．
-
曲が暗い
---
次回は明るい曲にしてみます．
-
ジブリが聞きたい
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考えておきます．
-
音楽よかったです。
---
音楽は続けます．
-
ゲームに使われていそうなBGMですね。
---
そうかもしれませんが，やらないのであまり分かりません．
-
もっといろんな曲を流してほしいです
---
20分間は同じようなものを流し続けますが，週ごとに違う風味のものを考えます．
-
好きな曲 (アーティスト) は何ですか？
---
クラシックではドビュッシーが好きです．
-
アイスティーは好きですか？
---
好きでも嫌いでもありません．中立です．
-
声が若干枯れてますよね？お大事にです m(_ _)m
---
ありがとうございます．
-
お疲れ様です。
---
こちらこそ
-
ドイツ語話せますか？
---
Nie
-
難しかったです。
---
よく復習をして下さい．
-
述語論理式を書くのが難しいです。よく復習します。
---
論理的に考えるために避けては通れない事項なので，しっかりと身につけて下さい．
-
僕の人生でもっと早く証明の書き方を知っておきたかった。
---
今まで扱ってこなかったので，ここでしっかりと扱っている，と思って下さい．論理的な文章を書くための基礎なので，とても重要です．
-
今回は難しいと思う分野であった。しっかりと勉強していきたい。
---
今後も使っていく内容なので，しっかりと復習して下さい．
-
細かいですけど「したがって」ばかり使うのがちょっと気になるので「よって」とか使っていいでしょうか？
---
よいです．私も気になります．
-
証明問題は授業で行ったプロセスで証明しないと減点対象ですか？
---
授業で行ったプロセスに従わなくてはならないわけではありませんが，文章として成立していて，論理展開が明確である必要はあります．
-
楽しかったです。
---
それはよかったです．次回もお楽しみに．
-
がんばります
---
中間試験も近いのでしっかりと準備をして下さい．
-
情報通信演習の離散数学の分野もできがよくなかったです。
---
いまできているか，ということよりも，将来できるようになることが重要なので，しっかりと練習して下さい．
-
ゆうて いみや おうきむ
こうほ りいゆ うじとり
やまあ きらぺ ぺぺぺぺ
ぺぺぺ ぺぺぺ ぺぺぺぺ
ぺぺぺ ぺぺぺ ぺぺぺぺ ぺぺ
---
私はもょもとではありません，岡本です．
-
(・8・)
---
私はエイトマンではありません，岡本です．
-
Windows 10について一言願いします．
---
使ってないので分かりません．
-
いつもシャツの柄が気になります。色々ありますね。
---
たしかに色々あります (^^)
- 5/13 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- コメントありがとうございました．
-
音楽よかったです。
---
では続けます．
-
音楽をかけるのはとても良いと思った。
---
では続けます．
-
音楽良かったです．
---
では続けます．
-
音楽は続けてほしい．
---
では続けます．
-
演習時間の曲、よく集中できる曲で良かったです。
---
では続けます．
-
音楽流れると眠くなくなり良いと思う
---
では続けます．
-
音楽良かったです．
---
では続けます．
-
眠くない曲かけて下さい。
---
「眠い」というのは人や生き物の様子を指すことばですから，曲が眠いか眠くないか，という用法はありません．
-
音楽がgoodでした．快眠しちゃいましたが．
---
他の人の邪魔にならないのならば，寝ていてもよいです．何も得られるものはないでしょうが．
-
曲のリクエストはできますか
---
できますが，採用されるとは限りません．
-
BGMでhard style流して下さい
---
すみませんが，騒がしいので採用しません．
-
オシャレな音楽ですね。
---
ボサノヴァです．
-
ボサノヴァ，良いです。僕は勉強するとき，ケルト音楽かFourplayというスムースジャズ？フュージョン系の音楽を聴きながら勉強しています。少しノリの良さが欲しいときは最近はやりのfox capture planを聴いています。是非聴いてみてください。
---
ありがとうございます．試してみます．
-
スタジオジブリの歌が聞きたいです。
---
「聞きたい」というリクエストでしたら，自分で聞いて下さい．;-)
-
前回の追加問題3.7が意味分からなすぎました
---
ゲームだと思って考えてみてください．
-
問題3.3〜3.5の証明の方針と真理値表の書き方がわからないです。
---
「$D=\{a,b\}$ のときに」と書いてあるので，そうだと思って，問題3.2のようにやって下さい．
-
使った法則っていちいち書く必要ってあるのですか？
---
いちいち書く必要はありませんが，どの法則を使っているのか意識することは重要なので，そうだと思って取り組んで下さい．
-
同値変形が慣れない。
---
演習問題を通して慣れていって下さい．
-
同値変形が大変でした
---
慣れれば，すぐにできるようになります．
-
証明のとき、先に条件を満たす具体的な数字を見つけるのは「美しい数学」に反するのでは？学生はよいのですが数学の教授としてどう思いますか？
---
私は教授ではありませんし，数学の教員でもありません．その点を確認した上で質問に答えますが，反しません．授業でも言いましたが，証明において，下書きと清書は明確に分けなくてはならず，下書きを他人に見せてはいけないのです．下書きを見せることは汚いと感じます．
-
「任意の実数 $x$ について」を「$\forall\ x\in \mathbb{R}$ について」と書くことができますか
---
できないと考えて下さい．そのような表記を見ることはありますが，よいものではありませんし，いろいろな意味で間違っています．
-
スライドに登場する「x」が分かってはいても乗算の記号に見えてしまいます。見えないように努力します．
---
見えてしまうのは仕方ないですが，文脈で判断して下さい．
-
自分もキングオブコメディに似てると思います。P.S 実質含意を考えるのが苦手です
---
「$\rightarrow$」を見たら実質含意を考える，と思っていれば当座はよいと思います．
-
大江裕にも似てますね。ちなみに体重は何kgですか？大江裕は100kgでオネエです。割と一致してますね。
---
何が割と一致しているのか全然わかりません．(-_-;
-
講義開始時に私の座席の左側の壁に大きな蚊がとまり、90分間気が気ではありませんでした。しかし、奴はほぼ微動だにしませんでした。
---
一瞬「微動だに」というダニがいるのかと思いました ;-)
-
例年，どのくらいの割合の落単奴がおるんや？
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何をもって「例年」とするのかわかりませんが，昨年度のことは昨年度の講義のページに書いてあります．
-
何ラーメンが好きですか？
---
特に好きなラーメンはありません．
-
シャツがかわいいですね。素敵です♡
---
ありがとうございます．
-
分かりやすかったです。
---
気を抜かないようにしていて下さい．
-
すごくわかりやすかったです。板書でねむくならないようにがんばります。
---
気を抜かないようにしていて下さい．
-
分かりやすかったです
---
気を抜かないようにしていて下さい．
-
特になし
---
質問があれば，いつでもどうぞ．
-
今日はいい天気だった
---
そうですね．梅雨の時期になる前のよい季節ですね．
-
がんばります
---
はい．がんばってください
-
お疲れさまでした
---
こちらこそ．
-
夜中に資料を印刷していたら隣の部屋の人に怒られました。
---
印刷音がうるさいということでしょうか．朝印刷して下さい．
- 5/6 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- コメントありがとうございました．次回は今回の続きからはじめます．
-
図書館2階で印刷用スライドを印刷しようとしてもERRORで正しく印刷されなかった。(1枚目が少しだけ印刷されてて2枚目にERRORと書かれたものがでてきただけだった)
---
前回のコメントにもありました通り，情報基盤センターの業務事務室にお伺い下さい．
-
ずっとおなかかが痛かったです。
---
お大事に
-
ある程度理解できました．復習しておきます．
---
はい，復習は大事です．よくしておいて下さい．
-
眠かったです
---
眠っていて下さい．
-
理解が追いつきません
---
質問して下さい．演習の時間中，私は1つも質問をもらいませんでした．質問できる機会があるのですから活かして下さい．
-
難しくなってきた．
---
そうですね．だんだんと難しくなってきてるので，しっかりと演習に取り組んで下さい．
-
難しいです。
---
まずは，どこでひっかかっているのか，明確にして下さい．そうすれば，質問もしやすくなると思います．「難しい」と感じているだけではぼんやりとしています．
-
結婚してますか？
---
してません．
-
がんばります
---
がんばってください
-
予定通りに授業を進めて下さい．
---
すみません，今回はなぜか心が折れました．気をつけます．
-
今回演習問題プリントを忘れてしまい、絶望していたところ、前のスライドに演習問題が映っていることに気づき歓喜しました。しかし結局私は3.2までやっており、次の3.3が映っていない事実に気づき改めて絶望しました。PS. なら映っている3.6をやれよとお思いかもしれませんが、3.3をとばして3.6をやるというのは、何かこう私の信念 (ポリシー) が許さないのです。ご容赦ください。
---
3.3は今回たどりつかなかった部分に関する演習なので，そもそもやりません．来週に持ち越されます．あしからず．
-
「二人ゲーム」という例えで述語論理が少し分かるようになりました。
---
二人ゲームという視点は重要な視点なので，しっかりと身につけて下さい．
-
3.7ややこしー
---
ゲームであるという視点で考えてみてください．糸口がつかめると思います．
-
じゃんけんの命題関数のところが理解できなかった
---
例をここでもう一度説明します．後出しじゃんけんで自分が必ず勝てるという状況を記述するために，集合HをH={グー，チョキ，パー}として，考える論理式は「∀x∈H (∃y∈H (yはxに勝つ))」です．xは相手の出す手，yは自分の出す手を表します．そのとき，考えている論理式の意味は「相手がどんな手xを出しても，自分にはある手yが存在して，yはxに勝つ」ということです．これが真であることと「後出しじゃんけんで自分が必ず勝てる」ということが同じになります．実際に真であることを確かめるには，「∀は∧みたい，∃は∨みたい」であったことを思い出せばできます．
-
三目並べの例がわからなかったです．
---
後出しじゃんけんのところと同じように，論理式「∃a(∀b(∃c(∀d(∃e(∀f(∃g(∀h(∃i({a,c,e,g,i}で一列占めている)))))))))」の意味を考えると，「自分の手aが存在して，相手がどんな手bを打っても，自分の手cが存在して，相手がどんな手dを打っても，自分の手eが存在して，相手がどんな手fを打っても，自分の手gが存在して，相手がどんな手hを打っても，自分の手iが存在して，{a,c,e,g,i}で一列占めている (つまり，自分が一列完成させている)」になります．
-
今回も挙げられた例がわかりやすく，理解の助けになっていました。
---
理解の助けになったのなら，よかったです．
-
∀，∃の読み方ってカタカナ読みだとどうよみますか
---
正直に答えると，知りません．知らないというか，読み方に興味がありません．重要なポイントかもしれませんが，式というものは，日本語として声を出して読むとき，左から右に向かって，書かれているものを順に読む，というものではないと思います．ただし，英語として声を出して読むときは，左から右に向かって読めます．
-
全称，∃命題の真理値と述語論理式を理解しきれないかったのでよく復習します。
---
はい，しっかりと復習して下さい．
-
GW中は何をして過ごしましたか？
---
仕事と病気療養です．
-
特になし。
---
質問があれば，お願いします．
-
特にないです
---
質問があれば，お願いします．
-
分かりやすかったです．
---
油断していると突然難しくなるかもしれないので，気をつけて下さい．
-
証明が難しいと思いました．
---
慣れが必要なので，演習問題にしっかりと取り組んで下さい．取り組んでみて分からない所は質問して下さい．
-
ややこしい
---
確かにややこしいと思うので，いろいろな概念の区別と，その区別のもとで概念を使いこなせるようになって下さい．
-
無限集合の場合の対処についての話も楽しみです。
---
これは次回以降の話になります．お楽しみに．
-
今日も分かりやすかったです。ありがとうございました。
---
分からなくなったら質問をして下さい．私は演習の時間中，暇で仕方ありません．
-
偽って漢字は書きづらい
---
まず，書き順を見て，それに沿って書き取り練習をするとよいと思います．
-
HARD CORE RAVE あぁ良さ…
---
眠気覚ましにはよさそうですね．:-)
-
僕のオススメは「NARUTO」という漫画です。最初の方は特に面白いのでぜひ読んでみてください！
---
ありがとうございます．NARUTOは絵がスカスカだというイメージがあります．
-
キンコメの今野に似てますね．相方捕まって残念ですね。
---
はじめて言われました．自分のレパートリーの中に入れておきます．
- 4/22 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- コメントありがとうございました．
-
ベン図を作ったのはベンさんですか？
---
ベンさん (John Venn) だと言われています．
-
この講義では言葉の使い方そのものが重要になっているようですね．
---
この講義ではそうですが，この講義だけではありません．しかし，あまりにも学生が日本語を下手に使うので強調しているだけです．例えば，皆さんがレポートなどを提出して，返却されて，日本語について何も注意がされていなければ，そのときは，日本語が上手に使えているか，あるいは，教員に見捨てられているか，どちらかだと思って下さい．その際，私の経験上，前者である可能性は著しく低いです．
-
真理値表を書くのが面倒です！
---
これぐらいはやって下さい． :-)
-
表のやつの解き方がわかったので今のところおもしろいです
---
演習問題はたくさんあるので，たのしんでください．
-
恒真式多スギィ
---
覚える必要はありません．調べて使えるようになって下さい．
-
同値変形の問題で，どの置きかえを使っていけばいいのか，コツが分かりません。
---
演習問題を通して慣れていくのが重要です．ひとつ言えることですが，恒真式の中で「$\rightarrow$」と「$\leftrightarrow$」を使うものは多くないので，それらは実質含意や実質同値を使って消してしまうとよいです．
-
今回は少し難しかった。演習を積んで同値変形を速く解けるよう頑張りたい。
---
速く解ける必要はないですが，慣れて下さいね．
-
早くも集合と命題論理の記号を混同しそうになりました。家でよく復習します。
---
間違えやすい箇所なので，よく復習して下さい．
-
今日は知らない事を知りそれを使って問題を解くことができてとても良かった。
---
よかったです．勉強している甲斐がありますね．
-
コインの表ウラと100円もらうを組み合わせた命題が意味分からなかった
---
私にも意味がわかりにくかったです．もう少しよい例を考えてみます．
-
例がすこしわかりにくかったです。
---
私もそう思います．
-
黒板書くとき、スライドのシートを上げられてみてはどうでしょう？
---
ありがとうございます．スライドと黒板は同時に使いたいので，上げるのはよくなさそうです．黒板部分が大きく使える教室の方が好みです．
-
スライドの色付けが分かりやすかったです
---
恒等式をどのように適用するか，分かりにくい場合もあるので注意して下さい．
-
スライドの文字に色をつけると見にくい (特に青とか黄とか)
---
私の使っているスライドでは文字に黄色を使っていないので，おそらく別のスライドのことをさしてると思います．
-
休憩時間
微量延長
希望！！
(5分超くらいにしてほしい) トイレに行けない．
---
休憩でトイレにいくことは想定していないです．休憩は2, 3分だと思っていて下さい．
-
特になし．
---
了解しました．何かありましたら，ご意見を下さい．
-
寝てしまいました．すいません．
---
私に謝る必要はありません．
-
お昼食べた後は眠くなりますね。
---
眠って下さい．問題ありません．
-
3限の授業で必ず眠ってしまいます。どうすればよいでしょうか
---
この講義に限って言えば，休憩を活用して下さい．そのために休憩があると思ってもらってもいいです．:-)
-
楽しかったです
---
ありがとうございます．何よりです．
-
なぜか学校のパソコンからだとプリント (印刷用スライド) がコピーできませんでした。
---
情報基盤センターのプリンタのことだと推察しますが，情報基盤センターのプリンタの問題ですので，情報基盤センターの業務事務室でお聞きください．
-
今までの講義で寝たことはないのですが、先生の声が眠くなります。声を変えて下さい。ヘリウムガスを吸うか、声帯手術をするかして下さい。
---
まじめに要求しているとは全く思えないので，対応しません．あしからず．
-
ジャンプは読んでますか？ 何のまんががおすすめですか？
---
ジャンプは読んでませんし，まんがもほとんど読みません．おすすめのものがあったら，ぜひ教えてください．
-
飲み物持ってきた方がいいですね。今日は目薬で眠気飛ばしましたが…
---
ぜひ持ってきてください．周りに迷惑がかからなければ問題ありません．
-
教室少し寒くありませんか？ 第2回同様本日も肌寒かったです。
---
残念ながら，本日が第2回です．
-
スイス連邦工科大学はじうでしたか？
---
すみませんが，「じう」がわからないので，答えられません．
-
演習問題印刷し忘れた (ToT)
---
次回は忘れずに ;-)
-
タノシイ
---
今後もお楽しみに．
-
今回はわかった．
---
次回もわかってください．
-
分かりやすかったです．ありがとうございました．
---
次回もよろしくお願いします．
-
眠かったです。
---
眠って下さい．
-
なかなか難しいと感じた。
---
演習問題にとりくむのが重要です．
-
印刷機が自宅にありませんので昼休み中に印刷できなかったのは残念でした。
---
残念なので，印刷してきてください．
-
演習問題 印刷お願いします
---
私が印刷をすることはありません．自分でしてきてください．
-
いんさつしたかったです
---
したかったならば，そうしてください．
-
次回は資料を印刷します．
---
はい，そうして下さい．手元にないと難しいと思います．
-
楽しい授業ですね(白目)
---
白目になる必要はないです ;-)
-
分かりやすかったです！
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
とても分かりやすく演習もすらすらとけて楽しいです。
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
わかりやすかったです．
---
演習問題で理解を深めて下さい．
-
たのしかった
---
次回もお楽しみに
- 4/10 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
- コメントありがとうございました．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
- まずは要望から
-
スライドは授業の前々日に印刷できるようにして下さい。
---
できる限り努力しますが，確約はできません．確約をするというのは重大なコミットメントです．私ができることしか確約はできません．ご了承ください．
- 次に，質問
-
必要十分条件の「必要」と「十分」と名付けた意味がよくわかりません。
---
「条件」というだけではあいまいだからです．
例えば，「成功のための条件」というとき，「行えば必ず成功する」というのが十分条件で，「成功するために必ず行わなければならない」というのが必要条件です．
その両方を満たす条件が必要十分条件です．
-
白の女王だか赤の王さまだかの話が理解できない 結局誰が寝ているの？
---
Pが真，Qが偽となるので，赤の王さまは寝ていて，赤の女王さまは起きています．
-
含意にて，命題と日本語にずれが生じるのはなぜ？
---
講義のときはずれているようにごまかしましたが，実はずれていません．
「『PならばQ』が正しい」ということを正確に捉える必要があり，日本語というか日常感覚とそれが合わないから，ずれているように思えるのだと思います．
おそらく，日本語の感覚では「『PならばQ』が正しい」ということは「『PかつQ』が正しい」ことだと考えているように思います．
しかし，それは「論理」としては正しくなく，この2つは明確に区別されなければなりません．
「愛媛県の県庁所在地が宇和島市ならば愛媛県の県庁所在地は松山市である」という命題では，「ならば」の前にあるPの部分と後にあるQの部分が両立せず (つまり，PかつQが偽であり) ，なおかつ，Pが偽であるので，ずれているように思えるのだと思います．
-
含意のところなのですが、集合でも同じような記法がありますね
集合的に考えると $P\rightarrow Q$ は $P \subset Q$ のように書くと思うのですが、資料には「$P\rightarrow Q$」を「$P \supset Q$」とも書くと書いてあります．
含意と集合は別々に考えていいのでしょうか？
---
集合と論理は異なるものなので，記号も異なると考えて下さい．
「$\supset$」は集合と論理で違う意味を持つので，気をつけて下さい．
$P$ と $Q$ が命題変数であるとき「$P \supset Q$」は「$P$ ならば $Q$」を意味します．
$P$ と $Q$ が集合であるとき「$P \supset Q$」は「$Q$ が $P$ の部分集合である」ことを意味し，「$Q \subset P$」とも書きます．(後の講義で扱います．)
$P$ と $Q$ が命題変数であるとき「$P \subset Q$」と書くことはありません．
重要なことは，$P, Q$ が集合であるときと命題変数であるときでは，使える記号や記号の意味が変わることです．注意して下さい．
-
講義中に演習問題解いてもいいですか？
---
他の人の迷惑にならない限り，よいです．
-
演習問題のレポートはルーズリーフでもよろしいでしょうか？
---
よいですが，2枚以上使うときはステープラなどで留めて下さい．
- 最後に，あいさつや感想
-
眠くなります
---
寝て下さい
-
退屈
---
退屈ならば欠席して下さい．出席はとらないので．無理して出席する必要はありません．
-
ベジータのくだりは最高でした！！
---
さて，どこのことでしょうか？ ;-)
-
わかりやすかった
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
とても分かりやすかったです。
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
分かりやすかったです
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
分かりやすい授業でよかったです．
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
わかりやすかった
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
わかりやすかった。
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
わかりやすかった
---
すぐに分からなくなるかもしれないので，油断しないようにして下さい．
-
昨年度はお世話になりました。今年こそ頑張ります。よろしくお願いします。
---
今年もよろしくお願いします．
-
スライドがていねいでわかりやすかったです。半年間宜しくお願いします。
---
よろしくお願いします．
-
資料ありわかりやすかった。
---
資料だけではわからないと思うので，気をつけて下さい．
-
良かったです。特にノートにうつさずにすむところが
---
資料に書きこむ，など，メモをする習慣をつけると良いと思います．
-
プリントが分かりやすかったです．
---
分かりやすく作っているつもりですが，そうでない場合もあるので，意見があればよろしくお願いします．
-
難解な部分は具体例を交えて教えてくれるので分かりやすかった。またその例もおもしろい。
---
よい例がありましたら，この紙で教えてください．
-
よかった．
---
よかったようでよかったです．
-
くわしくていねいな説明のおかげでよく分かりました。
---
わからないところがでてきたら，質問して下さい．
-
特にないです
---
わかりました．そのようなコメントでもよいので毎回お願いします．
-
特になし。
---
わかりました．そのようなコメントでもよいので毎回お願いします．
-
感想 特になし
質問 特になし
---
了解しました．質問が出てきたら，是非お願いします．
-
かんそう がんばります！
しつもん
ようぼう
もんく
---
はい，がんばってください．
-
おもしろかったです
---
しっぽは生えていません
-
面白そうな授業だと思いました
---
そのようになるように努めます．
-
演習がんばります
---
はい，レポートとして提出することを推奨します．よろしくお願いします．
-
ガンバリマス。
---
よろしくお願いします．
-
$P$：「$x$ は平家である」
$Q$：「$x$ は人である」
「平家にあらずんば人にあらず」とは、$\neg P \Rightarrow \neg Q$ であり、対偶真より $Q \Rightarrow P$ (人は必ず平家に属する) すなわちベン図で右図のようになる。
しかし、逆「$P \Rightarrow Q$」は必ずしも真ではない。
この例として「平家ガニ」などが挙げられる。
---
「対偶真より」の部分は正しい日本語ではないので，注意して下さい．ベン図については次回取り扱います．
-
新鮮な気持ちで受けられた。用語にクローズアップされた授業ということで、退屈を感じるかと思ったが、使われる例がわかりやすく、興味を持たせるものだった。
---
毎回新鮮になれるように努めます．
-
改めて数学の用語や記号を正しく使うことの大切さを知りました。前期の間、宜しくお願いします。
---
こちらこそよろしくお願いします．
-
「パズルランドのアリス」の問題が面白かったです！
---
古本として購入できるようです．オススメします．
-
1.7.4 鬼畜スギィ！
---
「…であるとき，そのときに限り，〜」という言い回し (日本語) が，論理における同値であると見抜くことが大事ですね．
- 他，似顔絵1件．ありがとうございました．
試験・成績
- 中間試験と期末試験を行います．
- 注意：他のクラス (I1，I2) との得点調整はありませんし，このクラスの中でも得点調整はありません．素点がそのまま成績として報告されます．
- 全体の成績
- 成績 = min{100, 中間試験の素点+期末試験の素点} (小数点以下切り上げ)
つまり，中間試験の素点+期末試験の素点が59.5点の人の成績は60点で，合格になります．
- 得点分布 (受験していない人も含む)：小数点以下を切り上げたものが示されています．
- 受講者数 (履修登録者数相当) は80で，
90点以上 (S) が14人 (約18%)，
90点未満80点以上 (A) が20人 (約25%)，
80点未満70点以上 (B) が16人 (約20%)，
70点未満60点以上 (C) が12人 (約15%)，
60点未満 (D) が18人 (約23%) です．
- 中間試験と期末試験の素点の関係 (散布図)
- 読み方：
1つの点が1人の受講者を表します．
1か所に何点かが重なってる場合もあり，その場合，点が濃くなっています．
横軸が中間試験の素点，縦軸が期末試験の素点．
左下から右上にひかれている赤い点線よりも左上にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも高い人．
右下にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも低い人．
左上から右下にひかれている点線は右上から順に，成績がS，A，B，Cとなる境界を表していて，
右上にいけばいくほど成績がよくなります．
- 中間試験の素点が0点になっている人は，中間試験を受けていません．
期末試験の素点が0点になっている人は，期末試験を受けていません．
- 一方が20点台でも合格している人がいる一方で，一方が40点を超えていても不合格となっている人がいることがわかります．不合格の人でも，多くは40〜59点に位置しているので，来年度はしっかりと合格できると思います (ちなみに，今年の再履修の人で中間試験と期末試験の両方を受けた人は全員合格しています)．努力を怠らずに臨んで下さい．
- 期末試験 (8/5実施)
- 試験問題
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 受験した人の数は71で，
平均点は37.52 (60点満点)．
45点以上 (S相当) が21人 (約30％)，
45点未満40点以上 (A相当) が11人 (約15％)，
40点未満35点以上 (B相当) が12人 (約17％)，
35点未満30点以上 (C相当) が7人 (約10％)，
30点未満 (D相当) が20人 (約28％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| 00111 | 31 |
| 0211 | 24 |
| 0615f | 50.5 |
| 11081 | 44 |
| 11111 | 45.5 |
| 11484 | 57 |
| 119229 | 25 |
| 11L03 | 45 |
| 12091 | 40 |
| 123ab | 42 |
| 1a275 | 39 |
| 203 | 34 |
| 31415 | 42 |
| 34567 | 25 |
| 48176 | 43 |
| 89898 | 33 |
| 9f5p2dc | 59 |
| abe10 | 45.5 |
| aikatsu | 51 |
| Angus | 24 |
| bali9 | 54 |
| bhxhd | 48 |
| brack | 34 |
| CCCFT | 41.5 |
| eeeoo | 39 |
| eternal | 23.5 |
| Galio | 35 |
| Guts☆2 | 28 |
| h2k2s | 37 |
| hmaat | 19 |
| ipdrm | 36 |
| jsmt5 | 31 |
| Kappa | 27 |
| Kenzo | 48 |
| mlo2e | 27 |
| mr04v | 51.5 |
| mya_k | 47 |
| myske | 14 |
| OKSDT | 42 |
| osiete | 43.5 |
| otosi | 39 |
| PK496 | 24 |
| pu623rin | 45 |
| PWNSK8 | 39 |
| riots | 46 |
| RiSan | 28.5 |
| SZOqTT | 34 |
| tarian | 41.5 |
| tbiak | 13 |
| TIF 2016 | 37 |
| tk151 | 29 |
| tricot | 47.5 |
| USAY | 48 |
| vanch | 26 |
| wotpv | 44 |
| ysptf | 47 |
| yusig | 28 |
| あかり | 28 |
| あはははは. | 29 |
| 黒澤DIA | 29 |
| 都連の首領 | 41 |
| 人間だもの | 23 |
| 東山源次 | 46 |
| フィボナッ | 38 |
| むずかしい | 47 |
| 無理でした | 45 |
| 落単w | 33 |
| ンゴゴ | 36 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：問題によって出来具合が大きく異なりました．特に，問題2，3，4の出来が悪いです．問題2と3は演習問題と同じ問題なので，しっかりと準備をしてきてほしかったと思い，残念です．これは得点が高い人にも言えて，中間試験に比べて，50点以上獲得者がかなり減っています．一方，問題1，5，6の出来はよく，それが平均点を上げている形となっています．最終的に得点が低くなっている人の多くは，問題5か6ができていません．以下，各問題の平均点も記載します．
- 問題1：平均点は8.620．
像，逆像，直積，羃集合を答える問題．演習問題には無い問題．
よくできていました．典型的な間違いは，直積の要素に対して，例えば，(1, 2) と書かなければならないところを {1, 2} と書いているものです．(1, 2) と {1, 2} は全く違うものなので注意が必要です．
- 問題2：平均点は3.852．
写像に関する問題．演習問題8.6と同じ．
非常にできが悪いです．演習問題8.3と似ていて，こちらは授業でやっているので，それをまねればよいですが，まねかたが悪いです．逆像と逆写像の違い，定義に基づいて証明すること，などを踏まえて，まねるべき部分がどこなのかということを明確に理解していなとほとんど点がありません．理解せずに行うコピペにはほとんど点がないと思って，自戒して下さい．平均点が3近くにあるのは，そのような回答に対して，大体3点しか与えられていないからです．
- 問題3：平均点は4.246．
単射と写像の合成に関する証明問題．演習問題9.6.2と同じ．
これはできに開きがありました．できている人は簡単に証明できていますし，できていない人は全く手つかずか，よく分からないことを書いているか，証明すべきことがそもそも間違っているか，のいずれかです．できている人の中では，対偶を証明しようとする人が多かったですが，私の感覚では，そのまま証明した方が簡単だと思います．背理法で証明しようとする人も何人かいましたが，背理法において仮定すべきことが間違っている場合が散見されました．「$P$ ならば $Q$」を背理法によって証明するときに仮定すべきことは「$P$ かつ $\neg Q$」であり「$P$ ならば $\neg Q$」ではありません．この2つは明確に異なります．注意して下さい．
- 問題4：平均点は5.282．
数学的帰納法，再帰的定義に関する証明問題．演習問題には無い問題．
微妙なできでした．ヒントがなければもっとできなかったと思うので，ヒントは適切だと思うのですが，一方で，ヒントから類推されることを証明せずに正しいと言い，それに基づいて証明するのはダメです．類推されたことをしっかりと論証しなくてはなりません．授業でも例を挙げたと思うのですが，数列の最初のほうを見るだけで一般項を確定的に言うことはできません．「…」はあいまいなのです．なお，想定していた証明は，まず，任意の正整数 $n$ に対して $|a_{n+3}|=|a_n|$ を証明します．$n+3 \geq 4$ と $n+2 \geq 3$ であるため，これは再帰的定義だけから証明できて，数学的帰納法はいりません．それを用いて，任意の正整数 $n$ に対して，$|a_n| \leq 3$ を数学的帰納法により証明します．このとき，基底段階で $n=1,2,3$ の場合を扱い，帰納段階も累積帰納法 (数学的帰納法の強いバージョン) を使えばよいです．なお，$a_{n+6}=a_n$ を証明して進める方法もありますが，これは若干大変です (不可能ではなく，その方針で正解にたどり着いている答案も実際ありました)．
- 問題5：平均点は7.254．
同値関係と商集合に関する問題．演習問題11.5と同じ問題．
よくできていました．演習問題をやっていれば難しくないと思います．I は六角形で，これを五角形であると誤認している答案がありました．
- 問題6：平均点は8.268．
半順序集合に関する問題．演習問題にない問題．
よくできていました．演習問題で同じような問題があったので，それをやっていれば難しくないと思います．
- 中間試験 (6/10実施)
- 試験問題
- 採点：1問10点満点，合計60点満点 (0.5点刻み)
- 得点分布
- 受験した人の数は75で，
平均点は40.01 (60点満点)．
45点以上 (S相当) が24人 (約32％)，
45点未満40点以上 (A相当) が12人 (約16％)，
40点未満35点以上 (B相当) が15人 (約20％)，
35点未満30点以上 (C相当) が14人 (約19％)，
30点未満 (D相当) が10人 (約13％) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| 00108 | 38 |
| 01180 | 38 |
| 03030 | 34 |
| 07070 | 27 |
| 11L03 | 41 |
| 12091 | 46 |
| 12521 | 33 |
| 12678 | 51 |
| 14159 | 34 |
| 15131 | 36 |
| 17648 | 44 |
| 1923a | 47 |
| 1a2b3 | 28 |
| 25252 | 23 |
| 3369123494 | 46 |
| 34567 | 39 |
| 35754 | 20 |
| 41769 | 47 |
| 45382 | 36 |
| 86946 | 53 |
| 89898 | 43 |
| AbCde | 28 |
| abe10 | 25 |
| Angus | 39 |
| anhrm | 40 |
| azkfc | 45 |
| BDa5d | 48 |
| bhxhd | 38 |
| bpcila | 39 |
| cbafi | 30 |
| drkns | 57 |
| EXTRA | 28 |
| GRAPE | 37 |
| h2k2s | 35 |
| hakkg | 33 |
| HKMYI | 33 |
| HSZRL | 39 |
| irdpm | 34 |
| jsmt5 | 43 |
| kachi | 58 |
| Kappa | 37 |
| kgisL | 32 |
| Liba7 | 60 |
| mkoyk | 24 |
| mr04v | 56 |
| MURUC | 34 |
| myske | 32 |
| nttat | 30 |
| osiete | 36 |
| otosi | 38 |
| PK496 | 42 |
| re76 | 40 |
| rekt7 | 41 |
| RiSan | 41 |
| s60v7 | 51 |
| smpms | 19 |
| Syuko | 24 |
| tarian | 46 |
| tbiak | 42 |
| Tombow | 49 |
| vancha | 35 |
| voltex | 55 |
| whire | 51 |
| wmhnl | 32 |
| YARYO | 60 |
| ysptf | 54 |
| yusig | 33 |
| 絶対最低点 | 55 |
| ファンキー | 40 |
| めあすてに | 45 |
| ゆきぽ | 56 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：全体的に素点は高いですが，問題によって出来具合が大きく異なります．特に，後半の出来が悪いです．中間試験までの範囲を受けて期末試験があるわけですから，後半ができていないということは期末試験に不安を感じさせます．期末試験の範囲は中間試験の範囲を基礎としているわけですから，できていない部分の復習をしっかりとしておいて下さい．以下，各問題の平均点も記載します．
- 問題1：平均点は9.653．
(1) は命題論理に関する問題．演習問題6.7.2と同じ．
(2) は集合を具体的に答える問題．演習問題2.7と同じ．
よくできていました．真理値表に書かれるべき欄 (列) が抜けている場合は軽く減点しています．
- 問題2：平均点は8.507．
述語論理の同値変形に関する問題．演習問題には無い問題．
よくできていましたが，途中の変形があいまいで，実際間違っている場合もありました．間違っている場合に点はありませんが，あいまいな場合も減点しています．
- 問題3：平均点は4.920．
簡単な証明問題．演習問題5.16と同じ．
出来が悪かったです．答えは「正しくない」なのですが，正しくない場合は，否定を証明して下さい．そのためには，まず否定を書き下すことが重要です．(なお，その否定は下書きに書けば十分であって，答案に書いてある必要はありません．) 正しく否定が書けていなければ正しく証明もできません．また，「ある」と「任意の」という日本語の意味が分かっていないと思われる答案も多かったです．しっかりと復習をして下さい．
- 問題4：平均点は7.120．
集合に関する証明問題．演習問題には無い問題．
割とできていましたが，細かいミスが多かった問題でもあります．例えば，いきなり次のように始まる答案がいくつもありました．
- $(A\cup B)-(A\cap B) = x \in (A\cup B)-(A\cap B)$ ...
これはダメです．「$=$」の左側は集合であり，右側は (集合を用いて書いた) 論理式です．その2つが「$=$」で結ばれることはありません．「$=$」の両側には同じものが置かれなければならないのです．数学記号をとてもあいまいに用いてしまっています．それに続いて次のような記述もありました．
- $x \in (A\cup B)-(A\cap B) \Leftrightarrow (x \in A\cup B)-(x \in A\cap B)$
これもダメです．どこがダメなのかというと，「$(x \in A\cup B)-(x \in A\cap B)$」の部分です．「$-$」は集合の差を表す記号ですが，その前後にある「$x \in A\cup B$」も「$x \in A\cap B$」も集合ではありません．このように，記号の意味や使われる場面に関する繊細さが欠けている答案がいくつもありました．言葉に対する感受性を高めて下さい．
- 問題5：平均点は4.640．
集合に関する証明問題．演習問題6.12と同じ問題．
出来が悪かったです．講義で行った証明法に従って証明して下さい．それから外れた方法で証明してもよいですし，それで正しく証明が書けている場合はもちろん満点なのですが，そういう例は極めて少ないです．自己流の証明の書き方は非常に危険です．「機械的にまねをする」ぐらいの気持ちがちょうどいいのだと思います．
- 問題6：平均点は5.173．
集合に関する証明問題．演習問題にない問題．
これも出来が悪いです．当たり前のことを聞いている問題なのですが，しっかりと論理に基づいて証明を行って下さい．感覚的に済ませているものには1点も与えていません．
公式シラバス
こちらをご覧ください
スケジュール (予定)
- 4/8 休講
- 4/15 (1) 集合と論理 (1)：命題論理
- 4/22 (2) 集合と論理 (2)：集合と論理の対応
- 4/29 昭和の日
- 5/6 (3) 集合と論理 (3)：述語論理
- 5/13 (4) 証明法 (1)：∃と∀を含む命題の証明
- 5/20 (5) 証明法 (2)：含意を含む命題の証明
- 5/27 (6) 証明法 (3)：集合に関する証明
- 6/3 (7) 集合と論理 (4)：直積と冪集合
- 6/10 中間試験
- 6/17 (8) 写像 (1)：像と逆像
- 6/24 (9) 写像 (2)：全射と単射
- 7/1 (10) 関係 (1)：関係
- 7/8 (11) 関係 (2)：同値関係
- 7/15 (12) 関係 (3)：順序関係
- 7/22 (13) 証明法 (4)：数学的帰納法
- 7/29 (14) 集合と論理 (5)：集合の再帰的定義
- 8/5 期末試験
過去の講義
注意：内容や説明法は毎年変化しています．
過去の試験問題
注意：内容や説明法，試験範囲は毎年変化しています．
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okamotoy@uec.ac.jp
