グラフとネットワーク
電気通信大学情報理工学部情報・通信工学科
2014年度前学期
金曜2限 (10:40-12:10)
教室：西2-101
岡本 吉央
ショートカット：講義資料 | コメント | 試験・成績 | 公式シラバス | 履修上の注意 | スケジュール
講義資料
- 7/25 (14) 平面グラフ：モデル化
- 7/18 (13) 平面グラフ：数理
- 7/11 (12) 彩色：モデル化
-
スライド |
印刷用スライド |
演習問題 |
用語集
- 7月11日の午前6時時点で東京23区及び多摩地区に暴風警報が発表されている場合，又は，京王線が運休の場合，休講になります．その場合，この内容は次週に持ち越します．
(→→ 警報が発表されていなかったので，休講にはならず，この内容は次週に持ち越されません．)
- 6/20 (11) 彩色：数理
- 6/13 (10) 連結性：モデル化
- 6/6 (9) 最大流：モデル化 (2)
- 5/30 (8) 最大流：モデル化 (1)
- 5/23 (7) 最大流：数理
- 5/16 (6) マッチング：モデル化
- 5/9 (5) マッチング：数理
- 5/2 (4) 全域木：数理
- 4/25 (3) 木：数理
-
スライド (5/9更新) |
印刷用スライド (5/9更新) |
演習問題 (5/9更新) |
用語集
- 次回5/2が提出締切の演習問題番号：2.1, 2.6, 2.7, 2.8, 3.*
- 4/18 (2) 道と閉路：数理
- 教室は西2号館1階101教室に変更
-
スライド |
印刷用スライド |
演習問題 |
用語集
- 次回4/25が提出締切の演習問題番号：1.2, 1.3, 1.4, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
- 4/11 (1) グラフの定義と次数：数理
コメント
- 7/25 (14) 平面グラフ：モデル化
- コメントありがとうございました．今回が最終回でした．
-
高校野球の季節ですが，母校はどうでしたか？ 私のとこはシードだったのですがベスト16で敗退してしまいました．
---
1回戦で敗退していたようです．
-
お疲れさまでした．
---
こちらこそお疲れさまでした．
-
中間試験の答案用紙は返却されないのでしょうか
---
すみませんが，返却できません．皆さんから成績に関する異議申し立てがあった場合に，確認をすることができなくなるからです．
-
中間試験の結果がよくなかったので期末では挽回したい．
---
はい，ぜひ挽回して下さい．
-
試験はもちろん全力を尽くしますが，骨と単位が落ちていたら拾っておいて下さい
---
落とさないようにして下さい．
-
期末試験は復習問題と同一な問題を出してください
---
それは確約できません ;-)
-
半年間ありがとうございました！ また来年お会いしましょう！
---
今回単位をとれるように，しっかり準備して下さい．
-
課題やテストが一斉に迫ってきていて大変ですが，もうひと踏ん張り頑張っていきたいと思います．
---
はい，よろしくお願いします．
-
合計60点いくようにがんばります
---
はい，期末試験だけでも60点はいける可能性があるので，がんばって下さい．
-
最近飛行機が落ちるニュースが多いですね．僕の単位も落ちそうです．
---
最近飛行機によくのるので，ちょっと怖いです．単位は落とさないようにして下さい．
-
今日めちゃくちゃあついです．約半年間ありがとうございました．
---
こちらこそありがとうございます．暑かったり，突然大雨が降ったり，と，大変な気候ですが，体調管理には気をつけて下さい．
-
満足したぜ…。
---
それはよかったです．しっかりと試験の準備もして下さい．
-
ありがとうございました．自分にとっては難しい科目でしたが実例があって面白かった．とにかく期末で「Your grade is D」にならないように挽回します．
---
こちらこそありがとうございます．この講義では離散数学による「モデル化」の部分をとても重要視したので，その点を面白く感じてもらえたなら，とてもうれしいです．後学期の『離散数理工学』も離散数学によるモデル化を重視して，離散システムやアルゴリズムの設計と解析について扱う予定です．『グラフとネットワーク』で扱った最適化については，後学期の『数理計画法』でも出てきて，再び最適化による数理モデルが扱われる予定です．また，『シミュレーション理工学』は微分方程式などによるモデル化を重視して，その中で数値計算や数値解析がどのように使えるのかということを勉強するはずです．そちらも楽しみにして下さい．
-
本講義で培った能力を昇華させて社会に貢献できるよう，日々努力を積み重ねようと思います．
---
あまり大げさに考えないでください ;-) でも，大学で勉強したことが将来使えるようになるというのは大切なので，ぜひその気持ちを忘れないでいて下さい．
-
この授業とても楽しかったです．
---
楽しんでもらえたのなら，それはうれしいです．離散数学を楽しむのはなかなか難しくて，講義を設計する上でそのような題材をうまく選んでくる必要があるのですが，おそらくそれが部分的には達成できたのだと思います．
-
数理の回はしんどいと思うこともありましたが，とりわけ図形的なものを扱っていたので少し楽な気持ちになり，何とかもちこたえられました．モデル化の回はそれまでに学んだ内容が現実世界の問題に応用されていて，さらにそれが意外な手法であったりするなど，驚かされることが多く，楽しんで授業を受けることができました．
---
楽しんでもらえてありがたいです．『グラフとネットワーク』は証明の多い講義だと感じられたかもしれないですけど，そうなっている理由は3つぐらいあります．(1) 証明ができる，ということ自身が論理的思考力を鍛える上で重要であること．(2) 証明ができる，という能力を身につけるための数学的素地が2年前期の『離散数学』などで既に身につけられていること．(3) 情報技術が証明によって支えられているということ (そして，支えられるべきであるということ) を体感すること．『グラフとネットワーク』のような講義は他の大学でもやったことがあるのですが，そちらではまったく証明をしませんでした．それはなぜかというとその大学 (のその学科) では上の(2)が成り立たなかったからです．それも含めて，皆さんは高度なカリキュラムに沿って教育を受けているのだということを今一度感じてもらって，それを活かすも殺すも皆さん次第なのだということを気に留めておいてもらえると，うれしいです．
-
今日で最後です．グラフとネットワークは正直難しくて大変でしたが，おもしろい授業でした．
---
ありがとうございます．私の考えですが，難しいぐらいがちょうどいいと思っています．これは言い訳ではなくて，もちろん私自身は難しい内容を理解できるように講義を行っているつもりです．しかし，しっかりと身につけるには，演習問題を解いたり，質問をしたり，ということを皆さんがしないといけません．講義を聞いているだけだと分かった気にはなれますが，そこから，本当に分かった，というところまで進めるにはもちろん努力が必要なわけです．それもこの講義を通して皆さんにお伝えしたかったことの1つだと思って下さい．
-
三角形分割のところで，(地図の) 測量の話を思い出しました．期末テスト頑張りたいと思います！！
---
三角測量ですね．前回出てきた有限要素法やコンピュータ・グラフィクスの例も実は三角形分割ですが，三角形分割はいろんなところで出てくる重要な概念なので，また別のところでも出てくるかもしれません．
-
世界地図を塗りたくなりました．
---
塗りましょう！ ただし，世界地図では「飛び地」があるので，注意して下さい．
-
監視員の証明がすごかったです
---
これは感動する証明ですね．問題の設定は彩色と全く関係がないのに，それを使うと問題が解決できるという，面白い例ですね．
-
美術館に行きたくなりました．
---
「三鷹の森ジブリ美術館」に行ったことがないので，一度いってみたいです．
-
美術館定理面白いです．ただ，$\lfloor n/3\rfloor$ よりも小さな解を見つける定理は存在しないのでしょうか．
---
実は，$\lfloor n/3\rfloor$ だけ監視員が必要な例が存在します．次の図のような多角形です．
これは $n=15$ の例ですが，$n$を大きくしても同じように例が作れます．赤く示しているとがった部分に着目すると，どのように監視員を配置しても，1人の監視員が赤い点を2つ以上同時に監視することができないと分かります．つまり，赤い点の数だけは監視員が必要となり，この図の場合は5人，一般の場合は $\lfloor n/3 \rfloor$ 人だけ監視員が必要となることが分かります．
- 7/18 (13) 平面グラフ：数理
- コメントありがとうございました．中間試験の採点は終了しました．近々講評などとともに結果を掲載します．
-
採点頑張って下さい
---
終了しました．ありがとうございます．
-
単位欲しいです．
---
頑張って下さい．
-
「勉強する」以外の方法で単位の取り方を教えてください．
---
残念ながらありません．
-
他の科目の試験が迫ってきて焦っているので，この科目は余裕をもって試験勉強に取り組みたい
---
ぜひそのようにして下さい．
-
期末の範囲は第9回〜14回でいいんでしょうか？ (前回のコメントのお返事にあった気がしますけど…)
---
はい，その通りです．
-
今回以降の内容も期末試験の範囲に入るとすると，その演習問題のレポートに対するフィードバックを試験までに受けられないと思うのですが，どのような扱いになるのでしょうか
---
私の研究室で回収と返却をします．詳細は次回の講義でお伝えします．
-
明日から夏休みですね！
---
夏休み (夏季休業) は8月13日からです．
-
夏休みが待ち遠しい
---
そうですね．
-
受験生の目から光が消える夏休みの時期になりました．うちの妹が荒れそうでちょっと怖いです
---
サポートするのも家族の役割だと思って下さい．
-
マレーシア航空やばい．
---
まだ，今の状況では真相がよく分からないですが，民間機が撃墜されるということが今の時代でも起こりえたというのは怖いですね．
-
大学生のうちにしておいたほうがよかったと思うことがあれば教えてください．また，夏休みの過ごし方についてアドバイスをお願いします．
---
しておいたほうがよかったと思うことは特にないです．私の考え方なのですが，後になって悔やむような選択をしないように毎日生活しようとしています．そのため，あのときああすればよかった，こうすればよかった，ということは考えないで，そのときの判断はそのときの自分が一番よいと思ったことなのだ，というで常に納得しています．アドバイスがあるとすれば，そういう，なんというか，自分の信念をもって過ごすことができれば，どんな過ごし方でもよいと思います．
-
行きつけのラーメン屋を教えてください (めっちゃラーメン食べてそうなイメージがあるので)
---
そんなに食べているわけではないですが ;-)
調布でよくいくのは「たつみ」です．府中にもいくときは「麺創研かなで紅」によくいってます．ここは行列のできる店なので，空いてるときを見計らっていくようにしてますが．
-
多面体は色々あると思っていたが正多面体となると全部で5種類だけというのは今まで知らなくて驚いた．
---
そういう事実がグラフを使って証明できる，というところも驚くポイントですので，よろしくお願いします．
-
グラフで立体のことまで考えられるとは．．．
---
いろんな応用があるということですね．講義で扱えないものもいろいろとあるので，ぜひ勉強して下さい．
-
正多面体を眺めていると何故か和む
---
正多面体は対称性が高い物体として，数学のいろんなところにでてきます．その一端は後学期の『離散数理工学』でも扱う予定です．
-
数学的なパズルってなんでこんなに楽しいんですかね．今回教えてもらったやつや2048や．
---
なんででしょうね．人によってはあまり楽しいと感じないみたいなので，嗜好や性格に依存するのかもしれません．
-
後で平面描画を作る練習をしてこようと思います
---
はい，ぜひやってください．
-
このグラフ (左) のとき，$\chi(G)=2$ となる単位円グラフが思いつかないです．中心の頂点を中心とした長さ2の円を頂角60°に等分したとき，このグラフでは1つの扇形に2つの頂点が含まれずに配置できるはずですが，一辺の長さが2以下の正六角形の各頂点にこのグラフの頂点を配置すると右のような単位円グラフになってしまい困っています．
---
実を言うと，左にあるグラフは単位円グラフではありません．授業の中でやったような方法では証明できませんが，同じように扇形を使ってこのグラフが単位円グラフでないことが証明できます．その意味で，「困ってしまう」というのは正しい応対です．
- 7/11 (12) 彩色：モデル化
- コメントありがとうございました．中間試験の採点は鋭意進めています．終わり次第，こちらで皆さんに報告します．
-
グラフとネットワークの単位は諦めました！
---
諦めないで下さい．
-
期末の範囲はどこからでしょうか
---
第9回から第14回までです．
-
アロハ！期末がんばります
---
はい，頑張って下さい．
-
台風8号，まるでプロ入りした斎○佑樹のように勢いがなくなりましたね．こんなこともあろうかと夜更かししていないので，授業には間に合いました．
---
こんなことがなくても夜更かししないでください．
-
台風8号は軟弱
---
言われていたほどの勢力ではなかったですね．
-
意識の低い台風に喝を入れて下さい．
---
もっと意識が高かったら，もっと被害が大きくなっていたでしょうし，死者数も増えていたと思います．あまりよいことだとは思えません．
-
台風さっさと去ってくれてほんとよかった．
---
はい，よかったです．
-
いよいよ暑さが厳しい季節になってきた．夏バテしないよう気をつけたい．
---
急に暑くなりましたね．気をつけて下さい．
-
台風一過…一気に夏になりましたね．
---
一気に夏になりましたね．
-
台風が来ると思っていたが，逆に快晴だったので，非常に暑かった．そろそろ梅雨が明けてくると良いと思う．
---
そうですね．梅雨はあけてほしいですね．
-
暑い．暑い．暑い
---
あまり「暑い」と言い過ぎると，本当に暑く感じるので，あまり言わない方がよいそうです．
-
ラーメン二郎横浜関内店
---
宣伝ですか？
-
ノートパソコン故障しました．ありがとうございました．(泣)
---
こちらこそ (？)
-
単位円グラフの定義がよく理解できていない
---
ここで繰り返します．グラフの各頂点に対応して，平面上の単位円があります．頂点がn個あれば，単位円の数もnです．そして，辺が2つの頂点の間にあることが，対応する平面上の2つの単位円が交わることで表現されます．このようにして表される無向グラフが単位円グラフです．
-
単位円グラフについて，その用途についていまいちピンときません...
---
ここで繰り返します．携帯電話の基地局を考えます．行いたいことは，各基地局が使う周波数帯を指定することです．基地局がカバーするエリアは決まっていますが，これらが重なっている2つの基地局には同じ周波数帯を割り当てられません．(同じ周波数帯を割り当ててしまうと，混線が起きてしまうからです．) ここで，各基地局のカバーするエリアが単位円である場合を考えます．このとき，単位円グラフの彩色において，それぞれの色を1つの周波数帯に対応させることで，周波数帯の指定ができるようになります．
-
単位円グラフについて6等分以上なら，証明するときに問題がないらしい．
---
グラフ $K_{1,7}$ が単位円グラフではない，ということを証明する，という意味では問題があります．この証明では2つのことが重要です．(1) どこかの扇形に，2つの円の中心が存在する．(2) 扇形の中にあるどの2点間の距離も2以下．ここで，(2) の方は，6等分でなくても，7等分でも8等分でも成り立ちます．しかし，(1) の方は7等分や8等分では成り立ちません．そのため，6等分にしています．
-
60°の範囲で円は収まるのでしょうか…？
---
紙には図も描いてありましたが，間違ってました．次の図の状況が正しいです．
青い部分の長さは1/2で，$2-\sqrt{3}$ ではありません．($D_1$ の中心を通る $D_2$の接線について，その接点と $D_1$ の中心の間の長さは2ではないので注意して下さい．) 重要なのは，$D_1$ に交わる単位円の中心が黄色い部分にあるということで，その部分に単位円そのものが収まっている必要はありません．
-
離散数学に関係する定理で，ある値の上界や下界が微妙な数になっていることがよくあり，不思議に思っていましたが，今回の単位円グラフの例を見て何となくその理由がわかりました．
---
そうですね．そのような例はいろいろとあって，次回は次々回にも出てくると思います．
-
たまには真面目な話を．第11回資料13/48，「Gは2彩色可能⇔Gは二部グラフ」証明中，「GはA,Bを部集合」とありますが，「GはA,Bを部分集合」ではないのですか．
---
「部集合」で正しいです．第8回資料の34ページを見て下さい．
-
休憩時間に言いかけたことがきになった．
---
だいたい毎月「情報数理工学セミナー」というのをやっていて，それを宣伝しようかと思いました．参加自由です．
- 6/20 (11) 彩色：数理
- コメントありがとうございました．
-
テストについていちおう確認なんですが，場所・時間：いつもの場所，時間，範囲：〜第9回 (最大流モデル化 (2))，A4手書きの紙はもち込み可 (両面書くのは可)，であってますか？
---
大体あってますが，範囲だけが違います．第8回までです．
-
中間は実力と運 (後者が最もつらい)
---
「実力」となるように準備してきてください．
-
来週の中間試験には今までの内容をしっかりと復習してのぞむようにしたい．
---
はい，しっかりと復習して下さい．
-
来週の中間に向けてしっかり復習したい．
---
はい，しっかりと復習してください．
-
風邪お大事にしてください．中間テストが怖いです．
---
中間テストは怖くありません．しっかり準備をしてきてください．
-
中間テスト頑張ります．なぞなぞの答えは「長崎」！！名が先ですね！！
---
正解です．次の問題はありません．
-
前回のなぞなぞの答えは長崎県ですね．無茶振り応えていただいてありがとうございます．
---
正解です．次の問題はありません．
-
今日のコメントに「長崎県」と書いてる人が4人くらいいるものと予想します．当たったら中間の過去問か単位を下さい．
---
去年までの授業のページ (2013年度，2012年度) を見れば，期末試験の問題があります．内容が違うので参考になるかどうかわかりませんが，参考にして下さい．
-
彩色（さいしき）
---
私にぶんなぐられないように気をつけて下さい．
-
1回ホッとすると声が裏返らずに済むと思います．
---
ありがとうございます．
-
小さい頃に隣りあった場所と色が続かないように塗るパズルで遊んだのを思い出しました．
---
これと似たものが次々回に出てきます．
-
四色定理を思い出しました
---
これと似たものが次々回に出てきます．お楽しみに．
-
パックマンもいいですが，僕はパルテナ様が楽しみでしかたありません．
---
まぁ，私はどうせ遊ばないので，どっちでもいいです ;-)
-
こうも暑いと精神も参りますね．お大事になさって下さい．
---
ありがとうございます．
-
体調を崩しやすい時期なので気をつけましょう．"貪欲"ときいて"貪欲な壺"を思い出してしまった．
---
強欲な壺みたいなものですね．
-
前回のコメントで独り言に関するコメントがありましたね．僕もたまに被害に逢います．遠くにいても爆撃されるのであきらめました．
---
あきらめる，というのは1つの解決策かもしれませんけど，いまいちすっきりしなくて後味が悪いですね．
-
強双対性についての質問ですが，例えば流れとs,tカットの強双対性とは「val(f) = cap(S) ⇔ fは最大流かつSは最小s,tカット」というものなのでしょうか．あるいは「val(f) = cap(S) なる f,Sが必ず存在する」というだけで，f,Sがそれぞれ最大流，最小s,tカットであることを示すには弱双対性を用いなくてはならないのでしょうか．
---
強双対性ということばはどちらの意味でも使われることがありますが，大抵は前者の意味で使われます．なので，val(f)=cap(S)となるf,Sが見つかったら，それらが最大流，最小s,tカットである，と結論づけてよいです．
-
下限の存在が気になっていたので，クリーク数だと分かって安心した．
---
そういうのが気になってくると，最適化に対する見方がだいぶできあがってきてると思います．いいですね．
-
レジスタ割当の話題がありましたが，今ちょうど実験で簡易コンパイラを作っているところです．なかなか奥が深そうな世界ですね．
---
なるほど．いろんな講義や実験でやってることは，直接目にみえないところでいろいろとつながっています．そういうつながりを感じたり，見ることができるようになると，もっと面白くなってきたり，その奥深さを感じられるようになってくるので，ぜひそういう視点で講義や実験に取り組んで下さい．
-
日本，トーナメントまでいけますかねー？
---
ちょっと難しくなってきたかもしれませんが，どうでしょう．
- 6/13 (10) 連結性：モデル化
- コメントありがとうございました．
-
9.6解いて．ハズレ科目はどう入れてもハズレというこの感じ… ダメな講義は大体直感ですぐわかるから恐ろしい --- しかも大抵必修科目
---
直感は正しくないかもしれないので，気をつけてください．
-
露天掘り問題で気づいたこと：全部の利をとれて，全部の損を避けれる→モデル化すると非連結？
---
ちょっと文意がよく分かりませんが，たぶん正しいです．
-
前回の課題で露天掘り問題の解き方が分からなかった．
---
各講義を掘る箇所であると見なして，「Aを履修しないとEを履修できない」という条件を「Aを掘らないとEを掘れない」という形でとらえ直してください．
-
流れの値とs,tカットの容量を様々な概念と対応させることで幅広く応用できる最大流最小カット定理が改めてすごいと思いました．
---
そうですね，とても重要な考え方なので身につけて下さい．
-
頂点の問題を弧の問題に変換するところで感動した．
---
ちょっとトリッキーな感じがしますけど，うまくいくんですね．
-
グラフGの大域辺 (点) 連結度とGがk辺 (点) 連結であるときのkの値は常に同じなのでしょうか？ あと，今日はいい天気ですね．
---
Gがk辺連結であるような最大のkがGの大域辺連結度と一致します．点の場合も同様．定義から，Gがk辺連結であれば，それはk-1辺連結でもあります．なので，例えば，Gが2連結であっても，その大域辺連結度が4であるということは可能です．
-
ズバリ中間試験ではどの問題を出しますか？
---
知りません．
-
掘ってて恐いのはマグマに落ちること (minecraft)
---
すみません，minecraftはやってないのでわかりません．
-
9月13日が待ち遠しいですね
---
パックマン使ってみて下さい．
-
死にそうです
---
耐えて下さい．
-
あんみつ食べたいです
---
私は杏仁豆腐が食べたいです
-
お大事に
---
ありがとうございます．
-
ゆっくり休んでください．お疲れ様です．僕も疲れたので来週のグラフとネットワークに備えて復習して休みます．
---
ありがとうございます．
-
かぜを引いたのですか？つらそうでした．お大事に．
---
ありがとうございます．
-
お疲れ様です．お体に気をつけて下さい．
---
ありがとうございます．
-
今日は本当にお疲れ様でした．
---
ありがとうございます．
-
風邪おだいじにしてください．
---
ありがとうございます．
-
雨があがったかと思えば今度はこの暑さ．これだから夏は
---
と思ったら，急激に降ってきましたね．
-
雨が続いていたがようやく晴れて気持ちが良い
---
と思ったら，急激に降ってきましたね．
-
授業中の独り言がうるさい人への「大学生・社会人？らしい対応」ってなんですか？一度本人にうるさいので授業中だまるよう言ったことがあるのですが，改善の兆しがありません．かなり集中をそがれるのですが，やはり我慢するしかないのでしょうか．
---
直接いう，というのが最もよいと思います．ただ，言い方によって従ってもらえるかもらえないか，ということが変わってくる場合もあるので，表現に工夫が必要かもしれません．それでも改善されない場合は，自分が他の席に動く，ということも考えた方がいいかもしれませんね．
-
一発ギャグお願いします．
---
一発ギャグではないですが，なぞなぞをどうぞ．自己紹介をするとき，姓→名の順ではなくて，名→姓の順で名乗る人ばかり住んでいる都道府県はどこでしょう？
-
友人が宗教を作ってお金もうけをしたいというのですが，何かアドバイスをお願いします．
---
やめたほうがよい，とアドバイスをお願いします．
- 6/6 (9) 最大流：モデル化 (2)
- コメントありがとうございました．
-
s,tカットの名称についての質問ですが，例えばuからvへの流れを考える場合はu,vカットとなるのでしょうか．
---
はい，その通りです．u,vカットになります．紫外線を遮ります．
-
今回の授業はわかり易かったです．
---
ありがとうございました．
-
田中将大投手は何歳まで「まーくん」と呼ばれるのでしょうか
---
似た質問に「少年隊はいつまで『少年隊』と呼ばれるのでしょうか」や「Kinki Kidsはいつまで『キッズ』と呼ばれるのでしょうか」というものがあります．
-
先生の研究室面白かったです．丸でピラミッドを作る立体パズルは解ける人はどんな頭してるんですかね．1回だけ嘘をつくはかりの問題は，7回で解ける理由わかってすっきりしました．2048がなかなか作れません．
---
研究室公開の話ですね．お越しいただきありがとうございました．2048は私もなかなか作れませんが，割と作れるようにもなってきました．
-
最大流問題を用いた優勝可能性判定は興味深かった．グラフを用いてこのようなことまで求められるのはすごいなと思った．
---
そうですね．あまり関係のなさそうなところで使えるのが面白いですね．
-
野球がやりたくなってきました．梅雨はきらいです．
---
梅雨はがまんしましょう．
-
梅雨ですね
---
そうですね．毎年来るものなのでしかたないですね．
-
雨つらい
---
暑すぎても辛いので，がまんしましょう．
-
大雨の中歩くのは辛いので天気が安定してほしい．
---
案外，長靴は役に立つので，お勧めします．
-
中間試験が近づいているというのに演習問題が解けなくなってきたので危機感をもって復習に取り組もうと思います．
---
はい，ぜひよろしくお願いします．
-
minecraftで日々miningしています．
---
私はやっていません．
-
33-4 (オアシス問題) といい，デトロイトといいタイガースをいじめるのはやめてあげて下さい．
---
334と並んでるのは偶然ですので，気にしないでください．
-
なんでや！阪神関係ないやろ！
---
阪神は関係ありません．タイガースは関係ありますが．
-
露天風呂に行きたいです．
---
いってきます．
-
露天風呂で流しそうめんなのは理解しました．
---
流しそうめんは1本2本と数えるので，整数流ですね．
-
Javaジャバジャバ
---
露天風呂で泳ぐのはやめてください．
-
問題8.6が分からない．．．
---
ここら辺にある絵を眺めながら考えてみて下さい．
-
追加問題9.6の設定が面白かったです．
---
身近な例にしようと思ったらこうなってしまいました．
- 5/30 (8) 最大流：モデル化 (1)
- コメントありがとうございました．更新が遅くなってすみません．
- くだけたものから
-
演習問題のできなかった問題がどんどんたまっていきます…そんな中，私は昨日逗子の花火大会に行ってまいりました．もう夏ですね．
---
もう夏ですね．
-
暑くなってまいりました．
---
研究室では冷房いれてます．
-
マリオカート８を買ったら何故かレポートもはかどりました．この調子でレポートを続けます．
---
それが本当なら，他の皆さんにもお薦めします ;-)
- この講義に関するコメント
-
一見グラフの問題に見えないものも，グラフのマッチングを考えることで証明できてしまうことに驚いた．
---
それが「モデル化」の醍醐味ですね．
-
少しペースが速いと思いました
---
すいませんでした．証明の部分は見直してもらって，もう一度復習して下さい．どのようにグラフやネットワークを使うのか，ということが主眼なので，その点を理解して下さい．
-
前回の復習があってよかった
---
これからもまず復習から始めるようにしますが，あまりその部分が長くならないようにも気をつけます．
-
復習はありがたい．おなかすいた．結婚したいです．
---
「私と」結婚したい，ということですか？
-
Hallの結婚定理に関して，何故「結婚定理」なのだろうか？普通に「定理」ではダメなのだろうか？
---
普通に「定理」でもいいです．;-) 「結婚定理」というのは世界中で広く使われている名称なのですが，単に「Hallの定理」とも呼ばれます．ただ「○○定理」と名前を付けるとHallのどの定理を指すのか分かりやすくなったり，内容を想起しやすくなったり，という利点もあります．
-
試験前までにやっておいた方がいいものなど何かありますか
---
演習問題をやって下さい．
-
あまり演習問題を解けていないのでもう一度しっかり復習したい．
---
はい，お願いします．
-
10インチタブレットを買ったら資料が見やすくなった．
---
スマートフォンのように小さな画面で見るよりも，大きな画面の方が私もよいと思います．
- 最後にキャリア教育に関する意見．とりあえず並べます．
-
キャリアに対する意見．座学ばかりでなく実習形式をもっと増やしてほしい
-
キャリア教育に関して，エンジニアリングデザインやベンチャービジネス論といった科目は将来社会に出たとき参考になる実践的な科目なので，キャリア教育演習リーダーやキャリアデザインなどの科目よりもそちらを重視した内容にするべきだと思われる．
-
キャリア：やる気，来る気ない人との企画は辛い
-
キャリア系教育について，自分は以下の点から不要であると考えている．
- 授業における学習する内容が不明瞭
各種キャリア系授業において，取り扱われる内容は「企業が求める人材像」や「英語力が必要」など，就活セミナーで話すような内容が多くを占め，大学で行う講義としてふさわしいか甚だ疑問である．これが一度あっただけ，ならまだしも，各講義で一年間同じようなことを言い続けるうえ，同じような内容の講義が必修で三年間やらされるのでたまったものではない．
- 卒業に必要である
前述の通り，大学生というよりも就活生向きの話のために，３年間毎週レポートや課題のための作業に時間をとられ，他の授業の課題や復習の時間が十分とれなくなる．また，キャリアの課題をサボると当然単位が出ず，留年，卒業できない，放校処分などの事態になりうる．もちろん学生向けにキャリア授業のような講義を開くのは有意義だと思うが，必修であるというのは不適切だと自分は思う．
- 講師側も現体制に疑問を抱いている（らしい）
なぜ三年間かけて同じような話をきかされるのか一度尋ねたことがあるが，把握していない，との回答を頂いた．
- 学校側が対外的に授業内容の独自性をアピールしたいがためだけに行っている（と言う噂がある）
- 個人的な内容ではあるが，後輩2名がキャリアを苦に電通大を中退した
以上より，自分はキャリア系授業は不要であると考えている．潰れて欲しい．
-
キャリアの授業はあっても良いと思うが，電気通信大学概論の授業は必要性がよく分からなかった．他の授業との明確な差別化が十分でなく，シラバス上で書いてあることがうまく伝わってこなかった．（キャリア教育演習でも同じようなことをやっている気がした．）また，キャリアの必要単位数と必修が多いと思う．学生の中にはキャリアの授業に熱心でない人もおり，キャリアの単位のためだけにでているので同じ授業をそのような人と受けるとチームワークの中で必要最低限のことさえやってくれない人もいた．
-
キャリア：やる気ある人間とやる気のない人間の差が激しい→頑張ってもグループ評価が悪くなり報われない．理不尽．やる気ない留年生が一番厄介．
-
1年からキャリア教育をすること自体はよいと思うが，通年で1単位，しかも必修ということが割に合わないと思う人も多いのではないだろうか．（キャリア教育演習，及び，キャリア教育演習リーダーについて）
-
キャリア演習（リーダー）は必修の割にはやっていることがおままごと並のレベルで時間の無駄である．（自己紹介，質問に2コマ使う割には，いつも低いレベルの自己満足で終わっている気がする．）せっかく凄いキャリアのOBさんたちがきてくださっているのだから，事業企画なども実際の企業で行うぐらいのレベルで行ってほしい．
-
キャリアは１限にやるのをやめてほしい…
-
キャリアは仕事で必要な仕事先へのメールの書き方を教えずによくわからない授業をするからク（ここで文章が途切れている）
-
10単位もキャリア教育を行うのは率直に言って無駄以外の何者でもないと思います．やるとしても半分程度で十分でしょう．特に講演系の授業は，１年次のうちに行っても学生の関心がまだ薄いために，折角の機会を無駄にしているように感じます．たとえば１年次には，キャリア教育よりももっとプログラミングや演習（数学など）の授業を増やした方が，却って進級後に役立つと思いますし，それによって学業への意欲が（のちのち）上がりはしないでしょうか．むしろキャリア教育が有用なのは就活が視野に入ってきて，学生がその必要性を理解してからだと思うのです．企画書の作成などを１年次のキャリア教育で行った際には，"目先の課題を終わらせる"ことに終始してしまい，全く働かない生徒分の仕事を他の生徒が肩代わりしている例が散見され，役立たないように感じました．３年次になってチームプログラミングを行わせるなど，他にもっとやりようがあるのではないでしょうか．キャリア教育が全くの無駄だとは思いませんが，現状のキャリア教育には課題がたくさんあるのではないかと，私は思います．
- たくさんの意見，ありがとうございました．「掲載不可」でいただいた意見もありました (もちろん，ここには掲載していません)．全体的に否定的な意見が多く，大きく分けて以下のように分類できるように思います．
- 内容に関する意見
- 講義内容，実習内容，その割合に関する意見
- グループ形成に関する意見
- 開講時期に関する意見
- 必修であること，10単位であることに関する意見
- 成績評価に関する意見 (上の「グループ形成に関する意見」と関連)
私は，学生自身がどのように授業やカリキュラムのことを考えているのか，ということがとても大事だと思っています．これは教職員が学生の考えに迎合した方がよい，という考えとは違いますが，学生の考えをすべて無視していくことはできないと思っています．このような意見はキャリア教育だけではなくて，他の教育に関する面についてもお寄せ下さい．
- 5/23 (7) 最大流：数理
- コメントありがとうございました．
- 中間試験に関することから
-
中間テストはいつでしょうか．
---
6月27日です．初回に連絡した通りです．
-
中間試験の前の週には演習問題はあるのでしょうか．そのとき，レポートは添削してもらえるのでしょうか．
---
中間試験の前の週に演習問題はありますが，それは中間試験の範囲に入らない予定です．中間試験の範囲については，次々回までに連絡します．
-
課題が難しくて解き切れない．中間までにしっかり復習したい．
---
はい．しっかりと復習をして下さい．
- 授業の内容についての感想や質問
-
流れとカットが対なのがよくわかりませんでした．
---
講義資料の45ページを見て下さい．次回はここの復習から始めます．
-
最小s,tカットは頂点sのみだと思うのですが，sからの流量を考えたら，s,tカットは不必要ではないでしょうか？
---
「最小s,tカット」とは「容量が最小のs,tカット」という意味なので，sのみ，というのが最小s,tカットになるとは限りません．例えば，講義資料の45ページにある例だと，{s}というs,tカットの容量は6ですが，{s,c}というs,tカットの容量は5なので，{s}というs,tカットは最小s,tカットではありません．
-
たとえばcap(S)のcapは立体ですが，立体・斜体の使い分け基準というのはどのようなものなのでしょうか？
---
例えば，正弦関数を表す$\sin$を$sin$と書いてはいけないことになっています．対数を表す$\log$も同様です．
-
一気に難しくなったので，しっかり復習をする必要があると思いました．今日の先生は話のキレがよくて，面白かったです．
---
はい，しっかりと復習をして下さい．
-
増加道法はマッチングアルゴリズムに似ている．
---
そうですね．それは次回のテーマの1つなので，次回に説明します．
-
今回の授業を受けてから，実験のJ8課題をやりたかったです．
---
J8のテキストを見返すと，理解が深まると思うので，ぜひやってください．
-
強双対性の安心感はありがたい
---
双対性が最適化の醍醐味なので，ぜひ味わい尽くして下さい．
-
証明は難しい．
---
証明ができるようになることはこの講義の目的の1つなので，演習を通してぜひ身につけて下さい．
-
整数であることを利用する証明はめずらしいと思いました．
---
実は離散数学に関わる証明では，使うことがよくあります．例えば，$a$が整数で$a>1$だったら，実は$a\geq 2$であるということは，$a$が整数であるという性質を使って導かれます．これはよく使われる論法です．
-
(今後，演習時間が減っていくんでしょうか)
---
減らさないようにしたいです．
- その他のコメント
-
昨日酒を飲み過ぎて，まだ完璧に抜けてないです．
---
お疲れ様です．
-
そろそろ梅雨ですね．
---
そうですね．じめじめしますね．
-
今年は梅雨がおくれるそうです．
---
そうなのですか．あまり長引くと困りますね．
-
今日はすずしいです．
---
体調を崩さないように気をつけて下さい．
-
課外活動の方が一段落し気が抜けてしまいました．次回までに立て直します．
---
はい，よろしくお願いします．
-
STAP細胞はあるんですか？
---
すみませんが，知りません．
-
調布アド閉店ってマジすか
---
すみませんが，知りません．
-
iPhone 5Sにしました．快適です．サクサク
---
すみませんが，知りません．
-
風邪が周りで流行中です
---
気をつけて下さい．
-
研究室，どこに行くか悩んでいます．
---
6月4日に研究室公開があるので，いろんなところをまわってみて下さい．
-
流しそうめん，食べたいです．
---
私も食べたいです．
- 5/16 (6) マッチング：モデル化
- コメントありがとうございました．今日は演習の時間が取れなくて，すみませんでした．
- 今週は中間試験に関することから．
-
発展課題はテストに出ないと言っていたのは本当ですか？
---
発展問題であると明示的に書いてある問題は試験に出題されません．例えば，4.4と4.8は試験に出題されません．
-
中間がせまってきてあせっています
---
しっかりと準備をして下さい．
- 要望や質問．
-
この紙を最初に配った方が書きたい内容を忘れなくていいと思いました．
---
なるほど．最初は集中力の関係からできるだけ避けたいので，途中の休憩のときに配ることにしてみます．
-
なるべくスライドのミスをなくして欲しい
---
すみません．故意に間違えているわけではないのです．
-
演習時間は必須でしょうか
---
できるかぎり演習の時間をとりたいと思っています．私は演習が大好きです．
- 授業内容に関係のあるコメント．
-
演習問題が難しくて結構つらい．
---
全部解こうと思わずに，解けるところから解いてみて下さい．
-
なかなか演習問題をやりきるだけの時間をとることができません…もっと時間の使い方を工夫したいと思います．
---
やりきる必要はないと思いますが，演習問題に取り組む時間をちゃんととるのは大事だと思います．
-
だんだん難しくなってきたので復習を欠かさないようにしたい
---
いままでの内容をふまえて次につながっているので，復習をぜひ進めて下さい．
-
今まではグラフについてやってきたが，今回はグラフを用いて何かを解くというのをやったが，なかなかおもしろい内容でした．
---
数学をどのように使うのか，ということと，そこで計算機がどう役に立つのか，ということの一端を味わってもらえたらなら，うれしいです．
-
やはり，実世界への応用例があると，やる気が出ます．
---
こういう例を今後も出していきます．
-
モデル化は身近なことでイメージしやすいのでおもしろい．
---
できるだけイメージしやすくなるように心がけます．
-
実用例に入ってくると話がおもしろくなってくる
---
その前も十分におもしろいので，味わって下さい．:-)
-
実際の問題に対応した話題はやはり聞いていておもしろいです．
---
ちょっと駆け足になってしまい，すみませんでした．
-
今日は比較的身近な問題を扱ったので，結構楽しかった．
---
雪国出身のひとにとって除雪というのはとても身近な問題なのですけど，皆さんも身近に感じられましたか？
-
スケジュールの最小化の例に興味をもちました．
---
スケジューリングは最適化とアルゴリズムに対して問題をたくさん提供してくれるので，実はよく出てきます．別の形のスケジューリング問題が「彩色」のところで出てくる予定です．
-
説明とてもわかりやすかったです．
---
ありがとうございます．
-
予習は大切だと思った20の昼．日本語力を鍛えるべく証明を解いていきます．
---
「証明を解く」とはあまり言わないですね．「証明を行う」，「証明する」か「問題を解く」という意味だと解釈します．
- 最後にくだけたコメント
-
世間の風が冷たい
---
暑くなってきたので，バランスがとれそうですね．
-
いつも疲れてそうですね．
---
そう見えていたとしたらすみません．そう見せようという意図は全くないのですが．
-
教授の「そうか」という口癖がくせになりました．
---
私は教授ではないですが，ともかく，そのような口癖があることに気づいていませんでした．ありがとうございます．
-
うちのパンドラは4体で4上がるできる子でした．
---
課金しすぎないように気をつけて下さい．
-
ビスマルク建造43連敗で泣きそうです．
---
あまりこの話題にのると，やってるかと思われるので，これ以上のりません ;-) なお，私はやったことがないです．
-
暑中お見舞い申し上げます
---
お見舞い申し上げます．
-
雨で辛いのは頭痛と暑くなること…
---
蒸し暑くなりますね．日本の気候はそのようなものなので，仕方ないと思って下さい．しかし，頭痛は困りましたね．
-
風邪ひきました．ノドがヒリヒリします．．．
---
お大事に．
-
好きな音楽は何ですか？
---
とりたてて好きな音楽はないですが，ある時期松岡直也をよく聴いていました．最近お亡くなりになってしまい，とても悲しく思ってます．あと，ドビュッシーも割と好きです．
-
難しかったです．昨日は焼き肉でした．牛タンおいしかったです．
---
焼き肉いいですね．年をとってくると，焼き肉のように脂がしつこいものは食べられなくなってきます．
-
電通大にいる人はだいたい日本語がヤバくなってる気がします．
---
それではダメなので，日本語運用能力を上げるようにして下さい．
- 5/9 (5) マッチング：数理
- コメントありがとうございました．提出数が減ってきてます．どしどしよろしくお願いします．
- 質問
-
[重要]
問題5.2の証明問題 |M|=2|V|ではなく，|V|=2|M|ではないのですか？
---
はい，その通りです．ありがとうございます．修正して下さい．私も修正します．
-
完全マッチングを持たないグラフの例として頂点数が奇数の連結成分を持つグラフに
がありましたが， 
は完全マッチングとは違うのでしょうか．
---
というグラフの完全マッチングがであることは正しいです．しかし，この例で考えているグラフはではなくて
で，これには3つ連結成分があり，その中の2つの頂点数が奇数になっています．実際，このグラフの最大マッチングはであり，これは完全マッチングではありません．
- 試験について
-
難しいです．テストは証明問題が多いですか？
---
演習問題と同じような問題が出ます．
-
試験では部分点はあるのでしょうか．
---
あります．
-
中間が少し心配．
---
しっかりと準備をしてきてください．
-
講義内容は面白いのですが，テストで点が取れる気がしません……．
---
しっかりと準備をしてきてください．
- 演習について
-
第5回の問題は少し多いですね．
---
1問減らそうか悩みましたけど，このままにしました．
-
そろそろレポートを再提出したいのですが，その際に前に提出したレポートも一緒に提出した方がいいですか？
---
前に提出したレポートは一緒に提出しなくてもよいです．
-
追加問題12を解いて，最小頂点被覆≧最大マッチングの関係の有難みが分かった．
---
そうですね．演習問題を通して講義の内容の理解を深めて下さい．
-
証明のミスを指摘する言葉がドストレートなのでうれしいです．
---
証明は文章なので，主語や述語の対応，主語が何であるのか，指示語が示す対象が何であるのか，1つ1つのことばの意味が何であるのか，ということもしっかりと意識して下さい．
-
証明を正確にかけるようになりたいです．
---
それができるようになることがこの講義の目標の1つなので，ぜひ身につけて下さい．
- 講義に関係のある内容
-
段々面白くなってきました．
---
今までの内容も面白く感じて下さい ;-)
-
改めてマッチングについて聞いて実験のときよりも理解が深まった．
---
もう一度実験のテキストを見直すと，また理解が深まると思うので，ぜひ行って下さい．
-
マッチングについて，J8実験で何をやっていたのかやっと理解できました．
---
同上です．
-
実験の増加道で最大マッチングを探す関数の意味が少し分かった．
---
同上です．
-
実験でも取り上げた増加道について理解が深まった．
---
同上です．
-
最大マッチングなどの証明であるが，実験のときよりも詳しくて少し理解が深まった．
---
同上です．
-
増加道で，MICS実験を思い出した．あれは辛かった…．
---
同上です．
-
最適化の保証という概念がわかった．
---
「最適性の保証」ですね．今後も出てきますので，慣れ親しんでいって下さい．
-
学内の男女間の完全マッチングについて考えてみたのですが不毛でした．
---
完全マッチングでなくてもよいのです．マッチングであれば．
- その他の雑多なコメント
-
すっかり秋ですね．
---
夏は通り過ぎましたか？
-
暑くなってきて外へ出るのが辛くなってきました．もうずっと秋でいいんじゃないでしょうか．
---
秋は過ごしやすいですね．
-
段々気温が高くなってきて春の季節を感じなくなってきました．
---
もう春は終わりですね．
-
今日も風が強いです．午後は雨が降るらしいです．雨のせいで夜は冷えるもよう…傘がない…
---
強い風は数時間でしたね．
-
眠たかった
---
しっかりと寝てきてください．
-
もう暑くならないで欲しいものです．
---
そういう気候風土なので，しかたがないですね．
-
ギリギリに終わるので，食堂の混雑が厳しいです．
---
これも仕方がないです．
-
めでたくゼウスがスキルマになりました
---
あまりお金を使い過ぎないように気を付けて下さい．
-
イベント終わってしまいました…．
---
普通の社会生活に戻って下さい．
-
忙しい
---
落ち着いて下さい．
-
毎日トレーニングしているのですが腹筋が割れません．
---
私は毎日腹を割って話しているのですが，腹筋が割れません．
- 5/2 (4) 全域木：数理
- コメントありがとうございました．
- 演習問題やレポートについて．
-
添削して頂いたものを再度提出してもう一度見ていただくことは出来ますか
---
はい，できます．
-
演習問題3が全体的に難しかったです．もう少し時間が欲しいので，再提出する権利を得るために，一応レポートは出したのですが，とんでもない解答ばかりでした．大変失礼なのは承知しておりますが，このような場合でも再提出する権利はいただけるのでしょうか？
---
はい，再提出可能です．わからなかったときは，「○○のように考えたけど，○○になってしまって，うまくいかなかった」とか書いてもらえれば，それに沿ってヒントを出します．
-
寒かったです．何か参考書などはありませんか？ それから，添削していただいたあと，合ってない問題の確認ができないのはどれだけ考えてもわからないとき，対処できません．答えをもらえないのであればせめて，参考書，または次週で解説がないと，勉強が進められません…．あと，添削でもう少しヒント下さい．
---
再提出を利用するか，直接質問をして聞いて下さい．講義の中で特定の演習問題に対する解説を行うということは考えていません．参考書は初回の講義で挙げた通りですが，ここまでの内容について本当に参考になるかどうかは分かりません．(全体的には参考になりますが，細かい部分で参考になるか分からない，という意味です．)
-
問題を解いていて，手も足も出ないことが多い．正答率の低かった問題の解説を後日行うなどの救済措置が欲しい．
---
特定の問題の解説を講義の中で行うことは考えていません．直接聞いて下さい．メールでもいいです．直接聞く，ということができるようになることはとても重要なことです．
-
レポート出さずに分からない問題を聞くのはありですか？
---
ありです．ただ，そのときは，何が分からないのか明確にして下さい．
-
レポートの添削で，自分の証明における言い回しにまだまだ不備があると分かった．その点を意識して答案をよりよいものにしていきたい．
---
はい，よろしくお願いします．その目的で再提出を使ってもらってもよいです．
-
証明問題多すぎて心が折れそう．間違った問題の添削が親切でうれしかったです．証明時に省略してた部分が多かったので日本語のミスともども気をつけます．
---
証明はコミュニケーションなので，考えが伝わるように文章を書く，ということの訓練の1つだと思って下さい．
-
演習問題が結構難しいのでしっかり勉強したい．
---
やみくもに手を動かしているとなぜかできてしまう計算，というものとは違うので，時間をとってしっかりとやって下さい．
- 講義内容について，雑多なもの
-
この紙書いてる間に演習時間が終わってしまう．
---
今回は演習の時間が10分ぐらいしかとれなくてすみませんでした．本来は15分確保するようにやりたいのですが，うまくいきませんでした．
-
前にやった用語の意味を忘れるときがあるので，よく復習しておきたい
---
授業が始まる前，あるいは前日に，今までの講義の内容を見直すだけでも違いがでると思います．試してみて下さい．
-
途中ではさむ休憩時間のおかげで授業に集中できています．ありがとうございます．あと，昼食は東食堂と西食堂のどちらがおいしいと思いますか？
---
休憩は今後もいれるようにします．
西食堂は久しくいっていません．年末にMIコースの教員の忘年会を西食堂でやったぐらいです．
-
単位を下さい
---
試験を受けて，合格して下さい．
-
難しい
---
簡単なことを大学でやっても意味がないので，多少難しいのは当然だと思って勉強して下さい．
-
図がかけたりしてもそれを文章にすることができずにいます．難しいです．
---
訓練が必要なことなので，演習を通して身につけていって下さい．
-
プリム法が好きです
---
でも，ゾウさんのほうがもっと好きです．
-
徐々に話が複雑になってきて，理解できないというより，ややこしいと感じました．
---
ややこしい，というのは確かだと思います．皆さんが今までに見てきた論理展開や推論や議論の構成に比べて，「仮定が何であるのか」，「∀と∃の順番」を意識する必要がでてきているのではないかと思います．『離散数学』の講義でやった内容を復習しながら，この辺りの論法には慣れていって下さい．
-
Bridg-It楽しかったです．
---
楽しんでいただけてよかったです．
-
Bridg itのモデルは面白かったです．
---
楽しんでいただけてよかったです．
-
Bridg-It楽しいです．しっかり先手で勝てました．
---
楽しんでいただけてよかったです．
-
Bridg-It，隣の席の友達とやってみました．後手でした．負けてしまいました…
---
先手必勝なので，後手で負けてもいいです．
-
Bridg-Itが面白かった．先手必勝という話だったが，逆に後手が勝つ方法はあるのだろうか．
---
「先手必勝」というのは，先手と後手がともに最善を尽くしたときに，先手が必ず勝てる，という意味なので，先手が最善を尽くす限りは，後手が勝つことはできません．その代わり，先手が最善を尽くさない場合，後手が勝つこともありえます．演習問題4.8のテーマはそれです．
-
必勝法にすばらしさを感じます．興味でました．ライアーゲーム思い出しました．
---
『LIAR GAME』は，論理的 (数学的) な部分と心理的な部分の両方があって，面白いですね．私自身も心理的な要素のあるゲームが好きです．
-
何かしらのゲームで自分が今まで無意味な戦法を繰り返していたのがよく分かった．
---
しっかりと考えるのが大事ですね．
-
ゲームは先手が有利なものが多い気がする．
---
そうでもないようです．例えば，オセロは引き分けで終わると予想されています (証明されていません)．予想されているのは市販されている8×8の場合ですが，6×6の場合では後手必勝であることがコンピュータにより証明されています．また，まったく関係ないですが，オセロが計算量理論的に難しいことも証明されています．これを証明したのは，電通大の先生だった岩田先生と笠井先生で，1994年に論文は出版されています．
-
答えがあると分かっていても，未だに五目並べで遊べます．
---
そうですね．五目並べの周辺にも数学的な未解決問題がたくさんあります．例えば，Wikipediaでm,n,k-gameの項目を見てみて下さい．
- その他，くだけたコメント
-
つらい (7日ぶり2回目)
---
大丈夫ですか？ (2回目)
-
昼寝のタイミングを大学中で見つけるのは難しい．
---
「10分眠る」というような芸当を身につけられると，後々役に立つかもしれません．
-
寝不足でした
---
寝てきてください．
-
段々あつくなってきました．
---
そうですね．短い春ももう終わりですね．
-
ウェアラブルコンピューターのメモリはなぜ32MBなのか… (英語の講義で話題に)
---
そうなのですか．Google Glassは1GBだそうですが．
-
明日でスタミナ200になりそうです．
---
課金しすぎないようにして下さい．
-
ズンダ海峡越えました．ありがとうございます．
---
私は何もしていません．
-
E-5がクリアできません．
---
もう終わりですね．
- 4/25 (3) 木：数理
- コメントありがとうございました．
- 講義内容と関係ないものから．
-
最近寝つきが悪いのですが，すぐに寝るにはどのようなことに気をつけるべきでしょうか？十分な睡眠時間がとれずに授業中眠くなることが増えてきました．
---
昼間寝ると，夜寝られなくなります．悪循環に陥ると取り返しがつかないので，昼間に踏ん張りましょう．
-
暖かくなってきて，そろそろ衣替えの季節ですが，着るものに困ります．
---
そうですね．また急に寒くなったりするので，それも困りますね．
-
最近，体温調整が難しいです．
---
風邪をひかないように気を付けて下さい．
-
やっと私の花粉症シーズンが終わりました．
---
おめでとうございます．私はのどの乾燥があるので，まだマスクをします．湿度が高くなってきたらはずします．
-
つらい
---
大丈夫ですか？
-
大学にも有給的な制度がほしいです．
---
学生には長い夏季休業や冬期休業，春季休業があります．ちなみに，教職員にとっては，夏季休業，冬期休業，春季休業だからといって休みになるわけではありません．
-
ウェアラブルコンピュータのメモリ容量は32MB
---
仮面ライダーのベルトもウェアラブルコンピュータみたいなものでしょうか．あれだけのことをするのに32MBでは足りない気もしますが．
-
イベント海域クリアできない．
---
ズンダ海峡ぐらいは越えましたか？
-
良い天気です．
---
いい天気ですね．こういう日が続くといいんですけど．
-
お疲れ様です．岡本先生はGW中予定があるのでしょうか．
---
出張です．
-
実験つらいです！！
---
まだ始まったばかりなので，レポートなどをため込まないようにして下さい．
-
書くことが思いつかない．
---
「書くことが思いつかない」でもよいので，書いて出して下さい．
-
お腹空きました．
---
朝食をとってきて下さい．
- 続いて要望など．
-
黒板の後ろのカーテンをしめてほしい．
---
ご指摘ありがとうございます．次回からそうします．
-
添削に関して自分の解答に対して間違いの指摘しかなされてなく，どのように間違っているのかわからない．
---
直接私に聞いて下さい．おそらく，書いてあることの内容を私が理解できていない可能性があるので，対話によって，内容を確認する必要があるかと思います．
-
答えが正しい，間違っているのみだと流石にわからないことが多すぎるので，添削として，どう間違っているのか最低限教えて欲しいです．ヒントか方向性のみでも教えてもらいたいです．
---
同じく，その場合は直接私に聞いて下さい．ためらってはいけません．教員を道具だと思って下さい．
- 講義の感想など
-
資料が図を多く含んでいてとても分かり易い．有難いです．スマホでも読み易いですし．
---
ありがとうございます．「グラフとネットワーク」は図を描いて直感を得るのが大事なので，皆さんも演習問題を解くときは図を描きましょう．
-
とても分かりやすい講義だった．1つ1つの証明に対しても詳しく丁寧に解説してくれたので，理解しやすかった．今後も分かりやすい講義をお願いします．P.S. 髪切りましたね！
---
ありがとうございます．今後も期待し続けてもらえるように頑張ります．
-
ある証明問題に対して，どの手法が有効であるかを判別するにはどうすればよいでしょうか？
---
これはとても難しいですね．そこには慣れとか洞察力というものが必要になってくる気がします．私の場合は，試行錯誤の中でいろいろな手法を試す，ということをやっています．
-
数え上げ論法と最大／最小性論法がどんなものかまだ理解しきれていないので，あとで調べたい．
---
ちょっと注意が必要なのですけど，「数え上げ論法」とか「最大性論法」ということばは一般的に用いられているものではありません．この講義ではそのような名前を付けた方が整理されると思って，名前を付けていますが，普通の本などでは証明法に名前をつけるということはあまりしていないようです．ただ，「数え上げ論法」の1つである「二重の数え上げ」(double counting) というのはよく使われる用語で，この講義で行った数え上げ論法も今のところ「二重の数え上げ」に留まっているので，調べるときには「二重の数え上げ」という用語で調べてみて下さい．
-
帰納法の違いがすこし分かりました．練習してみたいと思います．あと悪夢をきのう見ました．
---
「帰納」と「昨日」がかかってる，ということですね．
-
仮定法の2パターンの違いは今まで意識したことなかったので，おもしろかったです．
---
仮定法ではなく帰納法ですね．間違いやすいので注意しましょう．
-
数学的帰納法の説明はとてもわかりやすかったです．証明に利用する際は意識して使いたいです．
---
はい，意識して使って下さい．
-
帰納法の正しい証明の流れを確認できて，参考になった．今後の証明に活かせるようしっかりと復習したいと思う．
---
帰納法はプログラミング言語理論でもよくでてきますので，もしそれを勉強する機会があったら活かしてください．
-
授業の課題が多くて終わりません…．でもわかりやすいです．ついていけるようにがんばります．
---
レポートの提出は義務付けていないので，あまり深刻に考えないようにして下さい．
-
今まで間違った帰納法を使っていたと思うと，ショックだった．
---
刺激が強すぎましたか？ 新しい視点を身につけることが大学の講義の目的なので，間違いを正すことができれば，それで新しい視点が身に付いたことになると思います．
-
正しい数学的帰納法の使い方が分かった．
---
演習問題を通して，確認してみて下さい．
-
証明がわかりやすくてよかった．
---
自分でやってみることが大事なので，演習問題に取り組んで下さい．
-
数学的帰納法の使い方の説明を聞いてなるほどと思ったんですが，いざ自分でやってみると正しいのかどうかわからなくて高校数学の罪深さを感じました．
---
罪深さ，とまではいかないのですが，帰納法の仮定をどのように使うのか，ということや，証明すべきことは実際に何なのか，ということを，数学的帰納法ではしっかりと意識することが大事ですね．
-
数学的帰納法，今までパターン１，パターン２どちらでも書いていた気がする．これからは気を付けようと思う．
---
再度強調すると，高校数学までの範囲ではどちらのパターンでもよかったのです．ただ，その片方は今日の講義の内容に当てはめると間違いになってしまうので注意，ということです．
-
帰納法の証明の違いを示してくれて，よかったです．
---
この話をする機会があってよかったです．伝わったかどうかは不安なので，皆さん，演習問題で確認して下さい．
-
数学的帰納法の話が分かりやすかったです．もう少し進度が速くても大丈夫です．
---
進度はこのぐらいでいきます．これよりも速くなることはないと思います．途中休憩もいれていきます．
-
変数が大量に出てきて訳が分からなくなってきました．
---
そうですね．2つのグラフを比べたり，2つの集合を比べるということがよくでてきますので，記号が何を意味しているのか，ということをしっかりと追って下さい．
-
最大性論法は独特で面白い考え方だと思いました．
---
私は最大性論法が好きで，「これぞ離散数学！」という気がしています．
-
講義の遅れを取り戻すことができたようでよかった．
---
そうですね．よかったです．また遅れることがないようにしたいですが，そのために急いでしまうのもよくないので，ほどほどに進めていきます．
-
2.6が解けません．
---
この問題は第2回の演習問題としては適切ではなかったかもしれませんが，出してしまったものは仕方がないので，やりましょう．今から書くのは解答例の1つに対するヒントにすぎないので，これに拘らずに考えて下さい，という前置きのもとでヒントを書きます．
「二部グラフ⇒長さ奇数の閉路を含まない」というのは，対偶を証明して下さい．そのとき，問題文中にある「ヒント」を使って下さい．
「長さ奇数の閉路を含まない⇒二部グラフ」についてはいろいろな考え方があるのですが，次のように直接証明する方法があります．長さ奇数の閉路を含まないグラフを考えます．これの各連結成分が二部グラフであることを証明します．そうすれば，元のグラフも二部グラフになるからです．そのために，1つの頂点を任意に選んでvとします．そして，vを含む連結成分の各頂点uに対して，vとuを結ぶ道の最短長を考えます．これをf(u)と書きましょう．f(u)が偶数であるか奇数であるか，ということを使って，二部グラフの定義にあるような頂点集合の分割を作ってみて下さい．そのときに，二部グラフの定義にある条件が満たされることを「長さ奇数の閉路を含まない」という条件から導いて下さい．
あるいは，「長さ奇数の閉路を含まないのに二部グラフではないものが存在する」と仮定して矛盾を導くという方法があります．そのときに，第2回の内容に拘って最小性論法というものを使うとすると，「長さ奇数の閉路を含まないのに二部グラフではないグラフ」の中で頂点数が最小のものを考えます．それをGと書きましょう．すると，Gは連結です．(連結でないとすると，二部グラフでない連結成分が存在して，頂点数の最小性に矛盾するから．) また，Gの頂点数は3以上です (なぜなら，頂点数2以下のグラフはどれも二部グラフだから．) さらに，Gから頂点を1つ取り除くと，それは二部グラフになります (Gは長さ奇数の閉路を含まないのに二部グラフではないものの中で頂点数が最小だから)．取り除いた頂点をvとしましょう．つまり，G-vが二部グラフです．したがって，G-vの頂点集合を2つの部分に分割して，二部グラフの定義にあるような条件を満たすようにできます．AとBに分割できるとしましょう．ここで，この二部グラフにvを戻して，Gの頂点集合を2分割した状況を2通り考えます．1つはA∪{v}とBに分割した状況です．G-vは二部グラフだったので，Gの頂点集合をA∪{v}とBに分割したときには，Aのある頂点はvと隣接していないといけません (Gは二部グラフではない，という仮定から)．そのようなAの頂点をuとしましょう．Gの頂点集合をAとB∪{v}に分割した状況も考えて，同じようなことを導きましょう．その考察とGが連結であるという条件から，Gが長さ奇数の閉路を含まないという条件に対する矛盾を導いて下さい．
-
二部グラフに関する問題が難しいと思った．
---
おそらく，演習問題2.6のことを指していると思うので，上のヒントを参考にして下さい．
- 4/18 (2) 道と閉路：数理
- コメントありがとうございました．もっとくだけたコメントも期待しています ;-)
- 重要そうなところから．
-
やはり資料前日公開だと当日の朝に学校に来て印刷 or 前日夕方まで学校に残る必要があり辛いです．(自宅にプリンタがないので)
---
すみませんが，前日でないと私が満足のできる資料を掲載できないので，このままで進めます．自宅にプリンタがない場合は，やはり朝はやめに来てもらうか，印刷ではなくノートPC，スマートフォンなどで資料を閲覧するか，という形で対応をお願いします．あるいは，コンビニのコピー機ではUSBメモリやSDカードからPDFの印刷ができますので，それを活用する，ということも考えて下さい．
-
解答例がホームページで見たい．
---
第1回で演習問題について説明したことを繰り返します．模範解答のようなものは存在しません．皆さんが自分で解いた演習問題の答案の出来具合を判断する唯一の方法は，レポートとして私に提出することです．レポートの提出自体，およびその内容そのものが成績に反映されることはありませんし，レポートの提出も義務付けていません．提出されたレポートは私が添削して返却します．その内容を見て，自分の答案の出来具合を判断して下さい．
-
提出したレポートはどの程度採点していただけるのでしょうか？
---
「点数がつかない」という意味で「採点」はされません．でも，添削はします．証明や論述において，論理の飛躍がないか，論理的な整合性はあるか，証明しようとしていることがきっちりと証明できているか，数学的な記法を間違いなく使えているか，ということを確認します．そうでない部分があるときはその部分を指摘します．(どうすればよい，というところまでは添削において書かないと思います．その部分はレポートの再提出によって再添削を受けて下さい．)
-
期末テストについて，証明をその場で考えるという時間の猶予はありますか？事前にある程度は記憶しておかないと厳しいでしょうか？
---
第1回で試験について説明したことを繰り返します．中間試験と期末試験があります．どちらにおいてもA4用紙の両面に自筆で自由に書き込みをしたものが持ち込めます．記憶する必要がありそうだと感じた場合は，事前にそこにメモを残しておいてください．そうすれば記憶する必要はなくなります．
-
〆切を延長したのならば具体的日時の提示をお願いします．
---
講義資料の(2)のところに提示しました．ご指摘ありがとうございました．
-
演習問題1.4について，なぜGに次数0の頂点uと次数|V|-1の頂点vが同時に存在しないならばある2つの頂点の次数が同じであるのかよく分からない．直感的にはなんとなく分かるがどう表現すればよいのか分からない．
---
第1回の資料を見てみて，証明の仕方を確認してみて下さい．数え上げによる証明です．
- つづいて環境について
-
雨
---
ですね．
-
今日は天候が良くないですね．
---
気温も下がっているので，体調を崩さないように気を付けて下さい．
-
本日は雨天なり．折りたたみ傘にねこの足跡があればそれは自分です．
---
ん？ ねこに踏まれたのですか？ それとも，ねこを傘の上において，傘回しでもやったのでしょうか？
-
今週から教室が西2-101になりました．
---
ですね．
-
教室の広さいいかんじです
---
先週より格段によくなりましたね．
-
新しい教室になって良かったです．
---
今後もこの教室で続けていきます．
-
部屋が広くなったはずなのにあまり広い気がしません．
---
今日もたくさん来てもらえてありがたいです．奥の方 (皆さんから見て右手側の前の方) は割とすいていたようなので，その辺も座ってみて下さい．ただ，そこだとスクリーンが見えにくいかもしれないですね．
- 講義の進め方や内容について
-
説明が分かりやすく，スライド込みで内容が分かりやすく，しっかり理解できました．
---
ありがとうございました．演習問題もしっかりとやって下さい．
-
1回目の授業と就職活動がかぶってしまい欠席してしまいましたが，授業が分かりやすくすぐ追いつくことができました．
---
油断していると途端に難しくなる可能性があるので，気を付けて下さい．
-
後半の方がテンポが速くてついていけませんでした．
---
すいませんでした．時間配分がよくなくて，後半が速くなってしまうみたいです．次回は全体が同じペースになるように気をつけます．今日の後半の部分の復習は特に行わないので，自分で復習をしておいてください．
-
資料を印刷し忘れたので次回からきちんと準備をしたい．
---
はい，よろしくお願いします．
-
遅れるようなら1回くらい演習の時間をなくしてもいいと思います．
---
私は演習を重視しているので，それをなくすことは避けたいです．なんとか次回で取り戻したいです．
-
この授業のペースで大丈夫なのか，少し心配です…
---
はやくて心配ですか？ それとも，おくれてて心配ですか？
-
レポートの添削をしていただけるのは証明の多いこの科目ではとてもありがたいので，ぜひ利用させていただきます．
---
はい，利用して下さい．
-
数え上げによる証明がすっきりと理解できました．
---
重要な証明手法なので，身につけて下さい．
-
概念に対して数式表現が与えられていくのが楽しいです．証明はまだ上手く書けませんが，練習していきたいと思います．
---
証明にはやはり慣れが必要なので，演習問題を通じて練習して下さい．
-
説明わかりやすかったです．全射だと$|A|\geq |B|$になるということの証明がよく分かりました．グラフがんばります．
---
ありがとうございます．
-
問題が難しいです．
---
授業時間だけですべてを理解してもらう，というつもりでいるわけではありませんので，他にも時間をとって，復習をしたり，演習問題を解くことで，内容の理解に努めて下さい．
-
西側にもっと飯屋が欲しい
---
食神に行ってください．
-
授業も分かりやすく，声も後ろまで聞こえて，文字も後ろからでもしっかり見えるのが良かったです．また2分間の休憩でリフレッシュできたので，これからも2分か，それ以下でもいいので，休憩の時間をもうけてほしいです．
---
はい，今後も短い休憩はいれていくと思います．
-
声も聞きやすく，説明もわかりやすいのでとてもありがたいです．
---
声についてはマイクのおかげです．
-
今日の授業はとても分かりやすかったです．
---
次回もそうなるようにがんばります．
-
講義の中で資料の内容が分かりやすく解説されていて，理解が深まった．
---
ありがとうございます．資料だけを見ても理解は難しいと思うので，講義を通して理解をしていって下さい．
-
私たちにとっての新しい概念や証明等についてとても分かりやすく，90分間集中して勉強することができました．ありがとうございます．
---
今後も新しい概念が出てきますので，ついてきてください．
-
同じペースで進めてると延々と同じ分残りそうです．
---
同感です．次回で取り戻したいですが，それだからといって早くするのではなくて，説明の仕方で工夫をするつもりです．
-
証明問題が多いのが辛いですが，頑張りたいです．
---
皆さんは気づいていないかもしれませんが，数学の問題はすべてが証明問題です．計算問題のようなものでもそれは証明問題です．たとえば「方程式$x^2-3x+2=0$を解け」というような問題があるとしますが，これは「$x^2-3x+2=0$を満たす複素数$x$をすべて見つけよ」という問題であり，その"答え"は$x=2$と$x=1$なのですが，それが"答え"であると主張するためには (1) $x=1,2$が$x^2-3x+2=0$を満たすこと，と (2) それら以外の複素数$x$が$x^2-3x+2=0$を満たさないこと，を証明する必要があるのです．実際に，皆さんは「方程式を解く」という"操作"を行っていると思いますが，それは証明なのです．ただ，この講義で出てくる証明が皆さんが今まで見てきた数学と少し違う質のものである，というのは確かだと思います．
-
証明ばかりで大変です．
---
演習問題を通して慣れていって下さい．
-
今回もわかりやすい授業でした．具体例を出して説明してくれるので，納得しながら進めました．
---
例を重視していますので，例を通して定義の内容の確認や，証明のアイディアを感じ取って下さい．
-
図がすごくわかりやすい！
---
理解するためにはいろいろな方法があると思いますが，抽象的な概念を図に描くことができる，というのは1つの理解の仕方だと思っています．なので，数式の羅列だけではなくて，そこに図を入れていくことで理解の仕方が広がっていけばよいと思いますし，そういうことをできるだけ試みているつもりです．
-
図での説明がわかりやすかった
---
同上です．
-
最大〜の定理楽しみです．
---
お楽しみに．
-
レポート提出しました
---
はい，拝見して，来週返却します．
-
面白い講義だった
---
ありがとうございます．
-
集合の濃度の比較は2つの集合の間に単射が存在することだと思っていたので，演習問題1.5に戸惑いました．
---
AとBが有限集合であるとき，AからBへの単射があることと，BからAへの全射があることは同値です．なので，有限集合に限っていえば，単射を使っても全射を使っても濃度の比較ができます．(無限集合を考えだすと，いわゆる選択公理を使うことになるので，話は有限集合の場合ほど単純ではなくなります．)
- 4/11 (1) グラフの定義と次数：数理
- コメントありがとうございました．いただいたコメントとその回答は以下のように掲載されます．
- まずは質問とその回答．
-
講義の約束に「携帯電話は使わない」とありますが，ノートパソコンの場合はどうなのでしょうか？タブレットではどうでしょうか？スマホを使っている人のみが注意を受けていたので，気になって質問させていただきました．
---この講義と関係のないことをしない限り，ノートパソコンやタブレットの使用は問題ありません．そういう意味では，「携帯電話は使わない」という表現はよくなかったと思います．伝えたかったことは「この講義と関係のないことを (主に電子機器で) しない」ということでした．そのように講義資料の該当ページの記述も変更しました．
-
ケータイを使ってはいけない理由は何ですか？資料の確認等のためにも使いたいのですが．
---上の通りです．資料確認のために携帯電話を使うのは問題ありません．ただ，文字などがとても小さくなると思うので注意して下さい．
-
今回は資料が足らない人にはパソコン等で見るようにさせていましたが，次回以降であっても印刷はせずパソコン等でみることは大丈夫でしょうか．
---はい，大丈夫です．
-
授業途中にのみものをのむときは一時退出可能ですか
---他の人に迷惑が掛からなければよいです．あるいは，この講義に限っては，他の人に迷惑が掛からなければ，一時退出せず教室で飲んでもらってもよいです．(食事は，匂いなどで周りに影響が強いので止めてください．)
-
期末テストの範囲に中間以前の範囲は含まれますか？
---中間試験の様子や講義の進度を考慮して決めます．現在の予定では「含まれる」という方針でいます．
-
試験問題について「発展」として提示された演習問題とは追加問題のことですか？
---そうではありません．すみません．これは説明不足です．今回の演習問題にはありませんが，「発展復習問題」，「発展補足問題」，「発展追加問題」という発展的な内容を含む演習問題が今後出てくる可能性があります．これらは試験問題として出題されることはありません．ということが本意です．
-
この授業の単位を取得した場合，講義の変更元？の数理解析の不可はなくなりますか？
---数理解析の不可はなくなります．学部教務係に電話をして確認しました．
-
証明問題は何を書けば証明したことになるのかがよくわからない．
---レポートとして出して下さい．皆さんがどのように今までの数学，特に離散数学の講義を勉強してきたのか，ということにも依存するかもしれませんが，証明というのはコミュニケーションです．証明の書き手が証明の読み手を説得するように書くものです．説得というのは，証明しようとしている命題の正しさを理解してもらう，ということです．そのような気持ちで証明を書いてみて下さい．証明は文章です．文章にはいい文章と悪い文章があるので，証明にもいい証明と悪い証明があるわけです．レポートを出してもらえれば，その点を添削します．
-
行列が，$|A|$の行が1，$|B|$の列$\leq$1だと，$|A| \geq |B|$になるのがよくわからなかった．
---「$|B|$の列$\geq$1」だと思って以下補足説明します．基本的な原理は以下の通りです．$m\times n$行列$X$に対して，そのすべての成分の和に対して
\[
\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}x_{i,j}\right) = \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m} x_{i,j}\right)
\]
が成り立ちます (和の順序を入れ替えただけです)．
この問題で考えている行列では，$m=|A|$，$n=|B|$であり，$X$の成分は0か1なので，$X$のすべての成分の和は$X$における1の数になっていることを補足します．
さて，まず，上の式の左辺$\displaystyle \sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}x_{i,j}\right)$を見てみます．
これのカッコの中身$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}x_{i,j}$は行列$X$の第$i$行にあるすべての成分の和です．この問題では，これがどの行$i$に対しても$1$に等しいわけです．
なので，左辺は$|A|$に等しくなります．
一方，上の式の右辺$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m} x_{i,j}\right)$を見てみます．
このカッコの中身$\displaystyle \sum_{i=1}^{m}x_{i,j}$は第$j$列にあるすべての成分の和です．この問題では，これがどの列$j$に対してもすべて$1$以上になっているわけです．
なので，右辺は$|B|$以上になります．
したがって，$|A| \geq |B|$になります．
- 次は要望のようなものについて
-
教室がせまいです．
---今日はたくさん来てもらって驚きました．教室変更を依頼して受理されました．来週から教室が西2-101になります．
-
若干教室が狭い．
---同上です．
-
後半教室が熱いし，空気悪いですね．．．
---あの部屋は空調が入るのでしょうか？とりあえず5月ごろまでは窓を開けて対応したいと思います．
-
後ろからだとスライドの下は見えませんでした．
---教室変更を依頼して受理されました．来週から教室が西2-101になります．この教室では見えにくさが緩和されると思います．
-
スライド下のほうが見にくかった．
---同上です．
-
パワポの下の方，見えません．
---同上です．なお，PowerPointではありません．
-
早口だと思います．
---すいません，今日は分量が多いと思って，とばしてしまいました．気をつけます．
-
もう少しゆっくりお話ししていただけるとうれしいです．
---同上です．
-
ちょっと早口？
---同上です．
-
体調がよくなかったのでギリギリに教室へ入ったのですが，資料がない＋携帯が使えないので資料も見れない＋レポート用紙を忘れると，非常に残念なことになったので，初回だけでも，もう少し資料を用意して欲しかったです．もっとも，レポート用紙を持ってこなかった私に非があるといえばそうですが．
---携帯電話で資料を見ることは認めますので，以後活用して下さい．ただ，とても小さいと思います．
- 最後に感想など．
-
レポートの添削システムは非常にありがたいと思いました．利用させて頂くつもりです．
---はい，ぜひ利用して下さい．
-
新学期そうそう遅刻して申し訳ありませんでした．次回の授業からは遅れず頑張ります．
---遅刻について，私に謝っていただく必要はないです．損をするのは遅刻をした本人だけです．頑張って下さい．
-
これから順調にできるか不安ですが遅れないよう努力します．
---同上です．
-
非常に普通でした．
---こういう感想でもよいので毎回お願いします．「こうしたら普通よりもよくなる」っていうアイディアもあったらよろしくお願いします．
-
大変そうだけれどやりがいのありそうな講義だと感じました．これからよろしくお願いします．
---「大変そうだけどやりがいのありそう」なものでなければ大学でわざわざやる意味はないと思うので，そう思っていただけるのは私の意図が伝わっていると思えて，ありがたいです．
-
１，２年の数学系科目がほぼ全て「可」だった自分にはつらい授業でした．
---「可」でも合格は合格です．自信を持って進めていって下さい．そうすれば，今までよく分からなかったことも分かるようになってくると思います．
-
考えはわかっても，証明を書くのは難しい．
---証明ができるようになる，ということがこの講義の1つの目標です．演習問題を通して慣れていきましょう．
-
今まで習った内容は暗記の部分が強かったが，証明を中心とした講義は非常に興味深い．
---授業中にもいいましたが，再度強調すると，暗記をするということに時間や労力を割くのはばかげています．今まで習った内容がそうだったというのは，大学教員として，申し訳なく思います．個人的な意見ですが，暗記をするということが重要な学問分野があるとするならば，それはとてもレベルが低いと思います．そのような態度ではなく，忘れたことは調べて思い出し，その内容を使って自分の頭で考える，ということができることが重要だと私は思います．この講義もそのような視点で組み立て，評価もそのような視点から行います．
-
せっかく暖かくなってきたのに，風が寒くて残念です．
---そうですね．これから夏に近づいていって暑い日と涼しい日が頻繁に入れ替わると思うので，体調管理には気をつけましょう．
-
楽しかったです．
---ありがとうございます．次回以降もお楽しみに．
-
この科目おもしろそう．しっかり学んで何かの問題を作れるようになりたい．
---実際に，様々な問題がどのように解決できそうなのかを勉強していきましょう．
-
注意欄と格言欄が分かりやすかったです．
---ありがとうございます．今後も注目していって下さい．
-
面白そうな講義なのでとってみようと思います．
---よろしくお願いします．ぜひ楽しんでください．
-
昨年度受講した離散数学の発展版ということで面白そうであるのでこの講義も受講していきたいと思う．
---昨年度受講した離散数学の印象はどうでしたか？ それを面白く思えたようだったら，この講義も楽しめると思います．
-
離散数学苦手だったのですががんばります！
---苦手なものに取り組んで克服するのも重要なので，がんばりましょう．
-
離散はむずかしいです
---難しい面は確かにありますね．しかし，「論理的に思考する」という側面を鍛えるために離散数学はとてもよい題材なので，努力して身につけてほしいと私は願っています．
-
ネットワークの展覧会がおもしろかった．
---「展覧会」という視点があると，普段の生活の中に，ネットワークだとみなせるものやネットワークとして描かれているものがいろいろとあることに気付くと思います．面白いものを見つけたらぜひ教えて下さい．
-
自分のやりたい内容についての講義だったので積極的に取り組みたい．
---はい，まずは演習問題に積極的に取り組んで下さい．
-
やればやった分だけ自分の力となり成績に結びつくので，毎週講義に出て演習に取り組もうと思った．
---はい，よろしくお願いします．質問も歓迎してます．
-
久しぶりの証明ゆえ割と苦戦しました＠演習
---演習にどんどん取り組んで，慣れていって下さい．
-
システマティックで良い授業だと思った．
---システマティックにする努力はしてますので，このような感想をいただけてありがたいです．いろいろな内容をパズルのように詰めているので，ところどころピースのはまり方が悪くなることがあるかもしれませんが，そのときはご容赦ください．
-
久しぶりに集合の話を聞けて面白かったです．
---集合の話が久しぶりになってしまうのは，カリキュラムとして問題があるのかもしれませんが，いずれにせよ，このような内容に慣れてほしいというのが私の願いです．今後も楽しんでください．
-
授業もわかりやすく，資料も充実していて好印象でした．
---ありがとうございます．資料が充実していると思っていると，授業に出なくてもよいという考えになってしまうかもしれませんが，ぜひ出席もして下さい．
-
しっかり予習・復習するようにします．
---はい，演習問題を解いて復習をして下さい．
-
グラフの問題の適用範囲が広くて興味深かったです．
---そうですね．他の例も出てきますので，ご期待ください．
-
プロジェクターに大きな文字で分かりやすく説明されていてすごく良かったと思います．この授業についていけるよう頑張っていきたいです．
---皆さんが発表などをするときは，これぐらいの文字の大きさが必要だということでもありますね．ついていけるように頑張って下さい．
-
1つのグラフに対する図示の仕方が複数あっておもしろかった．
---グラフの図示の仕方だけでも研究分野になっています．グラフ描画 (graph drawing)という名前のついた分野で，私もこれに取り組んでいます．
試験・成績
- 全体の成績
- 成績 = min{100, 中間試験の素点+期末試験の素点}
これが「成績」と書いてあるのですから，これがそのまま教務課に報告されます．
- 入学年・学科によって，「グラフとネットワーク」の成績が「数理解析」，「数理解析第一」，「離散数学第二」の成績として報告されている場合があります．注意して下さい．
- 得点分布 (中間試験と期末試験の少なくとも一方を受験した受講者のみ対象)
- 受講者数 (履修登録者数) は76で，90点以上 (S) が10人 (約13%)，90点未満80点以上 (A) が6人 (約8%)，80点未満70点以上 (B) が7人 (約9%)，70点未満60点以上 (C) が5人 (約6%)，60点未満 (D) が48人 (約63%) です．
- 中間試験と期末試験の少なくとも一方を受験した受講者数は61で，90点以上 (S) が10人 (約16%)，90点未満80点以上 (A) が6人 (約10%)，80点未満70点以上 (B) が7人 (約11%)，70点未満60点以上 (C) が5人 (約8%)，60点未満 (D) が33人 (約54%) です．
- 中間試験と期末試験の両方を受験した受講者数は50で，90点以上 (S) が10人 (20%)，90点未満80点以上 (A) が6人 (12%)，80点未満70点以上 (B) が7人 (14%)，70点未満60点以上 (C) が5人 (10%)，60点未満 (D) が22人 (44%) です．
- 中間試験と期末試験の素点の関係 (散布図)
- 読み方：1つの点が1人の受講者を表します．1か所に何点かが重なってる場合もあり．横軸が中間試験の素点，縦軸が期末試験の素点．青い点線よりも左上にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも高い人．右下にいる受講者は期末試験の素点の方が中間試験の素点よりも低い人．赤い点線は右上から順に，成績がS，A，B，Cとなる境界を表していて，右上にいけばいくほど成績がよくなります．
- 見て分かる通り，中間試験の素点が低いために成績が低くなっている受講者が多いです．全体で成績がDである人が，期末試験だけを見るとSやA相当の素点を得ている場合もあります．一方，中間試験で30点以上の素点を得ている人は，期末試験でも30点以上の素点を得て，全体として単位を取得できています．
- 期末試験 (8月8日実施)
- 試験問題
- 採点：1問15点満点，合計60点満点
- 得点分布
- 受験者数は50で，平均点は41.38 (60点満点)．45点以上 (S相当) が21人 (約42%)，45点未満40点以上 (A相当) が8人 (約16%)，40点未満35点以上 (B相当) が6人 (約12%)，35点未満30点以上 (C相当) が8人 (約16%)，30点未満 (D相当) が7人 (約14%) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| (TAT) |
30 |
| </body></html> |
40 |
| 04503 |
47 |
| 11091 |
9 |
| 33733 |
14 |
| 51415 |
56 |
| 93034 |
59 |
| ad923 |
51 |
| aho310 |
51 |
| amppp |
45 |
| axbyc |
31 |
| AYUMI |
60 |
| Daijiro |
60 |
| endaaa |
25 |
| idrns |
27 |
| kelkom |
38 |
| knk47 |
60 |
| Less5 |
37 |
| log365 |
45 |
| MNTK3 |
60 |
| oinkoink |
31 |
| p12n5 |
29 |
| prese |
45 |
| QN5SB |
40 |
| RAKDI |
30 |
| RANAN |
41 |
| rotoy |
41 |
| rvmch |
41 |
| t0915 |
48 |
| t1583 |
33 |
| ttttt |
37 |
| tuKam |
60 |
| twmfal |
37 |
| vwxyz |
39 |
| wwwww |
52 |
| xxxxx |
40 |
| ykyki |
30 |
| yYk88 |
39 |
| ZAPIR |
43 |
| れふなあうみ |
48 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：全体的に「できすぎている」という傾向があり，私としてはうれしい状況になりました．問題が特に簡単であったわけでもないですし，採点基準が特に甘いというわけでもないので，ただ単に皆さんがよく準備をして試験に臨んだものなのだ，と感じました．一方で，そのため，中間試験の悪いできが更に目立つ形となってしまいました．
- 問題1：演習問題9.5と同じ問題．最大流問題の応用です．中間試験でも最大流に関する問題を出しましたが，いまだに「流れ」が何であるのか分かっていない人がいます．しっかりと復習をして下さい．また，(2)では「一致することを確かめよ」と聞いているのに，一致しない数を書いて，満足してしまっている答案がいくつかあります．日本語の理解力が問われていると思って下さい．
- 問題2：演習問題11.4, 11.5, 11.9の類題．彩色とクリークの弱双対性を用いて，彩色の最小性を証明することができるかどうか確認しています．よくできていました．グラフを写し間違えている答案がいくつかありました．気をつけて下さい．「クリークがあるので」と述べているのに，そのクリークがどこにあるのか示していない答案は減点しています．存在するといっているならば，それを示さなければ証拠になりません．また，「クリーク」ではなく「クラーク」と書いている答案もありました．授業を聞いていないのがばれるので気をつけて下さい．
- 問題3：演習問題13.8と同じ問題．オイラーの公式の利用や数え上げによる証明ができるかどうかを確認しています．できている人とできていない人の差が大きな問題でした．正六角形が全く出てこない証明は大幅に減点しています．「各頂点の次数が3となることを確認せよ」と書いてあるのですから，それがちゃんと確認できていない答案も減点しています．
- 問題4A：点連結度に関する構成問題．点連結度の定義が分かっていることの確認と，分離集合を示すことで大域点連結度の上界が示せることが理解できているかどうかを確認する問題です．これは思いつけば簡単な問題なのですが，なかなか思いつかなかったかもしれません．思いつくことができるならば，4Bよりも簡単な問題なので，思いついた人は得をしたかもしれません．ただ「思いつく」といっても，やみくもにやって思いつくのは難しいでしょう．1の場合だと，4つの頂点から成る分離集合が存在するためには，どのように辺を結べばよいのか，ということを順に考えていく必要があると思います．
- 問題4B：区間グラフに関する問題．1の方は区間による表現を与えればよいです．誤解を恐れず書けば，絵だけあれば十分です．別の言い方をすると，絵によって区間による表現を与えていない答案は大きく減点されています．一方，2は若干難しく，グラフの中の7つの頂点がすべて証明の中に現れていなければなりません．例えば，真ん中の5つの頂点だけを見て，これが区間グラフでないということは言えません．
- 中間試験 (6月27日実施)
- 試験問題
- 採点：1問15点満点，合計60点満点
- 得点分布
- 受験者数は61で，平均点は22.20 (60点満点)．45点以上 (S相当) が6人 (約1%)，45点未満40点以上 (A相当) が11人 (約18%)，40点未満35点以上 (B相当) が13人 (約21%)，35点未満30点以上 (C相当) が20人 (約33%)，30点未満 (D相当) が41人 (約67%) です．
- 得点掲示 (辞書順に並べています)
| 04503 |
33 |
| 08111 |
28 |
| 11091 |
23 |
| 11180 |
8 |
| 18411 |
3 |
| 40610 |
16 |
| 51944 |
42 |
| 7b5e6 |
0 |
| 93034 |
33 |
| a13de |
20 |
| aadac |
16 |
| abcba |
13 |
| abesan |
13 |
| aifbg |
13 |
| amipc |
18 |
| AYAAM |
0 |
| AYUMI |
42 |
| bettu |
13 |
| BVZ13 |
8 |
| CKUMO |
21 |
| Daijiro |
45 |
| dhk8m |
43 |
| frGDr |
37 |
| Haruna_0314 |
45 |
| heatp |
23 |
| iaaai |
5 |
| jpmka |
16 |
| k1uRs |
21 |
| K4n6B |
18 |
| KRNK3 |
60 |
| mknk9 |
31 |
| muruu |
21 |
| nikechan |
33 |
| nm125 |
25 |
| rumch |
8 |
| S8823 |
13 |
| sia27 |
8 |
| st16n |
45 |
| t0915 |
36 |
| t1583 |
23 |
| ttttt |
8 |
| tuKam |
41 |
| UMTKT |
10 |
| wwwww |
60 |
| xiden |
9 |
| ykyki |
13 |
| ZAPPC |
30 |
| ZER0O |
13 |
| 梶谷学長 |
30 |
| れふなあかい |
40 |
- 念のためお断りしますが，拝んだり頼みこまれたりしても素点が上がることはありません．
- 講評
- 総評：全体的にあまりできていなくて，試験を受けるための準備がどれだけされていたのか，とても気になります．講義に出ていなかったり，演習問題をやっていなかったり，という状況でなんとかなる，という考えではなんとかならないということなんだと思います．例えば，1週間前とか3日前になって準備しだす，ということではおそらく間に合わないわけです．演習問題も1人で解けるものばかりではないでしょう．そのため，授業の最後の時間の演習では相談することを推奨しているわけです．分からない場合に質問しやすいように，と，授業終了時に小さな紙にコメントを書いてもらっているわけです．期末試験はしっかりと準備して臨んでください．
- 問題1：演習問題2.8と同じ問題．最大性論法を使えばすぐ終わります．基本的な用語，基本的な証明法，基本的な論理，基本的な日本語表現の4つが皆さんに備わっていることを確認しています．なお，「有向閉路がないと仮定すると，必ず出次数0の頂点が存在する」ということを書いている人がたくさんいましたが，それには証明が必要です．
- 問題2：演習問題5.9の類題．これはまず演習問題5.9を解いていないと思いつかないでしょう．5.9は次数3の場合を聞いていますが，それを5にするにはグラフの構造を少し変更すればよいです．演習問題5.9を解かずに来て，試験の場ではじめて考えて思いつくということは相当難しいと思います．これができた人は2人しかいなくて，その2人は60点の人です．
- 問題3：演習問題7.3, 7.7の類題．そもそも「流れ」が何であるのかということを全く理解していない人が多く，愕然としました．「容量」というものが何を表していて，水が流れていくようなイメージを全く持っていないように思いました．もう1つ，見つけた流れの値とs,tカットの容量が異なるのに，双対性を用いて最大流であることを結論づけようとしている答案もいくつかありました．値の異なるものを用いて最大流であることを証明することはできません．かならず値が同じになるものが存在するのですから (最大流最小カット定理)，それを見つける努力をして下さい．
- 問題4A：演習問題3.9と同じ問題．数学的帰納法をちゃんと理解できているのかどうか，というのを木と絡めて確かめています．正答率がとても低いです．「任意の○○に対して△△である」という文の意味が本当にわかっているのかどうか，ということも気になります．ヒントに沿わない答案もありましたが，それが正しい証明である場合には満点を与えています．
- 問題4B：演習問題8.6と同じ問題．私個人の感覚では，論理の込み入り方という観点から，問題4Bの方が問題4Aよりも簡単です．しかし，問題4Bを選んだ人の数は圧倒的に少なかったです．証明の途中で「長方形をこのように置かなければならない」というような形式の論法を用いているほとんどの人は，論理に飛躍があります．どうしてそのように置かなければならないのか，ということを証明する必要があるのです．一方，マッチングを使って完璧に解答をしている人は，そのような細かい証明をする必要がないので，とても分かりやすい論理によって正答にたどり着けています．
公式シラバス
こちらをご覧ください
履修上の注意
『グラフとネットワーク』は，『数理解析』(情報・通信工学科：新)，『数理解析第一』(情報工学科：旧昼)，『離散数学第二』(情報通信工学科：旧昼) の読替科目です．
これらを履修した人 (つまり，単位取得した人) は『グラフとネットワーク』を履修できません．
スケジュール
- 4/11 (1) グラフの定義と次数：数理
- 4/18 (2) 道と閉路：数理
- 4/25 (3) 木：数理
- 5/2 (4) 全域木：数理
- 5/9 (5) マッチング：数理
- 5/16 (6) マッチング：モデル化
- 5/23 (7) 最大流：数理
- 5/30 (8) 最大流：モデル化
- 6/6 (9) 最大流：モデル化
- 6/13 (10) 連結性：モデル化
- 6/20 (11) 彩色：数理
- 6/27 中間試験
- 7/4 休講 (海外出張)
- 7/11 (12) 彩色：モデル化
- 7/18 (13) 平面グラフ：数理
- 7/25 (14) 平面グラフ：モデル化
- 8/8 期末試験
[Teaching Top]
[Top]
okamotoy@uec.ac.jp
