数理解析 (後半)

岡本 吉央

前半の担当は山本野人先生です．岡本は後半を担当します．

期末試験

• 日時：2月12日 (火) 10:40〜12:10
• 場所：西5-209
• 注意：復習問題14.3は試験に出題されません．
• 試験問題
• 採点：1問30点満点，合計120点満点．成績はmin{100, 素点}に基づ基づき，山本先生担当分と総合して報告．--- となる予定でしたが．
• 実際の採点：問題3に不備があったため (いわゆる出題ミス)，全員正解として30点与える．しかし，不備があった中でも適当な仮定の下で解答したものもあったので，それについては20点満点で採点 (この仮定は出題者が想定したものと同じ)．その他の問題は30点満点で採点．合計140点満点．成績はmin{100, 素点}に基づき，山本先生担当分と総合して報告．
• 得点分布
  
• 解説と講評
  • 問題1：最小次数が大きいと長い道が存在するということの証明：最大性論法に基づいて証明をする．授業でやった証明だったこともあり，よくできていました．
  • 問題2：グラフの染色数を計算する問題：下界としてクリークを使うところが重要．なぜか4だとしてしまった人が割と多く見られました．正解は3です．
  • 問題3：2部グラフ完全マッチングの存在性：Hallの結婚定理を使うことを想定．それ以外の方法でいろいろとやっている人は大体間違っています．帰納法で証明することは非常に難しいと思います．次数が同じだからと言って，それが|V|/2になったり，2になったりということは必ずしも成り立たないです．次数は3でも4でも5でも何でもあり得ます．しかし，次数が0の場合には完全マッチングが存在しないので，そこが出題ミス．次数が1以上であるという仮定が必要でした．(上の問題ではその点を既に修正しています．)
  • 問題4：選択問題．(A)は次数が大きな2つの頂点は必ず隣接頂点を共有するというもの．数え上げに基づく証明．(B)はラムゼー数の上界．授業でやったもの．
• 得点分布で0点になっている人は未受験者です．11人いました．
• その他，合格は11人，不合格は4人．
• 出題ミスのせいで全体的な得点は上がっていて，(表現は変ですが) 出題ミスがあったために合格となった人が2名いました．
• 問題1，2，4を見るとできている人はよくできています．よくできている人とそうでない人の差が大きいと感じました．問題3は出題ミスがあったにせよ手の付け方が悪いと感じました．授業の構成を見直した方がよさそうだと思いました．

資料

• (14) ラムゼー理論 (1/29)： スライド (1/30修正) | 印刷用スライド (1/30修正) | 演習問題 (2/6修正) | 印刷用スライド＋演習問題 (2/6修正) | 用語一覧
  • 修正箇所 (1/23)：スライド21ページ「R(3,3) ≧ N」→「R(k,l) ≧ N」，35ページ「K_r」→「k_r」
  • 修正箇所 (2/6)：問題14.4「+r-1」→「-r+1」
• (13) 彩色 (1/22)： スライド (1/23修正) | 印刷用スライド (1/23修正) | 演習問題 | 印刷用スライド＋演習問題 (1/23修正) | 用語一覧
  • 修正箇所 (1/23)：スライド18ページ「d(v)」→「deg(v)」
• (12) 二部グラフのマッチング (1/15)： スライド (1/21修正) | 印刷用スライド (1/21修正) | 演習問題 (2/21修正) | 印刷用スライド＋演習問題 (2/21修正) | 用語一覧
  • 修正箇所 (1/21)：スライド39ページ「N(S)はH'におけるSの近傍」と追記，図も修正．スライド50ページの図「v₁, v₂, ..., v_k」を「u₁, u₂, ..., u_k」に，「u₁, u₂, ..., u_h」を「v₁, v₂, ..., v_h」に修正．
  • 修正箇所 (1/21)：演習問題12.6「この次数が1以上であるとき」を追加．
• (11) マッチング (1/8)： スライド (1/8修正) | 印刷用スライド (1/8修正) | 演習問題 | 印刷用スライド＋演習問題 (1/8修正) | 用語一覧
  • 修正箇所 (1/8)：スライド28ページ「青のマッチングに関する交互道」→「青のマッチングに関する増加道」
• (10) 木 (12/11)： スライド (12/11修正) | 印刷用スライド (12/11修正) | 演習問題 | 用語一覧
  • 修正箇所 (12/11)：スライド15ページ「u', v''」→「u', w, v''」
• (9) グラフにおける極値問題 (12/4)： スライド (1/14修正) | 印刷用スライド (1/14修正) | 演習問題 | 用語一覧
  • 修正箇所 (12/4)： スライド16ページ「頂点数3」→「頂点数2」で，図も全面的に書き換え． スライド22ページ「頂点v₁, v_nを」→「頂点を」． スライド22ページ「v₁とv_nを結ぶ」→「次数1の2頂点を結ぶ」． スライド27ページ「1, 6, 5, 3, 2」→「1, 6, 5, 3, 4」． スライド29ページの図における道を変更．
  • 修正箇所 (1/14)： スライド24ページ「閉路とは？」→「二部グラフとは？」． スライド25ページ「閉路とは？」→「完全二部グラフとは？」
• (8) グラフにおける次数 (11/27)： スライド (11/27修正) | 印刷用スライド (11/27修正) | 演習問題 (11/27修正) | 用語一覧
  • 修正箇所 (11/27)： スライド23ページ「|A|のサイズ」→「Aのサイズ」． スライド47ページ，1行目に「n=|V|とする」を追加． 演習問題8.11「ただし，|V|≧3とする．」を追加．

コメント

• (14) ラムゼー理論 (1/29)：コメントありがとうございます．今日は紙が足りなくてすみませんでした．
  • 演習問題の解答はWEBにあがらないのでしょうか --- あがらないです．
  • 正直前半の試験が失敗だったので落ちてしまう気もするけど，できるだけ頑張ろうと思う．--- はい，よろしくお願いします．
  • 今回は多色ラムゼー数あたりから理解に苦しんだ --- そこら辺は説明が駆け足になったので，反省してます．
  • ラムゼー理論が非常に難しかった．証明が非常に難しい．--- 証明は，数え上げと帰納法を組み合わせて使っています．冷静になるとそんなに難しくないので，見直してみて下さい．
  • 内容が難しかった．--- ちょっと慣れない内容だったと思うので，復習をして下さい．
  • グラハム数です．--- 非常に大きな数ですね．
  • 授業の仕方が違う講師2人分を1つのアンケートに書くのはなかなか無理がある気がした．--- 同感です．こういうアンケートについていろいろといいたいことはあるのですが，しょうがないと思って下さい．
  • 数学を専攻している友人が「数学で世界を支配できる」と言っていたのを何となく感じました．ただ数学を実際の物事に応用するのは非常に難しいことだと思いました．--- 私自身は「数学で世界を支配できる」とはあんまり思ってないのですが，たしかに実際に応用するのは難しいですね．それだからやりがいがあるのだともいえます．
  • 4半期間ありがとうございました．暗号論の他にも通信路の応用に基礎数学が役立っていることが分かりました．--- こちらこそありがとうございました．
• (13) 彩色 (1/22)：コメントありがとうございます．
  • 今日雪が降らなくて良かったです．---ホントによかったです．
  • 暖房ちょうどよかったです．---これもよかったです．
  • あのすごい大きい数思い出しました．---どの数でしょう？ちょっと思い当たりません．
  • もう少しプリントのアップをはやくしてほしい ---すいませんが，これが限界です．努力します．
  • カラープリントしなかったので，色ぬりに疲れました ---本当は色付きで印刷しなくても分かるようにしなくてはいけないとは思うのですが，それはなかなか難しいことです．
  • 今週末の研究室の新歓コンパが楽しみです．岡本先生の研究室は配属内定者の顔合わせをしたのでしょうか？ ---してないですね．適当なタイミングでしようと思います．
  • 今の時点で演習で解いた部分を提出しました．追加問題ではできていないところもあったのですがよろしくお願いします．---はい，こちらこそよろしくお願いします．
  • 後半，少し考えがまとまりませんでした．---後半はもう少し丁寧にやってもよかったと思いました．復習をお願いします．
  • 色分けが楽しいです．---楽しんで下さい，ありがとうございます．
  • カラフルでした．色を塗って問題をわかりやすくするということは日常でもよくやることなので，受け入れやすい内容でした．---色をうまく使うというのもなかなか難しくて，それも1つの研究テーマではあります．
  • 今回は実用的な内容で興味深かったです．---どうもどうも．こういう例をもう少し出していった方がいいんですかね．
  • 配属研究室が無線ネットワークの研究をしているので，スライドp.13の図がグラフ理論で出てきたことに驚きました．これだけでも授業に出た甲斐がありました．これからもこのような応用例を挙げて下さると嬉しいです．---はい，こういう例を出していくようにします．といっても，授業はあと1回ですが．
  • コンピュータサイエンスなど，実社会で用いられる応用を知れば，イメージもつかめるかと思いました．---ありがとうございます．応用というのはなかなか捉えにくいもので，今現在応用されているものを学ぶのも大事なのですが，将来どのように応用できるのかという観点も重要です．特に，技術者としては，今現在の応用にとらわれずに，新しい応用を生み出していくことで新たな製品を生み出していくということができると素晴らしいと思います．
  • スライドp.10で，時間割作成はマッチングとは関係ないのですか？ ---関係あります．辺の彩色クラスがマッチングになっています．
  • 証明問題に少しずつなれてきました．---よかったです．もっと慣れましょう．
  • 彩色問題は慣れるまで練習が必要だなと思った．---そうですね．復習をして下さい．
  • 感覚的には分かり易かったですが，証明等を考えるともっと理解が必要そうです．---理解するべきレベルがいろいろとあるので，そこら辺をもっとはっきりさせた方が講義としてはよいのでしょうね．今度から工夫してみます．
  • 今回の追加問題は楽でした．---数人の人にとっては楽で，数人の人にとってはとても難しいというレベルがおそらくちょうどいいのだと思うので，このぐらいでよいのではないでしょうか．
  • 彩色ゲームに挑戦してみようと思いました．---むむむ，彩色ゲームというものを私は知りません．是非紹介して下さい．
• (12) 二部グラフのマッチング (1/15)：コメントありがとうございます．
  • 雪が融けない ---おそらく4月頃まで残ると思います．
  • このように雪が降って積もってしまうと大変ですよね…．---交通機関の乱れには注意しましょう．
  • 昨日，大学まで来て雪にはしゃいで，写真をとっていたのですが，ふだん使わない筋肉を使ったようで筋肉痛がひどいです．今日の朝はつらかった……．---はしゃぎたい気持ちはよく分かります．
  • 普段なら20分で大学に着くのに，今日は1時間もかかってしまった．雪が降るのは構わないが，氷になって滑りやすくなるのは足腰に強烈な負担がかかるので，勘弁してもらいたいと思う．--- 北海道の人は普段からスパイクを履いているそうです．
  • 部屋が寒かったです．--- すいません，暖房を確認するのを忘れました．あるいは，日当たりのよいところに座ってみて下さい．
  • 今日は難しかった．--- そうですね，今日が一番難しいところだったと思います．
  • 少し難しかった．--- そうですね，今日が一番難しいところだったと思います．
  • 証明が難しかった．--- 来年からやり方をちょっと変えないといけないかもしれないです．考えます．
  • 時々証明が楽しいです．--- ときどきですか (笑)．証明が楽しめるようになってきてるのは論理的な考え方が身についてきた証拠だと思います．
  • A⇒Bの対偶は¬B⇒¬Aであるから，A: c≦d，B: Gが持つ，とすると，「c≦dならばGが持つ」の対偶は「Gが持たないならばc>d」と思いだしました． ---その通りですね．復習は大事だということで．
  • 証明の難しさは，その内容もさることながら，記号による簡略表現が理解の妨げになることがあるようです．逆にすべて説明を入れると文章量が多くなり，難読になります．近道はないのでしょうか．---これはまさにそうだと思います．難しい問題です．記号は最小限に留めるようにはしていますが，それでも1コマの中に詰め込み過ぎているような気はしています．改善策があったら是非教えて下さい．
  • スライド50の表はuとvが逆になっているという認識でよろしいでしょうか？ ---そうですね．指摘ありがとうございます．後で直しておきます．
  • 四目並べの話はとても面白かったです．今度使ってみようと思います．---はい，是非お願いします．
  • 四目並べの話はオートマトンで聞いたことがあったので，離散数学でもできるのは興味深いことだと思った．---おそらくオートマトンでは状態遷移の例として出て来たのだと思いますが，今日やったのはまた違う趣きがあったと思います．
  • コニグ・エギャァヴァリィ？ --- カタカナで書くと「ケーニグ・エゲルヴァーリ」ですね．2人の名前でどちらもハンガリー人です．
  • 12.7について，Gの最小頂点被覆と何とで数え上げをするとおっしゃいましたか？ ---Gの辺集合，ですね．
  • 最大マッチングの推定はどうすれば良いですか？ (10万頂点グラフなどで) ---これはプログラムを実装しないといけないですね．最大マッチングを効率良く発見するためのアルゴリズムはいくつか知られているので，それを実装することになります．
  • 最近の資料，復習が多くのっていて理解の助けになっています． ---一応復習の中では主要なところだけを取り出しているつもりなので，そこからまず理解して下さい．
  • 授業の始まりの前回の復習から前回よく理解できなかった内容も含めてより理解できた．次回も今日の部分をもう一度復習したい． ---はい，復習をしっかりお願いします．
• (11) マッチング (1/8)：コメントありがとうございます．
  • あけましておめでとうございます．---あけましておめでとうございます．
  • 明けましておめでとうございます．---あけましておめでとうございます．
  • 今年もよろしくお願いします．実は今朝までこの授業の存在を忘れていました...昨年の最後の授業が山本先生の試験だったからか，正月ボケかわかりませんが．---思い出してもらえてよかったです．
  • 今日人少ないですね…．---この授業の存在を忘れていた人が多かったのかもしれないです．
  • 分かりやすいけど説明だけでは難しいので復習頑張ります．---はい，復習をしっかりとお願いします．
  • 今やっている実験に大きく内容が被っているので，良く復習します．---グラフはいろんなところで出てきますから，よく復習を．
  • わりと実際的な話題で面白いと思いました．---現実に使われていることを示す例をもっと出せるといいのですが，時間の兼ね合いで出せていないです．MICS実験のテーマに盛り込めばいいのかもしれないですが，そうすると実験の量が膨れ上がってしまうので，それも難しいです．なかなか悩ましいですね．
  • 頂点被覆を見つけるのがムズカシイ．---難しいですね．演習問題に出て来たグラフはそんなに大きくないので，じーっと見て，特徴がつかめられれば見つかると思います．
  • 一筆書き可能な図形であるか，の証明が出てきそうです．今回の内容との関連は分かりませんが．---いろいろ関連あります，が証明はやりませんし，その関連も説明しません．(関連を説明しようとすると，そのための準備がいろいろと必要となるので．) しかし，それでは味気ないので，「中国人郵便配達問題」というキーワードだけ挙げておきます．これはグラフが道路ネットワークを表現していると思って，すべての道を通って元に戻ってくるためにどうすればよいか，ということを考える問題です (郵便配達を想像するわけです)．実は，グラフが無向グラフであるときにはこの問題を効率良く解くことができるのですが，そのようなアルゴリズムの1つは最大マッチングを発見するアルゴリズムの一般化であると考えられています．
  • (最小)頂点被覆はアルゴリズム概論第二で出てきている(最小)全域木と関係ありそうです．---いろいろ関係あります，がその関係は説明しません．しかし，それでは味気ないので，1つだけ関係を説明します．頂点被覆では，グラフの辺の両端点を選んでいます．これは頂点被覆に入れると選んだ頂点によってすべての辺を破壊していると見ることもできます．すなわち，頂点被覆に選ばれた頂点をグラフから取り除くと，すべての辺が消え去ります．一方，連結グラフのすべての閉路を破壊するように辺を選ぶということを考えます (頂点ではなくて辺を選びます)．そのような辺を全部取り除くと，残されるものはグラフの全域木になります．このように「何かをすべて破壊するように頂点 (または辺) をいくつか選ぶ」という問題はよく出現して，離散数学では「横断問題 (transversal problem)」と呼ばれています．よく研究されている対象です．
  • 対称差は排他的論理和 (xor) と同じものですか？---関係あります．二つの集合AとBの対称差は「{x | (x ∈ A) xor (x ∈ B)}」と表現できます．対称差は集合に対する概念，排他的論理和は論理に対する概念であるという違いがあることに注意して下さい．例えば，集合AとBに対して「A xor B」という書き方はできません．これは集合AとBに対して「A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}」なのですが，「A ∧ B」とは書かないことと同じです．
  • 頂点被覆は定義より「Gのどの辺も〜」なので (全辺を被覆しているから) 辺被覆と言わないのですか？---残念ながら言いません．「被覆」を考えるときは「何を使って何を被覆するのか」ということに着目します．「頂点を使って辺を被覆する」のが頂点被覆です．しかし，他のものもあり，「辺を使って頂点を被覆する」のが辺被覆と呼ばれるものです．使う方に着目して名前が付けられているということになります．
  • その他，演習問題の解答1件．---正解です．
• (10) 木 (12/11)：コメントありがとうございます．
  • 卒研配属の登録が昨日締め切られました．私の希望する研究室は登録者数と定員が同じなので，おそらく志望した研究室に入れそうです．--- それはよかったですね．ただこれは仮配属なので，ちゃんと本配属にたどりつけるようにがんばってください．
  • 線形のテストがまずいです．--- 実は私も線形代数が苦手なのですが，線形代数はいろいろな場面でよく出てきますので，是非マスターを．
  • プリントを印刷し忘れたので今度やってもってこようと思います．--- はい，よろしくお願いします．
  • 印刷用スライドの各ページにノンブルが欲しいです (可能でしたら)．--- ちょっと技術的に困難かもしれませんけど，できるようでしたら入れてみます．
  • 添削をして欲しいときは西4のレポートBOXなどをさがして入れてもいいですか？ --- 西4号館の4階に事務室があり，その前に私のレポートBOXがあります．ただし，そこを見るのは稀なので，そこに入れたら私にメールなどで連絡を下さい．
  • 今までいろんな講義で木や葉が出てきていたが，認識があいまいだったことに気づいた．前回よりも理解できた． --- 木はいろんなところで出てくるので，基本的な性質を深く理解することが重要ですね．
  • 木の性質を使った証明は面白かったです． --- 論理的思考の訓練がかなりできてくると，証明の面白さも分かってきますね．
  • 今回の証明，特に木が葉を持つことについての証明に感動した． --- 感動はちょっと私が押し付けたかもしれないと思ってますが，木が葉を持つこと，という一見当たり前のようなことも証明が必要なのだということと，その証明の仕方を是非理解して下さい．
  • 個人的には前回より分かりやすい内容でした． --- 前回はちょっと難しい内容でしたからね．前回の内容もまた出てくるので復習をして下さい．
  • 非常におもしろくわかりやすかったです．今回の証明は理解することができたが実際にやるとなると手まどりそうです．--- 他の人の書いた証明を理解するということと自分で証明を作るというのはかなり違いますからね．その違いがあるので，演習問題を通して自分で証明を作るという訓練もして下さい．
  • 今日出てきた帰納法は今までやってきたものとは少し違うので，もう一度確認したいと思った．--- 数学的帰納法は高校以来よく出てくる証明手法なのですが，なかなか奥深いものです．復習をお願いします．
  • スライドが分かりやすい．証明のとき黒板に図をかいて説明してくれたので前よりは分かりやすかった．--- できる限りスライドに書いてあることだけで理解できるようにしてるつもりですが，スライドのコピーが手元にあるとどうしても授業中に机の方ばかり向いてしまうので，黒板にちょっと書いたりして注意を前面に向けてもらうようにも心がけてます．
  • あわてないで．--- すいません．どうもことばがうまくしゃべれなくて何度もあわあわしてしまいます．永遠のテーマかもしれないです．
  • 演習の時間は授業中の証明を納得するまで考える時間として活用しています． --- はい，自由に使って下さい．一応，指針としてやってもらいたい演習問題を指定していますが，それに従わずに授業の復習や質問などに時間を使ってもらってももちろんよいです．
  • 森と林に違いはあるのですか？ --- 数学的に違いはないです．
  • 誘導部分グラフの定義がよくわからなかったので，次回の頭にでも再度説明してほしいです． --- はい，次回の頭に再度説明する予定にします．
• (9) グラフにおける極値問題 (12/4)：コメントありがとうございます．
  • この紙，はじめに配るか前の方に置いておく等していてもらえるとうれしいです．講義後の時間は演習に集中したいです．---なるほど，では，次回は前の方に置いておくことにします．
  • 印刷スライドに演習問題のページもいっしょについているとありがたいのですが．---では，次回からはそのようなバージョンもつくることにします．
  • 教室が寒いので暖房を入れて頂けるとありがたいです．---授業が始まるときに聞くのを忘れました．おそらく今後だんだん寒くなるので，常に暖房は入れることにします．
  • 今日は雨でとても寒かった ---次回からは暖房を入れます．
  • むちゃくちゃ寒いです．---次回からは暖房を入れます．
  • 雨，寒い，ハラヘリ ---朝食はとってますか？ 朝食は重要ですよ．
  • 雨で電車が遅れました．---そうでしたね．雨の日は30分ぐらい早く出てくる必要があるのかもしれません．
  • 試験に演習問題から3つと言っていますが，それは先生の授業の最後に解くように言った問題ですか．それともすべての問題ですか？ ---「すべての問題」です．
  • 演習の提出は必ずしも次週でなくてもよいですか？ ---必ずしも次週でなくてもよいです．
  • 演習問題レポートの添削は前週分のみ受け付けでしょうか．---前週分のみではなく，いつのものでも受け付けています．
  • ミスがあったので，逆にその部分について考えられました．---反面教師ですね．気を付けます．
  • ミスはあったが説明は分かりやすかった ---反省します．
  • 「ドジっ子」という称号が与えられるかもしれません．---うーん，それは避けないといけないですね．
  • グラフ慣れぬ．---グラフ理論や離散数学は独特の雰囲気を持ってますが，慣れるとだんだん楽しくなっていくので，がんばりましょう．
  • まだ概念が頭に入りきっていない感があります．---概念を覚える必要はないです．忘れたら復習しましょう．
  • 難しくてよく分からないところが多かったのでしっかり復習しようと思う ---はい，復習をお願いします．質問がありましたらいつでもどうぞ．
  • 演習問題は家でちゃんと復習しておきたいと思う ---演習問題を解くことで考え方が分かってくるので，復習をお願いします．
  • 授業後の復習は欠かせないものですね．来週の授業までにこの2週間のプリントをよく見るようにします．---はい，授業が始まる前に前回の内容をちょっと見直すだけで授業の理解が変わってくるので，それもやってみて下さい．
  • なかなか難しく朝からつらいですががんばろうと思います．---昼も食事後で眠くなってつらいんですよね．
  • 同値類を思い出しました．---「離散数学」でやったことが基礎になってるので，同値類だけではなくいろいろと出てきますね．
  • 授業の目的を明示させたことや，グラフやその証明に関して直観的に理解しやすくて授業に集中しやすかった．---授業の内容が何を目指しているのか頭に置いておきながら考えることが重要ですね．
  • 前回より若干レベルが上がったように感じたが，わかりやすかった．---レベルはどんどん上がっていくはずなのですが，理解しやすくなるようには努力します．
  • 世の中の就活生たちはどうやって学業と就活を両立しているのか不思議です．というくらいに時間ないです．---12月7日のガイダンスでも就職活動の進め方についてアドバイスがあると思うので参考にして下さい．
  • 昨日から卒研配属の登録が始まりました．全員が登録していないとはいえ，人気のある先生とそうでない先生が明確に分かれていて，なかなか残酷だと思いました．---「先生」の人気なのか「研究分野」の人気なのか，またはそれ以外の何かの人気なのか，よく分かりませんけど，他の人の考えることに流されずに，信念を持って登録をして下さい．
• (8) グラフにおける次数 (11/27)：コメントありがとうございます．
  • 演習問題をレポートとして提出する場合は，オフィスアワーの時間帯に持っていけばよいのでしょうか？ --- はい，それでもよいですし，講義のときに提出してもよいです．返却は講義のときになります．
  • 演習の解答が示されると学習しやすいかと思います．--- 「解答付きの演習問題」というのは自習用の形態なのですが，大学の講義は講師が目の前にいるわけですから，自習用とは違う形態でやっていきたいと思います．解いた演習問題はレポートとして提出してもらえればチェックするので，是非活用して下さい．
  • 昔アルゴリズム論でやったような記憶もありましたが，正直なところ実験レポートを書いていたためあまり分かりませんでした．申しわけないのですが，また勉強しなおします．--- アルゴリズム論では，アルゴリズムに重点があったと思います．この講義では証明に重点があるので，内容として似ているところはありますが，アプローチがかなり違うはずです．その味わいの違いも堪能して下さい．
  • 今日は快晴で絶好の洗たく日よりだと思う．--- 昨日が雨だったので今日の快晴はうれしいですね．
  • 今日の天気は晴れ．はやかったので (体感) がんばります．--- 演習の時間が想定よりも長めになってしまったということは，おそらく講義の部分が駆け足になってたということなので，それはすみませんでした．
  • 昨日ニンニクを食べすぎて，臭かった←自分が．--- ラーメン屋とかにいっておろしにんにくをたくさんいれたくなる衝動に駆られることがありますが，次の日に匂いが取れなくなることを心配してそれをできない自分がいます．
  • 次回からも授業についていけるように努力していきたいと思う．--- はい，よろしくお願いします．
  • 証明に慣れてゆきたいと思います．--- 証明には慣れが必要なので，がんばっていきましょう．
  • 証明問題がたくさん出て来て大変そうですね．--- ある程度大変なことをしないと勉強している意味がないので，大変なことをして，勉強しているんだという実感を持って下さいね．
  • 証明を書き慣れていないため，演習問題でほとんど手がつけられませんでした．証明をこなして慣れていき，時間内に1つでも書けるようにしていきたいです．--- 演習問題は講義の中でやったものと同じようにできるものもあるので，いろいろと考えてみて下さい．早く解ける必要はないので，じっくり考えて下さい．
  • 難しかったですががんばっていこうと思います．--- はい，よろしくお願いします．
  • 図を多用していて，とても分かりやすかった．しっかり演習をやろうと思う．--- 図は直観的な理解を助けるので，できるだけ使うように心がけています．これからもそうしていきます．
  • 離散が楽しかったのでこちらの内容も楽しく聞けました．固有値で点が取れない分がんばりたいです．--- 固有値でも点がとれるようにまず頑張って下さい．
  • 問8.1「任意のa∈Aに対して|{b∈B | f(a)=b}|=1」のような書き方ができるくらい頭がやわらかくなりたいです．--- このような書き方はまさに慣れてるかどうかなんですよね．頭が微分積分や線形代数に慣れ切ってしまっていると，こういう離散数学のような書き方を見たとき「？」ってなるかもしれませんが，違う種類の数学だと思って，これにも慣れていきましょう．
  • 遅刻してしまい大変申し訳なく思います．以前実験の担当をされててお世話になったのですが，あいかわらず，とてもわかりやすい説明と資料であり，すぐに理解できてよかった．これからもよろしくおねがいいたします．--- 授業には流れがあるので，できるだけ遅刻・欠席はしないようにお願いします．なお，実験は第1ラウンドと第4ラウンドを担当してるので，第4ラウンドに私の実験を取る人はよろしくお願いします．
  • 本日やる内容や手順が明確で分かりやすかった．--- 毎回，講義のはじめに「今日の目標」を言うようにしてるので，それに沿って講義が進んでいると思って下さい．
  • 演習が沢山あってとても良かったです．--- 演習はありすぎると大変なので，適度な数にしないといけない，と思ってますが，これぐらいでちょうどよいようなら，毎回これぐらいにします．
  • スライド資料での証明の説明があるので助かる．演習問題もあるので勉強しやすい．--- 演習問題を解くことが一番の勉強だと思うので，是非演習問題に取り組んで下さい．
  • 丁寧でわかりやすかった．--- ありがとうございます．これぐらいの丁寧さで今後も進めていきます．
  • 全射と単射の証明を行列で行うのがざん新だった．わかりやすかった (スライド)．おもしろいと思った．--- 行列を使うことが今後新しい展開も見せていきます．是非ご期待下さい．
  • 証明がわかりやすくてよかったです．演習問題も資料を用いれば解けるようなものばかりなのですごく助かります．--- 全くどうしたらいいかわからない，というような演習問題は出していないつもりですが，演習問題でつまづくときにはヒントも出しますので，質問などしてもらえればありがたいです．

スケジュール (予定)

• 11/27 (8) グラフにおける次数
• 12/4 (9) グラフにおける極値問題
• 12/11 (10) 木
• 12/18 山本先生担当分の試験
• 12/25 休講 (振替休日)
• 1/1 冬季休業
• 1/8 (11) マッチング
• 1/15 (12) 二部グラフのマッチング
• 1/22 (13) 彩色
• 1/29 (14) ラムゼー理論
• 2/12 岡本担当分の試験